2023年高考考前押題密卷-數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）（全解全析）

2023年高考考前押題密卷（新高考I卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合2=卜I/-2x-8<o},B—{x|lg（x+2）>0},則Zc8=（）

A.（0,4）B.（-1,4）C.[-1,4）D.（-1,4]

【答案】B

【詳解】解集合Z={xIJ—2x—8<0}n—2<x<4

解集合5={xIlg（x+2）>0}=>x+2>l=>x>-l

Ar>B=（-1,4）

故選:B.

a+bi

2.已知復(fù)數(shù)。+3i=4+bi,則=()

5+12i

【答案】A

【詳解】根據(jù)待定系數(shù)法可得a=4,b=3

a+bi4+3i

則

5+1215+12?169169VU69JU69j13

故選：A.

3.某藝術(shù)團(tuán)為期三天公益演出，其表演節(jié)目分別為歌唱，民族舞，戲曲，演奏，舞臺(tái)劇，

爵士舞，要求歌唱與民族舞不得安排在同一天進(jìn)行，每天至少進(jìn)行一類(lèi)節(jié)目.則不同的演出

安排方案共有（）

A.720種B.3168種C.1296種D.5040種

【答案】D

【分析】根據(jù)每天演出項(xiàng)目的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)討論，由此求得不同的演出安排方法數(shù).

【詳解】若三天演出項(xiàng)目數(shù)量為2,2,2,則安排方法數(shù)為：

C；C；C；義（A；丫-3xC；C；x（A；7=576.

若三天演出項(xiàng)目數(shù)量為3,2,1,則安排方法數(shù)為：

C：C；C：xA；x（A；xA；）-C4C3C；xA；x（A；xA；）-C；C；xA；x（A；xA；）=3168,

若三天演出項(xiàng)目數(shù)量為4,1,1,則安排方法數(shù)為：

C：xA；x（A：）-C：xA；x（A：）=1296,

試卷第1頁(yè)，共21頁(yè)

所以不同的演出安排方案共有576+3168+1296=5040種.

故選：D

4.若二項(xiàng)式+(〃eN*)的展開(kāi)式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，若展開(kāi)式的有

理項(xiàng)中第左項(xiàng)的系數(shù)最大，貝醍=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

3

【分析】根據(jù)條件可得〃=12.寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)?=c；,2―產(chǎn)子，則當(dāng)「是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)

為有理項(xiàng)，求得所有的有理項(xiàng)的系數(shù)，可解出左的值.

【詳解】由已知可得，力=12.根據(jù)二項(xiàng)式定理，知展開(kāi)式的通項(xiàng)為

&i=G(2x廣［土)=黑產(chǎn)’廣乎，顯然當(dāng)『是偶數(shù)時(shí)，該項(xiàng)為有理項(xiàng)，

1212121099

r=0時(shí)，7；=C°22X=4096X；r=2時(shí)，7；=Cf22x=67584x；

866633

廠=4時(shí)，T5=C^22X=126720X；r=6時(shí)，7；=Cf22x=59136x；

4233

r=8時(shí)，7；=C^22=7920;廠=10時(shí)，Tjj=C；?2x-=264x-；

r=12時(shí)，q=C：；2°x"=x”.

經(jīng)比較可得，r=4,即左=5時(shí)系數(shù)最大，即展開(kāi)式的有理項(xiàng)中第5項(xiàng)的系數(shù)最大.

故選：A.

5.已知數(shù)列%=”-1+4也="=,若對(duì)任意的〃eN*，U-a")(2-幻<0,則實(shí)數(shù)2

2〃—12

的取值范圍是()

【答案】B

【分析】求出與也的最值，由不等式恒成立，求出實(shí)數(shù)4的取值范圍.

OO

【詳解】當(dāng)句>?！?1,有〃-1+^->n+-,由〃￡N*,解得〃K2；

2n-l2n+l

QQ

當(dāng)〃〃<an+\,有〃-1+------<n+-----,由〃￡N*,解得n>3,

2n-l2〃+1

111Q1Q

a2=y,?3=y,a2>a3,所以a“的最小值為%=彳?

當(dāng)b,〉b“7,有3言〃一一7>”3Tl—4，由"N*,解得〃"；

當(dāng)”<加，有*，由〃eN*,解得"43,

試卷第2頁(yè)，共21頁(yè)

^4=|>4=：，">4，所以6,的最大值為“=|".

O2O

所以％的最小值大于6“的最大值，即a?>，恒成立,

所以(2-。")(幾-，)<0解得，<2<。"，對(duì)任意的〃eN*,〃<2<?！昂愠闪ⅲ瑒t有“<%<。3，

即實(shí)數(shù)2的取值范圍是

故選：B

717T71

6.定義在R上的函數(shù)/(x)=2sinCOXH----(-oeN*)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和

3616

一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.“X)的最小正周期為]

B.將/(x)的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C./(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為1,0；

D.〃x)在區(qū)間卜看,0)上單調(diào)遞增

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可求出。的值，從而可得到/(x)的解析式，再根據(jù)解析式逐項(xiàng)分析即可.

兀兀。71八

——<----+—<0

TTT263

【詳解】依題可知:q<T,于是3<G<6于是

7169713萬(wàn)

71<——+—<——

632

4<a)<5二?刃=5,/(x)=2sin5x+—

對(duì)于A,由則的最小正周期為多，故A錯(cuò)誤;

co55

對(duì)于B,將〃x)的圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度后得g(x)=2sin(5x+1

貝Ijg⑼=2sin[g]=6,所以g(x)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由dm=2sin[?]=-l,所以伍01不是/(無(wú))圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤;

-?-71y，所以〃x)在區(qū)間(十°)上單調(diào)遞增，故口

對(duì)于D,由XE則+§￡

正確.

故選：D.

試卷第3頁(yè)，共21頁(yè)

7.中國(guó)是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)

慣與中國(guó)的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國(guó)文化特征.其中沏茶、

飲茶對(duì)水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是毋C,空氣的

溫度是嵋c,經(jīng)過(guò)1分鐘后物體的溫度為＞c,滿足公式。=4+（4-%卜小5，.現(xiàn)有一壺水

溫為92。（2的熱水用來(lái)沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為52。（3時(shí)口感最佳，若空氣的溫度為12。（3,那

從沏茶開(kāi)始，大約需要（）分鐘飲用口感最佳.（參考數(shù)據(jù)；ln3al.O99,ln2?0.693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【答案】B

【分析】有題意，根據(jù)公式。=%+（4-%）e-g代入數(shù)據(jù)得52=12+（92-12）e《25，，變形、

化簡(jiǎn)即可得出答案.

【詳解】由題意得8=4+（4-%）e?g,代入數(shù)據(jù)得52=12+（92-12）e

整理得e425，=L,即一0.25/=m!=一11122—0.693,解得,處2.77；

22

所以若空氣的溫度為12。。從沏茶開(kāi)始，大約需要2.77分鐘飲用口感最佳.

故選：B.

8.劉徽的《九章算術(shù)注》中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，

一為鱉席，陽(yáng)馬居二，鱉席居一，不易之率也."意思是說(shuō)：把一塊長(zhǎng)方體沿斜線分成相同

的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽(yáng)馬，小的叫鱉席，兩者

體積比為2：1,這個(gè)比率是不變的.如圖所示的三視圖是一個(gè)鱉席的三視圖，則其分割前

的長(zhǎng)方體的體積為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)鱉席的三視圖確定長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，計(jì)算體積即可.

【詳解】根據(jù)鱉席的正視圖得原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3,根據(jù)鱉席的俯視圖得原長(zhǎng)方體的寬為2,

根據(jù)鱉席的側(cè)視圖得原長(zhǎng)方體的高為4,所以長(zhǎng)方體的體積廠=3x2x4=24.

故選：D

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

試卷第4頁(yè)，共21頁(yè)

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知圓M的方程為：x2+y2+ax+ay-2a-4=0,(aeR),點(diǎn)尸(1,1),給出以下結(jié)論,

其中正確的有()

A.過(guò)點(diǎn)尸的任意直線與圓M都相交

B.若圓M與直線x+y+2=0無(wú)交點(diǎn)，貝

C.圓M面積最小時(shí)的圓與圓0：f+y2+6x_ioy+16=0有三條公切線

D.無(wú)論。為何值，圓M都有弦長(zhǎng)為2后的弦，且被點(diǎn)P平分

【答案】ACD

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷A選項(xiàng)，通過(guò)幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系判斷B

選項(xiàng)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷公切線的條數(shù)判斷C選項(xiàng)，根據(jù)半徑的最小值及垂直弦

平分弦判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)代入入圓的方程得12+F+q+a_2"4=-2<0,所以尸(U)在圓M內(nèi)，

所以過(guò)點(diǎn)P的任意直線與圓M都相交,A選項(xiàng)正確；

圓M圓心病」,上]/=荷+/+8“+16=也.+8。+16(_3_勺直線

(22)22122；

aa

------------F2

x+y+2=022

a=——/—

QQc

——+2/

若圓M與直線x+y+2=0無(wú)交點(diǎn)，7.22)rj2/+8a+16,

"在+F>’-2

aa

----------H2/-------------I-------------]

22A//+4a+8,|-a+2|>Va2+4a+8,a2-4a+4>a2+4a+8,a<—,B選項(xiàng)錯(cuò)

-#77/-2

誤；

圓Mr=也匚±但土笆，當(dāng)。=一2時(shí)，圓M半徑最小則面積最小，

2

圓。：x2+j^2+6x-10y+16=0,2(-3,5),R=+1°^~4xl-=3,

\MQ\^J(1+3)2+(1-5)2=4亞=R+r=8+30,

圓M面積最小時(shí)的圓M與圓。外切所以有三條公切線,C選項(xiàng)正確；

無(wú)論。為何值，「=+8。+16小.+2)-+8=上,2.上2e,所以圓M都有弦長(zhǎng)為272

22

試卷第5頁(yè)，共21頁(yè)

的弦,

d242+8a+16

r=-------------------

2

d=g『+'+16_2鏟+,+8=卜2+2“+k=\MP\,

因?yàn)榇怪毕移椒窒遥瑘A河都有弦長(zhǎng)為2亞的弦，且被點(diǎn)尸平分，故D選項(xiàng)正確.

故選:ACD.

10.直角三角形48c中，尸是斜邊3C上一點(diǎn)，且滿足而=2正，點(diǎn)M，N在過(guò)點(diǎn)尸的直線

上，若屈=/您,左=〃就,(%>0,〃>0),則下列結(jié)論正確的是()

1215

A.一+一為常數(shù)B.冽，〃的值可以為：m=-,n=-

mn22

C.〃z+2〃的最小值為3D.2如的最小值為《

ABC9

【答案】ACD

【分析】作出圖形，由而=2PC可得出力尸=+根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論得出

12

—+—=3,由此判斷A,B,結(jié)合基本不等式可判斷CD.

mn

【詳解】如下圖所示：

由麗=2玩，可得/P-NB=2(/C-/P),

—-1--2--

...AP=-AB+-AC,

33

若兩=〃7萬(wàn),而="就,(%>0,">0),

—?1——?—?1—?

貝！j=—AM,AC=—AN,

mn

:.AP=—AM+—AN,

3m3n

試卷第6頁(yè)，共21頁(yè)

???M、尸、N三點(diǎn)共線,

3m3nmn

故A正確；

當(dāng)加=：1,5時(shí)，1-+2-=14v^^所以B錯(cuò)誤；

22mn5

cc/2、2〃2m5,l2n2m5.

Qm+2n=(m+2n)\----1=1------1——>2J----------Fy3，

13冽)3m3n3N3m3n3

當(dāng)且僅當(dāng)加=〃=1時(shí)，等號(hào)成立，C正確；

的面積"AW的面積,

SvAM?AN

所以‘^AMN=--------=mn,

SNABCAB.AC

因?yàn)椤?+4?=3,所以2fjl~L~?343,當(dāng)且僅當(dāng)冽=2:4時(shí)等號(hào)成立，

mn\mn33

824

即加幾,當(dāng)且僅當(dāng)加=§〃=］時(shí)等號(hào)成立，

248

所以當(dāng)冽=§/=］時(shí)，加〃取最小值，最小值為

所以》”的最小值為D正確；

%ABC9

故選：ACD.

11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正四面體N8C。中，M,N分別為棱的中點(diǎn)，O為線段跖V的

中點(diǎn)，球。的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則下列結(jié)論中正確的是()

A./O_L平面BCD

B.球O的體積為正兀

3

4

C.球。被平面截得的截面面積為§兀

D.球。被正四面體/BCD表面截得的截面周長(zhǎng)為巴8兀

3

試卷第7頁(yè)，共21頁(yè)

【答案】ABD

【分析】設(shè)瓦尸分別為N8,CD的中點(diǎn)，連接建,用,液,叱,跖,/陽(yáng)?？?，根據(jù)線面垂直

的判定定理可判斷A；求出球的半徑，計(jì)算球的體積，判斷B；求出球。被平面5co截得

的截面圓的半徑，可求得截面面積，判斷C；結(jié)合C的分析，利用圓的周長(zhǎng)公式可判斷D.

【詳解】設(shè)及尸分別為",CD的中點(diǎn)，^ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,

諷EM〃BD,NF//BD,EM=-BD,NF=，

22

故EM〃NF,EM=NF,則四邊形MEVF為平行四邊形，

故EF,MN交于一點(diǎn),且互相平分，即。點(diǎn)也為E尸的中點(diǎn)，

XAB=AC,DB=DC,故ANLBC,DNLBC,

ANCDN=N,AN,DNU平茴A(yù)ND,故8C_Z,平面/ND,

由于OeMMMNu平面/ND,則ZOu平面/ND,

故8C，/。，結(jié)合O點(diǎn)也為E尸的中點(diǎn)，同理可證DC，/。，

BC^DC=C,BC,DCBCD,故/O,平面3cD,A正確；

由球O的表面正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,則球O的半徑為0M,

棱長(zhǎng)為2的正四面體48CD中，AN=DN=6,〃■為的中點(diǎn)，

則故MN=NND2-MD2=41^=①,

則aw=交，所以球o的體積為，^（交了=1兀，B正確;

23323

由5C/平面/ND,8Cu平面BCD,故平面可VO_L平面8CD,

平面ZNDc平面2CD=DV,由于NO_L平面3a）,

延長(zhǎng)40交平面3s于G點(diǎn)，則。G,平面3c0,垂足G落在ON上，

16

且G為正△BCD的中心，故NG=±ND=空,

33

試卷第8頁(yè)，共21頁(yè)

故球。被平面8co截得的截面圓的半徑為，字）2_（B）2=g,

則球。被平面8co截得的截面圓的面積為兀X（@）2=巴，C錯(cuò)誤；

33

由A的分析可知，。也為棱中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，

則球。與每條棱都交于棱的中點(diǎn)，結(jié)合C的分析可知，

球O被正四面體/BCD的每個(gè)面截得的截面都為圓，且圓的半徑都為必，

3

故球。被正四面體/BCD表面截得的截面周長(zhǎng)為4*2兀*且=迪兀，D正確，

33

故選：ABD

12.已知定義在R上的函數(shù)〃x）,對(duì)于給定集合A,若VX”X2€R,當(dāng)士-馬€工時(shí)都有

〃西）-/仇）€/,則稱(chēng)/（X）是“A封閉”函數(shù).則下列命題正確的是（）

A./（無(wú)）=尤2是“卜1,1]封閉”函數(shù)

B.定義在R上的函數(shù)〃尤）都是“｛0｝封閉”函數(shù)

C.若〃尤）是“｛1｝封閉”函數(shù)，則“X）一定是“｛左｝封閉”函數(shù)（LeN*）

D.若是“[a回封閉”函數(shù)（a,beN*）,則/'（x）不一定是"｛"｝封閉”函數(shù)

【答案】BC

【分析】A特殊值占=4,%=3判斷即可；B根據(jù)定義及函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；C根據(jù)定義

得至1」\/尤€11者1有/（》+1）=/（幻+1,再判斷所給定區(qū)間里是否有/（9+斤）-/（%）=左成立即

可判斷，D選項(xiàng)可判斷出其逆否命題的正誤，得到D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)A：當(dāng)%=4,%=3時(shí)，玉-乙=1€[-1,1],而/（再）-/。2）=16-9=7任[-1,1],

A錯(cuò)誤；

對(duì)B：對(duì)于集合｛0｝,\/網(wǎng),馬€口使占一3=0,即網(wǎng)=%,必有/（X]）-y（X2）=0，

所以定義在R上的函數(shù)/（無(wú)）都是“｛0｝封閉”函數(shù)，B正確；

對(duì)C：對(duì)于集合｛1｝,\/為/2€口使尤1-尤2?｛1｝，則再=%+1,

而/（X）是“｛1｝封閉”函數(shù)，則/（芍+1）-/（%）=1，即VxeR都有〃x+l）=/（x）+l,

對(duì)于集合肽｝,也戶2eR使再-尤2e因，則網(wǎng)=迎+左，左eN*,

而/（工2+A）=/（工2+上—D+1f（x2+k-Y）=f（x2+k—2）-\-l,/（x2+1）=/（x2）+1,

所^以/（X2+后）+/（%2+左一1）+…+/（%2+1）=/（%2+/—1）+/（%2+左-2）+…+f（X2）+k-,

即/（%+斤）=/&）+左，故/&+左）-/（%）=斤，"X）一定是“伏｝封閉，，函數(shù)^eN*）,c

試卷第9頁(yè)，共21頁(yè)

正確;

對(duì)D,其逆否命題為，若〃x)是“｛副｝封閉”函數(shù)，則“X)不是封閉”函數(shù)(a,6eN*),

只需判斷出其逆否命題的正誤即可，

Vx15x2￡R使再一%2,貝!1/(再)-/(不)=血

ab>a

若必￡[a,b],則vabKb,

a<b

由解得。W1,因?yàn)閍wN*，所以。=1,

即,x2￡R使$—%2=6￡[〃,可，則/(xj—/(x2)=ab=be[a,b^,

滿足/(X)是“[凡目封閉”函數(shù)(。,6eN*),

故逆否命題為假命題，故原命題也時(shí)假命題，D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C,根據(jù)給定的條件得到VxeR都有/(x+l)=/(x)+l,VxeR

有/(x+a)=/(x)+6恒成立，利用遞推關(guān)系及新定義判斷正誤.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖是函數(shù)/'(xhsinWx+eldv])的部分圖像，則〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

【答案】^7t-7y,^7l+12'kwZ

【分析】運(yùn)用三角函數(shù)的周期公式及五點(diǎn)法求得0、夕的值，結(jié)合同增異減求得其單調(diào)遞增

區(qū)間.

【詳解】由圖知，。==一(一?)=￡，解得：7=兀，

41264

7JT

所以|。|=不=2,解得：。=±2,

①當(dāng)g=-2時(shí)，/(x)=sin(-2x+(p),

TTTT?7T

則一2x—(p——卜2kjt,kwZ,解得：(p=—+2kn,kwZ,

1223

又因?yàn)镮0卜

試卷第10頁(yè)，共21頁(yè)

所以。無(wú)解，故舍去；

②當(dāng)④=2時(shí)，/(%)=sin(2x+9),

TTTTJT

則2x—+(p=—+2kn,左eZ,解得：0=—+2而，keZ,

1223

又因?yàn)棰?lt;5，

所以片;,

綜述：0=2且9=1,

TT

所以/(x)=sin(2x+―),

TT7T

-----\-2左兀W2xH—W—F2左兀，k￡Z,

232

57r7i

解得：----F左?！秞?----Fk7i,k￡Z,

1212

所以小)的單調(diào)遞增區(qū)間為-凈加*+左兀］,左eZ.

故答案為：一\+伍"+"兀］，keZ.

14.某中學(xué)舉辦思維競(jìng)賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名參賽學(xué)生的成績(jī)制作成頻率分布直方圖(如圖),

【答案】107

【分析】利用直方圖求學(xué)生的平均成績(jī)即可.

【詳解】由直方圖知：平均成績(jī)?yōu)?/p>

(95x0.03+105x0.04+115x0.015+125x0.01+135x0.005)x10=107分.

故答案為：107

15.圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線,

經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延長(zhǎng)線會(huì)經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖,

試卷第11頁(yè)，共21頁(yè)

一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，/P是它的一條對(duì)稱(chēng)軸，廠是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光

線從焦點(diǎn)廠發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)8,反射光線是BC,若NPFB=12Q°,DFBC=90°,則該

【答案】V3+1/1+V3

【分析】反射光線3c的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)與，由題中條件可得

ZBFF,=60°,AFBFX=90°,在直角三角形耳時(shí)中，忸用=小,忸可=c,由雙曲線的定

義可得忸片班|=2°,所以J§c—c=2a,即可求得答案.

反射光線BC的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)片，

由ZPFB=120°,DFBC=90°,可得乙處片=60°,NFBR=90°,

在直角三角形片即中，忸團(tuán)=|招F卜in60。=6：,忸下|=|耳目cos60。=°,

由雙曲線的定義可得忸叫-|跳1=2。，所以百c-c=2a，BP(A/3-1)C=2?,

所以e，=Y^=G+1,

a<3-1

故答案為：V3+1.

16.已知函數(shù)/(x)=6+2x-2a,若曲線^=一必+2X上存在點(diǎn)(%,%)使得/(/(%))=%,

則a的取值范圍是.

【答案】［0』

【分析】設(shè)/(%)=，，則/?)=%,換元將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/(x)=Ju+2x_2a=X有解的問(wèn)題,

即可得出答案.

【詳解】若曲線y=-―+2x上存在點(diǎn)(%,%),故為=-/2+2/VI,

設(shè)/(%)=，，則〃。=為，即(“。)、仇,。都在了=/(x)圖象上，不難發(fā)現(xiàn)該兩點(diǎn)關(guān)于V=x

試卷第12頁(yè)，共21頁(yè)

對(duì)稱(chēng)，故=為卜?0,1])有解

n/一—+2%=2〃(％￡[0』])有解，

令〃(x)=丁_工2+2]=>〃，(％)=3/-2x+2,A=22-4x2x3<0，即〃'(X)>0=在[0,1]

上單調(diào)遞增，所以2ae僅⑼,/!⑴]=(0,2]nae[0,1]

故答案為：[0』

四、解答題：共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知數(shù)列｛%｝中，q=l,%=$，〃eN*.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“，求證：S“＜；

⑵設(shè)6“=log?+3〃

n(n-V)

【答案】⑴。=2丁

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由察=%SeN*),得到&包=2"(〃eN*),再利用累乘法求解;

(2)由(1)易得=再利用裂項(xiàng)相消法求解.

【詳解】⑴解:因?yàn)閝=1,貨。"("CN*),

所以也=2"("cN’),

an

二匚、〃一"〃"〃T%?(n-l)

J/T"141—“1_n?-ly-2,1i_)1+2+--?+(?-1)_)2

an-\an-2a\一”,乙..乙1一乙一乙

當(dāng)”=1時(shí)，4=1滿足條件，

〃(〃一1)

所以%=2=；

(2)因?yàn)閍=log2d+3〃=〃(〃+2),

所以二=早一工)

所以“加+2)2SJn+2,

eci1,o111111IZ1111、1，311.

所以…+；rE)=5Ci+5_Q_；7i)=5(5_Q_；7i)

3

所以.

試卷第13頁(yè)，共21頁(yè)

18.在①Q(mào)COS：=bsin/；②^^^臺(tái)二加山/；③+=2+6這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答.

7T

問(wèn)題：在“8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,A=-,6=后，且______,求

“BC的面積.

注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.

【答案】條件選擇見(jiàn)解析，答案見(jiàn)解析

【分析】若選①，利用正弦定理求出角B的值，分析可知“3C是邊長(zhǎng)為亞的等邊三角形,

結(jié)合三角形的面積公式可求得該三角形的面積；

若選②，利用正弦定理可得出tanB的值，結(jié)合角3的取值范圍可求得角B的值，求出sinC

的值，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；

若選③，利用兩角差的公司結(jié)合角&的取值范圍可求得角B的值，分析可知為直角三

角形，求出。的值，利用三角形的面積公式可求得該三角形的面積.

【詳解】解：若選①：因?yàn)閍cos0=6sin/,由正弦定理可得sin/cos0=sin/sin5,

22

因?yàn)锳、BG（0,7t）,貝！]0<—<—，所以，sinA>0,cos—>0,

222

則cos《=2sin與cos與,可得sing=1,所以，g事,解得8=]

22222263

因?yàn)?=三，b=?，所以，是邊長(zhǎng)為血的等邊三角形，

所以，SABC=—besinA=-x2x^-=^~；

:2222

若選②，因?yàn)閍cos5=bsin/,由正弦定理可得sin4cos5=sin4sin3，

因?yàn)锳、BG（0,7i）,則sin/>0,cos5=sin5〉0,所以，tan5=l,則3=色,

4

歷V3

ji-V2x—

?■r、一一e"bll…bSinAA9FT

由正弦定理-7—；=——-，所以，a--：——---7=--A/3,

sin4sin6sm8<2

"T

sinC=sin（4+8）=sin4cosB+cos4sinBx+—x="+亞，

v722224

所以，s△慚，absme=Lx也義6乂息巫=3三

△他02244

試卷第14頁(yè)，共21頁(yè)

(八兀、，兀

咋tan[8+jTan4=乂后巫

若選③，因?yàn)閠an8=tan18+：

寸l+tan(8+jtanj1+2+^F

因?yàn)??0,兀），故B=t，又因?yàn)?=］，所以，C=5

所以，08c為直角三角形，則c=2b=20，則Ie?一C=7^/=后

所以，S&ABC=；ab=娓乂6=也?

19.如圖，在三棱錐尸一48c中，AB=BC=2?,PA=PB=PC=AC=4,。為NC的中

點(diǎn).

（1）證明：尸平面ABC；

⑵若點(diǎn)陰■在棱5C上，且二面角M-21-C為30。，求笑的值.

Cn

*【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由等腰三角形三線合一得到尸。L/C,由勾股定理逆定理得到8。，尸。，從

而證明出線面垂直；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)察=幾，利用空間向量及二面角列出方程,

求出答案.

【詳解】（1）在△R4C中，P4=PC=4,。為NC的中點(diǎn).

則中線尸O_L/C,且NO=CO=2,OP=2jL

同理在AA8C中有/B2+5C2=NC2,則

因?yàn)?8=8C=2夜，。為/C的中點(diǎn).

所以301/C且5。=2；

在△尸03中有PO2+8o2=3p2,貝IJB。，尸。，

因?yàn)镹CcBO=O,NC,8Ou平面A8C,

試卷第15頁(yè)，共21頁(yè)

所以尸。，平面48c.

(2)由(1)得PO_L平面48C,故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則5(2,0,0),C(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,273),

設(shè)要=，貝=，

ffi]GB=(2,-2,0),=(0,-2,-2V3),PC=(0,2,-2V3),

.-.CM=ACB=(2A,-2A,0),

:.~PM=PC+CM=(0,2,-2^/3)+(22,-2A,0)=(242-22,-273),

設(shè)平面PAM的一個(gè)法向量為玩=(x,y,z),

m-PM=0-2〉—2\f^z=0

由，一一得，

m?PA=02Ax+(2-2%)y-2A/JZ=0

令z=Vs,m=(——3,—3

又x軸所在直線垂直于平面PAC,

取平面B4C的一個(gè)法向量為=(1,0,0),

/.cos〈而㈤=

22，

--3I+3+9

2

2

A-3

3令，-3=m,

平方得、

24A.

--3I+12

2

m23

°=—=>4m2=3m2+36,m2=36,6，

m2+n4

.0-3=6"=幺2

A93

20.隨著春季學(xué)期開(kāi)學(xué)，某市市場(chǎng)監(jiān)管局加強(qiáng)了對(duì)學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文

試卷第16頁(yè)，共21頁(yè)

明餐桌行動(dòng)，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動(dòng)“大文明”，同時(shí)踐行綠色發(fā)展

理念.該市某中學(xué)有8兩個(gè)餐廳為老師與學(xué)生們提供午餐與晚餐服務(wù)，王同學(xué)、張老師

兩人每天午餐和晚餐都在學(xué)校就餐，近一個(gè)月（30天）選擇餐廳就餐情況統(tǒng)計(jì)如下：

選擇餐廳情況（午餐，晚餐）(4/)(4B)（B，m(B2)

王同學(xué)9天6天12天3天

張老師6天6天6天12天

假設(shè)王同學(xué)、張老師選擇餐廳/目互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

（1）估計(jì)一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的概率；

（2）記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡（X）；

（3）假設(shè)M表示事件“4餐廳推出優(yōu)惠套餐”，N表示事件“某學(xué)生去/餐廳就餐”，尸（W）＞0,

已知推出優(yōu)惠套餐的情況下學(xué)生去該餐廳就餐的概率會(huì)比不推出優(yōu)惠套餐的情況下去該餐

廳就餐的概率要大，證明：尸（M|N）＞P（WW）.

【答案】（1）0.6

（2）分布列見(jiàn)解析，E（X）=1.9

（3）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）運(yùn)用古典概型求概率即可.

（2）根據(jù)已知條件計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的分布列及期望.

（3）運(yùn)用條件概率及概率加法公式計(jì)算可證明結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)事件C為“一天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐”，

因?yàn)?0天中王同學(xué)午餐和晚餐選擇不同餐廳就餐的天數(shù)為6+12=18,

1Q

所以P（C）=.=0.6.

（2）由題意知，王同學(xué)午餐和晚餐都選擇/餐廳就餐的概率為0.3,

王同學(xué)午餐和晚餐都選擇8餐廳就餐的概率為0.1,

張老師午餐和晚餐都選擇/餐廳就餐的概率為0.2,

張老師午餐和晚餐都選擇B餐廳就餐的概率為0.4,

記X為王同學(xué)、張老師在一天中就餐餐廳的個(gè)數(shù)，則X的所有可能取值為1、2,

所以P（X=l）=0.3x0.2+0.1x0.4=0.1,P（X=2）==1）=0.9,

所以X的分布列為

X12

試卷第17頁(yè)，共21頁(yè)

P0.10.9

所以X的數(shù)學(xué)期望E（X）=1XO.1+2XO.9=1.9

（3）證明：由題知

P(NM)P[NM)_P(N)-P(NM)

所以

P(M)>P(M)~~1-P(M)-一

所以尸（N）.尸（M）,

所以P（NM）_P（N）P（NM）＞P〈N}P（M?P（N）P（NM）,

即：P（NM'P⑻〉P（N）.P（NM）,

*PIM

所以w

即尸（M|N）＞P（MW）.

21.已知橢圓￡:［+，=1（。＞b＞0）的離心率為亭，且過(guò)點(diǎn),

（1）求橢圓E的方程；

⑵設(shè)直線/:x=l與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)M作直線交E于48兩點(diǎn)，4交E于兩點(diǎn).

\MG\

已知直線/C交/于點(diǎn)G,直線2。交/于點(diǎn)”.試探究局是否為定值，若為定值，求出定

\MH\

值；若不為定值，說(shuō)明理由.

【答案】⑴]+/=1

(2)是,1

【分析】（1）由題設(shè)可得關(guān)于。力的方程組，求出其解后可得橢圓的方程.

（2）

222

【詳解】（1）由題意，e=-=^,a=b+c,解得力=4〃，

a2

代入點(diǎn)［l，g］得+17=1，解得〃=1,6/2=4,

V2）4624b2

橢圓￡的方程為：—+/=1；

試卷第18頁(yè)，共21頁(yè)

由題意，Af（l,o）,當(dāng)4,4斜率都不為0時(shí)，^k'-x=mxy+\,l2:x=m2y+\,

/（再,必）,8（無(wú)2，%）了（9,%）,。（尤4）4），

\MG\

當(dāng)加1+冽2=0時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性得W而=1,

+4y40,得（叫2+4）/+2機(jī)j_3=0

當(dāng)町+%/0時(shí)，聯(lián)立方程

x=mxy+1

—2m—3

△>°恒成立,%

___2ml