廣東省海珠區(qū)2024屆高考模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

廣東省海珠區(qū)2024屆高考模擬數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.正方體A3CD-4用GA，￡。=1,2,,12）是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面AG3平行的直線

有幾條（）

A.36B.21C.12D.6

2.已知集合A={0,1,2,3},B={x|x=n2-l,neA},p=AOB,則P的子集共有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

3.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

32

A.—B.64C.—D.32

33

4.某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為3設(shè)地球半徑為R,該衛(wèi)星近地點(diǎn)離

地面的距離為人則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）

1+e1+ee

A.B.-----r+----R

1-e1-e1-e

1-e2e1-ee

C.------r+----RD.------r+----R

1+e1+e1+e1+e

5.已知集合4=3|比,1},5=卜⑶<1},則4&可=()

A.{x|x<0}B.{x|O^!k1}C.{x\-l,,x<0]D.[x\x...-l]

6.若復(fù)數(shù)網(wǎng)坦(aeR)是純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)2a+2,?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7.已知邊長(zhǎng)為4的菱形ABC。，ZZMB=60°,M為CD的中點(diǎn)，N為平面ABC。內(nèi)一點(diǎn)，若AN=NM,則

AMAN^()

A.16B.14C.12D.8

8.若a<Z?<0,則下列不等式不能成立的是（）

1111,,,,,

A.>B.>C.加D.a2>b2

aba-ba

9.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值是（）

甲

1.1

Ljl1

2/-tfis/

小國(guó)

I

23

A.-1B.-C.-D.4

32

22

10.已知橢圓C:3+與=1的短軸長(zhǎng)為2,焦距為2正，耳、區(qū)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上的任意一

ab~

11

點(diǎn)，則叵|+p詞的取值范圍為（）

A.[1,2]B.C.[3,4]D.[1,4]

11.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S",且（S“+l）（S“+2+l）=（S

;+]+1)(nGN),%=1,4=2,則S"=()

A.」----1B.2"iC.2〃一1D.2n+l+1

12.執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）

開(kāi)始

A.12B.29C.70D.169

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x-y<6

13.設(shè)x,V滿足約束條件<x+y23,若z=x+3y+a的最大值是10,則。=.

”3

14.(l-3x)(l+x)5展開(kāi)式中/項(xiàng)的系數(shù)是

15.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“=2角+根，且2成等差數(shù)列，品=a_］；自」),數(shù)列也｝的前

2017

項(xiàng)和為T(mén)?,則滿足T“>——的最小正整數(shù)〃的值為.

2018

16.在三棱錐尸-A5C中，AB=5,BC=3,C4=4,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為60。，三棱錐的內(nèi)切球的表面

積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝滿足q=1,公差d>0,等比數(shù)列也｝滿足偽=卬，&=g，4=%.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛%｝滿足廣+T~+~r+'"+T~=4+1，求｛g｝的前n項(xiàng)和S".

4%Dn

18.(12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)

(2)/(x)=(sin2x+l)2

19.(12分)函數(shù)/(x)=ar—ln(x+l),g(x)=sinx,且了(尤)..0恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的集合M；

(2)當(dāng)ae"時(shí)，判斷/Xx)圖象與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：出2a0.69,A"77)

20.(12分)如圖，四棱錐尸—A3CD中，底面ABC。，ABYAD,點(diǎn)E在線段AD上，&CEIIAB.

P

BC

(1)求證：CE_L平面Q4D；

(2)若A4=A5=1,AD=3,CD=g，ZC￡M=45°,求二面角P—CE—5的正弦值.

21.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù)，得到如下頻率分布直

方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.

(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值〃和樣本方差b?;(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)

(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生，記X為體重在［55,65)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，該校學(xué)生的體重￥近似服從正態(tài)分布NS。?).若

P(/z-2(r<K<7?+2cr)>0.9544,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=ax2+ax+i—e21

(1)若函數(shù)g(x)=7'(x),試討論g(x)的單調(diào)性；

(2)若Vxe(O,+8),/(%)<0,求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

先找到與平面4cd平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.

【詳解】

考慮與平面AG3平行的平面耳舄《，平面片0耳《，平面巴鳥(niǎo)巴鳥(niǎo)巴匕，

共有C；+C；+C；=21,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題，是一中檔題.

2、B

【解析】

根據(jù)集合A中的元素，可得集合3,然后根據(jù)交集的概念，可得P,最后根據(jù)子集的概念，利用2"計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：A={0,1,2,3},B=^x=n2-l,neA)

當(dāng)〃=O時(shí)，x=-l

當(dāng)〃=1時(shí)，x=0

當(dāng)“=2時(shí)，x=3

當(dāng)〃=3時(shí)，x=8

所以集合5=1k=n2-l,neA}={-1,0,3,8)

則尸=AcB={0,3}

所以P的子集共有22=4

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，當(dāng)集合P中有〃元素時(shí)，集合尸子集的個(gè)數(shù)為2"，真子集個(gè)數(shù)為

2n-b非空子集為2"-1，非空真子集為2"-2,屬基礎(chǔ)題.

3、A

【解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.

【詳解】

由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：

可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為4,

164

^V=-x（4x4）x4=y.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了三視圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率，求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的

距離.

【詳解】

橢圓的離心率：e=￡e（O,l）,（c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸），

a

設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r,小如圖：

貝!]〃=a+c-R,r-a-c-R

r+R(r+R)e

所以。=

1-e1-e

r+Re(r+7?)__1+e2e「

n=a+c—R=-----+---------R=-----r+------R

1—e1—e1—e1—e

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

5、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合3的補(bǔ)集，然后求人_(a5)

【詳解】

4={x|-掇kl},B={x|x<0},所以A

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)景'由它是純虛數(shù)‘求得從而確定2a+2,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】

2a+2i2(g+z)(l-z)=。+1+”m,是純虛數(shù)，則I?(+a1=,。0

ci=-1>

1+i(1+0(1-/)

2a+2i=-2+2i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-2,2),在第二象限.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的概念與幾何意義.本題屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

取AM中點(diǎn)。，可確定AM.QN=0；根據(jù)平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算法則可求得A”2,利用

AM.AN=AM?(AO+QN)可求得結(jié)果.

【詳解】

取AM中點(diǎn)。，連接ON,

AN=NM,:.ON±AM,BPAMON=0-

ZDAB=60，ZADM=120，

.-.AM2=（DM-DA）2-DA/2+DA2-2|DA/||DA|cosZADM=4+16+8=28,

則AM?AN=A〃（AO+ON）=AM-AO+AMON=1-AAf2=14.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，涉及到平面向量的線性運(yùn)算，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笙蛄窟M(jìn)行拆解，進(jìn)而利用平面

向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解.

8、B

【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】

即ab>0,b-a>0,所以工―工="q>0,所以工〉工，

選項(xiàng)A：由于〃<5<0,所以成立；

ababab

116c所以二<工，

選項(xiàng)B：由于avb<0,即a—8<0,所以--------二--------<0,所以不成立;

a-baa(a-b)a-ba

選項(xiàng)C：由于avZ?<0,所以一a>-b>0,所以|a|>/1，所以成立;

選項(xiàng)D：由于avb<0,所以—a>—b>09所以1。1〉/1，所以標(biāo)>及，所以成立.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等關(guān)系和不等式，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，得出S的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論.

【詳解】

233

S=4,，=1;S=—1,，=2;S=—,，=3;S=—,，=4;5=4,，=5；如此循環(huán)下去，當(dāng)7=2020時(shí)，S=—;S=4,i=2021,

322

此時(shí)不滿足，<2021,循環(huán)結(jié)束，輸出S的值是4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時(shí)模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論.

10、D

【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到歸片|+歸耳|=4,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求1<怛娟怛聞W4,從而可得

11

同+西的取值范圍.

【詳解】

L尤2

由題設(shè)有8=l,c=百，故。=2,故橢圓C:一+丁2=1,

4-

因?yàn)辄c(diǎn)尸為C上的任意一點(diǎn)，故歸片|+怛閭=4.

1?1_」周+|。閭=4=4

又聞,而一西阿一麻耐一向阡W'

因?yàn)?—若片區(qū)2+百，^l<|Pf；|(4-|P^|)<4,

,11,

所以1“向+而

故選：D.

【點(diǎn)睛】

22

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓C:++2=l(a〉0〉0)的左、右焦點(diǎn)分別是片、F2,點(diǎn)p為。上的

任意一點(diǎn),則有用+怛閭=2%我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.

11、C

【解析】

根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列｛§,+1｝是等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，由此求得

【詳解】

由于0+1)(S〃+2+1)=(S〃+I+1)25WN*),所以數(shù)列電+1｝是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為S|+1=%+1=2,第二項(xiàng)為

4

8+1=%+。2+1=4,所以公比為］=2.所以S“+l=2",所以S“=2"—1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查等比數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量力的值，計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.

【詳解】

。=0,b=1,n=l,b=0+2=2,n<5,滿足條件，

2-0

a=-----=1,n=2,b=l+4=5,n<5,滿足條件，

2

5-1

a=-----=2,n=3,6=2+10=12,n<5,滿足條件，

2

12-2

a=-------=5,n=4,Z?=5+24=29,n<5,滿足條件，

2

29-5

a=-------=12,=5,Z?=12+58=70,n=5,不滿足條件，

2n

輸出Z?=70.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡(jiǎn)單題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7

13、——

2

【解析】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：

97

故可得10=—+9+a,解得a=——.

22

7

故答案為：-7.

【點(diǎn)睛】

本題考查由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

14、-20

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，再分情況考慮即可求解.

【詳解】

解：（1-3無(wú)）（1+了）5=（1+尤）5一3》（1+了）5展開(kāi)式中丁項(xiàng)的系數(shù)：

55r

二項(xiàng)式（1+X）由通項(xiàng)公式Tr+l=C；（x）-

當(dāng)廠=3時(shí)，/項(xiàng)的系數(shù)是C；=10,

當(dāng)r=2時(shí)，/項(xiàng)的系數(shù)是窗=10，

故V的系數(shù)為。；-3戲=-20；

故答案為：-20

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題.

15、1

【解析】

S,n=l

本題先根據(jù)公式4=二]。c初步找到數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可解得機(jī)的值，即可

確定數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式,代入數(shù)列｛bn｝的表達(dá)式計(jì)算出數(shù)列｛&?｝的通項(xiàng)公式,然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前項(xiàng)和Tn,

再代入不等式7；＞三20進(jìn)17行計(jì)算可得最小正整數(shù)〃的值.

2018

【詳解】

由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，Gj=Sj=2I+I+m=4+m.

,,+1nn

當(dāng)〃..2時(shí),an=Sn-=2+m-2-m=2.

則q=24=16,%-2=25-2=30.

q,%,%-2成等差數(shù)列，

q+%—2=24,即4+"z+30=2*16,

解得m=-2.

/.q=2.

「?4=2〃，neN*.

.b二%2"=1______L_

n(a“一l)(a“+i—1)(2"-1)(2?!+1-1)2n-l2n+l-l'

T

?=2+b2+...+bn

111111

=----------------------------1------------------------------1--I-------------------------------

21-l22-l22-l23-l2"-l2"+1-l

f2017,12017

n20182"+1-12018

11

即nn——；——<-----，

2,!+1-12018

2n+1-1>2018>即2"+1>2019,

,。=1024<2019，2"=2048>2019，

n+1..11,HPn.A0.

2017

,滿足北〉的最小正整數(shù)”的值為1.

2018

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求前〃項(xiàng)和，考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想，考查了不等式的計(jì)算、邏輯思

維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

4乃

16、一

3

【解析】

先確定頂點(diǎn)在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個(gè)面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱

錐的體積的三倍即可解決.

【詳解】

設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為“，77是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑r=1.三個(gè)側(cè)面與底面所

成的角均為60。，△B43，PBC,PAC的高PD=PE=PF=2,PH=g,設(shè)內(nèi)

切球的半徑為R,（g（3+4+5）x2+；x3x4）xR=3x；xgx3x4x6=6G

:.R力,內(nèi)切球表面積S=4乃A?=9.

33

.4-7T

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（1）4=2〃—1,b.=3f（2）S“=3,

【解析】

（1）由4=1,公差d>0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)列，所以（l+d）2=lx（l+4d）,解得d=2.進(jìn)而求出數(shù)列{4},

也}的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)〃=1時(shí)，由}=%,所以9=3,當(dāng)九.2時(shí)，由?+?+『+…+}=4+i,：+/+}+…+乎=口"，

''2偽久久bn偽久4%

可得C.=2-3”T,進(jìn)而求出前〃項(xiàng)和S..

【詳解】

解：（1）由題意知，4=1,公差d〉0,有1,1+d,l+4d成等比數(shù)列，

所以（l+d）2=lx（l+4d）,解得d=2.

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式an=2/7-1.

數(shù)列也｝的公比q=3,其通項(xiàng)公式么=3"T.

(2)當(dāng)〃=1時(shí)，由￡=%,所以9=3.

由幺幺+2+匕+…+―

當(dāng)“22時(shí),+W..+Z二區(qū)n+\，=a"，

瓦瓦bb.[

偽久久bn3

兩式相減得~r=a?i-an,

b“+

所以C“=23'T.

3,〃二1

故c=1

”\l-3'^,n>2

所以｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=3+2x3+2x32+2x33+…+2X3”T

3X(1—3”T)

=3+2—--------=3",>2.

1-3n

又〃=1時(shí)，S[=q=3l也符合上式，故S“=3".

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，前”項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，方程思

想，分類(lèi)討論思想，應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題.

18、(1)f'[x)=-O.O5e-°o5x+1；(2)/f(x)=2sin4x+4cos2x.

【解析】

(1)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.

(2)同樣根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得結(jié)果.

【詳解】

⑴令M(X)=-0.05X+1,0(M)=e",則/(x)="[a(x)],

而M(尤)=-0.05,"(a)=e",故/'(x)=^05^1x(-0.05)=-O.O5e^°5x+1.

⑵令M(x)=sin2x+1,@(u)=",則=,

而M'(X)=2COS2X,0'(“)=2a,故/'(x)=2cos2xx2“=4cos2x(sin2x+l),

化簡(jiǎn)得到了'(X)=2sin4x+4cos2x.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此類(lèi)問(wèn)題一般是先把函數(shù)分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的復(fù)合，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的

導(dǎo)數(shù)，本題屬于容易題.

19、(1){1}；(2)2個(gè)，證明見(jiàn)解析

【解析】

(1)要恒成立，只要f(x)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看/(X)是否有最小值；

(2)將/(%)圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程JU)=g(x)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，然后構(gòu)造函數(shù)

以無(wú))=/(%)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)/(x)的定義域?yàn)?-1,+8),因?yàn)?'(x)=a———,

x+1

I。當(dāng)%0時(shí)，/'(X)<0,/5)在玉€(0,內(nèi))上單調(diào)遞減，土€(0,4?)時(shí)，使得/(無(wú))</(0)=0,與條件矛盾；

2。當(dāng)。>0時(shí)，由/'(x)<0,得—l<x」—1；由/(x)>0,得x〉4—1,所以/(尤)在(―J—1］上單調(diào)遞減，

aa\a)

在((—l'+s］上單調(diào)遞增，即有￡m(x)=/11—l］=l—a+lna，由/'(%)..。恒成立，所以1—a+lna.O恒成立，

1l-a

令h(a)=1一Q+Ina(a>0),h\a)=-!+—=----,

aa

若0vQ〈1,”(〃?0,h(a)<h(l)=0；

若a<O,h(a)v=0；而a=l時(shí),h(a)=O,要使l—a+lna.0恒成立，

故〃￡{1}.

(2)原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題，

當(dāng)，=1時(shí)，/(%)圖象與g(%)圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，理由如下：

由f(x)=g(x),即x-ln(x+1)-sinx=0,令°(x)=x-ln(x+l)-sinx,

因?yàn)榕?)=0,所以x=0是°(x)=。的一根；d(x)=l——1——cosx,

x+1

1。當(dāng)-l<x<0時(shí)，1---—(O,cos,

x+1'

所以“(x)<o,9(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，以%)>0(0)=0,即°(x)=。在(-1,0)上無(wú)實(shí)根;

1

2。當(dāng)0<x<3時(shí),(p\x)=+sinx>0,

(x+1)2

則。⑴在（。,3）上單調(diào)遞遞增,又［'《=1—力>0,^(0)=-1<0,

,且滿足1一-二

所以9,（x）=0在（0,3）上有唯一實(shí)根%,與=cosx0,

%+1

①當(dāng)0＜X,不時(shí)，9'（x）,,0,9（X）在（0,%］上單調(diào)遞減，此時(shí)0（%）＜0（0）=0,0（%）=。在（0,尤0］上無(wú)實(shí)根；

②當(dāng)不<%<3時(shí)，”(％)>0,°(九)在(%,3)上單調(diào)遞增，j=+=

~2+1

2,\

<ln-----(lnl=0,^(3)=3-sin3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0(、八升/―「七廄

兀、//,故。(%)=。在(%,3)上有唯一實(shí)根.

2

3。當(dāng)xN3時(shí)，由(1)知，％—ln(l+x)—1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以x-ln(l+x)-L.2-21n2=21n/>0,

故"(x)=x-ln(l+x)-sinx=x-ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以0(x)=0在［3,+oo)上無(wú)實(shí)根.

綜合1。，2°,3。，故0（%）=0有兩個(gè)實(shí)根，即/（尤）圖象與g（x）圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

此題考查不等式恒成立問(wèn)題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，屬于較難題.

20、（1）證明見(jiàn)解析（2）好

5

【解析】

（1）要證明CEL平面上4D，只需證明上4,CE±AD,即可求得答案；

（2）先根據(jù)已知證明四邊形A5CE為矩形，以A為原點(diǎn)，為x軸，A￡＞為V軸，AP為z軸，建立坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

求得平面PEC的法向量為“，平面的法向量AP，設(shè)二面角P—CE—5的平面角為。，cos，=|cos〈〃,AP〉|,

即可求得答案.

【詳解】

（1）平面ABCD,CEu平面

PALCE.

AB^AD,CE//AB,

CE±AD.

又PAryAD=A,

CE,平面AID.

(2)由(1)可知CE，A￡>.

在RfAECD中,DE=CDcos45°=1>

CE=CD-sin45°=1.

AE=AD-ED=2.

又AB=CE=1,AB//CE,

??四邊形ABCE為矩形.

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為V軸，AP為z軸，建立坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

如圖：

則：A(0,0,0),C(l,2,0),￡(0,2,0),尸(0,0,1),

PC=(1,2,-1),PE=(0,2,-1)

設(shè)平面PEC的法向量為n=(x,y,z),

n-PC=0

n-PE=0

x+2y-z=0

即，

[2y-z=0

令y=l,貝(Jz=2,x=0

n—(0,1,2)

由題，平面ABCD,即平面BEC的法向量為AP=(0,0,1)

由二面角P—CE-3的平面角為銳角,

設(shè)二面角P—CE—B的平面角為。

2245

即cos0=|cos〈〃,AP)|=

~5~

.?二面角P—CE—6的正弦值為：—.

5

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查

了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

21、(1)60；25(2)見(jiàn)解析，2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見(jiàn)解析

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值〃和樣本方差b?；

(2)由題意知X服從二項(xiàng)分布8(3,0.7),分別求出P(X=0),P(X=1),P(X=2),尸(X=3),進(jìn)而可求

出分布列以及數(shù)學(xué)期望；

(3)由第一問(wèn)可知y服從正態(tài)分布N(60,25),繼而可求出尸(50KF<70)的值，從而可判斷.

【詳解】

解：(1)

u=(47.5+72.5)x0.004x5+(52.5+67.5)x0.026x5+(57.5+62.5)x0.07x5=60

/=[(60—47.5)2+(72.5—60月x0.02+[(60—+(67.5—60)2]x0.13

+[(60-57.5)2+伊2§—60)2]x0.35?25

(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，體重在[55,65)的概率為0.7.

隨機(jī)拍取3人，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)交量X服從二項(xiàng)分布B(3,0.7),

貝!|尸(X=0)=Cx0.7。x0.33=0.027,P(X=1)=C'x0.7x0.32=0.189,

尸(X=2)=C；x0.72x0.3=0.441,P(X=3)=Cfx0.73x0.3°=0.343,

所以X的分布列為：

X0123

P0.0270.1890.441