甘肅省武威市涼州區(qū)武威六中2024年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省武威市涼州區(qū)武威六中2024年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明，此說(shuō)法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來(lái)許多中國(guó)

的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治，經(jīng)濟(jì)，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)

共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國(guó)古代四大發(fā)明，能說(shuō)出兩種發(fā)明的有45人，能說(shuō)出3種及其以上發(fā)

明的有32人，據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中，對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有（）

A.69人B.84人C.108人D.115人

2

2.已知y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)尤>0時(shí)，f(x)=x+——3.若無(wú)<0,則/(x)W0的解集是()

x

A.[-2,-1]B.(^x)-2]o[-l,0]

C.(f,—2]3—L0)D.(f—2)D(T0]

3.設(shè)橢圓E：的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為凡B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線5尸交

直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)，則橢圓E的離心率是()

2111

A.—B.—C.-D.一

3234

3—x

4.已知集合4={兀€2|-->0},B={j￡^ly=x-1,xGA},則AUB=()

x+2

A.{-1,0,1,2,3}B.{-1,0,1,2}C.{0,1,2}D.{x-lSx<2}

5.如圖，正三棱柱ABC與G各條棱的長(zhǎng)度均相等，。為AM的中點(diǎn)，分別是線段8月和線段CC的動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)），且滿足5M=GN,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中不氐確的是

A.在ADMV內(nèi)總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DAWJ_平面5CC]A

C.三棱錐4-DMN的體積為定值

D.ADACV可能為直角三角形

6.已知集合A==Igsinx+，9一。],則/(x)=cos2x+2sinx,xwA的值域?yàn)?

)

、

A.c.D.

亨7

log1x,x>0

7,已知函數(shù)/(%)=a、％，若關(guān)于X的方程/[/(%)]=o有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

a,—,x<0

〔UJ

A.(—oo,0)(0,1)B.(—00,0)(1,+oo)

C.(-oo,0)D.(0,l)U(l,+oo)

8.已知集合人={—2,—1,0,1},B=[x\^<cr,a&N*],若則。的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

9.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和為乂，若S?=3,/+%=12,則公比好()

A.±4B.4C.±2D.2

10.已知集合4=卜|總”,3=卜⑶v“，則AU(M)=()

A.{x|x<0}B.{%|0^!k1}C.{x|-L,x<0}D.{x\x...-l}

11.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(x)滿足任意xeR,有/(x+2)=/(x)-/(I)，且當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(x)=-2x2+12x-18.

若函數(shù)y=/(x)-log0(x+D至少有三個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

12.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-3|=2,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M(a,b),則〃不可能為()

A.(2,6)B.(3,2)C.(5,0)D.(4,1)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.二項(xiàng)式[工—2x]的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為,含/項(xiàng)的系數(shù)為.

14.在A6c中，B、C的坐標(biāo)分別為卜2應(yīng),0）,（20,0）,且滿足sinB—sinCu^sinA,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,0）,則AO-AP的取值范圍為.

1

15.已知函數(shù)/（x）=<3x+-+^<0>若關(guān)于x的方程“可+/（—”=0恰有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)。的取值范

21nx-6x,%>0

圍是?

16.若的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

x=2^3+at

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系犬中，直線/的的參數(shù)方程為「（其中/為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

y=4+

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的極坐標(biāo)為［2,?1,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.曲線。的極坐標(biāo)方程為

/7sin2^=4cos^.

（1）求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)。（6,0）作直線/的垂線交曲線。于。，七兩點(diǎn)（。在x軸上方），求而一向的值.

18.（12分）已知點(diǎn)知（后,為）為橢圓C：^+y2=l上任意一點(diǎn)，直線/：x°x+2%y=2與圓（x—ly+V=6交于人，

B兩點(diǎn),點(diǎn)口為橢圓C的左焦點(diǎn).

（1）求證：直線/與橢圓C相切；

（2）判斷是否為定值，并說(shuō)明理由.

19.（12分）設(shè)函數(shù)/'（尤）=6*-3彳2-",a&R.

（I）討論/（x）的單調(diào)性；

（II）aWl時(shí)，若石片々，/（^1）+/（%2）=2,求證：xl+x2<Q.

20.（12分）已知橢圓石：0+《=1（?！?〉0）的離心率為S，且過(guò)點(diǎn)（弓,|）,點(diǎn)P在第一象限，A為左頂點(diǎn)，

3為下頂點(diǎn)，Q4交V軸于點(diǎn)C,P3交x軸于點(diǎn)D.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若CDIIAB,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

21.（12分）如圖，。。的直徑A3的延長(zhǎng)線與弦C。的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,E為。。上一點(diǎn)，AE=AC,DE交AB

于點(diǎn)尸.求證：APDF-^POC.

22/

22.（10分）如圖，已知橢圓三+4=1(￡Z>Z?>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)_枝,,且離心率6=工,過(guò)右焦點(diǎn)尸且不與坐標(biāo)

a2b22

軸垂直的直線I與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

k+k

（2）設(shè)橢圓。的右頂點(diǎn)為A,線段MN的中點(diǎn)為“，記直線OH,AM,AN的斜率分別為左0,左,修，求證：六二

為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先求得100名學(xué)生中，只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù)，由此利用比例，求得500名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出

一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù).

【詳解】

在這100名學(xué)生中，只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有100-45-32=23人，設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)

—一,rJOO5005M「一

不出的有x人，則=---，解得％=115人.

23x

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得/（x）在％＜0時(shí)的解析式和/（0）,進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.

【詳解】

/（九）為定義在R上的奇函數(shù)，.??/（0）=0.

當(dāng)x<0時(shí)，一%>0,.../(—%)=―%------3,

2

■,/(X)為奇函數(shù)，.,./(%)=-〃-%)=%+—+3(%<0),

x<0

由＜得:xW-2或一lW%<0；

xH----1-3<0

X

綜上所述：若無(wú)＜0,則的解集為（f,—2][-1,0].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對(duì)稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在％=0處有意義

時(shí)，/（0）=0的情況.

3、C

【解析】

\OF\1c1

連接OM,為AABC的中位線，從而AOE0AAFB,且旖=彳，進(jìn)而——=—,由此能求出橢圓的離心

\FA\2a-c2

率.

【詳解】

如圖，連接。河，

橢圓E：=1(?！?〉0)的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸,

/b2

3、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，不妨設(shè)B在第二象限,

直線5尸交直線AC于M,且拉為AC的中點(diǎn)

\OF1

AOFMAAFB,且一

\FA5，

C1

??——9

a-c2

c1

解得橢圓E的離心率e=一=—.

a3

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、A

【解析】

解出集合A和B即可求得兩個(gè)集合的并集.

【詳解】

3—x

,集合A={xeZ|------>0}={x￡Z|-2<x<3}={-1,0,1,2,3),

x+2

B={y^N\y=x-l,x^A}=[-2,-1,0,1,2),

.?.AUB={-2,-1,0,1,2,3).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查求集合的并集，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確求解不等式，根據(jù)描述法表示的集合，準(zhǔn)確寫出集合中的元素.

5、D

【解析】

A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行；

B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理；

C項(xiàng)三棱錐A-的體積與三棱錐N-A。/體積相等，三棱錐N-4?！钡牡酌娣e是定值，高也是定值，則

體積是定值；

D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項(xiàng)，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;

B項(xiàng)，如圖：

當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過(guò)正方形BCCiBi的中心O,由DO垂直于平面BCCiBi

可得平面。VW,平面3CC]4,故正確；

C項(xiàng)，當(dāng)M、N分別在BBi、CCi上運(yùn)動(dòng)時(shí),△AiDM的面積不變,N到平面AjDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐Ai-DMN的體積為定值，故正確；

D項(xiàng)，若ADMN為直角三角形，則必是以NMDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BG,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力，意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性

質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

6、A

【解析】

先求出集合4=(0,3],化簡(jiǎn)/(%)=—2sin2%+2sinx+l,^siiw=rG(0,1],得g")=—2/+2/+1由二次函數(shù)的

性質(zhì)即可得值域.

【詳解】

由<9#>0nO<x、3,得A=(O,3],/(x)=cos2x+2sinx=—2sin2x+2sinx+l,令sinx=/,xe(0,3],

所以得g0)=—2/+2/+1,g(f)在上遞增，在gj上遞減，g(l)=Lg[；]=|，所以

「3-1「3-

g?)e1,-,即〃尤)的值域?yàn)?,-

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

7、B

【解析】

利用換元法設(shè)f=/(x),則等價(jià)為/?)=。有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，分a<O,a=O,a>。三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合函

數(shù)的圖象，求出。的取值范圍.

【詳解】

解：設(shè)，=/(尤)，則/■”)=()有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)了<0時(shí)，=<0,由/⑺=0即解得/=1,

結(jié)合圖象可知，此時(shí)當(dāng)/=1時(shí)，得/(尤)=1,則x是唯一解，滿足題意；

當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)當(dāng)尤<0時(shí)，/(x)=a-W=0,此時(shí)函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x<0時(shí)，e[a,+oo),此時(shí)/(龍)最小值為。,

結(jié)合圖象可知，要使得關(guān)于x的方程/"(x)」=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)。>1.

綜上所述：<2<0或

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用.利用換元法，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

8、B

【解析】

解出V<分別代入選項(xiàng)中a的值進(jìn)行驗(yàn)證.

【詳解】

解：/44，..._QWxWa.當(dāng)。=1時(shí),5={-1,0,1},此時(shí)Al8不成立.

當(dāng)a=2時(shí),5={—2,—1,0,1,2},此時(shí)4=8成立，符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.

9、D

【解析】

由$2=3得+。2=3,又生+。4=(4+。2)/=12,兩式相除即可解出q.

【詳解】

解：由$2=3得%+4=3,

又。3+。4=+%)/=12,

，，=4,q=—2,或q=2,

又正項(xiàng)等比數(shù)列{4}得q>0,

/.q-2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合5的補(bǔ)集，然后求A(^B)

【詳解】

A={x|-1>1},5={X|X<0},所以AU(^B)={x|x..-l}.

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

由題意可得了(左)的周期為2,當(dāng)xe[2,3]時(shí)，f(x)=-2/+12x-18,令g(x)=log“(x+l),則/(尤)的圖像和g(x)

的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)g(2)>/(2),求得”的取值范圍.

【詳解】

是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意XGR,

于(x+2)=/(x)-/(I)，令尤=—1,")=/(-I)-/(D,

又/(-I)=/(D,.-./(D=O,/(x+2)=/(x),

???/(x)為周期為2的偶函數(shù)，

當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(x)=-2x2+12x—18=-2(x-3)2,

當(dāng)xe[0,1],x+2e[2,3],/(x)=/(x+2)=-2(x-I)2,

當(dāng)xe[-1,0],-xe[0,1],/(x)=f(-x)=-2(x+1)2,

作出/(x),g(x)圖像，如下圖所示:

函數(shù)y=/(x)-ioga(x+1)至少有三個(gè)零點(diǎn),

則/(X)的圖像和g(x)的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，

/(x)<0,若0>1,

/(x)的圖像和g(x)的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，

所以7Xx)的圖像和g(x)的圖像至少有3個(gè)交點(diǎn)，

則有g(shù)(2)>/(2),即log、(2+1)>fQ)=-2,，log.3>-2,

]]/

—->3,a~<一,0<<7<1,..0<<2<—

a-33

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過(guò)程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考常考的熱點(diǎn)問題，屬于中檔題.

12、D

【解析】

依題意，設(shè)2=。+初，由|z—3|=2,得(a—=4,再一一驗(yàn)證.

【詳解】

設(shè)2=。+沅，

因?yàn)閨z-3|=2,

所以(a—3)2+〃=4,

經(jīng)驗(yàn)證M(4,1)不滿足，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1240

【解析】

將x=l代入二項(xiàng)式可得展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可

得出爐項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】

將x=1代入二項(xiàng)式［~-2x］可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1-2『=1.

1

二項(xiàng)式——2%的展開式通項(xiàng)為1+1

X

令2廠—6=2,解得廠=4,因此，展開式中含必項(xiàng)的系數(shù)為16C：=16x15=240.

故答案為：1;240.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

14、(12,+oo)

【解析】

22

由正弦定理可得點(diǎn)A在曲線亍―?=2上，設(shè)A(x,y),則=4%+/，將丁二/一4代入可得

AOAP=2(x-lf-6,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.

【詳解】

解：由正弦定理得AC—43=走5。=走x4后=4<40,

22

22

則點(diǎn)A在曲線上—乙=l,x<—2上,

44

22

設(shè)A(x,y),則亍一3=1,九<一2,

AOAP=(4-x-y)=x2-4x+y2,

Xy2=X2-4,

■.AOAP=x2-4x+x2-4=2(x-lf-6,

因?yàn)閤<—2,則AO-AP>2x(—2—I)?—6=12,

即AO-AP的取值范圍為(12,+s).

故答案為：。2,+s).

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的定義，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生計(jì)算能力，有一定的綜合性，但難度不大.

15、(-2,0)

【解析】

設(shè)g(x)=/a)+/(-%),判斷g(x)為偶函數(shù)，考慮x>0時(shí)，g(x)的解析式和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單

調(diào)性，作函數(shù)大致圖象，即可得到。的范圍.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x)+/(-x),

則g(x)在(Y,o)u(o,”)是偶函數(shù),

當(dāng)%>0時(shí)，g(x)=21nx-6x+3廠---bl,

X

由g(x)=。得〃=2xinx-6x2+3x3+x,

記/?(%)=2%lnx—6X2+3x3+x,

2

/zr(x)=21nx-12x+9x2+3,=—+18x-12>0,

x

故函數(shù)”(x)在(O,+“)增，而〃(l)=0,

所以?shī)yx)在(0,1)減，在(1,+co)增,場(chǎng)⑴=-2,

當(dāng)Xf4W時(shí)，當(dāng)X.0+時(shí)，

因此g(x)的圖象為

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，涉及構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合

思想方法，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于難題.

16、1

【解析】

由題意得出展開式中共有11項(xiàng)，n=10；再令x=l求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和.

【詳解】

由的展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,

所以展開式中共有11項(xiàng)，所以〃=10；

令x=l,可求得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和是:

(1—2)1°=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式展開式各項(xiàng)系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)y=y/3x-2,y2=4x；(2)；

【解析】

X=OCOS0

⑴利用代入法消去參數(shù)可得到直線/的普通方程,利用公式,八可得到曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線OE

y=夕sin”

”.烏，

2。為參數(shù)),

的參數(shù)方程為

1

y=-t

2

代入＞2=4%得產(chǎn)+8._16若=0,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

【詳解】

x=2^3+at,4=1,

(1)由題意得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(6,1),將點(diǎn)4代入＜得<

y=4+>j3t,二-

則直線I的普通方程為y=43x-2.

由/75抽2。=4(：0$。得夕251112。=4.(305。，即y2=4x.

故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.

X=G—鳥

(2)設(shè)直線。石的參數(shù)方程為2a為參數(shù)),

1

y=-t

I2

代入/=4x得產(chǎn)+8封—166=0.

設(shè)。對(duì)應(yīng)參數(shù)為“，E對(duì)應(yīng)參數(shù)為，2.則八+^=—8相，柩2=-16月，且：〉0/2＜0.

,J1」1」J」

W|PE|用卜124口22

【點(diǎn)睛】

參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式(如cos2o+sin2a=1等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相

%2+j2=p1

x=pcosO

應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式y(tǒng)等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方

。=夕sin?！?tan

程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問題.

18、(1)證明見解析；(2)是，理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)判別式即可證明.

(2)根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明，需要分類討論，

【詳解】

解：(1)當(dāng)先=0時(shí)直線/方程為》=&或x=-直線/與橢圓C相切.

+2_i

當(dāng)％/0時(shí)，由＜2'V得（2y：+尤;卜2_4/x+4-4y；=0,

x0x+2y0y=2

r2

由題知，/+第=1,即需+2y；=2,

*2

所以A=（-4x0）-4（2y；+片）（4-4y；）=161x；-2（1-y；）］=16（x；+2y；-2）=0.

故直線/與橢圓C相切.

（2）設(shè)B（x2,y2）,

當(dāng)％=0時(shí)，苞=X2，%=一%，玉=土后，

222

7^-JEB=（x1+l）-^=（x1+l）-6+（x1-l）=2xf-4=0

所以E4_LbB，BPZAFB=90°.

/\22

當(dāng)為/0時(shí)，由八"T）+-V=6,得（y；+i）x2—2（2y；+/）x+2-10y；=0,

、守+2%>=2

制2（2%+%）_2-lOjg

則X+Z=]+y：，*=不落

4%

因?yàn)橐?FB=（x+1,%＞（%2+1，%）

=XfX2+石+%2+1+乃為

4-20yj+8y；+4x0+2+-5XQ-4x0+4

2+2+2y：

_-5(4+2婿+10

———u?

2+2y：

所以E4J.EB，即NAFB=90°.故NAfB為定值90°.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

19、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)首先對(duì)函數(shù)/(X)求導(dǎo)，再根據(jù)參數(shù)a的取值，討論了‘(X)的正負(fù)，即可求出關(guān)于/(X)的單調(diào)性即可;

(2)首先通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，討論新函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性證明藥+々<0.

【詳解】

(1)f'(x)=ex-x-a,令g(x)=/'(x),

則g'(x)=e*-l,令g'(x)=e*-l=。得x=0,

當(dāng)xe(―,0)時(shí)，g'(x)<0貝！|g(x)在(—8,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，g\x)>0則g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以gmm(X)=g(0)=l-。，

當(dāng)aWl時(shí)，^(^)=1-?>0,即g(x)=f'(x)20,則/Xx)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)。>1時(shí),g向*尤)=1-。<0,

易知當(dāng)Xf—CO時(shí)，g(x)-+oo,

當(dāng)Xf-HX)時(shí)，g(x)f+OO,

由零點(diǎn)存在性定理知，三石,％2，不妨設(shè)王<々，使得g(Xj=g(X2)=0,

當(dāng)xe(-oc,X])時(shí)，g(x)>0,BPf\x)>0,

當(dāng)^6(士,馬)時(shí)，g(x)<0,BPf'(x)<0,

當(dāng)龍武孫+勸時(shí),g(x)>0,即/'(x)>0,

所以f(x)在(-8,%)和(%,+8)上單調(diào)遞增，在(再,％2)單調(diào)遞減；

(2)證明:構(gòu)造函數(shù)R(x)=/(x)+/(—為―2,x>0,

1,「-1,]

F(xy=e'r—x—ax+c—x~+ax—2,%>0,

2L2_

整理得F(x)=ex+e-x-x2-2,

F\x)=ex-e-x-2x,

F\x)=ex+e-x-2>24ex-ex-2=0(當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)，

所以尸(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，則戶'(X)>戶'(0)=0,

所以尸（X）在［0,+8）上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）＞F（0）=0,

這里不妨設(shè)％〉°，欲證%+%2＜°，

即證菁＜一.由（1）知aWl時(shí)，/（X）在R上單調(diào)遞增,

則需證/（芯）＜/（一/），

由已知/(X1)+/(X2)=2有/(xJ=2—/(x2),

只需證/（/）=2-/（々）＜/（一々），

即證/（%2）+/（一々）＞2,

由F（x）=/（%）+八—x）—2在［0,+8）上單調(diào)遞增，且々＞0時(shí),

有砥》2）=/。2）+/（一％）一2〉0,

故/（%2）+/（-%2）＞2成立，從而占+々＜0得證?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)含參分類討論單調(diào)性，借助構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性證明不等式，屬于難題.

【解析】

￡=3

a2

(1)由題意得/=b2+C2，求出進(jìn)而可得到橢圓E的方程;

79

2

4a216b

⑵由⑴知點(diǎn)兒3坐標(biāo),設(shè)直線AP的方程為y=/+2）,易知°＜人只,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（。,20聯(lián)立方

y=左(x+2)

程*2I，得到關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用上表示p的坐標(biāo)，進(jìn)而由P,5Q三點(diǎn)共線,

—+y=1

I4-

即左BD=kPB，可用上表示。的坐標(biāo)，再結(jié)合左8=左”，可建立方程，從而求出左的值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

￡=.

a2

a2=4

(1)由題意得/=b-+c2,解得

b2=1

79

—r----7

4a216/

所以橢圓E的方程為土+＞2=1.

4-

(2)由⑴知點(diǎn)A(—2,0),B(0,-1),

由題意可設(shè)直線AP的斜率為左，則0＜左＜f所以直線AP的方程為了=左（》+2）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2口，

y=攵(九+2)

2

聯(lián)立方程X9，消去y得：(1+4左2)%2+16左2%+16左2_4=0.

—+y=1

I4,

'幾D/、rmic16左2—4匚G、［8左2—2

設(shè)尸(玉，%)，貝!I-2,x=------9所以％=.......-

11+4/11+4左2

所以…（一號(hào)+2）=4k842一24k

，所以P（―1+4左2'1+4左2)

1+4左2

設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為（％，0），因?yàn)辄c(diǎn)P,乙。三點(diǎn)共線，所以kBD=kpB，即

4k門

—=1+^，所以毛=咨1'所以。(渭1,0).

x08N-21+2左1+2左

-1+442

2k_1

因?yàn)镃D〃AB,所以心》=左.，即2—4"=-5,

~1+2k

所以4左2+4左一1=0,解得左=二1主正

2

又0＜左＜《，所以左=《!二1符合題意,

22

“2―，L4k后

計(jì)算可得—三_

1+4F1+4左2―不

故點(diǎn)P