河北省部分重點(diǎn)高中2024年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

河北省部分重點(diǎn)高中2024年高考數(shù)學(xué)四模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)5處，在C處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么5,C兩點(diǎn)間的距離

C.80海里D.8G海里

x-y..O

已知羽V滿足卜+y.0,則y-3

2.的取值范圍為（)

x-2

X..1

3

A.-,4B.(1,2]C.(-oo,0][2,+oo)D.(^?,l)o[2,+co)

3.下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8）的是（)

A.J=|lg(-v+l)|B.y=x2C.y=2"D.y=ln|%|

4.若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)

了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計(jì)圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費(fèi)比剛退休時(shí)少100元，則目前

該教師的月退休金為（）.

5.在邊長為的菱形ABC。中，4W=60。，沿對(duì)角線3。折成二面角A—C為120。的四面體ABCD（如

圖），則此四面體的外接球表面積為（）

A.28?B.7%

C.14〃D.2171

22

6.已知橢圓C：5+==1（。〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，工，點(diǎn)P（玉，X），Q（—玉,一%）在橢圓C上，其

ab

中芯>0,以〉0,若|PQ|=2|O閶，||||>^,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.J。,怨]B.（0,76-2]

C.后書—1D.（0,73-1]

7.已知函數(shù)〃尤）=|cosx|+sinx,則下列結(jié)論中正確的是

①函數(shù)f（x）的最小正周期為汽；

②函數(shù)f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；

③函數(shù)/（x）的極大值為0;

④函數(shù)f（x）的最小值為-1.

A.①③B.②④

C.②③D.②③④

8.已知復(fù)數(shù)z滿足z=4l—i）,（i為虛數(shù)單位），貝！|目=（）

A.V2B.73C.2D.3

22

9.已知雙曲線C:4=1（。>0力>0）的焦距為2c,過左焦點(diǎn)6作斜率為1的直線交雙曲線C的右支于點(diǎn)P,若線

ab

段P耳的中點(diǎn)在圓0：必+丁=02上，則該雙曲線的離心率為（）

A.yp2B.2夜C.拒+1D.272+1

10.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào),用其名字命名的“高斯函數(shù)”為:設(shè)xeR,

用國表示不超過x的最大整數(shù)，則丁=國稱為高斯函數(shù)，例如：[-0.5]=—1,[1.5]=1,已知函數(shù)

“x）=4'T—3-2*+4（0<%<2）,則函數(shù)丁=[/（%）]的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.-B.{-1,0,1}C.{-1,0,1,2}D.{0,1,2）

11.阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，他死后的墓碑上刻著一個(gè)

22

“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的；，且球的表面積也是圓柱表面積的；”

33

這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為24〃，則該圓柱的內(nèi)切球體積為（）

416

A.-7iB.167rC.—71

33

12.已知復(fù)數(shù)z滿足：zi=3+4i（i為虛數(shù)單位），則[=（)

A.4+3zB.4—3zC.—4+3zD.—4—31

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一底面半徑和高都是2帆的圓柱形容器中盛滿小麥，有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現(xiàn)從中隨機(jī)取出的2加3

種子，則取出了帶麥銹病種子的概率是.

14.秦九韶算法是南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡化算法，如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)

式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入〃，x的值分別為4,5,則輸出P的值為.

15.已知全集為R,集合4={尤?2一%=0},3={-1,0},則A!3=.

co4x+2y

16.設(shè)羽y為正實(shí)數(shù)，若4/+/+沖=1則20/+11口+5）,2的取值范圍是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C：—+￡=1（。〉人〉0）的長半軸長為夜，點(diǎn)（l,e）（e為橢圓。的離心率）在橢圓C上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖，P為直線1=2上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P橢圓。上點(diǎn)處的切線為RI,PB,切點(diǎn)分別A,B,直線X=a與直

線Q4,P3分別交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M,N的縱坐標(biāo)分別為祖，“，求的值.

18.（12分）已知都是大于零的實(shí)數(shù).

(1)證明幺+幺..〃+匕；

ba

a1,

(2)若a>b,證明〃9+77+----->4.

b'a(a-b)

Y——Q-4~

19.(12分)在直角坐標(biāo)系中，直線/的參數(shù)方程為、'(?為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半

16

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為夕92=-------.

l+3sin'3

(1)求。和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知P為曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段0尸的中點(diǎn)4到直線/的最大距離.

20.(12分)記S“為數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，已知5“=/,等比數(shù)列｛%｝滿足4=q,

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求也｝的前〃項(xiàng)和小

21.(12分)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測(cè)將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測(cè)一件產(chǎn)品，檢測(cè)后不放回，

直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)檢測(cè)結(jié)束.

(1)求第一次檢測(cè)出的是次品且第二次檢測(cè)出的是正品的概率；

(2)已知每檢測(cè)一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元，設(shè)X表示直到檢測(cè)出2件次品或者檢測(cè)出3件正品時(shí)所需要的檢測(cè)費(fèi)用(單

位：元)，求X的分布列.

2

22.(10分)已知橢圓C：—+/=1,不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓C交于N兩點(diǎn).

4

(I)若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，,g],求直線/的方程；

(II)若直線/過點(diǎn)(4,0),點(diǎn)P(/,0)滿足七用+女9=05,%v分別為直線PM,PN的斜率)，求無。的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形A3C的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合A3可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：N5AC=70。-40。=30。./4。。=110。，AZACB=110°-65。=45。,

/.ZABC=180°-30°-45°=105°.X45=24x0.5=12.

BC

sin300?

12BC

即也一1，：.BC=6日

V2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

2、C

【解析】

v—3

設(shè)左二2—，則%的幾何意義為點(diǎn)(羽丁)到點(diǎn)(2,3)的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

x-2

【詳解】

解：設(shè)左=金，則左的幾何意義為點(diǎn)尸(x,y)到點(diǎn)。(2,3)的斜率，

x-2

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由圖可知當(dāng)過點(diǎn)。的直線平行于X軸時(shí)，此時(shí)左=二=0成立;

%—2

左=二取所有負(fù)值都成立;

x—2

當(dāng)過點(diǎn)4時(shí)，左=三取正值中的最小值，，X=1y-31-3

x—2[x-y=0x-21-2

故上的取值范圍為(-8,0]2+8);

x-2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)問題，解題時(shí)作出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.對(duì)

于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.

3、B

【解析】

分別作出各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.

【詳解】

對(duì)于A,y=|ig(x+i)|圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=|ig(x+i)|在定義域上不單調(diào)，a錯(cuò)誤;

1

對(duì)于3,丁=》5=?的圖象如下圖所示：

則y=?在定義域上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?,+8）,6正確;

對(duì)于C,>=2工的圖象如下圖所示:

則函數(shù)y=2'單調(diào)遞增，但值域?yàn)椋?,+"）,C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，y=InW的圖象如下圖所示：

則函數(shù)了=足忖在定義域上不單調(diào)，。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可.

【詳解】

設(shè)目前該教師的退休金為X元，則由題意得：6000X15%-XX1O%=1.解得x=2.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

畫圖取的中點(diǎn)M,法一：四邊形Oq/Q的外接圓直徑為OM,即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據(jù)

Oq=石，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出ACBD的外接圓直徑CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半徑從而求外接球表面積；

【詳解】

如圖，取3。的中點(diǎn)M,ACBD和AABD的外接圓半徑為彳=々=2,ACBD和AAHD的外心。i,。2到弦BD的

距離（弦心距）為4=4=1?

法一：四邊形0aMQ的外接圓直徑OM=2,R=",

S=287r；

法二：OOi=73,R=用,s=23兀；

法三：作出ACBZ）的外接圓直徑CE,則AM=CM=3,CE=4,ME=1,

「7+16-271

AE=BAC=36cos/A￡C=2."4=-2廳

3百2R=———=^^=2A/7廠

smZAEC=—^,sinZAEC3G，R=W，S=28〃.

2s2近

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查三棱錐的外接球表面積，關(guān)鍵點(diǎn)是通過幾何關(guān)系求得球心位置和球半徑,方法較多，屬于較易題目.

6、C

【解析】

根據(jù)|PQ|=2|O閭可得四邊形為矩形，設(shè)因=〃，P瑪=%根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理可得

4cmnmn八4c4^/3

工1~元=一+一,再分析/=一+一的取值范圍，進(jìn)而求得2<小~八三一「再求離心率的范圍即可.

—cjnmnmL\a-cJ3

【詳解】

設(shè)=n,PF2=m,由占>0,%>0,知7”<〃,

因?yàn)镻(&yJ,Q(—玉,一％)在橢圓C上尸@=-2\OP\=2\OF^,

所以四邊形為矩形，。耳=

PFXQF2PF2.

由黑可得立<生<1,

33n

由橢圓的定義可得加+〃=2%根2+〃2=4/①

平方相減可得mn=2(/—0?)②，

一4c2m2+n2mn

由①②得“22\——+；

2(〃—c1mnnm

.mn

令/=一+一,

nm

?mFA/3]'

令v=-e—,1,

n|_3J

所以/=丫+丫€12,§:

.4c2/473

即2<(22\WR，

2(〃-c\3

所以a2—02<g2<乎1—")，

所以1—e2<e2<乎(1—e2),

所以;<e2<4-2A/3,

解得正<e46-1.

2

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義運(yùn)用以及構(gòu)造齊次式求橢圓的離心率的問題,屬于中檔題.

7、D

【解析】

因?yàn)?(%+兀)=|cos(>:+7t)|+sin(%+7r)=|cos%|-sinxwf(x),所以①不正確；

因?yàn)閒(1)=1cosx|+sinx,所以/(^+x)=|cos(^+x)\+sin(-^+x)=|sinx|+cosx,

/(f-x)=|cos(f-x)|+sin(|-x)=|sinx|+cos.,所以嗎+》)=嗎-1

所以函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，②正確；

易知函數(shù)/(X)的最小正周期為2%,因?yàn)楹瘮?shù)/■(*)的圖象關(guān)于直線X=g對(duì)稱，所以只需研究函數(shù)/■(%)在［看,號(hào)］上

的極大值與最小值即可.當(dāng)工<xK加時(shí)，/(x)=-cosx+sinx=V2sin(x-^),且號(hào)，令x-?=g,得

22444442

X=—,可知函數(shù)/在X=3處取得極大值為垃，③正確；

44

因?yàn)槭?，所?lW0sin(x-2)4點(diǎn)，所以函數(shù)/(X)的最小值為—1,④正確.

4444

故選D.

8、A

【解析】

z=z(l-z)=l+z,故|z|=JL故選A.

9、C

【解析】

設(shè)線段尸耳的中點(diǎn)為A,判斷出A點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)線段P耳的中點(diǎn)為A,由于直線耳尸的斜率是1,而圓0:好+丁2=02,所以A(o,C).由于。是線段月月的中點(diǎn)，

所以歸閭=2|Q4|=2c,而|尸耳|=2|A￡|=2x缶=2岳,根據(jù)雙曲線的定義可知?dú)w耳卜歸閶=2a,即

2亞c-2c=2a，即？=JzT'L

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔

題.

10、B

【解析】

利用換元法化簡/（“解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得了（九）的取值范圍，由此求得丁=［/（%）］的

值域.

【詳解】

14%1/\2

因?yàn)?（X）=4、-5_32+4（0〈尤<2）,所以丁=萬一32'+4-3-2+4,令丁=/（l<r<4）,則

42

113

/（0=-/92-3r+4（i<r<4）,函數(shù)的對(duì)稱軸方程為/=3,所以7>⑺而n=y（3）=—a，=/（1）=-，所以

/（x）e-，￡|，所以尸［/（切的值域?yàn)椋鸗,?！?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想,

換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).

11、D

【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑為廠,則其母線長為/=2r,由圓柱的表面積求出廠,代入圓柱的體積公式求出其體積，結(jié)合題中的結(jié)論

即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.

【詳解】

設(shè)圓柱的底面半徑為r，則其母線長為/=2r,

因?yàn)閳A柱的表面積公式為S圓柱表=2%,+2兀八,

所以2;z■戶+2irx2r=24乃，解得r=2,

因?yàn)閳A柱的體積公式為％柱=5/，=Q?2r,

所以/柱=萬義2義23=16%,

由題知，圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的

所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為

V2232乃

V=§腺柱=§xl6〃=亍.

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握?qǐng)A柱的表面積和體積公式是求解本題的關(guān)鍵;

屬于中檔題.

12、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算求出z,再根據(jù)共飄復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

,.3+4，3z—4.

由zz=3+4z,則z=------=-------=4-3z,

i-1

所以口4+3"

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共朝復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13s---

4乃

【解析】

求解2機(jī)3占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.

【詳解】

21

解：由題意可得：取出了帶麥銹病種子的概率=——；—=—

TTX2-X24乃

故答案為：--.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎(chǔ)題.

14、1055

【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖中的程序，即可求得結(jié)果.

【詳解】

模擬執(zhí)行程序如下：

"=4,x=5

v=1,z=3,滿足i>0,

v=8,z=2,滿足i>0,

v=42,r=1,滿足i>0,

v=211,z=0,滿足，>0,

v=1055,z=-l,不滿足后0,

輸出v=1055.

故答案為：1055.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行，屬基礎(chǔ)題.

15、{-1,0,1}

【解析】

先化簡集合A,再求AUB得解.

【詳解】

由題得A={0,l},

所以AUB={-l,0,l}.

故答案為{-1,0,1}

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡和并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

【解析】

根據(jù)4/+/+呼=1,可得4/+/=1一盯，進(jìn)而（2%+同2=1+3沖=1+^2沖+,有

g.4x+2y_2（2x+y）_2（2x+y）2（2x+y）回

（X+V）2-5,20x2+llxy+5y25（4x2+y2）+lIxy5+6xy2（2x+y）2+3,2x+y-te（0,*],

2t

得到了（。=五有，再用導(dǎo)數(shù)法求解，

【詳解】

因?yàn)?%2+/+沖=1,

所以4x2+y2-xy,

所以（2x+y）2=1+3孫=1+12孫<1+，

所以（2x+y『W：,

、4%+2y_2（2%+y）_2（2%+y）_2（2x+y）

所以2012+ii盯+5,25（4X2+j；2）+llxy5+6孫2（2x+y）2+3

Q2t

令2x+y=/e（0,，/，亍方

』

所以/'")=-4+6

(2入3丫'

當(dāng)o</<J|時(shí)，r(o>o,當(dāng)時(shí)，/'⑺＜。

eefaAL-\/6

故答案為：(0,J]

6

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的應(yīng)用和導(dǎo)數(shù)法求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題,

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）y+y2=l；（2）2V2-3.

【解析】

1212—h2

（1）因?yàn)辄c(diǎn)（l,e）在橢圓C上，所以3+==1，然后，利用02=〃—^,e=c_,得出3+巴==1,進(jìn)而求

abaaab

解即可

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2/）,直線AP的方程為y=4（x—2）+/,直線8P的方程為y=匕（x—2）+f,分別聯(lián)立方

必2k+k=2t

----Fy=1l2

程：〈2和＜/1，利用韋達(dá)定理，再利用根=左（、無一2）+/,〃=自（行—2）+人即可求出

匕左2=

y=%(x—2)+12

mn的值

【詳解】

（1）由橢圓。的長半軸長為點(diǎn)，得a=B

因?yàn)辄c(diǎn)（Le）在橢圓C上，所以=1.

又因?yàn)?2=儲(chǔ)—〃，e=￡,所以二+=11=1,

aaab

所以b=—l（舍）或b=l.

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為J+V=1.

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2/）,直線AP的方程為丁=勺（］—2）+?，直線族的方程為y=&（x—2）+"

「2

X|2_］

據(jù)｛5+y—得（24+1）尤2+4勺?_2&）%+2?—2勺）2—2=0.

y=k］（%_2）+1

據(jù)題意，得16封（—2匕『—4（2片+1）［2（f——2］=0,得26—4%+〃—1=0,

同理，得2月一4次2+/—1=0,

k\+k?=It

所以r2-i.

W=(-

又可求，得力二勺(—2)+%,72=左2(—2)+，，

所以加=,(忘-2)+][%(④-2)+]

=(6—4⑹4+(后_2)(匕+42)+?

=(3-2⑹,2f+2(后―2卜2+/

=272-3-

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，屬于

中檔題

18、(1)答案見解析.(2)答案見解析

【解析】

(1)利用基本不等式可得土+夠a,Z+a2b,兩式相加即可求解.

ba

(b2(a—b}

(2)由(1)知力.)a+b——=而+=——代入不等式，利用基本不等式即可求解.

IaJa

【詳解】

2j2

(1)—+/??6Z,一+〃2b

ba

j22

兩式相加得幺+幺..〃+匕

ab

2

,、缶/、啟2/入b}_入b\a-b)

(2)由(1)知a..ba+b-----—cibH-------------------------

、aJa

▼=2a1,b2(a-b)a1

于是，a+—+----------..ab+-----------+—+----------

ba(a-b)aba(a-b)

(,a\(b2(a-b)1'

Ib~Jyaa(a—b),

c〃J

..2-+2->4.

ba

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19、(1)—+^-=1.x->/3y-9=0.(2)最大距離為

1642

【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的公式計(jì)算得到答案.

X=4COS6Z,/、

(2)曲線C的參數(shù)方程為0.，設(shè)P(4cosa,2sin。)，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離公式得到答案.

y=2sma

【詳解】

1A

(1)由夕2=------——,得夕之+30之sin?。=16,

l+3sin0

則曲線C的直角坐標(biāo)方程為必+4/=16,即土+22=1.

164

直線1的直角坐標(biāo)方程為x-退〉-9=0.

x=4cos。，

(2)可知曲線C的參數(shù)方程為0.(戊為參數(shù)),

y=2sma

設(shè)P(4cosa,2sina),ae[0,2/r),

則M(2cosa,sina)到直線l：x-Cy—9=0的距離為

12cosa-gsina—177sin(9—a)-919+近

d———

2

所以線段。尸的中點(diǎn)M到直線/的最大距離為22.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程，距離的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

/*\3"11

20、(1)4=2"—l(〃eN)(2)當(dāng)q=3時(shí)，4=萬一萬；當(dāng)q=—3時(shí)，T=-(-3)-

n4

【解析】

(1)利用數(shù)列4與S”的關(guān)系，求得4=2〃-1；

(2)由(1)可得：b,=l,4=9,算出公比4,利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出北.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，%=S]=1,

當(dāng)〃22時(shí),an=Sn—Sn_1

2

=〃2-(n-1)

二2〃—1,

因?yàn)椋?1適合上式，

所以?！?2〃-l(〃eN*).

(2)由(1)得4=1,4=9，

設(shè)等比數(shù)列｛〃｝的公比為彘則&=4―/=9,解得4=±3,

當(dāng)好3時(shí)，「…/，

"1-322

當(dāng)"-3時(shí)，TJ-：工

'"1-(-3)44

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列冊(cè)與S“的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前九項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算求解能力.

3

21、(1)—；(2)見解析.

【解析】

(1)利用獨(dú)立事件的概率乘法公式可計(jì)算出所求事件的概率；

(2)由題意可知隨機(jī)變量X的可能取值有200、300、400,計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的概率，由此可得出

隨機(jī)變量X的分布列.

【詳解】