材料力學(xué)-第五版-孫訓(xùn)方-課后習(xí)題答案第二章-第六章

第二章軸向拉伸和壓縮

2T2-22-32-42-52-62-72-82-9下頁

2-1試求圖示各桿「1和2-2橫截面上的軸力，并作軸力圖。

⑸解：尸；耳;2=一尸；(b)解：%=+2尸；尸股=0；

(c)解：0】=+2尸；％2=+尸。(d)解：Au=尸產(chǎn)m=-尸。

返回

2-2試求圖示等直桿橫截面1-1,2-2和3-3上的軸力，并作軸力圖。假設(shè)橫截面面積

▲=400mm。試求各橫截面上的應(yīng)力。

解：尸m=-20kN

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2-3試求圖示階梯狀直桿橫截面1-L2-2和3-3上的軸力，并作軸力圖。假設(shè)橫截面面積

4=2Q0mm‘，=300mma,4=4Q0mm1并求各橫截面上的應(yīng)力。

解：尸N】=?20kN

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2-4圖示一混合屋架結(jié)構(gòu)的計(jì)算簡(jiǎn)圖。屋架的上弦用鋼筋混凝土制成。下面的拉桿和中間

豎向撐桿用角鋼構(gòu)成，其截面均為兩個(gè)75mmX8mm的等邊角鋼。屋面承受集度為

q=20kN/m的豎直均布荷載。試求拉桿和跖橫截面上的應(yīng)力。

解：R"M2"2=177.4kN

1〕求內(nèi)力

取「I別離體=°

得KG=35EklI(拉〕

取節(jié)點(diǎn)￡為別離體

E8=0,七cosa=356kN

a356356x447“

=-------=---------------=366kN

故cosa437（拉〕

2）求應(yīng)力

75X8等邊角鋼的面積A=ll.5cm2

%356x103

a?。--4=155MPa

U2x11SxlO（拉）

心366x1?

0ASh=159MPa

2A2x115x104（拉）

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2-5(2-6)圖示拉桿承受軸向拉力F=10kN,桿的橫截面面積4=100mm2。如以&表示斜

截面與橫截面的夾角，試求當(dāng)a=0「30*,45*,60*,90?時(shí)各斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)

力，并用圖表示其方向。

解:

q=5cosa

r=-sm2a

-2

F_IQxlQ3"100MPa

=100MPa

4lOOxlO-6a=0°

To=°

外?75MP?

%=lOOcos330*=100x（燈=75MPa

2a-30*

r）a=432MPa

J=—sin2x30*=432MPa

3r2

q,=lOOcos347=100x（2^）a=50MPa=50MPa

a-45*

%=50MPa

%=31n2x45.=50MPa

弓=100cos'6（T=100x（?=25MPa%?25MP&

2a?60°

rlc=433MPa

堞仙2x60、喙冬433MPa

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2-6(2-8)一木樁柱受力如下圖。柱的橫截面為邊長200nm的正方形，材料可認(rèn)為符合胡克

定律，其彈性模量岳40GPa。如不計(jì)柱的自重，試求：

(1)作軸力圖；

(2)各段柱橫截面上的應(yīng)力；

(3)各段柱的縱向線應(yīng)變；

(4)柱的總變形。

100xlO3ccc

2---------------3r=2.5MPa

解：*200x200x10-8（壓）

%=2成。35Mpa

200x200x10”（壓）

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2-7(2-9)一根直徑d=16mm、長，=3m的圓截面桿，承受軸向拉力尸=30kN,其伸長

為&=2.2mm。試求桿橫截面上的應(yīng)力與材料的彈性模量及

F30xl03

a=-=,—=149MPa

火開X16?i4

2-8(271)受軸向拉力小作用的箱形薄壁桿如下圖。該桿材料的彈性常數(shù)為其V,試求。

與。兩點(diǎn)間的距離改變量

FFp

解：'A(a+(5)2-(a-寸一小

橫截面上的線應(yīng)變相同

CD=\003a

ACD=1003Aa

△a=a€v=—aV€

avF_vF

SCD=

因此4aE6AES

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2-9（2-12）圖示結(jié)構(gòu)中，48為水平放置的剛性桿，桿1,2,3材料相同，其彈性模量

后210GPa,/=lm,4=4=1版1nmA=150mm\尸=20kN。試求。點(diǎn)的水平位移

和鉛垂位移。

解：（1）受力圖（a〕

工…,用=0,瑪=司=]

12〕變形協(xié)調(diào)圖（b）

因鳥=0,故A%=0

1

2100m=0.476tnm（向下〕

A/3=AZj=0476mm（向下〕

為保證承3=°,點(diǎn)/移至4,由圖中幾何關(guān)系知；

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第三章扭轉(zhuǎn)

3T3-23-33-43-53-63-73-83-93-103-113-12

3T一傳動(dòng)軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速簿=200r/min,軸上裝有五個(gè)輪子，主動(dòng)輪II輸入的功率

為60kW,從動(dòng)輪，I,III,IV,V依次輸出18kW,12kW,22kW和8kW。試作軸的扭矩圖。

1O

7；=955x—=08595

解：200kN-m

7；=08595x^=05730

18kN-m

22

7；=08595x—=l0505

18kN-m

Q

7：=08595x_=0,3820

18kNm

返回

3-2(3-3)圓軸的直徑d=50mm,轉(zhuǎn)速為120r/mm。假設(shè)該軸橫截面上的最大切應(yīng)力等于

60MPa,試問所傳遞的功率為多大？

故T=J"噤'I。"

bXAK

解：

T11X1.25x10$14rcvr

.T=60x10°x0=1470Nm

即16xl09

r=9550x-^-=1470

又120

p=1470x120=1847kw

故9550

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3-3C3-5)實(shí)心圓軸的直徑d=l00mm,長？=lm,其兩端所受外力偶矩K=情kNm,材料

的切變模量G=80GPa。試求：

(1)最大切應(yīng)力及兩端截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角;

⑵圖示截面上4B,。三點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值及方向;

⑶。點(diǎn)處的切應(yīng)變。

14x10?=力4@a

解：

返回

3-4(3-6)圖示一等直圓桿，d-40tnm,a-400mm,G-80GPa,。試求:

(1)最大切應(yīng)力;

(2)截面4相對(duì)于截面。的扭轉(zhuǎn)角。

解：（1）由得扭矩圖（a）

M,2a180*"

~-------=2

⑵G/pn

返回

3-5（3-12）長度相等的兩根受扭圓軸，一為空心圓軸，一為實(shí)心圓軸，兩者材料相同，受

,馬■=08

力情況也一樣。實(shí)心軸直徑為小空心軸外徑為〃內(nèi)徑為do,且。'\試求當(dāng)空心軸

與實(shí)心軸的最大切應(yīng)力均到達(dá)材料的許用切應(yīng)力（J=卜］），扭矩7相等時(shí)的重量比和剛

度比。

n(Da-rf2)

%_4

解：重量比=4

因?yàn)镴t*=x

T_T

即16

D31D1

故廬'=兩丁兩

皿=^1x036=—Ux036=0.51

故%;不O847

?-因)

G__32_°'("08，)

皈

剛度比=~32

Z)410.59

059t=059x——=118

=d'(084)-0496

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3-6(3-15)圖示等直圓桿，外力偶矩M4=2S9kNm,=7.20kNm,Afc=4.21kNm

許用切應(yīng)力W=70MPa,許可單位長度扭轉(zhuǎn)角0]=]C)/m,切變模量G=80GPa。試確

定該軸的直徑九

解：扭矩圖如圖(a)

⑴考慮強(qiáng)度，最大扭矩在歐段，且1：

d]NJ16X4.2：_0,0674m=67.4rtun

1V7fttx!0J(1)

(2)考慮變形

32x1807132x180x421x10^

=0.0744m=74.4mm

}-n5x80xl(?⑵

比擬式(1)、(2),取d2744mm

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3-7(3-16)階梯形圓桿，4s段為空心，外徑氏140mm,內(nèi)徑床100mm；m段為實(shí)心，直徑

曲100mm。外力偶矩M=18kNm,=32kNm,ATc=14kNmo.[t]=80MPa,

M=12C)/m,G=80GPa。試校核該軸的強(qiáng)度和剛度。

解：扭矩圖如圖(a〕

門)強(qiáng)度

167；16x14xlQ3

=713x1/=713MPa

=TidyItXO.13

了.；口=—xl00%=1.86%<5%

H70,以段強(qiáng)度根本滿足

=451x10*=45IMPa<[r]

故強(qiáng)度滿足。

⑵剛度

q)方180'Uxl^xWO'

—=——x---=--------------j—=IU丁

1

%n80x10^x12^1n

段:32

段剛度根本滿足。

18xl0?x]80

=0462*<[^]

80x1/x/QU-?)

四段:

/￡段剛度滿足，顯然曲段剛度也滿足。

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3-8(3-17)習(xí)題3-1中所示的軸，材料為鋼，其許用切應(yīng)力卜卜20MPa,切變模量

G=80GPa,許可單位長度扭轉(zhuǎn)角【＜P']=025C)/m。試按強(qiáng)度及剛度條件選擇圓軸的直徑。

解：由3-1題得:J=2006kNm

應(yīng)選用H=875mrr.o

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3-9(3-18)一直徑為d的實(shí)心圓桿如圖，在承受扭轉(zhuǎn)力偶矩此后，測(cè)得圓桿外表與縱向

線成45?方向上的線應(yīng)變?yōu)椤?。試?dǎo)出以此，d和￡表示的切變模量G的表達(dá)式。

解：圓桿外表貼應(yīng)變片處的切應(yīng)力為

圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)處于純剪切狀態(tài)，圖(a)。

V=T16M

切應(yīng)變Gwd3G(1〕

對(duì)角線方向線應(yīng)變：

7=2?⑵

=16峪

式⑵代入⑴：3G

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3-10(3-19)有一壁厚為25mln、內(nèi)徑為2501nm的空心薄壁圓管，其長度為1m,作用在軸兩

端面內(nèi)的外力偶矩為180kNm。試確定管中的最大切應(yīng)力，并求管內(nèi)的應(yīng)變能。材料的切

變模量G=80GPa。

180X105X150X10_J_32x180x150xlO,a

=655MPa

itWO*)-nx42xl01

解:32*

3-11(3-21)簧桿直徑d=18的的圓柱形密圈螺旋彈簧，受拉力尸=05kN作用，彈簧的平

均直徑為。=125皿，材料的切變模量G=80GPa。試求：

(1)簧桿內(nèi)的最大切應(yīng)力；

(2)為使其伸長量等于6mm所需的彈簧有效圈數(shù)。

「喈=6”

解:=F,

,16x05xl0Jx62.5xl0-}

J=12n---------------:—-------=328MPa

故ax(18)3x10-3°

,64FR3n

a=——i—

因?yàn)镚d’

6X8X10.55X10J.

,----------------------r=6R.3「

故64x05x244x10s圈

返回

3-12(3-23)圖示矩形截面鋼桿承受一對(duì)外力偶矩此=3kNm。材料的切變模量

G=80GPa,試求：

(1)桿內(nèi)最大切應(yīng)力的大小、位置和方向；

(2)橫截面矩邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力；

(3)桿的單位長度扭轉(zhuǎn)角。

解：T=此，人=附'，凡=向3

方90,4

—=——=IJ

b60由表得

Q=I'J=0858x402=344MPa

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第四章彎曲應(yīng)力

4T4-24-34-44-54-64-74-84-94-10下頁

47(47)試求圖示各梁中指定截面上的剪力和彎矩。

解：(a)

鳥z=0

=-2kNm

%“=-5kN

M-2

?-2-5x2?-12kNm

(b)R/=2kN

1=3kN

&-i=FRA=+2kN

MT-2x3=6kNm

=FL-3kN

M”=FRBx2=6kNm

(c)尸Rd=4小

“4kN

%T=KkN

Mg=+4kN

=XkN

Afj-j=-4x1.5=-6kNm

_20x22..

JDJx；=1333

(d〕SR'=23

%=667kN

=13.33-絲*上=-1.67kN

“門外,10x12..A.1

Af.*=13.33x1------x—xl-10xlx—

232

13.33-3.33-5.0-50kNm

pJ

M1=-M

鳥況3=0

Mg=-M

(f)%=24.31kN

&H=3x2+65xl=125kN

Mt」=-3x2x2—6.5xlxA=-152kNm

gI==12.5-24.31=-118kN

Mg=-l5.2kNm

(g)尸R，=FRB=40kN

%“=40-10x1=30kN

A/l4=40x1-80-10x1x1=-45kNm

2

MJ_2=40x2-20xl-10x2x^-80=-40kNm

_V與a=

”,11a11

M\A=-24r°XflX2X3=12^

FSi_3=0,AfJ.J=q°ax2a-^ox2axlx2a

A

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4-2(4-2)試寫出以下各梁的剪力方程和彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。

解：[a)0<x</

(b)04xS1m時(shí)

1Sx43m時(shí)

1c)式R/=FRB=495kN

0<x<4rr.Ht

4W；m時(shí)

[d)&/=06kN

(e)OSxW2m時(shí)，

2Wx￡3m時(shí)，

用(x)=-"

(f)初段：s8

理段：&（x）=0X

(g)N8段內(nèi)：

&(X)=+—

況■段內(nèi)：

(h)力8段內(nèi)：鳥(幻=0

血段內(nèi)：&(x)=30kN

5段內(nèi)：尸s*)=-l]杜丁

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4-3(4-3)試?yán)煤奢d集度、剪力和彎矩間的微分關(guān)系作以下各梁的剪力圖和彎矩圖。

返回

4-4(4-4)試作以下具有中間較的梁的剪力圖和彎矩圖。

返回

4-5(4-6)簡(jiǎn)支梁的剪力圖如下圖。試作梁的彎矩圖和荷載圖。梁上沒有集中力偶作用。

返回

4-6(4-7)試根據(jù)圖示簡(jiǎn)支梁的彎矩圖作出梁的剪力圖與荷載圖。

返回

4-7(4-15)試作圖示剛架的剪力圖、彎矩圖和軸力圖。

返回4-8(4-18)圓弧形曲桿受力如下圖。曲桿軸線的半徑為此試寫出任意橫截面。上剪

力、彎矩和軸力的表達(dá)式(表示成3角的函數(shù))，并作曲桿的剪力圖、彎矩圖和軸力圖。

解：(a[

(b)&(0)=尸co$6

返回

4-9(4-19)圖示吊車梁，吊車的每個(gè)輪子對(duì)梁的作用力都是凡試問：

(1)吊車在什么位置時(shí)，梁內(nèi)的彎矩最大？最大彎矩等于多少?

(2)吊車在什么位置時(shí)，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？

解：梁的彎矩最大值發(fā)生在某一集中荷載作用處。

得：

上…-----L=2F-%

當(dāng)x=0時(shí)，JII

dM(x)

當(dāng)〃極大時(shí)：dx,

——(/-2x^=0Z-2x-=0

那么/2，,故，2

_/a

故"=5-彳為梁內(nèi)發(fā)生最大彎矩的截面

故75-2-中

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4-10(4-21)長度為250nm、截面尺寸為0.8mmx25mm的薄鋼尺，由于兩端外力偶

的作用而彎成中心角為60?的圓弧。彈性模量￡=210GPa。試求鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)

力。

1_Mt_Mth

解：由中性層的曲率公式戶一簞；及橫截面上最大彎曲正應(yīng)力公式一二4

I250250

P=—=----=-----=Z39nun

由幾何關(guān)系得：66T”/3

于是鋼尺橫截面上的最大正應(yīng)力為：

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第五章梁彎曲時(shí)的位移

5-15-25-35-45-55-65-75-8

57(573)試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-4o

品心3

解：⑷3EI

_討?"

-48￡Z2AEI485Z-24571向下〕

訝川

WQ=+W02

64EI3845/~38457（向上）

4=%+%+%=-念-備+族"緇(逆〕

%=%+%=-備+嘉=-嘉〔逆)

返回5-2(5-14)試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-5o

*

解：分析梁的結(jié)構(gòu)形式，而引起劭段變形的外力那么如圖(a)所示，即彎矩2”與彎矩

Fao

Ml2

由附錄(IV〕知，跨長/的簡(jiǎn)支梁的梁一端受一集中力偶〃作用時(shí),跨中點(diǎn)撓度為16￡7。

用到此處再利用迭加原理得截面。的撓度M'C

_嚴(yán)3+曲(2牙=丁+2屆3_3曲3

\f>El-+16￡2=8￡2+8￡Z=TEF(向上］

返回

5-3(5-15)試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-10o

艮夕班3

解：⑷-3E124E1

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5-4(5-16)試按迭加原理并利用附錄IV求解習(xí)題5-7中的Me。

解：原梁可分解成圖5T6a和圖5T6d迭加，而圖5-16a又可分解成圖5-16b和5-16c。

由附錄w得

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5-5(578)試按迭加原理求圖示梁中間較。處的撓度吐，并描出梁撓曲線的大致形狀。EI

為常量。

解：(a)由圖5T8a-l

⑻由圖5-18卜1

2%/2Ma3圾/

--------+——t-a=---

=2E1EIE1

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5-6(579)試按迭加原理求圖示平面折桿自由端截面。的鉛垂位移和水平位移。桿各段的橫

截面面積均為4彎曲剛度均為￡乙

方=空

解：例一3反

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5-7(5-25)松木桁條的橫截面為圓形，跨長為4m,兩端可視為簡(jiǎn)支，全跨上作用有集度為

q=182kN/m的均布荷載。松

M_L

木的許用應(yīng)力k】=10MPa,彈性模量￡=10GPa。桁條的許可相對(duì)撓度為」S200。試

求桁條橫截面所需的直徑。(桁條可視為等直圓木梁計(jì)算，直徑以跨中為準(zhǔn)。1

M

解：均布荷載簡(jiǎn)支梁，其危險(xiǎn)截面位于跨中點(diǎn)，最大彎矩為皿士，根據(jù)強(qiáng)度條件有

從滿足強(qiáng)度條件，得梁的直徑為

對(duì)圓木直徑的均布荷載，簡(jiǎn)支梁的最大撓度”皿為

嗎皿_?"

而相對(duì)撓度為/一點(diǎn)彳

Wx_切$

由梁的剛度條件有丁6En/一［/」

為滿足梁的剛度條件，梁的直徑有

由上可見，為保證滿足梁的強(qiáng)度條件和剛度條件，圓木直徑需大于158mm。

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5-8(5-26)圖示木梁的右端由鋼拉桿支承。梁的橫截面為邊長等于0.20m的正方形，

g=40kN/m,&=10GPa；鋼拉桿的橫截面面積4=250mm',%=210GPa。試求拉桿

的伸長A/及梁中點(diǎn)沿鉛垂方向的位移d。

解：從木梁的靜力平衡，易知鋼拉桿受軸向拉力

N21240kN

于是拉桿的伸長人為

40x103x3

=-210xl09x25xl0-1

木梁由于均布荷載產(chǎn)生的跨中撓度3為

梁中點(diǎn)的鉛垂位移4等于因拉桿伸長引起梁中點(diǎn)的剛性位移萬與中點(diǎn)撓度w的和，即

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第六章簡(jiǎn)單超靜定問題

6T6-26-36-46-56-66-76-86-96T06Tl6T26T3

6-1試作圖示等直桿的軸力圖。

解：取消/端的多余約束，以小代之，那么‘AEA(伸長)，在外力作用下桿產(chǎn)

生縮短變形。

因?yàn)楣潭ǘ瞬荒芤苿?dòng)，故變形協(xié)調(diào)條件為：&m=必

FFA4a_2尸3aFa

故EA~EA

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6-2圖示支架承受荷載尸=10.J23各桿由同一材料制成，其橫截面面積分別為

4=100mm3,4=150mm'和劣=200mm1試求各桿的軸力。

解：設(shè)想在荷載尸作用下由于各桿的變形，節(jié)點(diǎn)力移至4。此時(shí)各桿的變形及純?nèi)?/p>

下圖?，F(xiàn)求它們之間的幾何關(guān)系表達(dá)式以便建立求內(nèi)力的補(bǔ)充方程。

即：/必=2防-2必-石82

亦即：同…&\-g3

22

房產(chǎn)1忑'&一3uaR

將M,“，即代入，得:

=2%_____2%

即：150-5^x100岳200

3%__?N3

亦即：150~50100

2〃=201-%⑴

此即補(bǔ)充方程。與上述變形對(duì)應(yīng)的內(nèi)力汽二,三寸工二如下圖。根據(jù)節(jié)點(diǎn)力的平衡條件有:

TF=0F居+

亦即：+2%=6&3(2)

￡與=0.*+*=尸

亦即：入n+Fif3=2F13]

聯(lián)解門）、（2）、（3）三式得:

==0即9=845kN

3+2/(拉)

73

F=v廠產(chǎn)=0268尸=268kN

Vi3+2力（拉）

2金壓)

返回

6-3一剛性板由四根支柱支撐，四根支柱的長度和截面都相同，如下圖。如果荷載尸作用

在4點(diǎn)，試求這四根支柱各受力多少。

解：因?yàn)?,4兩根支柱對(duì)稱，所以耳口=耳“，在尸力作用下：

變形協(xié)調(diào)條件：

補(bǔ)充方程：

求解上述三個(gè)方程得：

返回

6-4剛性桿四的左端錢支，兩根長度相等、橫截面面積相同的鋼桿切和步使該剛性桿處

于水平位置，如下圖。如尸=50kN,兩根鋼桿的橫截面面積乂=1000皿。試求兩桿的軸

力和應(yīng)力。

解：E%=0,五N/+&x2a=%F

尸HI+2%=3尸⑴

又由變形幾何關(guān)系得知:

&=生益=1%,、

2,2⑵

=—27=60kN=zni/Kr

聯(lián)解式11),⑵，得N25,&=30kN

故瑪=尸><2=60kN,尸=尸HI=30kN

返回

6-5(6-7)橫截面為250mmX250mm的短木柱，用四根40nmiX40mmX5mm的等邊角鋼加固，

并承受壓力￡如下圖。角鋼的許用應(yīng)力匕1=160MPa,彈性模量&=200GPa；木材的

許用應(yīng)力"L=12MPa,彈性模量&=10GPa。試求短木柱的許可荷載網(wǎng)。

解：（1）木柱與角鋼的軸力由蓋板的靜力平衡條件：

Z瑪=°風(fēng)+k=F⑴

由木柱與角鋼間的變形相容條件，有

M"I⑵

由物理關(guān)系：

瓦4RA⑶

式（3〕代入式（2）,得

200x109x4x3791xlO-410xl0*x0252（4）

解得：尸而=2.064

代入式⑴，得：4=0327￡%=0.673口

⑵許可載荷

由角鋼強(qiáng)度條件

由木柱強(qiáng)度條件：

故許可載荷為：忸］=742kN

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6-6（6-9）圖示階梯狀桿，其上端固定，下端與支座距離<5=1mm。上、下兩段桿的橫截面

面積分別為600m2和300mm\材料的彈性模量8=210GPa。試作圖示荷載作用下桿的

軸力圖。

解：變形協(xié)調(diào)條件8以一人尸二^

3/^1.2x1601

故瓦■-EAm

故吊=85kN,/>=-15kN

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6-7(670)兩端固定的階梯狀桿如下圖。4C段和初段的橫截面面積為4切段的橫截面面

積為24桿材料的彈性模量為E=210GPa,線膨脹系數(shù)1=12x10"。。工試求當(dāng)溫度升

高30。。后，該桿各局部產(chǎn)生的應(yīng)力。

解：設(shè)軸力為五H,總伸長為零，故

0=-二％4祝?二X】2X10"K30X210X1094

N3=3=-1008xl06^

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6-8(6T1)圖示為一兩端固定的階梯狀圓軸，在截面突變處承受外力偶矩此。假設(shè)

<=2^2,試求固定端的支反力偶矩”4和時(shí)3,并作扭矩圖。

解：解除刀端多余約束心,那么變形協(xié)調(diào)條件為

——Mj2f—l+M—h￡2——a———M.as—=A0

G也XG這

故：323232

=0

即：(24)‘d\(2%)，

解得：'33

由于】n'=、二

““此32M

-=—

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6-9(673)一空心圓管4套在實(shí)心圓桿少的一端，如下圖。兩桿在同一橫截面處各有一直徑

相同的貫穿孔，但兩孔的中心線構(gòu)成一個(gè)戶角?，F(xiàn)在桿夕上施加外力偶使桿8扭轉(zhuǎn)，以使

兩孔對(duì)準(zhǔn)，并穿過孔裝上銷釘。在裝上銷釘后卸除施加在桿8上的外力偶。試問管4和桿

6橫截面上的扭矩為多大？管4和桿6的極慣性矩分別為。/M4孫兩桿的材料相同，其切

變模量為Go

解：解除n端約束”2,那么n端相對(duì)于截面。轉(zhuǎn)了尸角，（因?yàn)槭孪葘U8的。端扭了一

個(gè)戶角），故變形協(xié)調(diào)條件為F

也一見0

故：外,%

必=予也

故：44

故連接處截面C,相對(duì)于固定端n的扭轉(zhuǎn)角0c為:

而連接處截面c,相對(duì)于固定端/的扭轉(zhuǎn)角為:

二一

@6=6-9ti=〃/PB+44/1，2+媲”

jr_Gi爐_G449cl?%中力

應(yīng)變能"kFT+F-

5s1：?GJS%/；

=紇（，/"+3〃尸2/式//”+%/〃），

G伊1“如

=~ijk、B+/$，p4

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6-10（6-15）試求圖示各超靜定梁的支反力。

解〔a〕：原梁4?是超靜定的，當(dāng)去掉多余的約束錢支座8時(shí)，得到可靜定求解的根本系

統(tǒng)（圖i）去掉多余約束而代之以反力4,并根據(jù)原來約束條件，令刀點(diǎn)的撓度“a=0,

那么得

到原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)（圖ii）。利用卜?=0的位移條件，得補(bǔ)充方程：

F=—F

由此得：￡27

由靜力平衡，求得支反力k4,為：

剪力圖、彎矩圖分別如圖（iii）,（iv）所示。梁的撓曲線形狀如圖（V）所示。這里遵

循這樣幾個(gè)原那么：

（1）固定端截面撓度，轉(zhuǎn)角均為零；

12）較支座處截面撓度為零；

（3〕正彎矩時(shí)，撓曲線下凹，負(fù)彎矩時(shí)，撓曲線上凸；

（4）彎矩為零的截面，是撓曲線的拐點(diǎn)位置。

（b）解：由相當(dāng)系統(tǒng)［圖ii］中的位移條件＞弓=°,得補(bǔ)充方程式：

&=也

因此得支反力：'4a

根據(jù)靜力平衡，求得支反力工"%：

剪力圖、彎矩圖，撓曲線圖分別如圖（iii）、（iv）、（v）所示。

1c）解：由于結(jié)構(gòu)、荷載對(duì)稱，因此得支反力吊=5"；肛=解

應(yīng)用相當(dāng)系統(tǒng)的位移條件U=0,得補(bǔ)充方程式：

注意到肛=""于是得：

色

MA=MB=12

剪力圖、彎矩圖、撓曲線分別如圖（iii〕、〔iv〕、（v〕所示。

M尸尸4：-此*一卷（）

其中：安

假設(shè)勺截面的彎矩為零，那么有：

整理：而-的+/=0

m＞：X1=0.21=0.789;

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671(676)荷載尸作用在梁46及龍的連接處，試求每根梁在連接處所受的力。其跨長比

和剛度比分別為

一-----解：令梁在連接處受力為招，那么梁力反切受力如圖(b)所

示。梁四截面8的撓度為：

梁5截面。的撓度為:

由于在鉛垂方向截面8與。連成一體，因此有

將有關(guān)式子代入得:

(f)-氈

變換成：ERb

)3=:

即：片

F^—F

解得每個(gè)梁在連接處受力：1

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6-12(678)圖示結(jié)構(gòu)中梁四和梁0的尺寸及材料均相同，應(yīng)為常量。試?yán)L出梁切的剪

力圖和彎矩圖。

解：由)為剛性桿得

3

F1切4FP

即48E/3845Z48￡7

圖(b)：由對(duì)稱性,

剪力圖如圖（c）所示，

彎矩圖如圖［d）所示，

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6-13（6-21）梁四的兩端均為固定端，當(dāng)其左端轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)微小角度6時(shí)，試確定梁的約束

反力”4.自,川5和

解：當(dāng)去掉梁的/端約束時(shí)，得一懸臂梁的根本系統(tǒng)［圖a）。對(duì)去掉的約束代之以反力自

和并限定/截面的位移：”=0.〃=°。這樣得到原結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)（圖b］。利用

位移條件，”=0刈=0,與附錄（IV）得補(bǔ)充式方程如下：

"公0

2E13E1⑴

絲2?公8

El2E1⑵

由式門〕、12〕聯(lián)解，得：i=-，=丁

從靜力平衡，進(jìn)而求得反力是：

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第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

7T7-27-37-47-57-67-77-87-97-107-117-127-13

7-1（7-3）一拉桿由兩段桿沿獷A面膠合而成。由于實(shí)用的原因，圖中的a角限于0~60?范

圍內(nèi)。作為“假定計(jì)算”，對(duì)膠合縫作強(qiáng)度計(jì)算時(shí)可以把其上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別與相

應(yīng)的許用應(yīng)力比擬。現(xiàn)設(shè)膠合縫的許用切應(yīng)力用為許用拉應(yīng)力"］的3/4,且這一拉桿的強(qiáng)

度由膠合縫的強(qiáng)度控制。為了使桿能承受最大的荷載尸，試問口角的值應(yīng)取多大？

解：按正應(yīng)力強(qiáng)度條件求得的荷載以外表示:

按切應(yīng)力強(qiáng)度條件求得的荷載以V表示，那么

T=_sm2a=.[a1

即：*2A4LJ

當(dāng)a=0?時(shí),尸,=匕145,=8,

a=20?時(shí)，?=口永祖,巴=231匕,

a=45?時(shí)，尸.=2[54,￡=15"U

a=60?時(shí)，戶.=4[”4,F,=1732[at4

由打、鳥隨n而變化的曲線圖中得出，當(dāng)a=50?時(shí)，桿件承受的荷載最大,

忸L=1732(%。

假設(shè)按膠合縫的5.到達(dá)M的同時(shí)，4亦到達(dá)用的條件計(jì)算

3

T=一。

那么.4.

p3F

—smaco$a=----cos2a

即：力4A

3

tana=一

4,a=3653

聊/4=18d即5的=⑸八辱156砂

那么A0.64

故此時(shí)桿件承受的荷載，并不是桿能承受的最大荷載BLO

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7-2(7-7)試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求圖示懸臂梁距離自由端為0.72m的截面上，在頂面以下

40mm的一點(diǎn)處的最大及最小主應(yīng)力，并求最大主應(yīng)力與x軸之間的夾角。

解：八。=10?072=7m

=10.55xl06N/ma=1055MPa

由應(yīng)力圓得可=+l0-66MPa

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7-3(7-8)各單元體面上的應(yīng)力如下圖。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求：

(1)指定截面上的應(yīng)力；

(2)主應(yīng)力的數(shù)值；

[3)在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。解：%〕q=25MPa工=26MPa

5=20MPa5=05=-40MPa

(b]q=-26MPa0=15MPacrt—30MPa巧=0=-30MPa

(c)q=-50L￡P(guān)a匕=05=0a2=a3=-50MPa

(d)=40MPa=lOMPa5=4lMPaq=0Oj=-61MPa=39*35*

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7-4(7-9)各單元體如下圖。試?yán)脩?yīng)力圓的幾何關(guān)系求：

(1)主應(yīng)力的數(shù)值；

(2)在單元體上繪出主平面的位置及主應(yīng)力的方向。

解：(a〕-160.5MPa%=0Oj=-30.5MPa4^=-2356*

(b〕5=360MPa5=0,5=-176MPa'=656

(c)5=0=-1625MPa=-53.75MPao:0=161,

(d)q=170MPa5=0%=716,

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7-5(7-10)平面應(yīng)力狀態(tài)下某點(diǎn)處的兩個(gè)截面上的應(yīng)力如下圖。試?yán)脩?yīng)力圓求該點(diǎn)處的

主應(yīng)力值和主平面方位，并求出兩截面間的夾角8值。

解：由按比例作圖中N,6兩點(diǎn)，作N8的垂直平分線交。軸于點(diǎn)C,以。為圓心，。或力

為半徑作圓，得

(或由2葭+/=014-38-萬尸+482

得x=48

半徑r-+4『?55.57)

(1)主應(yīng)力

⑵主方向角

(3)兩截面間夾角：

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7-6(7-13)在一塊鋼板上先畫上直徑d=300mm的圓，然后在板上加上應(yīng)力，如下圖。試

問所畫的圓將變成何種圖形？并計(jì)算其尺寸。鋼板的彈性常數(shù)后206GPa,V=0.28O

5歲

解:

所畫的圓變成橢圓，其中

4="弱=300x0+0364x]0-3）=300109mm（長軸）

=300x(]-0,07068x10^)=299979mm(短軸)

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7-7(7-15)單元體各面上的應(yīng)力如下圖。試用應(yīng)力圓的幾何關(guān)系求主應(yīng)力及最大切應(yīng)力。

解：(a)由燈平面內(nèi)應(yīng)力值作a,b點(diǎn),連接劭交。軸得圓心。(50,0〕

應(yīng)力圓半徑

故％=50+447=947MPa

(b)由X/平面內(nèi)應(yīng)力作a,6點(diǎn)，連接劭交。軸于。點(diǎn)，0(=30,故應(yīng)力圓半徑

那么：=30+50=80MPa

(c)由圖7-15(c)彩平面內(nèi)應(yīng)力值作a,b點(diǎn),圓心為0,半徑為50,作應(yīng)力圓得

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7-8(778)邊長為20nlm的鋼立方體置于鋼模中，在頂面上受力Q14kN作用。V=0.3,假設(shè)

鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦力可略去不計(jì)。試求立方體各個(gè)面上的正應(yīng)力。

-F-14xl03

4---------------T=-35MPa

解：'A20x20x10-6(壓)

%-0.3(-35+q)=0⑴

at-03(-35+47,,)=0⑵

聯(lián)解式(1］，(2〕得

q=q=-15MPa(壓〕

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7-9(7-20)氏120nm1,廬80mm的空心圓軸，兩端承受一對(duì)扭轉(zhuǎn)力偶矩」也，如下圖。在軸的

中部外表4點(diǎn)處，測(cè)得與其母線成45?方向的線應(yīng)變?yōu)椤?26X】0T。材料的彈性常數(shù)

￡=200GPa,v=03,試求扭轉(zhuǎn)力偶矩此。

TM,

T=--=

解：%WP方向如圖

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7-10(7-22)一直徑為25mm的實(shí)心鋼球承受靜水壓力，壓強(qiáng)為14MPao設(shè)鋼球的層210GPa,

V=0.3o試問其體積減小多少？

41-2也，、1-2匕,、3(1-2v)

解：體積應(yīng)變E52"EE

=654x10-2=0.654mm$

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7-11(7-23)圖示單元體材料的彈性常數(shù)E=200GPa,v=03o試求該單元體的形狀改變能

密度。

70+30

解：主應(yīng)力:~2~

形狀改變能密度:

—1+03(447,+447’+894a)x10ia

=6x200x10*

=1299xlO3N/m3=13.0kNm/mJ

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7-12(7-25)一簡(jiǎn)支鋼板梁承受荷載如圖a所示，其截面尺寸見圖b。鋼材的許用應(yīng)力為

[a]=170MPa.[r]=100MPao試校核梁內(nèi)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力，并按第四強(qiáng)度理論

校核危險(xiǎn)截面上的點(diǎn)a的強(qiáng)度。

注：通常在計(jì)算點(diǎn)a處的應(yīng)力時(shí)近似地按點(diǎn)，的位置計(jì)算。

解：S'*=240x20x410xl0-#+10x400x200xl0'a

=277x107

(1)梁內(nèi)最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上、下邊緣

超過匕)的5.3%尚可。

(2〕梁內(nèi)最大剪應(yīng)力發(fā)生在支承截面的中性軸處

(3)在集中力作用處偏外橫截面上校核點(diǎn)a的強(qiáng)度

出超過匕]的3.53%,在工程上是允許的。

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7-13(7-27)受內(nèi)壓力作用的容器，其圓筒局部任意一點(diǎn)Z(圖a)處的應(yīng)力狀態(tài)如圖b所

示。當(dāng)容器承受最大的內(nèi)壓力時(shí)，用應(yīng)變計(jì)測(cè)得與=188'10:弓=737乂1。3。鋼材的彈

性模量后210GPa,泊松比V=0.3,許用應(yīng)力⑸=170MPa。試按第三強(qiáng)度理論校核4點(diǎn)的

強(qiáng)度。

解:

5=叼=183Ma,/=3=62.8MPa,5=0

根據(jù)第三強(qiáng)度理論：53=5-%=183Mpa

13超過6］的7.64%,不能滿足強(qiáng)度要求。

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第八章組合變形及連接局部的計(jì)算

8T8-28-38-48-58-68-78-88-98T0下頁

8-114號(hào)工字鋼懸臂梁受力情況如下圖。/=0.8m,月=25kN,=1OkN,試求危險(xiǎn)截

面上的最大正應(yīng)力。

解：危險(xiǎn)截面在固定端

3x25x103x0810xl0?xQ8

=2X102X10-6+16.1x10^

=791MPa

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8-2受集度為。的均布荷載作用的矩形截面簡(jiǎn)支梁，其荷載作用面與梁的縱向?qū)ΨQ面間的

夾角為a=3(T,如下圖。該梁材料的彈性模量E=10GPa；梁的尺寸為/=4m/=160mm,

i=120mm；許用應(yīng)力⑸=12MPa；許可撓度卜上而。試校核梁的強(qiáng)度和剛度。

解：=,N=，。皿『

〃w--ql3c0t30,30'<2c.

AJ+"x=8：________+8_________=空r3(cos30+sm30

Wt町，―史hb^_~ibhhb

66

432

JJ

6x2xlOx42j

(2)=1197xlOPa=12.0MPa=[cr]

=8x120x160x10-,0160L

0.120,強(qiáng)度平安

5x1勿的30丁Xj5X127COS30*/4

,384嗎384的川'3845Z,384研始

5x12x4*x2xl03

=384xl0xl09X120X160X10-6

人…ri4

00202m<lw=-m

=1J150剛度平安。

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8-3(8-5)圖示一懸臂滑車架，桿46為18號(hào)工字鋼，其長度為/=2.6m。試求當(dāng)荷載尸=25kN

作用在48的中點(diǎn)〃處時(shí)，桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。設(shè)工字鋼的自重可略去不計(jì)。

解：18號(hào)工字鋼郎=1.85乂10<11?,/=306xl0-m2,AB桿系彎壓組合變形。

￡犯=0,%51n30./=月1尸第=25小

〃*=9>刑30"!25xlx—

中叱2=22=1625kNm

_1625xl0325x10」xf

°皿=185X10-4+306x10'=8783+7.07=949MPa(壓)

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8-4(8-6)磚砌煙囪高*=30m,底截面m-m的外徑"i=-''m,內(nèi)徑力=/m,自重A=20Q°kN,

受g=】kN/m的風(fēng)力作用。試求：

(1)煙囪底截面上的最大壓應(yīng)力；

(2〕假設(shè)煙囪的根底埋深出=4皿，根底及填土自重按瑪=10。0旨計(jì)算，土壤的許用壓應(yīng)

力匕］=Q3MPa,圓形根底的直徑。應(yīng)為多大？

注：計(jì)算風(fēng)力時(shí)，可略去煙囪直徑的變化，把它看作是等截面的。

解：煙囪底截面上的最大壓應(yīng)力：

=0.508MPa+0.212MPa=072MI'a(S：i

土壤上的最大壓應(yīng)力0g：

即D2D3

即0.3^3-3.82。-5.81=0

解得：Z)=4.17m

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8-5(8-8)試求圖示桿內(nèi)的最大正應(yīng)力。力尸與桿的軸線平行。

解：5；=4axax(-2a)+4ax2axa=0,?為形心主軸。

固定端為危險(xiǎn)截面，其中:

軸力0=尸，彎矩%=-次，Mt--2Fa

小嗒+小纖+喈a(chǎn)4/

A點(diǎn)拉應(yīng)力最大

p

2+空2a些=05720

=12a332/=2Mas

8點(diǎn)壓應(yīng)力最大

2Faa17F=■0258與

4a-

=12a3Ua*2=66a7

瞑=0572?

因此

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8-6(8-9)有一座高為1.2m、厚為0.3m的混凝土墻，澆筑于牢固的根底上，用作擋水用的

小壩。試求：

(1)當(dāng)水位到達(dá)墻頂時(shí)墻底處的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力(設(shè)混凝土的密度為

2.45x1mkg任b.

(2)如果要求混凝土中沒有拉應(yīng)力，試問最大許可水深力為多大？

解：以單位寬度的水壩計(jì)算：

水壓：%='乂9812=1176kM7m

混凝土對(duì)墻底的壓力為：

JF=-xlx03a=1SxlO^m5

墻壩的彎曲截面系數(shù):6

墻壩的截面面積：^4=03x1=0.3m

墻底處的最大拉應(yīng)力?on：為:

一看1,多h明黯一手”…

=0.188-0.0288=0.159MPa

當(dāng)要求混凝土中沒有拉應(yīng)力時(shí)：5=0

與PA

±--------—=0

即卯A

1.,,,V

彳鼻助’?