遼寧省聯(lián)盟2024年高考模擬卷（信息卷）數(shù)學(xué)（五）（含答案與解析）

遼寧省名校聯(lián)盟2024年高考模擬卷五（信息卷）

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題紙上.

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

L已知集合聯(lián){123},3小11|叫，則。（”）=（）

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.0

2.已知z滿足|z+i|=l,則目的最大值為（）

A.1B.73C.—D.2

2

3.函數(shù)〃x）=cos［2x-在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（）

兀c「八兀］兀Cc兀

A.--,0B.0,-C.--,0D.0,—

L4j

4.如圖，在平行四邊形A3CD中，E為線段的中點(diǎn)，AB=3,AD=2叵,NB4D=45°,貝1」AC?AE=

（）

DC

AB

A.20B.22C.24D.25

5.已知圓C］：必+y?=16與圓：X?+/+fct+_y+7〃-16=0交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)左變化時(shí),|的的

最小值為4石，則（）

A.0B.±1C.±2D.

6.如圖，在正三棱臺(tái)ABC-A1與G中，若AB=2Ag=2A4=4,則異面直線A為與5G所成角的余弦

B

R011

D.----------C.一D.-

236

7.一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后質(zhì)子回

到原點(diǎn)處的概率是()

55552525

A.-------B.-----C.-----D.-----

1024512256128

8.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，g(x)=r(%)—2e"+x也是定義在R上的奇函數(shù)，則關(guān)于光的不等

式g(l-%2)+g(2x+2)>0的解集為()

A.(U(3,+00)

C.(-1,3)D.(-3,1)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某同學(xué)5次考試中數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)鐖D所示，則()

A.5次物理成績(jī)的第60百分位數(shù)是81B.5次數(shù)學(xué)成績(jī)的極差大于物理成績(jī)的極差

C.5次物理成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差小于3D.5次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)大于110

10.函數(shù)/（%）圖像向左平移，個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2sin2x+cos12x—1J的圖像，則（）

A./（0）=1B."*）是偶函數(shù)

C.7（%）的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.當(dāng)x時(shí)，/⑴取到最小值

11.已知與=1是等軸雙曲線C的方程，P為C上任意一點(diǎn)，吟,貝U（）

A.C離心率為血

B.C的焦距為2

C.平面上存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得41Tp同=20

D.|尸/閡的最小值為2-&

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.命題?：存在〃2W[-1,1],使得函數(shù)=-2/我在區(qū)間[a,+x）內(nèi)單調(diào)，若。的否定為真命題，

則。的取值范圍是.

13.已知M,N為拋物線C：V=4%上不關(guān)于*軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為3,

則直線MV的方程可能是.（寫出滿足條件的一個(gè)方程即可）

14.某零食生產(chǎn)廠家準(zhǔn)備用長(zhǎng)為2j7cm，寬為4cm的長(zhǎng)方形紙板剪去陰影部分（如圖，陰影部分是全等四

邊形），再將剩余部分折成一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的四棱錐形狀的包裝盒，則該包裝盒容積的最大值為

cm3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某運(yùn)動(dòng)服裝品牌店將購(gòu)買次數(shù)超過五次的會(huì)員稱為星級(jí)會(huì)員，其他會(huì)員稱為普通會(huì)員.該店隨機(jī)抽取男、

女會(huì)員各100名進(jìn)行調(diào)研統(tǒng)計(jì)，其中抽到男性星級(jí)會(huì)員25名，女性星級(jí)會(huì)員40名.

（1）完成下面的2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值夕=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為星級(jí)會(huì)員與性別有

關(guān)？

男性會(huì)員女性會(huì)員合計(jì)

星級(jí)會(huì)員

普通會(huì)員

合計(jì)

(2)該運(yùn)動(dòng)服裝品牌店在今年店慶時(shí)將舉辦會(huì)員消費(fèi)返利活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2

個(gè)紅球(5個(gè)球除顏色外其他均相同)的箱子里，會(huì)員從中有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球.若三次

都沒有摸到紅球，則無優(yōu)惠；若三次摸到1個(gè)紅球，則獲得九折優(yōu)惠；若三次摸到2個(gè)紅球，則獲得八折

優(yōu)惠；若三次摸到3個(gè)紅球，則獲得七折優(yōu)惠.若店內(nèi)某件商品的標(biāo)價(jià)為。元，記會(huì)員實(shí)付費(fèi)用為求自

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)

附：z27-----~77——---------7，其中n=a+b+c+d.

(a+))(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

210

Xa3.8416.635

706828

16.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P,AB為底面圓。的直徑,C是圓。上一點(diǎn)，知是總的中點(diǎn)，

AO=BC=PO=2,。為底面圓周上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)是否存在Q,使得〃平面MOC?若存在，確定點(diǎn)。位置；若不存在，請(qǐng)說明理由;

(2)記直線PQ與平面所成角的最大值為8,求sin。.

2222

17.己知橢圓C：=+1=1(?！?〉0)過點(diǎn)”(3,1),且C與雙曲線上—上=1有相同的焦點(diǎn).

ab53

(I)求C的方程；

(2)直線/：y=x+m不過第四象限，且與C交于A,B兩點(diǎn),P為C上異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，求.A3P面

積的最大值g(m),并求g(〃z)的最大值.

2

18.已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)—《一%=1是"％)的極小值點(diǎn).

X+1

(1)求。的值;

(2)當(dāng)了20時(shí)，f(x)<mx,求加的取值范圍;

(1)(1)1n-2

(3)求證：In1+.+ln1+-,H----i-ln1+>--n-->---3,nGN).

I73x4-1)I74x5-1)3〃+3

19.若有窮數(shù)列A：%,4，?，?！?”〉4)滿足：a；+a?+1_；=c(ceR,z=1,2,,n),則稱此數(shù)列具有性質(zhì)

P「

(1)若數(shù)列A：-2,g,%,2,6具有性質(zhì)E，求生，%，。的值；

(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)兄，且％<。2<<4,〃為奇數(shù)，當(dāng)%%>0(1<0<小時(shí)，存在正整數(shù)左，

使得力-@=%,求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；

(3)把具有性質(zhì)匕，且滿足m(左eN*,左<3,加為常數(shù))的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作

￡.(八,帆).求出所有的“，使得對(duì)任意給定的機(jī),。，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩

項(xiàng)，即存在<?).

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合人{(lán)123},3=卜卜—1叫，則Ac低止()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.0

【答案】B

【解析】

【分析】首先分析題意，利用交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?={H|x-l|>l}={x|x<0或x>2},^B={x|0<x<2},

所以Ac&5)={l,2}.

故選：B.

2.已知z滿足|z+i|=l,則目的最大值為()

A.1B.730?乎D.2

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)2=。+歷，根據(jù)模長(zhǎng)得到方程，求出/+9+1)2=1,并求出—2W6W0,從而得到

|z|=V^e[0,2].

【詳解】設(shè)2=。+歷，則|z+i|=卜+0+1川=J/+0+1/=],

即片+(b+1)2=1,由于Mwo,故1一(人+1)2?0,解得—2W6W0,

則目=y/a2+b2=++/=N-2be[0,2]，

故選：D

3.函數(shù)〃x)=cos2x-：在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增()

兀八「八兀]兀八c兀

A.一一,0B.0,-C.一一,0D.0,-

12」[2」[4」L4.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出函數(shù)的增區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)可得答案.

7T3兀71

【詳解】令24兀一兀<2%——<2hi,左eZ,得E----<x<kn+—,

488

3兀7C

令左=0可得，/(%)的一個(gè)增區(qū)間為一k,三，結(jié)合選項(xiàng)可得c符合題意.

OO

故選：c

4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線段8C的中點(diǎn)，AB=3,AD=2應(yīng),NA4D=45°,則AC.AE=

A.20B.22C.24D.25

【答案】B

【解析】

【分析】用基底表示出目標(biāo)向量，利用數(shù)量積運(yùn)算可得答案.

一一一一1—.

【詳解】由題意可得=+AE=AB+BE=AB+-AD,

2

-2312

=AB+-ABAD+-AD

22

-2-2

因?yàn)锳B=3,AD=2>/2，/BAD=45°,所以AB=9,AD=8,AB,AD=6,

所以ACAE=22.

故選：B

5.已知圓C］：x?+y?=16與圓C2：f+丁+H+_y+7〃-16=0交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)左變化時(shí)，的

最小值為4石，則相=()

A.0B.+1C.±2D.+\[3

【答案】C

【解析】

【分析】先求兩個(gè)圓的公共弦所在直線方程，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合最值可得答案.

\m\

【詳解】?jī)蓤A的公共弦所在線的方程為：kx+y+m^Q,圓心C1到直線的距離為d=

,因?yàn)?+左221,所以J16——^―->V16—m2

V1+k2

所以2,16—W=46，解得加=±2

故選：C

6.如圖，在正三棱臺(tái)A5C-A與G中，若43=24月=2A4=4,則異面直線A區(qū)與所成角的余弦

B

A.昱B.ED.

226

【答案】D

【解析】

【分析】在平面與GC5中，過用作BC的平行線，交CB的延長(zhǎng)線于尸，連接A尸，則NA與R或其補(bǔ)

角為異面直線AB】與B3所成角，結(jié)合余弦定理可求角的余弦值.

【詳解】由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可得四邊形445A為等腰梯形，其中"=3及，4用〃A3,

如圖，在梯形4耳24中，過耳作4ELA3,垂足為E,

4-21

而BE=---=1,故cosNB]BE=—,

故AB}=‘AB?+BB；-2ABx網(wǎng)x；=716+4-2x4=2也.

在平面3cle3中，過耳作8G的平行線，交CB的延長(zhǎng)線于尸，連接A尸，

則NAB/或其補(bǔ)角為異面直線AB,與BQ所成角,

因與E〃5G，B.CJ/BF,故四邊形用GBE為平行四邊形,

故

B[C[=BF=2,BXF=BCX=273,

而ZAB尸=120°,故AE=」AB2+3E2—2ABXB/x=J16+4+8=2>/7,

24-28-41

故cosNA4F-----；=----尸————,

2x26x26246

故異面直線AB】與BC,所成角的余弦值為1,

7.一質(zhì)子從原點(diǎn)處出發(fā)，每次等可能地向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則移動(dòng)6次后質(zhì)子回

到原點(diǎn)處的概率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】就質(zhì)子水平方向移動(dòng)次數(shù)分類討論，再利用獨(dú)立事件的概率公式可求概率.

【詳解】因?yàn)橐苿?dòng)6次后仍然回到原點(diǎn)，故質(zhì)子水平方向移動(dòng)偶數(shù)次，豎直方向移動(dòng)偶數(shù)次

若質(zhì)子水平方向移動(dòng)。次，則回到原點(diǎn)的概率C：'];

若質(zhì)子水平方向移動(dòng)2次，則回到原點(diǎn)的概率A；C：

若質(zhì)子水平方向移動(dòng)4次，則回到原點(diǎn)的概率CjA；

若質(zhì)子水平方向移動(dòng)6次，則回到原點(diǎn)的概率C：'];

故移動(dòng)6次后仍然回到原點(diǎn)的概率為一，

256

故選：C

8.已知“X)是定義在R上的奇函數(shù)，8("=/'(力一2/+》也是定義在區(qū)上的奇函數(shù)，則關(guān)于x的不等

式g(l—%2)+g(2x+2)>0的解集為()

A.(-oo,-l)u(3,+ao)B.(-oo,-3)O(l,+co)

C.(-1,3)D.(-3,1)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)g(x)為奇函數(shù)及/''(X)為偶函數(shù)可求g(x),利用導(dǎo)數(shù)可判斷g(x)為R上的減函數(shù)，從而

可求不等式的解.

【詳解】因g(x)=f'(x)-2e+x,故/'(x)—2e*+x+/'(—x)—2d*—x=0,

故/'(x)+/'(—%)=2e*+2eT,

因?yàn)椤?是定義在R上的奇函數(shù)，故/(x)+/(f)=0,

故/'(同一/'(一力=。,故/'(x)=e*+ef,故=

此時(shí)g'(x)=-e*-eT+lW-2+l<。，故g(x)為R上的減函數(shù)，

而g(l—f)+g(2x+2)>0等價(jià)于g(l—f)>g(_2x—2),

即1—f<—2%—2即d—2x—3>0，故x<—1或x>3

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某同學(xué)5次考試中數(shù)學(xué)、物理成績(jī)?nèi)鐖D所示，則()

第1次第2次第3次第4次第5次

A.5次物理成績(jī)的第60百分位數(shù)是81B,5次數(shù)學(xué)成績(jī)的極差大于物理成績(jī)的極差

C.5次物理成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差小于3D.5次數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)大于110

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)，極差，標(biāo)準(zhǔn)差，平均數(shù)的計(jì)算公式依次得出答案.

【詳解】由題知，5次數(shù)學(xué)成績(jī)從低到高依次排列為:96、101、108、120、12。

5次物理成績(jī)從低到高依次排列為:78、80、81、85、86.

Q1IQC

對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?x6O%=3,所以5次物理成績(jī)的第60百分位數(shù)為------=83,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B選項(xiàng)，5次數(shù)學(xué)成績(jī)的極差為128-96=32,5次物理成績(jī)的極差為86-78=8,數(shù)學(xué)成績(jī)的極差

大于物理成績(jī)的極差，故B選項(xiàng)正確；

,但工78+80+81+85+86410

對(duì)于C選項(xiàng)，5次s物理成績(jī)的平均數(shù)為-------------------二亨二82,

標(biāo)準(zhǔn)差為『78—82)2+(80—82)2+(81—82)2+(85—82)2+(86—82

工=屈＞3,

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

,但工.,..96+101+108+120+1285：

對(duì)于D選項(xiàng)，5次s數(shù)z學(xué)成p績(jī)平均數(shù)為------------------------=--=110.6,

'-、55

平均數(shù)大于110,故D選項(xiàng)正確.

故選：BD.

2sin2x+cos［2x-1］的圖像，貝ij()

io.函數(shù)/(%)的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=

6

A./(0)=1B.是偶函數(shù)

C.7(%)的圖像關(guān)于點(diǎn)［中心對(duì)稱D.

當(dāng)x時(shí)，"％)取到最小值

【答案】BC

【解析】

【分析】利用三角變換和圖象變換得到/(x)=—cos2k+1，代入計(jì)算后可判斷AD的正誤，根據(jù)定義可判

斷B的正誤，利用整體法可求判斷C的正誤.

【詳解】y=2sin2x+cosf2x~—|=l-cos2x+—cof

----sin2x

I322

A/3.10〕.兀)1

=——sm2x——cos2%+l=sin2x---+1,

22I

故/(x)=sin^2x--1--^+l=-cos2x+l,

對(duì)于A,/(0)=-cos0+l=0,故A錯(cuò)誤.

對(duì)于B,/(-x)=-cos(-2x)+l=-cos2x+l=f(x),而xeR,故/(%)為偶函數(shù)，故B正確.

jrK7Tjr

對(duì)于C,令2x=kn+—,keZ,則%=--\-—,kGZ,

224

27T7CI[TLi

[萬'+4,1＞左EZ,當(dāng)左=0時(shí)，對(duì)稱中心為故C正確.

對(duì)于D,f(x)=-cos2x+l＜2=-cos7T+l=/,故為/(%)取到最大值，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知V=1是等軸雙曲線C的方程，P為C上任意一點(diǎn)，M"⑻,貝U()

A.C的離心率為血

B.C的焦距為2

C.平面上存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得|以卜歸用=2&

D.|加|的最小值為2-0

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)等軸雙曲線的離心率可判斷A的正誤，根據(jù)移=1圖象的對(duì)稱軸可求。，從而可求c,故可

判斷BCD的正誤.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)闆_=1等軸雙曲線，故其離心率為0,故A正確.

對(duì)于B,因?yàn)榍?1圖象的對(duì)稱軸為丁=%和丁=一X,

由4I可得＜I或＜/故雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(T，—1),(1』)，

[初=1b=iU=-i

故雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為。=孚=0,故半焦距為c=W=2，

故焦距為4,故B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,因焦點(diǎn)在直線y=x上，故設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（s,s）,

因?yàn)閏=2,且雙曲線的中心為原點(diǎn)，故2s2=4即5=±2,

取虎）,網(wǎng)、歷,、歷），由雙曲線的定義可得|/訓(xùn)—儼目=2。=2血，

故C正確.

對(duì)于D,由C的分析可得M為焦點(diǎn)，貝MP"'。=。一。=2-夜，故D正確，

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.命題。：存在使得函數(shù)/（x）=%2-2加;在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若。的否定為真命題,

則。的取值范圍是.

【答案】（一8,-1）

【解析】

【分析】先給出命題P的否定，由函數(shù)/（x）=Y-2g的單調(diào)性進(jìn)行求解.

【詳解】命題P的否定為：任意加e[—1,1],使得函數(shù)/。）=/一27次在區(qū)間伍,+8）內(nèi)不單調(diào)，

由函數(shù)/（x）=必-2nu在上單調(diào)遞減，在（加,+＜?）上單調(diào)遞增，

則。＜加，而加e[—1,1],

得。＜一1,

故答案為：（-8,-1）

13.已知M,N為拋物線C：V=4x上不關(guān)于尤軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為3,

則直線MV的方程可能是.（寫出滿足條件的一個(gè)方程即可）

【答案】丁=*（答案不唯一）

【解析】

【分析】先設(shè)出直線，聯(lián)立方程，結(jié)合線段"N的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為3可得答案.

x=my+n

【詳解】設(shè)直線"N:x="y+〃，加。0,聯(lián)立《,y-Amy-4〃=0,

y9=4x

A=16/7?+16”>0，%+%=4加，%%=~4n，

2

%+x2+y2^+2n—4m+2n,

因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)到C的準(zhǔn)線的距離為3,拋物線的準(zhǔn)線為：x=-l,

所以生詈+1=3,所以2m2+“=2.

2

令m=l,得〃=0,直線MV的方程可能是丁=匕

故答案為：丁=%（答案不唯一）

14.某零食生產(chǎn)廠家準(zhǔn)備用長(zhǎng)為2氏m，寬為4cm的長(zhǎng)方形紙板剪去陰影部分（如圖，陰影部分是全等四

邊形），再將剩余部分折成一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的四棱錐形狀的包裝盒，則該包裝盒容積的最大值為

cm3.

【答案】￡1##』近

77

【解析】

【分析】畫出四棱錐形包裝盒的直觀圖，設(shè)ACBD=O,連接尸O,易知PO1平面A3CD,設(shè)

AB，的中點(diǎn)分別為E、F,連接PE、PF,設(shè)鉆=。，BC=b,PO=h,即可得到

》=上丘、。=工冷，再由錐體的體積公式得到％TBCD=*（丸5—1加+28"）,最后構(gòu)造函數(shù)利用

2

導(dǎo)數(shù)求出體積最大值.

【詳解】如圖是四棱錐形包裝盒的直觀圖，設(shè)ACBD=O,連接尸0,易知尸0工平面A3CD,

設(shè)AB、的中點(diǎn)分別為E、F,連接PE、PF,

設(shè)AB=a,BC=b,PO=h,

則PE=,，因?yàn)??E+6c=4,

4_/?2

所以2,+b=4,整理得肥=4—2b，所以b=二二

7

同理2PF+A3=2j7,所以2,+a=2y/1，整理得"2=7—所以。=―――

「…，1,,14-h2l-h2,

所以以丁，

=噌(7-/)(4—/”=噌僅5一］加+2劭,

因?yàn)閍,Z?>。，所以/ze(0,2),

令g㈤=必—1加+28/2,丘(0,2),

貝ijg，(〃)=5/z4-33A2+28=(5/?-28)儼_1),

因?yàn)?/?—28<0，所以當(dāng)0</z<l時(shí)g'(/z)>0,當(dāng)1<//<2時(shí)g'(/z)<0,

所以g㈤在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)。=1時(shí)g(〃)取得最大值，即g㈤1rax=g⑴=18,

所以包裝盒容積的最大值為且x18=逆cn?.

故答案為：迎

7

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是找到“，b,〃的關(guān)系，將錐體的體積轉(zhuǎn)化為力的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求

出函數(shù)的最大值.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.某運(yùn)動(dòng)服裝品牌店將購(gòu)買次數(shù)超過五次的會(huì)員稱為星級(jí)會(huì)員，其他會(huì)員稱為普通會(huì)員.該店隨機(jī)抽取男、

女會(huì)員各100名進(jìn)行調(diào)研統(tǒng)計(jì)，其中抽到男性星級(jí)會(huì)員25名，女性星級(jí)會(huì)員40名.

（1）完成下面的2義2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為星級(jí)會(huì)員與性別有

關(guān)？

男性會(huì)員女性會(huì)員合計(jì)

星級(jí)會(huì)員

普通會(huì)員

合計(jì)

（2）該運(yùn)動(dòng)服裝品牌店在今年店慶時(shí)將舉辦會(huì)員消費(fèi)返利活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2

個(gè)紅球（5個(gè)球除顏色外其他均相同）的箱子里，會(huì)員從中有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球.若三次

都沒有摸到紅球，則無優(yōu)惠；若三次摸到1個(gè)紅球，則獲得九折優(yōu)惠；若三次摸到2個(gè)紅球，則獲得八折

優(yōu)惠；若三次摸到3個(gè)紅球，則獲得七折優(yōu)惠.若店內(nèi)某件商品的標(biāo)價(jià)為。元，記會(huì)員實(shí)付費(fèi)用為求J

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)"

附：/其中〃=a+Z?+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(>+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析；可以認(rèn)為星級(jí)會(huì)員與性別有關(guān)

22

（2）分布列見解析；一a.

25

【解析】

【分析】（1）補(bǔ)全2x2列聯(lián)表，寫出零假設(shè)，計(jì)算的值，并與臨界值比較，得出結(jié)論;

（2）求出J的不同取值，計(jì)算不同取值對(duì)應(yīng)的概率，寫出J的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算J的數(shù)學(xué)期

望.

【小問1詳解】

由題意得2x2列聯(lián)表

男性會(huì)員女性會(huì)員合計(jì)

星級(jí)會(huì)員254065

普通會(huì)員7560135

合計(jì)100100200

零假設(shè)為打。：星級(jí)會(huì)員與性別無關(guān),

200x(25x60-75x40?200

則/

---------------------------------------=—土5.128>3,841，

65x135x100x10039

并根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為星級(jí)會(huì)員與性別有關(guān);

【小問2詳解】

2

由題意得，每次摸到紅球的概率?=1，實(shí)付費(fèi)用為自的取值為0.9a,0.8a,0.7a,

P(J=0.9a)=C；

Pq=0.8a)=C；x[|)義|=Pq=0.7a)=2|3=A

1125

J的分布列為:

a0.9〃0.8a0.7a

2754368

p

125125125125

ax-+0.J+0.7—.

所以自的數(shù)學(xué)期望E（J）=

12512512512525

16.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P,AB為底面圓。的直徑，。是圓。上一點(diǎn)，/是的中點(diǎn)，

AO=BC=PO=2,Q為底面圓周上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）是否存在Q,使得PQ〃平面MOC?若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）記直線P。與平面所成角的最大值為。，求sin。.

【答案】（1）答案見解析.

⑵叵+叵

714

【解析】

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面平行得到直線與法向量垂直，求解參數(shù)，確定點(diǎn)。位置即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即可.

【小問1詳解】

存在點(diǎn)。，使得PQ〃面MOC,

如圖作交圓。于點(diǎn)K，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0K為x軸，為y軸，。尸與z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q（2cos%2sina0）,A（0,-2,0）,M（0,1,1）,

故AA/=（0,3,l）,PQ=（2cosc,2sin。,—2）,

易知OM=（0,1,1）,BO=BC=CO=2,故H9C是等邊三角形，得。（君,1,01

設(shè)面OCM的法向量為普=（x,y,z）,可得彳，

OC=Q

即令x=Y，解得y=3，z=-3,故得/=卜君,3,一3）,

因?yàn)镻Q〃平面MOC,所以PQ，4,

故PQ-%=一26cosa+6sina+6=4A/3sin[a—+6=0,

而。在為底面圓周上，故。目―私可，解得。=—=或a=—g（其它根舍去）

26

當(dāng)。=—微時(shí)，2（0,-2,0）,與點(diǎn)A重合，故舍去，

當(dāng)。=—《時(shí)，。（、6,—1,0）,符合題意，此時(shí)。在劣弧AC的中點(diǎn)處，

故存在點(diǎn)Q且在劣弧AC的中點(diǎn)處使得PQ//平面MOC.

【小問2詳解】

設(shè)直線尸。與平面MOC所成角（P,

由（1）可得sino=J”-2A/3COSa+6sin。+

I叫?匐—4+4x,21五x回

由三角函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)a=g時(shí)'sm。取得最大值，且3叭「半+殍'

TT7T

又。e0,-且、=$皿；1在0,—上單調(diào)遞增，所以當(dāng)sin。取得最大值時(shí)。取最大值,

又直線尸。與平面MOC所成角的最大值為。，所以sin，=巫+32.

714

17.已知橢圓C：5+1=1（。〉》〉0）過點(diǎn)"（3,1）,且C與雙曲線土—乙=1有相同的焦點(diǎn)

ab53

（1）求C的方程；

（2）直線/：y=x+m不過第四象限，且與C交于A,2兩點(diǎn)，尸為C上異于A,8的動(dòng)點(diǎn)，求，面

積的最大值g（m）,并求g（m）的最大值.

22

【答案】（1）—+^=1

124

（2）⑻二?。ā啊薄海↖S-療）,me[0,4）,最大值為9

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線的焦點(diǎn)及橢圓所過點(diǎn)可求方程；

（2）先利用弦長(zhǎng)公式及平行直線間的距離求出面積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出最值.

【小問1詳解】

設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)為僅近0）,卜2夜0）,所以c=20，Wa2-b2=8；

因?yàn)闄E圓過點(diǎn)所以:+\=1，解得。2=12力2=4,

22

所以C的方程為土+乙=1.

124

【小問2詳解】

[22

二+乙=1

設(shè)\124，可得4/+6蛆+3m2_12=0，

y=x+m

A=36m2-16（3m2—12）=192—12m2>0,

因?yàn)橹本€/：y=x+7篦不過第四象限，所以0W〃z<4.

3m3m2—12

X1+X2=--~^X1X2=--，

2

\AB\=gJa+%2）2—=0義=92—12加=V48-3m

4，2

f22

*-1

設(shè)直線y=x+〃與橢圓相切，貝葉124，得4%2+6依+3〃2—12=0，

y=x+n

由A=0得〃=±4,因?yàn)橹本€/：y=不過第四象限，則三角形A3P面積最大時(shí)取〃=—4；

由題意，點(diǎn)尸為直線y=%+〃與橢圓的切點(diǎn)時(shí)，ABP的面積最大，

|m+4|

此時(shí)ABP的IWJ為d——一,

ABP的面積為S=1|AB|d=^^(m+4)2(16-m2)，

即3的卜\3(冽+4：(16me[0,4),

令/(m)=(加+盯(16—病)，me[0,4),

f，(tn)=-4(m+4)2(m—2),

當(dāng)7"G[O,2)時(shí)，/,(m)>0,此時(shí)/(m)單調(diào)遞增；

當(dāng)加e(2,4)時(shí)，f(m)<0,此時(shí)/(間單調(diào)遞減；

所以當(dāng)m=2時(shí)，/(〃。取到最大值，最大值為"2)=432,

所以g(陰)的最大值為9.

18.已知函數(shù)〃x)=ln(x+l)—x=l是/(力的極小值點(diǎn).

X+1

(1)求〃的值;

(2)當(dāng)x2O時(shí)，f(x)<mx,求加的取值范圍;

11J111n-2

(3)求證:In1+/:+ln1+---H-------bln>-------N*).

V3X4-1J(V4X5-1J、1幾(幾十。-13〃+3

【答案】(1)a=l

(2)[l,+oo)

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)對(duì)/(%)求導(dǎo)，利用/'(1)=0,求得。=1,然后驗(yàn)證x=l為極小值點(diǎn)即可；

(2)利用分離參數(shù)，對(duì)九=0和x>0進(jìn)行分類討論，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，即可求得;

V2>ofo<x<—

(3)利用分析法只需證明〃x)=ln(x+l)--「,結(jié)合(1)中/(%)在(0,X0)為增函

X十1

數(shù)，即可證得/(x)〉00<x<：,從而證得結(jié)論.

【小問1詳解】

定義域(—1,+。)，

,、12ax(x2+l)-?x2-lx1lax

“xfE―――許廣

-IG

因?yàn)椋?i是〃尤)的極小值點(diǎn)，所以r⑴=5=0,則。=1,

Y2

當(dāng)a=1時(shí)，/(x)=ln(x+l)——-——

x+1

2%X4—2x+1(%-1乂+%—])

貝1=

x2+l)(%+1乂4+1)2(%+1)(%2+1)2

1

令/z(x)=+12+1_],〃(X)=3%2+2X+1=3X-\—

31+于。,

則人(九)在(-1,+8)為增函數(shù),

則存在X。e[g,1]使得)=0,所以/'(x)=0有兩根X1=1,Z=X。

所以/(可增區(qū)間為(―1,%)和(1,+。)，減區(qū)間為(％,1),則％=1是的極小值點(diǎn)，所以a=l符合

題意，故a=1.

【小問2詳解】

r2

由(1)知/(x)=ln(%+l)——---,

因?yàn)楫?dāng)x?0時(shí)，f(x)<mx,則ln(x+l)-一一<mx,

X+1

①當(dāng)％=0時(shí)，0?加,0,則mwR,

②當(dāng)x>0時(shí)，m/n(x+l)_令g(x)J(x+l)_^^(x〉0),

xx2+l''xx2+V'

則m2g(x),

人口(、ln(x+l)-ln(x+l)

令“(x)=^T^，"，⑴=。12’

X

令9(x)==1—ln(x+l),則0(x)=(x+]/<。,即0(x)為減函數(shù)，

所以0(x)<0(O)=O,即H(x)為減函數(shù).

1_x

令方(x)=ln(x+l)-x(jr>0),則/'(％)=------1=----<0,

X+11+X

F(x)在(0,+e)為減函數(shù)，F(xiàn)(x)<F(0)=0,所以-x)=ln(x+l)—x<0,

所以ln(x+l)<i,即x趨近于o時(shí)，H(x)趨近于1.

即ln(x+l)<x,因?yàn)閤>0

\x2-l

令根(x)=,，則

X+1

當(dāng)工￡(。,1)時(shí)，mr(x)<0,加(%)為減函數(shù)；當(dāng)x￡(l,+8)時(shí)，mr(x)>0,加(%)為增函數(shù);

X

因?yàn)閤>0,則——>0,§Pm(x)<0,且加(0)=0,

X+1

J+J<I，又心gGL，則加"

所以g(x)」n(x+l)+j—

X14

綜上①②，m>7,所以加&勺取值范圍為[1,住).

【小問3詳解】

T11FT1