2024年新高考改革適應性練習數(shù)學試卷2（九省聯(lián)考題型）

2024年新高考改革適應性練習2（九省聯(lián)考題型）

數(shù)學試題卷

考生須知

1.本卷共5頁，四大題19小題，滿分150分，答題時間120分鐘；

2.答題時須在答題卡上填涂所選答案（選擇題），或用黑色字跡的簽字筆規(guī)范書寫答案與步驟（非選擇題）,

答在本試題卷上或草稿紙上的答案均屬無效；

3.考試結(jié)束時，考生須一并上交本試題卷，答題卡與草稿紙.

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

1.某旅行社為迎節(jié)日搞活動旅游，經(jīng)市場調(diào)查，某旅游線路銷量丫（人）與旅游價格x（元/人）負相

關，則其回歸直線方程可能是

A.y=-80X+1600B.Y=80X+1600

C.Y=-80X-1600D.Y=80X-1600

2.已知復數(shù)列｛zj滿足Zn=F（i為虛數(shù)單位），則白兀｝的前10項和是

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

3.“棱柱的相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列｛4｝：&=尸2=1,%=+Fn_2（n23）,記/除以4的

余數(shù)為Gn,則（?2024=

A.0B.1C.2D.3

5.曼哈頓距離（ManhattanDistance）是由十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種使用在幾何

度量空間的幾何學用語，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和.同一平面上的兩點

4（一%）,B（x2,y2）,其“曼哈頓距離”

dAB=|%i-x2l+lyi-y2l

則所有與點（L2）的“曼哈頓距離”等于2的點構成的圖形的周長為

A.8B.8V2C.4D.4近

數(shù)學試題卷第1頁（共5頁）

6.已知以。為中心的橢圓。，其一個長軸頂點為M,N是。的一個靠近M的焦點，點P在。上，

設四是以PN為直徑的圓，必是以。M為半徑的圓，則31與必的位置關系為

A.相切B.相交C.相離D.無法確定

7.將函數(shù)/■（%）=3,〉0向下平移血（6e"）個單位長度得到9（久）,若。（工）有兩個零

點%1，%2（%1<久2），則無1+%2的值不可能是

1-1_1

A.1B.e2——C.e一工+1D.e一工一1

e

8.過正四面體ABCD的頂點4作截面，若滿足：①截面是等腰三角形：②截面與底面BCD成75。的

二面角.這樣的截面?zhèn)€數(shù)為

A.6B.12C.18D.24

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.）

9.在正六邊形ABCDEF中，

A.AC-AE=BFB.AC+AE=3AD

C.AD-AB|AB|2D.而在方上的投影向量為前

10.已知直線AC與BD經(jīng)過坐標原點。，且4clBD,4B,C,。均在圓P:%2-6%+y2-8y-9=0

上，則以下說法正確的有

A.圓心P到直線AC的距離的最小值為5

B.弦AB,BC,CD,n4的中點滿足四點共圓

C.四邊形4BC0的面積的取值范圍是[6734,43]

D.6|04|+3|OC|>2<2\OA\■\OC\

11.對正整數(shù)N,若其不能被任意一個完全平方數(shù)整除，則稱其為“無平方因子數(shù)”，并記其的素因子

個數(shù)為勰.由所有“無平方因子數(shù)”構成的集合記作S.則數(shù)論函數(shù)“繆比烏斯函數(shù)”定義如下

1,n=1

〃（幾）=（—1）%,nES

0,nS

則下列運算正確的有

A.4⑴+〃⑵=0

B.〃⑴+〃⑵+“⑷=1

數(shù)學試題卷第2頁（共5頁）

C.〃(1)+〃(2)+4(4)+〃(8)=0

D.〃(1)+〃(2)H-----F〃(2n)=1(n>4)

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知鈍角△ABC的面積為3,4B=4,AC=1,則布?前的值是.

13.若函數(shù)/(%)=(%2—6x+m)(ex-3+e3T-n)的四個零點是以0為首項的等差數(shù)列，則m+n-

14.若一個三位數(shù)中的任意兩個相鄰數(shù)碼的差不超過1,則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”，則所有“平穩(wěn)數(shù)”的個

數(shù)為，

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(15分)

已知在△4BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且tanA+tanB—V3tanAtanB+V3=0.

(1)求C；

(2)若a+b=4,求△2BC面積S的最大值.

16.(17分)

如圖1,已知正方體ZBCD—a'B'C'D'的棱長為2,M為BB，的中點，N

為DC的中點.

(1)證明：BN〃平面OMC'；

(2)求平面DMC'與平面A'B'C'?！瘖A角的余弦值.

圖1

17.⑴分)

已知拋物線y2=2為，直線Z:y=x-4,且點B,D在拋物線上.

(1)若點4c在直線2上，且四邊形ZBCD是菱形，求直線BD的方程;

數(shù)學試題卷第3頁(共5頁)

(2)若點A為拋物線和直線I的交點(位于%軸下方)，點C在直線I上，且四邊形ABC。是菱形,

求直線的斜率.

18.(17分)

x

已知函數(shù)/(%)=a-logax,aE(0,1)U(1,+oo).

(l)若a=e,求y=/(%)過點(0,1)的切線方程；

(2)若門>)在其定義域上沒有零點，求a的取值范圍.

19.（17分）

概率論中有很多經(jīng)典的不等式，其中最著名的兩個當屬由兩位俄國數(shù)學家馬爾科夫和切比雪夫分

別提出的馬爾科夫(Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等式.馬爾科夫不等式的形式如下:

設X為一個非負隨機變量，其數(shù)學期望為E(X),則對任意￡>0,均有

馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數(shù)的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與

其數(shù)學期望間的關系.當X為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：

設X的分布列為P(X=Xi)=Pi(l=1,2,...，九)其中Pie(0,+8),Pl+p2T-----Pn=1，xie

[0,+oo),則對任意￡>0,

xt11y-1E(X)

XiPi

Pi<2_,7Pi=12-XiPi=~r~

X[>￡Xi>8Xi>8i=l

其中符號

J

Xi>￡

表示對所有滿足陽>￡的指標i所對應的Ai求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設隨機變量的X數(shù)學期望為E(X),方差為￡>(X),則對任意￡>0,均有

P(|X-E(X)|之。3嘩

【類比探究】

(I)根據(jù)以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量X成立；

數(shù)學試題卷第4頁(共5頁)

【實際應用】

（2）已知正整數(shù)幾25.在一次抽獎游戲中，有n個不透明的箱子依次編號為1,2,...,",編號為

i（1<i<n）的箱子中裝有編號為0,1，…,i的i+1個大小、質(zhì)地均相同的小球.主持人邀請n位嘉賓從

每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為X-并記

n

i=l

對任意的"，是否總能保證P（XW0.1力20.01（假設嘉賓和箱子數(shù)能任意多）？并證明你的結(jié)論.

【理論拓展】

（3）已知n重伯努利試驗中每次試驗中事件4出現(xiàn)的概率P=0.75,請用切比雪夫不等式估計

n，使得事件A出現(xiàn)的頻率在0.74和0.76之間的概率不低于0.90.

數(shù)學試題卷第5頁（共5頁）

2024年新高考改革適應性練習2（九省聯(lián)考題型）

數(shù)學參考答案

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.）

題號12345678

答案ADCBBADC

二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.）

題號91011

答案CDABCBD

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

題號121314

11

答案2或-2e+—或8+/+^75

ee5

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.(13分)

(1)由題意得，

tanA+tanB—V3tanAtanB=—V3

otanA+tanB=一百(1—tanAtanB)

tanA+tanB廠

o-------------------=-V3

1—tanAtanB

0tan(71+B)=—V3

t-n

<=>tanC——tan(X+B)=v3<=>C=—

所以C=g.

(2)由正弦定理，

數(shù)學參考答案第1頁（共6頁）

1InV3

S=-sinCab=--sin—■ab=——ab

2234

由題意a+b=4,又a,b〉0,由基本不等式得

a+b-4>2\[ab

解得ab<4,

所以

V3V3「

S=-ab<—x4=v3

44

故S的最大值為g，取等時a=b=2,即△力BC是一個正三角形.

16.(15分)

(1)取。C'中點E,連接NE、ME、BN,如右圖所示：

,：E、N為中點，N得EN"CC'“BM,

又,：EN=BM=1,：.四邊形NEMB為平行四邊形，J.BN//EM,

又「BNC平面DMC',EMu平面DMC',.，.BN〃平面CMC'.

(2)以。點為原點，D4為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標系，如右圖所示:

則。(0,0,0),C'(0,2,2),M(2,2,l),

故方=(0,2,2),DM=(2,2,1),

易知平面A'B'C'?！囊粋€法向量為而=(0,0,1),

設元_L平面DMC',n—(x,y,z),貝!J

n-DC'=2y+2z=0

n-DM=2x+2y+z=0

令z=2,則y=-2,x=l,可得五=(1,一2,2),

._m-n2

cos<m,n>-ITIf=-

\m\■\n\3

結(jié)合圖形可知，平面DMC'與平面力‘B'C'D'夾角的余弦值為|.

17.(15分)

(1)由題意知4cl設直線=—y+TH.

數(shù)學參考答案第2頁(共6頁)

聯(lián)立『血得好+2y—2nl=0,

則+y。=-2,yByo=-2m,xB+xD~{yB+yD)+2m=2m+2,

則BD的中點(m+1,-1)在直線y=尤―4上，

代入可解得m=2,V+2y-4=0,4=20〉0,滿足直線與拋物線有兩個

交點，

所以直線BD的方程為久=—y+2,即久+y—2=0.

(2)當直線2B,4。的斜率為0或不存在時，均不滿足題意.

由｛7n:得｛IF味二”舍去)，故A").

當直線48,力。的斜率存在且不為0時，設直線4B:x—2=t(y+2).

聯(lián)立「一21「?+2)得2_2ty_4t_4=0,所以辦+為=2t.

(y—Lx

所以B(2/+4t+2,2t+2).同理得0信—：+2,—|+2).

由BD的中點在直線y=尤―4上，

得

1/24、1/2

-I2t27+4t+2H——----F21-4=-[2t+2------1-2

2\t2tJ2\t

即+卷+(「-})-4—0.

令t_：=p,則p2+p-2=0,解得p=-2或p=l.

當p=l時，直線BD的斜率

2t+2-(-?+2)11

kBD=724\=I=3

2t2+4t+2—(笆-/+2)t-y+2

當p=—2時，直線3D的斜率不存在.

綜上所述，直線BD的斜率為］

18.(17分)

xx

(1)當a=e時,/(%)=a-logax=e-In%(x>0),設、=/(x)過點(0,1)的切線方程為l：y=

/'Qo)(久-久o)+/(&)(g>0),

f(%o)=ex°-lnx,f'(殉)=ex°,代入切線方程得，

0%0

數(shù)學參考答案第3頁(共6頁)

xx

y=-----j(x—x0)+e°—ln%0=(e%°-----jx+e°(l—x0)—In%0+1

xx

因為l過點(0,1),所以e°(l一x0)-lnx0+1=1,即e°(l一%0)-In%。=0,

令g(X)=e?l-尢)一InK,g'{x}=-xex-^<0,所以g(%)單調(diào)遞減，又g(l)=。，所以g(%)有

唯一零點％=1,即原方程的根為、=1,

代回切線方程得

xx

y—(e°-x+e0(l—x0)—In%0+1=(e—1)%+1

\X。)

故y=f(x)過點(0,1)的切線方程為y=(e-1)%+1.

(2)因為/(%)在(0,+8)上連續(xù)，又/(1)=。>0,所以要使/(%)無零點，需使/(%)>0在其定義

域上恒成立.

x

則原問題轉(zhuǎn)化為/(%)=a-loga%>0,求a的取值范圍，

In%

ax—logx>0ax>logx<=>ax>-——

a"aIna

<=>axIna>In%<=>axxIna>%In%axIn>xlnx(*)

令h(x)=xex(%>0),〃(%)=(%+l)ex>0,所以h(x)單調(diào)遞增,

又由(*)式得h(lnax)>/i(lnx),所以Ina%=%Ina>In%,即Ina>(恒成立.

令<p(x)=(,◎'(%)=i］尸,令(p'(x)=0得％=e，

當0<x<e時，(prM>0,R(%)單調(diào)遞增；當x>e時，(//(九)<0,R(%)單調(diào)遞減，

所以％=e是0(、)的極大值點，0(%)max=0(e)=1，所以lna>￡,即a>港.

綜上所述，a的取值范圍為(e"+8).

19.(17分)

(1)設X的分布列為P(X=/)=Pia=1,2…一九)其中PiW(0,+8),Pi+p2H-----Fpn=1,

則對任意￡>0,

P(IX-E(X)I>￡)=2P*Ea”)(wa—E(X))2R

\Xi-fl\>8\Xi-ll\>8\Xi-/x\>8

n