廣東省深圳市羅湖區(qū)2022-2023學年八年級下學期期中數(shù)學試卷（含答案及解析）

2022.2023學年廣東省深圳市羅湖區(qū)八年級（下）期中數(shù)學

試卷

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題

目的一項）

1.三角形的三邊長分別為。、b,c,則下面四種情況中，不能判斷此三角形為直角三角形

的是（）

A.a=3,b=4,c=5B.a=8,b=15,c=17

C.a=5b=12,c=13D.a=12,b=15c=18

2.不等式3+2%<l的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

3.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.15盯=3x?5yB.2x2+2xy=2x(x+y)

C爐+1+5=%(%+1)+5D.%?+2x+3=(x+1)+2

4.在下列不等式組中，無解的是（）

x>lx>lx<lx<l

A<B,<D.

x>2x<2x<2x>2

5.在下列正多邊形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（)

D.

x+53x4-2生

6.下面是小明解不等式三一-1<------的過程:

2

解：去分母，得X+5—1<3%+2…①

移項，得x—3x<2—5+1…②

合并同類項，得-2xv-2…③

兩邊同時除以—2,得尤<1…④

小明的計算過程中，沒掌握好基本知識或粗心出錯的步驟是（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

7.如圖，在_48。和_￡^4。中，ZC=ZD=90°.在以下條件：@AC=BD;②

AD=BC-,③ZflAC=ZABD；④ZABC=ZBAD；⑤NG4￡）=。中，再選一

個條件，就能使ZVIBC也△B4。，共有（）選擇.

A.2種B.3種C.4種D.5種

8.如圖，一次函數(shù)丁=履+6化。0）的圖象分別與x軸、y軸相交4（3,0）、點3（0,2）,

C.當x<0時，y>2D.當x=4時，y>0

9.若一個等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）

A.15°B.75°C.15?；?5°D.無法確

定

10.如圖，在矩形A3CD中，AB=2,BC=4,點E為邊上的動點，將.A3E沿

AE折疊到A4FE,則在點E的運動過程中，C廠的最小值是（）

A.275-2B.2垂）-3C.26-4D.無法確

定

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共7小題，共28.0分）

11.分解因式：xy—x=.

12.不等式2x—3<11的解集是.

13.如圖，在RtzXABC中，AB的垂直平分線分別交A3、AC于。點、￡點，已知

AC=8,BC=4,則EC=.

A

CB

14.某商品每件進價100元，每件標價150元，為了促銷，商家決定打折銷售，但其利潤

率不能低于20%,則這種商品最多可以打折.

15.如圖，函數(shù)y=mr（7〃w0）和丁=米+6億。0）的圖象相交于點A。,”），則關于x的

不等式“<Ax+〃的解集是.

16.如圖，在ABC中，AB=6cm,AC=4cm,BD平分NABC，且AD〃3C,

ZACB的外角平分線交AD于點E,則DE的長是.

17.如圖，將RtZXABC沿射線的方向平移得到分產，連接A。、CD,已知

AB=2,BC=4,在平移過程中，若入位）。為等腰三角形，則平移的距離可以是

三、解答題（本大題共8小題，共62.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演

算步驟）

18.解不等式（組），并把（2）的解集在數(shù)軸上表示出來.

2x3%-1

(1)------<1；

32

4%-6<

-5-4-3-2-1012345

19.學校準備用2000元購買名著和詞典作為藝術節(jié)獎品，其中名著每套65元，詞典每本

40元，現(xiàn)已購買名著20套，問最多還能買詞典多少本?

20.如圖，為等邊三角形，點。為邊上一點，先將三角板60°角的頂點與。點

重合，平放三角板，再繞點。轉動三角板，三角板60°角的兩邊分別與邊A3、AC交于

點E、點R當￡見=￡＞尸時，如圖（2）所示.求證：4BDE%MFD.

圖⑴

圖（2）

21.如圖，在平面直角坐標系中，ABC的三個頂點的坐標分別為4（-5,-2）、3（TT）、

C（-2,-l）.

（1）將一ABC先向右平移3個單位，再向上平移5個單位，得到△A^iG，請在原直角

坐標系中畫出△4片￡,并寫出A、B］、G的坐標；

（2）若與△4與￡關于原點。成中心對稱，請寫出4、B2、。2的坐標，并在

原直角坐標系中畫出△AB2C2.

22.學校開展籃球社團活動，需要購買若干個籃球，現(xiàn)從兩家商場了解到同種籃球的標價

均為100元/個，并且多買都有一定的優(yōu)惠.甲商場的優(yōu)惠條件是：前20個籃球按原價收

費，其余優(yōu)惠20%；乙商場的優(yōu)惠條件是：全部打九折.

（1）設學校需要購買尤個籃球，選擇甲商場時，所需費用為％元，選擇乙商場時，所需

費用為為元，請分別寫出/、為與x之間的關系式；

（2）若學校需要購買籃球數(shù)超過20個，選擇到哪家商場購買，所需費用較少？

23.如圖（1）,點C、點。在直線4上，點A、點2在直線。上，且《〃心連接AC、

（1）請在圖（1）中，找出三對面積相等的三角形：；

（2）利用（1）中的結論解決下面兩個問題：

①將圖（1）中的，A5C、△A3。進行以下操作：

第一步，分別復制JRC、△A3。，粘貼，如圖（2）所示的.4與。、VAB2D.

第二步，先將圖（2）中的4片。、VA層。的頂點C、。重合，再將丫4層。繞點C

旋轉到如圖（3）所示位置.

若直線人與與4用相交于點E,連接CE.求證：CE平分NAE4.

②如圖（4）,折線型小路尸-M-。，將四邊形A3CD苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管

理，要將折線型小路P-M-Q改為經過點尸直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發(fā)生

改變.請你在圖（4）中畫出直線型小路PN（不需要尺規(guī)作圖，但要規(guī)范，并簡單說明作

圖的關鍵步驟）.

24.如圖（1）,已知C4=CB,CD=CE,且NACB=NOCE,將△￡＞色繞C點旋轉

（A、C、O三點在同一直線上除外）.

（1）求證：AACDdBCE；

（2）在△￡>“繞C點旋轉過程中，若E。、AB所在的直線交于點孔當點P為邊

AB的中點時，如圖2所示.求證：ZADF=ZBEF（提示：利用類倍長中線方法添加

輔助線）；

（3）在（2）的條件下，求證：ADLCD.

25.【問題背景】

在圖（1）中，①?③的三個三角形，各自是由；ABC通過怎樣的全等變換得到的？

【問題探究】

（1）我們發(fā)現(xiàn)：

I：圖（1）中，①號三角形能由ABC通過一次軸對稱得到，請在圖（1）中畫出對稱

軸.

II：圖（1）中，②號三角形能由一ABC通過一次平移得到，則平移的距離為一單位.

III：圖（1）中，③號三角形能由一ABC通過先平移再旋轉或先旋轉再平移得到，請問：

③號三角形能否由繞某個點，旋轉一次得到？為解決這個問題，我們可以先解決兩

條相等的線段能否看成：一條線段是另一條線段繞某個點旋轉一次得到.分析過程如下：

已知線段AB與線段CD相等，分兩種情況討論：

第一種情況：當AB與CD對應時，如圖（2）,分別作AC與的中垂線交于點。1,連

接。lA、00、0[B、O{D.

在AC中垂線上

O,A=O1C

同理，OiB=OQ

又；AB=CD

.ABO]空CDO]（SSS）

NAO/=NC0[D

：.NA。。=NBOQ,即對應點與點O1形成的夾角相等

線段CD可以看成由線段AB繞點。1旋轉一次得到

第二種情況：當A3與。C對應時，如圖(3),同理可證.

綜上所述：兩條相等的線段可以看成：一條線段是另一條線段繞某個點旋轉一次得到.

【問題解決】

(2)如圖(4),已知△ABC且△￡＞口(且滿足不能由二ABC通過平移得

到).現(xiàn)在來解決四戶能由繞某個點通過一次旋轉得到的問題：

①通過尺規(guī)作圖找到旋轉中心。；

②證明：/能由繞點。通過一次旋轉得到.(提示：只要證明關鍵的對應點到

點。的距離相等和關鍵的對應點與點。形成的夾角相等)

2022-2023學年廣東省深圳市羅湖區(qū)八年級（下）期中數(shù)學

試卷

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題

目的一項）

1.三角形的三邊長分別為4、6、C,則下面四種情況中，不能判斷此三角形為直角三角形

的是（）

A.?=3,6=4,c—5B.a=8,b=15,c=17

C.<7=5,Z?=12,c=13D.a=12,b-15>c=18

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理進行判斷即可得到答案.

【詳解】A.?.?32+42=52，是直角三角形；

B.V82+152=172，ABC直角三角形；

c.：52+122=132,是直角三角形；

D.V122+152^182.AABC不是直角三角形;

故選：D.

【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角

形的方法：（1）先確定最長邊，算出最長邊的平方；（2）計算另兩邊的平方和；（3）比較

最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等，若相等，則此三角形為直角三角形..

2.不等式3+2x<l的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式得到x<-l,根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的方法得到解集在T的左邊.

【詳解】解：3+2x<l,

移項得：2x<-2,

系數(shù)化為1,得：x<-l.

故選：A.

【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集：先求出不等式的解集，然后根據(jù)數(shù)軸表

示數(shù)的方法把對應的未知數(shù)的取值范圍通過畫區(qū)間的方法表示出來，等號時用實心，不等

時用空心.

3.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是()

A.15孫=3x-5yB.2x2+2xy=2x(x+y)

C.f+x+5=x(x+l)+5D.x2+2x+3=(x+l)2+2

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用因式分解的意義分析得出答案.

【詳解】解：A、15孫=3x-5y,不是因式分解，故A錯誤；

B、2x2+2xy=2x(x+y),是因式分解，故B正確；

C、X2+X+5=X(X+1)+5,不是因式分解，故C錯誤；

D、x2+2x+3=(x+iy+2,不是因式分解，故D錯誤；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了因式分解，正確掌握因式分解的定義是解題關鍵.

4.在下列不等式組中，無解的是()

X>1X>1X<1X<1

A.<B.<C.<D,<

x>2x<2x<2x>2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)確定不等式組的解集的方法逐項作出判斷即可.

%>1

【詳解】解：A1°的解集為x>2,不合題意；

x>2

x>l

B.\"解集為l<x<2,不符合題意;

x<2

x<l

C.\°的解集為尤<1,不合題意；

x<2

x<l

D.〈?無解，符合題意；

x>2

故選：D.

【點睛】本題考查了確定不等式組解集的方法，可以借助口訣“同大取大，同小取小，大

小小大中間找，大大小小無解了”求解.

5.在下列正多邊形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

D.

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A.此圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形;

B.此圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;

C.此圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形;

D.此圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形.

故選：B.

【點睛】此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱

軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形的關鍵是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩

部分重合.

x+5,3x+2

6.下面是小明解不等式---------1<--------的過程:

22

解：去分母，得x+5—1<3]+2…①

移項，得x—3x<2—5+1…②

合并同類項，得-2x<-2…③

兩邊同時除以一2,得尤<1…④

小明的計算過程中，沒掌握好基本知識或粗心出錯的步驟是（）

A.①②B.①③C.①④D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)解一元一次不等式的基本步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化

為1逐一判斷即可.

【詳解】解：小明的計算步驟①中，常數(shù)-1沒有乘以2,此步驟錯誤;

步驟④中，兩邊同時除以-2,不等號的方向沒有改變，此步驟錯誤;

綜上分析可知，出錯的步驟是①④.

故選：c.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，特別要注意系數(shù)化為1時，系數(shù)是負數(shù)的，不等

號要改變方向.

7.如圖，在.ABC和.84。中，ZC=ZD=90°.在以下條件：①②

AD=BC-,③ZBAC=ZABD；@ZABC=ZBAD；⑤NG4D=NO6C中，再選一

個條件，就能使共有（）選擇.

A.2種B.3種C.4種D.5種

【答案】C

【解析】

【分析】先得到NC=ND=90°,若添加AC=5D,則可根據(jù)“HL”判斷

△ABC^Z\BAD；若添加BC=的，則可根據(jù)“HL”判斷△ABCmABAD；于是

AC=BD,然后利用前面的結論可得到6cg△5LAD；若添加Q4=OB,則

ZABC=ZBAD,于是可利用“AAS”判斷ZVlBC之△B4。；若添加ZBAC=ZABD,

則可直接利用“AAS”判斷△A5C之△B4O.

【詳解】解：：ADJ.BD,：.ZC=ZD=90°,

在Rt/XABC和RtBAD中，

AC=BD

AB=BA'

ARt^ABCRt_BAZ）（HL）,所以（1）正確；

?/AC.LBC,ADJ.BD,

：.ZC=ZD=90°,

在RtAABC和RtiBAD中，

AC=BD

AB=BA'

RteABCgRtR4D（HL）,所以（2）正確；

OA=OB,

Z.ZABC=ZBAD,

在_ABC和中,

NC=ND

<ZABC=ZBAD,

AB=BA

.-.VABC^VBAD(AAS),所以(4)正確;

在_48。和4胡。中，

ZC=ND

<ABAC=ZABD,

AB=BA

；.VABC絲VBAD（AAS）,所以（3）正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.

8.如圖，一次函數(shù)丁=去+6（左。0）的圖象分別與x軸、y軸相交4（3,0）、點3（0,2）,

則下列說法不正確的是（）

B.當x>0時，y<2

C.當為<0時，y>2D.當X=4時，y>0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質，一次函數(shù)與一元一次不等式的關系對各小題分析判斷即可得

解.

【詳解】解：由圖象得：關于X的方程立+6=0的解為x=3,

當x>3時，y<0,

當x>o時，y<2,

當％<0時，y>2,

當x=4時，y<0,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質，一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，利用數(shù)形

結合是求解的關鍵.

9.若一個等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）

A.15°B.75°C.15。或75°D.無法確

定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，先畫出相應的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質和含30°角的直角三角

形的性質，即可得到等腰三角形底角的度數(shù).

【詳解】解：作于點。，如圖：

2

：.ZA=30°,

：.ZB=ZACB=75°；

作交C4延長線于點，如圖:

2

/.ZDAB=30°,

：.ZBAC=150°,

：.ZABC=ZC=15°；

故選：C.

【點睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，畫出

相應的圖形，利用數(shù)形結合的思想解答.

10.如圖，在矩形A3CD中，AB=2,3c=4,點E為邊上的動點，將二ABE沿

AE折疊到ZWE，則在點E的運動過程中，C下的最小值是（）

A.275-2B.245-3C.26-4D.無法確

定

【答案】A

【解析】

【分析】先判斷出EblAC時，。尸最小，最后用勾股定理即可得出結論.

【詳解】解：如圖，由折疊知，ZAFE=ZB=90°,EF=BE,

當時，C/最小，

即NCFE=90。,

'：ZAFE=90°,

：.ZAFE+ZCFE=180°,

...點A,F,C在同一條直線上時，CF最小,

由折疊知，AF=AB=2,

在RtZVLBC中，AB=2,BC=AD=4,

AC=VAB2+BC2=2A/5，

；?CF=AC-AF=2小-2.

故選：A.

【點睛】此題考查了折疊的性質，勾股定理，熟記折疊的性質是解題的關鍵.

第II卷(非選擇題)

二、填空題(本大題共7小題，共28.0分)

n.分解因式：盯一x=.

【答案】x(y—1)

【解析】

【詳解】試題解析：xy—x=x(y~1)

12.不等式2x—3<11的解集是

【答案】x<7

【解析】

【分析】解不等式即可求解.

【詳解】解:2x-3<ll,

2無<14,

XV】.

故答案為：XV7.

【點睛】本題考查解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的解題步驟是解題關鍵.

13.如圖，在RtZXABC中，A3的垂直平分線分別交A3、AC于。點、E點，已知

AC=S,BC=4,則EC=.

【答案】3

【解析】

【分析】由OE是線段A3的垂直平分線，得到AE=5E,設AE=BE=x,則

CE=AC-AE=8-x,在_3?！曛欣霉垂啥ɡ砬蠼饧纯?

【詳解】連接3E,如圖：

1

CB

VOE是線段A3的垂直平分線，

???AE=BE,

設AE=5E=x,則CE=AC—AE=8—x,

,/ZC=90°,

???BE2=BC2+CE2，

x2=42+（8-x）一,

解得x=5,

AE=5,

EC=AC-AE=S-5=3.

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，勾股定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌

握線段垂直平分線的性質.

14.某商品每件進價100元，每件標價150元，為了促銷，商家決定打折銷售，但其利潤

率不能低于20%,則這種商品最多可以打折.

【答案】8

【解析】

【分析】設這種商品打x折，利用利潤=售價-進價，結合利潤率不低于20%,可得出關于

x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論.

【詳解】解：設這種商品打X折，

Y

根據(jù)題意得：150x——100>100x20%,

10

解得：%>8,

??.X的最小值為8,

???這種商品最多可以打8折.

故答案為：8.

【點睛】本題考查了一元一次不等式的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不

等式是解題的關鍵.

15.如圖，函數(shù)丁=爾（帆/0）和丁=米+。（左。0）的圖象相交于點4（1,〃），則關于％的

不等式初x<Ax+b的解集是.

【答案】x<l

【解析】

【分析】寫出直線y=7”（mw0）在直線丁=區(qū)+5（左。0）下方部分的x的取值范圍即

可.

【詳解】解：由圖可知，不等式如<依+人的解集為X<1;

故答案為：X<1.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，此類題目，利用數(shù)形結合的思想求解是

解題的關鍵.

16.如圖，在ABC中，AB=6cm,AC=4cm,BD平分NABC,且AT>〃3C,

ZACB的外角平分線交AD于點E,則DE的長是.

【答案】2cm

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線的性質可得NAB￡>=N8DC,根據(jù)平行線的性質可得

ZADB=ZBDC,NAEC=NECF,推得NABD=NADB,根據(jù)等角對等邊可得

AB=AD=6cm,根據(jù)角平分線的性質可得NACE=NECF\推得NACE=NA￡C,

根據(jù)等角對等邊可得AE=AC=4cm,即可求得.

【詳解】；BD平分NABC,

:.ZABD=NBDC,

?：AD//BC,

：.ZADB=ZBDC,ZAEC=/ECF,

：.ZABD=ZADB，

AB=AD=6cm,

是/ACF的角平分線，，

/.ZACE=ZECF,

：.ZACE^ZAEC,

AE=AC=4cm,

DE=AD-AE=2cm.

故答案為：2cm.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，平行線的性質，等角對等邊，熟練掌握平行線的性

質是解題的關鍵.

17.如圖，將RtZiABC沿射線的方向平移得到處戶，連接A。、CD,已知

AB=2,BC=4,在平移過程中，若入位）。為等腰三角形，則平移的距離可以是

5L

【答案】5或2指或8

【解析】

【分析】分如圖1所示，當AD=CD時，如圖2所示，當AC=AZ）時，如圖3所示，當

AC=8時，三種情況利用平移的性質討論求解即可.

【詳解】解：如圖1所示，當AT>=CD時，

設AD=CD=x,

由平移的性質可得OE=AB=2,AD=BE=CD=x,則CE=BC—3E=4—x,

在RtADEC中，由勾股定理得CD2=DE2+CE~，

.空=22+（4-X）2,

解得x=一

2

圖1

如圖2所示，當AC=AD時，

在中，由勾股定理得=2遍,

???AD=AC=275，

平移距離為2百；

圖2

如圖3所示，當AC=CD時，

:NABC=NDEC=90°,AB=DE,

：.RtAABC^RtADEC（HL）,

：.CE=BC=4,

**.BE=8,

，平移距離為8；

綜上所述，平移距離為|■或2百或8.

【點睛】本題

圖3

主要考查了平移的性質，勾股定理，等腰三角形的定義，全等三角形的性質與判定等等，

利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共8小題，共62.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演

算步驟）

18.解不等式（組），并把（2）的解集在數(shù)軸上表示出來.

2%3x-l

(I)-------------S1；

32

4%-6<3(x-l)

(2)<5%c、12?

----1-3>1+—%

[33

iiiiii?

-5-4-3-2-I0I2345

3

【答案】(I)——

（2）-2<x<3；見解析

【解析】

【分析】（1）不等式去分母，去括號，移項合并，將X系數(shù)化為1,求出解集即可；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在數(shù)軸上即可.

【小問1詳解】

2x3x-l

----------S1

32

解：4x—3（3x-1）W6,

4x-9x+3<6,

4x-9x<6-3,

—5xW3,

、3

欄——

5

【小問2詳解】

4x-6<3（x-l）

<5x°，2

---1-3>1+—%

I33

解第一個不等式得：x<3,

解第二個不等式得：%>-2.

故不等式組的解集為：-24尤<3,

在數(shù)軸上表示出來為：

—I——?——?1?1??1~?——L->

-5-4-3-2-1012345

【點睛】此題考查了解一元一次不等式（組），熟練掌握不等式（組）的解法是解本題的關

鍵.

19.學校準備用2000元購買名著和詞典作為藝術節(jié)獎品，其中名著每套65元，詞典每本

40元，現(xiàn)已購買名著20套，問最多還能買詞典多少本？

【答案】最多買17本.

【解析】

【分析】設還能買詞典x本，根據(jù)名著的總價+詞典的總價K000,列不等式，解出即可，

并根據(jù)實際意義寫出答案.

【詳解】解：設還能買詞典x本，

根據(jù)題意得：20X65+40X《2000,

40.r<700,

,r<17.5,

答：最多還能買詞典17本.

【點睛】題目主要考查一元一次不等式的應用，理解題意，列出不等式是解題關鍵.

20.如圖，為等邊三角形，點、D為BC邊上一點,先將三角板60°角的頂點與。點

重合，平放三角板，再繞點。轉動三角板，三角板60°角的兩邊分別與邊A3、AC交于

點E、點、F,當［史=。尸時，如圖(2)所示.求證：ABDE^ZXCFD.

圖⑴

圖(2)

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質可得N3=NC=60。，根據(jù)三角形的外角性質可推得

ZBDE=ZCFD,根據(jù)全等三角形的判定即可證明.

【詳解】證明：?.二A5C為等邊三角形，

ZB=ZC=60°,

,：ZBDF=ZCFD+ZC,ZEDF=6Q°,

：.ZBDE=ZCFD,

在和△CTO中，

NB=NC

<ZBDE=ZCFD,

DE=DF

：.iBDE^CFD(AAS).

【點睛】本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的判定等，熟練掌握全等三角形的基本模

型：一線三等角是解題的關鍵.

21.如圖，在平面直角坐標系中，,ABC的三個頂點的坐標分別為4(-5,-2)、3(一,一)、

C(-2,-l).

n__r_n-_-

-I---------1—I---------1—

III

Illi

J_L_J_

_--

—

_—

Illi

____

r-

n_n-Illi

I-I---------1—I---------1—

I__I-_

LIlli

JJ

__-

—

___—_

r

「

_「--

I

II

I—I

6j____

?—?—?—?

R：

(1)將一ABC先向右平移3個單位，再向上平移5個單位，得到請在原直角

坐標系中畫出△A與G，并寫出4、⑸、G的坐標；

(2)若△4星C2與4A旦G關于原點。成中心對稱，請寫出4、B2、。2的坐標，并在

原直角坐標系中畫出△A芻G.

【答案】⑴見解析；4(-2,3),4(-M),q(i,4)

⑵見解析；4(2,—3),B2(l,-1),G(T，T)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平移的性質作圖，即可得出答案.

(2)根據(jù)中心對稱的性質作圖，即可得出答案.

【小問1詳解】

如圖：△A4C即為所求,4(—2,3),4(—1,1),q(i,4)

-I—I-I—I-I

2【小問2詳解】

V△a芻G與△A4G關于原點。成中心對稱,

.-.A,(2,-3),B2(l,-1),G(TT)

如圖：△4與C2即為所求

【點睛】本題考查作圖一平移變換、中心對稱，熟練掌握平移和中心對稱的性質是解答

本題的關鍵.

22.學校開展籃球社團活動，需要購買若干個籃球，現(xiàn)從兩家商場了解到同種籃球的標價

均為100元/個，并且多買都有一定的優(yōu)惠.甲商場的優(yōu)惠條件是：前20個籃球按原價收

費，其余優(yōu)惠20%；乙商場的優(yōu)惠條件是：全部打九折.

（1）設學校需要購買x個籃球，選擇甲商場時，所需費用為％元，選擇乙商場時，所需

費用為為元，請分別寫出/、為與x之間的關系式;

（2）若學校需要購買籃球數(shù)超過20個，選擇到哪家商場購買，所需費用較少？

_100x(0<%<20)

【答案】（1）%一%Ox+400(%>20)y2-9Qx

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)甲，乙商場的收費標準列出函數(shù)關系式即可;

（2）選擇哪家商場購買就是比較y的大小，①當甲商場購買更優(yōu)惠，可得X<%，解此不

等式，即可求得答案；②當乙商場購買更優(yōu)惠，可得%>%,解此不等式，即可求得答案;

③當兩家商場收費相同，可得％=%,解此方程，即可求得答案.

【小問1詳解】

根據(jù)題意得：

甲商場的收費為：

當％<20時，%=100x；

當1>20時，％=100x20+100(x-20)x(l-20%)=80x+400；

100x(0<%<20)

%與X之間的關系式為力'80x+400(x>20)

乙商場的收費為：y2=100xx90%=90x；

，為與X之間的關系式為%=90x；

【小問2詳解】

①當％<%時，即80%+400<90%，

解得：%>40

???當x>40時，甲商場購買更優(yōu)惠；

②當必〉為時，即80x+400>90x,

解得：x<40,

當x<40時，乙商場購買更優(yōu)惠；

③當％=%時，即80x+400=90x,

解得：％=40,

...當％=40時，兩家商場收費相同.

【點睛】此題考查了一次函數(shù)的實際應用問題以及不等式與方程的解法.此題難度適中，解

題的關鍵是理解題意，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)的性質求解.

23.如圖（1）,點C、點。在直線4上，點A、點8在直線4上，且，i〃，2，連接AC、

（1）請在圖（1）中，找出三對面積相等的三角形：；

（2）利用（1）中的結論解決下面兩個問題：

①將圖（1）中的，ABC、△A3。進行以下操作：

第一步，分別復制JRC、△ABD,粘貼，如圖（2）所示的.4用。、VA,B2D.

第二步，先將圖（2）中的.4片。、丫4層。的頂點C、。重合，再將丫人&。繞點C

旋轉到如圖（3）所示位置.

若直線4員與4月相交于點￡，連接CE.求證：CE平分NAE4.

②如圖（4）,折線型小路P-M-。，將四邊形A3CD苗圃分成甲、乙兩塊，為了方便管

理，要將折線型小路P-M-Q改為經過點尸的直線型小路，使得甲、乙的面積前后不發(fā)

生改變.請你在圖（4）中畫出直線型小路尸N（不需要尺規(guī)作圖，但要規(guī)范，并簡單說明

作圖的關鍵步驟）.

【答案】（1）和ABC；.ACD和△BCD；△AQD和.3OC

（2）①見解析；②見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩條平行線之間的距離相等，即可可得出答案；

（2）①過點o分別作。G,44于G,DFL&B?于F,根據(jù)題意可知=&&，

4耳。的面積小人不。的面積，根據(jù)面積公式可得0G=OE,即可得出結論；

②連接尸。，過點M做尸。的平行線交于點N,則PN為所求的直路，根據(jù)兩條平行線

之間的距離相等，可得—S、pNQ.

【小問1詳解】

解：：（〃，2，

：.11、乙間的距離相等，

設乙、4間的距離為〃，

.的

S.AR2r——AB-h,*Sr\.\DLf=2—AB-h,.S/ILAiyrn=?—CD,h,?Svl,rr)=?—CD-h,

^/\ABC=S/^ABD，SACD=SBCD,

^AABC-^AAOB=S^ABD-^AAOB，

?,^AAOD=S&BOC，

故答案為：△ABD和，ABC；ACD和ABCD；△AOD和/OC.

【小問2詳解】

①證明：過點。分別作少G，A4于G,。尸，&&于尸，如圖：

根據(jù)題意可知A4=4與，4與。面積=丫44。的面積,

1.,4月。的面積=QA4,DG,丫4層。的面積=54巴?。廠,

.'.—44?DG=—A,B2-DF,

:.DG=DF,

?：DG±A4,DF±A,B2,

CE平分NAE4；

②解：步驟：連接尸。，過點M做PQ的平行線交BC于點N,則PN為所求的直路.

如圖：

BNQC

證明：：尸?！ǖ腣,

'四邊形AB。尸-ZPMQ~~?四邊形一兇PNQ，

甲、乙的面積前后不發(fā)生改變.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的面積公式，角平分線的判定，四邊形的面

積，解題的關鍵是掌握兩條平行線之間的距離相等，利用面積法求解.

24.如圖（1）,已知C4=CB,CD=CE,且NACB=NOCE,將△￡＞色繞C點旋轉

（A、C、。三點在同一直線上除外）.

U）求證：AACD當ABCE；

（2）在ADCE繞C點旋轉過程中，若ED、AB所在的直線交于點「當點尸為邊

AB的中點時，如圖2所示.求證：ZADF=ZBEF（提示：利用類倍長中線方法添加

輔助線）；

（3）在（2）的條件下，求證：AD±CD.

【答案】（1）見解析（2）見解析

（3）見解析

【解析】

【分析】（1）等量代換可得NACD=N5CE,根據(jù)全等三角形的判定可得

△ACD^ABCE（SAS）；

（2）延長E尸到G,使得FG=ED,連接8G,根據(jù)全等三角形的判定和性質可得

AD=BG,ZADF=ZG，由（1）可知：AD=BE,推得3G=BE,根據(jù)等邊對等

角可得Z.G=ZBEF,即可求得ZADF=ZBEF；

（3）根據(jù)等邊對等角可得NCOE=NCED,推得/8石+/4。/=/儀3,根據(jù)由

（1）可知：ZADC=ZCEB,推得NCDE+NA￡^=NADC,求得NADC=90°,

即可得到ADYCD.

【小問1詳解】

VZACB=ZDCE,ZACB=ZACD+ZCDB,ZDCE=ZECB+ZCDB,

：.ZACD=NBCE,

在，AC。和qBCE中，

AC=BC

<ZACD=NBCE,

DC=EC

△ACD之△BCE（SAS）.

【小問2詳解】

延長所到G,使得FG=FD,連接BG,如圖：

為AB的中點,

：.AF=BF,

在△AIR和.BGF中,

AF=BF

<ZAFD=ZBFG,

DF=GF

：..ADF均BGF（SAS）,

:.AD=BG,ZADF^ZG,

由（1）可知：AD=BE,

：.BG=BE,

：.ZG=/BEF,

；?ZADF=ZBEF.

【小問3詳解】

,:CD=CE,

：.NCDE=NCED,

：.NCDE+ZADF=ZCED+ZBEF=Z.CEB,

由（1）可知：ZADC=NCEB,

：.ZCDE+ZADF=ZADC,

?：ZCDE+ZADF+ZADC=