廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，其40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）化簡的結(jié)果等于（）A． B． C． D．2．（5分）式子cos12°sin42°﹣cos42°sin12°的值等于（）A． B． C． D．3．（5分）已知向量＝（3，4），＝（x，﹣6），且，則實數(shù)x＝（）A． B． C．﹣8 D．84．（5分）函數(shù)的最小值和周期分別是（）A． B． C． D．5．（5分）以下區(qū)間中，使關(guān)于x的不等式sinx＞cosx成立的是（）A． B． C． D．（π，2π）6．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為，則等于（）A． B． C． D．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinπx的圖象的一部分如圖（1）所示，則圖（2）中的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A． B． C． D．y＝f（2x﹣1）8．（5分）已知向量，若，則＝（）A． B． C．或 D．或二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。（全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）已知向量，，則（）A．與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為 B．當(dāng)t＝2時，與的夾角為銳角 C．當(dāng)t＝1時，、可作為平面內(nèi)的一組基底 D．當(dāng)t＝4時，在方向上的投影向量為（多選）10．（6分）函數(shù)的圖像與直線y＝a（a為常數(shù)）的交點(diǎn)可能有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個（多選）11．（6分）設(shè)，其中a∈R，a≠0，則（）A．f（x）相鄰兩個最高點(diǎn)之間的距離是π B．f（x）≤2a C．f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 D．f（x）的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。12．（6分）已知點(diǎn)A（1，2），B（4，﹣3），點(diǎn)M在線段AB上，且||＝||，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．13．（6分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知圓O是以原點(diǎn)O為圓心，半徑長為4的圓，一個質(zhì)點(diǎn)在圓O上，以B為始點(diǎn)，沿逆時針方向勻速運(yùn)動，每3秒轉(zhuǎn)一圈，則該質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)y關(guān)于時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是．14．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，，DE與BF相交于O．若AD＝2，，則AB的長為．四、解答題：本題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝2，BC＝2，點(diǎn)D在邊BC上，且∠ADC＝60°．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）求線段AD的長．16．（15分）已知向量和，則，，求：（1）的值；（2）的值；（3）2+與的夾角θ的余弦值．17．（15分）已知角，求下面式子的值：（1）tanA；（2）；（3）tan3A．18．（17分）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM＝PN＝MN＝3km．（1）當(dāng)∠AMN＝30°時，求線段AP的長度；（2）問如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪音對居民的影響最?。浚垂S與村莊的距離最遠(yuǎn)）19．（17分）定義非零向量，若函數(shù)解析式滿足f（x）＝msinx+ncosx，則稱f（x）為向量的“m﹣n伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)f（x）的“源向量”．（1）已知向量為函數(shù)g（x）的“源向量”，若方程在[0，2π]上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；（2）已知點(diǎn)A（m，n）滿足3n2+m2﹣4mn＜0，向量的“m﹣n伴生函數(shù)”h（x）在x＝a時取得最大值，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，求tan2a的取值范圍；（3）已知向量的“0﹣1伴生函數(shù)”F（x）在x＝t時的取值為．若△ABC中，，點(diǎn)O為該三角形的外心，求的最大值．參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，其40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）化簡的結(jié)果等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的三角形法則，即可求解．【解答】解：根據(jù)向量的三角形法則，可得．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查向量的加法運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．2．（5分）式子cos12°sin42°﹣cos42°sin12°的值等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：原式＝sin42°cos12°﹣cos42°sin12°＝sin（42°﹣12°）＝sin30°＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了兩角差的正弦公式，是基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量＝（3，4），＝（x，﹣6），且，則實數(shù)x＝（）A． B． C．﹣8 D．8【分析】結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：＝（3，4），＝（x，﹣6），且，則3x﹣4×6＝0，解得x＝8．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）函數(shù)的最小值和周期分別是（）A． B． C． D．【分析】結(jié)合輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：f（x）＝sin（4x+）﹣cos（4x+）＝2[sin（4x+）﹣cos（4x+）]＝2sin（4x+），故最小值為﹣2，T＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）以下區(qū)間中，使關(guān)于x的不等式sinx＞cosx成立的是（）A． B． C． D．（π，2π）【分析】在一個周期范圍內(nèi)，分四種情況討論正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性，比較sinx與cosx的大小，從而得到所求結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)x∈[0，）時，由于y＝sinx在（0，）上為增函數(shù)，y＝cosx在（0，）上為減函數(shù)，且sin＝cos＝，所以當(dāng)x∈（0，）時，sinx＜cosx成立；當(dāng)x∈（，）時，sinx＞cosx成立．②當(dāng)x∈（，π]時，sinx≥0且cosx＜0，結(jié)合sin＝1＞cos＝0，可知x∈[，π]時，sinx＞cosx恒成立．③當(dāng)x∈（π，）時，y＝sinx在（π，）上為減函數(shù)，y＝cosx在（π，）上為增函數(shù)，且sin＝cos＝﹣，所以當(dāng)x∈（π，）時，sinx＞cosx成立；x∈（，）時，sinx＜cosx成立．④當(dāng)x∈[，2π）時，由于sinx＜0且cosx≥0，所以sinx＜cosx恒成立．綜上所述，使關(guān)于x的不等式sinx＞cosx成立的區(qū)間為（，）．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為，則等于（）A． B． C． D．【分析】由三角形面積公式，結(jié)合正弦定理及余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面積為，則，即c＝4，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得：a2＝13，即，由正弦定理可得：＝＝，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形面積公式，重點(diǎn)考查了正弦定理及余弦定理，屬基礎(chǔ)題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝sinπx的圖象的一部分如圖（1）所示，則圖（2）中的函數(shù)圖象所對應(yīng)的函數(shù)解析式是（）A． B． C． D．y＝f（2x﹣1）【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮和平移變換法則，即可得解．【解答】解：圖1的橫坐標(biāo)先縮短為原來的，再向右平移個單位長度，縱坐標(biāo)均不改變，可得到圖2對應(yīng)的圖象，所以圖2對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝f（2x﹣1）．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，理解函數(shù)圖象的伸縮和平移變換法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知向量，若，則＝（）A． B． C．或 D．或【分析】結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及同角基本關(guān)系先求出sinα，cosα，然后結(jié)合和差角公式即可求解．【解答】解：因為向量，若，則﹣cosα+sinα＝，兩邊平方得，1﹣2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝，所以sinα＝，cosα＝，所以cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣，sin2α＝2sinαcosα＝2×＝，＝（cos2α﹣sin2α）＝（﹣）＝﹣．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同角基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。（全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）（多選）9．（6分）已知向量，，則（）A．與方向相同的單位向量的坐標(biāo)為 B．當(dāng)t＝2時，與的夾角為銳角 C．當(dāng)t＝1時，、可作為平面內(nèi)的一組基底 D．當(dāng)t＝4時，在方向上的投影向量為【分析】根據(jù)與方向相同的單位向量為可判斷A選項；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B選項；判斷出、不共線，可判斷C選項；利用投影向量的定義可判斷D選項．【解答】解：對于A，與方向相同的單位向量為，故A錯誤；對于B，當(dāng)t＝2時，，，，所以，與的夾角為銳角，故B正確；對于C，當(dāng)t＝1時，，，則3×1≠﹣2×2，則與不平行，、可作為平面內(nèi)的一組基底，故C正確；對于D，設(shè)與的夾角為θ，則在方向的投影向量為，當(dāng)t＝4時，，，，，所以，故D錯誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了投影向量的定義，屬于中檔題．（多選）10．（6分）函數(shù)的圖像與直線y＝a（a為常數(shù)）的交點(diǎn)可能有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及函數(shù)圖象的變換即可求解．【解答】解：作出的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像可知，y＝a與其的交點(diǎn)可能有0個，1個，3個．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題主要考查了正弦函數(shù)圖象的變換，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（6分）設(shè)，其中a∈R，a≠0，則（）A．f（x）相鄰兩個最高點(diǎn)之間的距離是π B．f（x）≤2a C．f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 D．f（x）的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱【分析】利用輔助角公式化簡f（x）＝2asin（2x+），結(jié)合正弦函數(shù)的圖象特征以及性質(zhì)逐一對命題進(jìn)行判斷即可求解．【解答】解：f（x）＝asin2x+acos2x＝2asin（2x+），所以f（x）的最小正周期為π，對于A，f（x）相鄰兩個最高點(diǎn)之間的距離為T＝π，故正確；對于B，因為a≠0，所以f（x）的值域為[﹣2|a|，2|a|]，所以f（x）≤2|a|，故錯誤；對于C，當(dāng)a＞0時，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，同理可求，當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故錯誤；對于D，f（x）的圖象向左平移個單位長度得到的函數(shù)f（x+）＝2asin（2x+）＝2acos2x，為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對稱，故正確．故選：AD．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分。12．（6分）已知點(diǎn)A（1，2），B（4，﹣3），點(diǎn)M在線段AB上，且||＝||，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得結(jié)論．【解答】解：因為點(diǎn)M在線段AB上，且||＝||，則有，又點(diǎn)A（1，2），B（4，﹣3），設(shè)M（x，y），則有，即，解得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．13．（6分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知圓O是以原點(diǎn)O為圓心，半徑長為4的圓，一個質(zhì)點(diǎn)在圓O上，以B為始點(diǎn)，沿逆時針方向勻速運(yùn)動，每3秒轉(zhuǎn)一圈，則該質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)y關(guān)于時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是y＝4sin（t+），t∈[0，+∞）．【分析】根據(jù)題意求出A、T和ω、φ，即可寫出函數(shù)解析式．【解答】解：由題意知，A＝4，T＝3，所以ω＝＝，又φ＝，所以質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式是：y＝4sin（t+），t∈[0，+∞）．故答案為：y＝4sin（t+），t∈[0，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．（6分）如圖，在平行四邊形ABCD中，，DE與BF相交于O．若AD＝2，，則AB的長為4．【分析】先以為基底表示，再利用向量的數(shù)量積把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求得AB的長．【解答】解：在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，與BF相交于O，設(shè)，則，＝，由，可得，則，解之得，則，則，又AD＝2，則，解得，即AB的長為4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝2，BC＝2，點(diǎn)D在邊BC上，且∠ADC＝60°．（Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）求線段AD的長．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)余弦定理即可求出；（Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和正弦定理即可求出．【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)余弦定理：＝，（Ⅱ）因為0＜B＜π，所以sinB＞0，，∵∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，根據(jù)正弦定理得：，∴＝4．【點(diǎn)評】本題考查利用正余弦定理，同角的三角函數(shù)的關(guān)系，同時考查了學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．屬于中檔題．16．（15分）已知向量和，則，，求：（1）的值；（2）的值；（3）2+與的夾角θ的余弦值．【分析】（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義即可求解；（2）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)與定義即可求解；（3）根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解．【解答】解：（1）∵，，，∴＝＝2；（2）∵＝4×4+4×2+4＝28，∴＝；（3）∵（+）?＝＝2×2+4＝8，∴cos＝＝＝．【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．17．（15分）已知角，求下面式子的值：（1）tanA；（2）；（3）tan3A．【分析】（1）結(jié)合同角基本關(guān)系即可求解；（2）結(jié)合二倍角公式及和差角公式即可求解；（3）結(jié)合兩角和的正切公式即可求解．【解答】解：（1）因為，所以sinA＝＝，tanA＝＝；（2）由（1）得，tan2A＝＝＝，＝＝＝﹣；（3）tan3A＝tan（A+2A）＝＝＝﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，和差角公式，二倍角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（17分）如圖，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N（異于村莊A），要求PM＝PN＝MN＝3km．（1）當(dāng)∠AMN＝30°時，求線段AP的長度；（2）問如何設(shè)計，使得工廠產(chǎn)生的噪音對居民的影響最小？（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）【分析】（1）根據(jù)題意分析可得∠PMA＝∠MNA＝90°，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）在△AMN中，利用正弦定理進(jìn)行邊化角可得，在△AMP中，利用余弦定理結(jié)合三角恒等變換整理可得AP2＝15﹣12sin（2θ+150°），以2θ+150°為整體結(jié)合正弦函數(shù)求AP2的最大值．【解答】解：（1）因為∠AMN＝30°，∠BAC＝60°且PM＝PN＝MN＝3，故∠PMN＝60°，故∠PMA＝∠MNA＝90°，故，則；（2）設(shè)∠AMN＝θ，由題意∠AMP＝θ+60°，在△AMN中，由正弦定理，則在△AMP中，由余弦定理可得：＝＝15﹣12sin（2θ+150°），又由（1）可得0°＜θ＜120°，則2θ+150°∈（150°，390°），當(dāng)且僅當(dāng)2θ+150°＝270°，即θ＝60°時，AP2取得最大值，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小，此時AN＝AM＝3km．【點(diǎn)評】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19．（17分）定義非零向量，若函數(shù)解析式滿足f（x）＝msinx+ncosx，則稱f（x）為向量的“m﹣n伴生函數(shù)”，向量為函數(shù)f（x）的“源向量”．（1）已知向量為函數(shù)g（x）的“源向