2024年陜西省銅川市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（附答案解析）

2024年陜西省銅川市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的

1.（5分）（2024?銅川二模）若集合M={x|2x-1>5},N={x&N*\-l<x<5},則（CRM）

AN=（）

A.（0,1,2,3}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2}

2.（5分）（2024?銅川二模）已知復(fù)數(shù)（l+2z）（z-1）=-2+i,則|z|=（）

A.V2B.2C.V3D.3

3.（5分）（2024?銅川二模）從1,2,…，9這九個數(shù)字中任取兩個，這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)

的概率為（）

14713

A.-B.—C.—D.—

391836

4.（5分）（2024?銅川二模）已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的9倍，則它的

側(cè)面積擴大為原來的（）

A.百倍B.3倍C.3百倍D.9倍

5.（5分）（2024?銅川二模）已知A,2是OC：（尤-2）2+（y-4）2=25上的兩個動點，P

是線段48的中點，若|AB|=6,則點P的軌跡方程為（）

A.（%-4）2+（y-2）2=16B.（%-2）2+（y-4）2=11

C.（x-2）2+（j-4）2=16D.（尤-4）2+（y-2）2=11

6.（5分）（2024?銅川二模）已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f（x）

=e“，則/'（加2）=（）

11

A.-2B.2C.-77D.一

22

7.（5分）（2024?銅川二模）設(shè)尸為拋物線Ci：*=2*的焦點，點尸在拋物線上，點。在

準線/上，滿足PQ〃尤軸.若|PQ=|QE|，則吐|=（）

A.2B.2V3C.3D.3V3

fx+3y—2<0/

8.（5分）（2024?銅川二模）己知實數(shù)x,y滿足約束條件［x-2y+3W0,則z=2尤+y的

V%+y+1>0/

最大值為（）

381

----C--

A.2B.3D.2

9.（5分）（2024?銅川二模）在遞增等比數(shù)列｛斯｝中，其前〃項和為S”,且6a7是。8和

的等差中項，則含=（）

A.28B.20C.18D.12

10.（5分）（2024?銅川二模）已知函數(shù)/'（x）=2s出3久+芻（3〉0）且滿足了（-—X）=/

J3

（X—看），則co的最小值為（）

21

A.—B.—C.1D.2

32

X2V2

n.（5分）（2024?銅川二模）已知尸1,尸2是雙曲線一一七二l（b>0）的左、右焦點，過

4匕/

人的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A,8兩點，若△A8"為等邊三角形，則人=

（）

A.V6B.2V6C.4V2D.4V6

12.（5分）（2024?銅川二模）正四棱錐P-ABCD內(nèi)有一球與各面都相切，球的直徑與邊

的比為4：5,則以與平面A3CD所成角的正切值為（）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

T—T一一

13.（5分）（2024?銅川二模）已知向量a=（t—2,3）,b=（3,-1）,且（a+2b）||6,

貝U向'?

14.（5分）（2024?銅川二模）已知銳角a,0滿足sina=爭，cos/3=|,則cos（a-p）

15.（5分）（2024?銅川二模）已知函數(shù)/■（>）=（x—3）〃+尹2-2%+1在區(qū)間（2m-2,

3+m）上不單調(diào)，則機的取值范圍是.

16.（5分）（2024?銅川二模）如圖所示是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，途中的“小黑點”表

示原子，兩黑點間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學(xué)鍵和原子的個數(shù)

之和為個.（用含w的代數(shù)式表示）

<B

=

>

⑴⑵

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）（2024?銅川二模）清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等，是傳統(tǒng)

的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進行

流動人口統(tǒng)計，隨機抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2

X2列聯(lián)表：

回老家不回老家總計

50周歲及以下55

50周歲以上1540

總計100

（1）根據(jù)統(tǒng)計完成以上2X2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計該社區(qū)流動人口中50周歲以

上的居民今年回老家祭祖的概率；

（2）能否有99.9%的把握認為回老家祭祖與年齡有關(guān)？

2

參考公式：K2=其中〃=

Q+h)(c+d)Q+c)(h+d)a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù)：

P（蜉2依）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

18.（12分）（2024?銅川二模）在△A5C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.

（1）證明：3。2+312=5〃2；

（2）若口=回，當(dāng)A取最大值時，求△ABC的面積.

19.（12分）（2024?銅川二模）如圖，在四棱錐E-ABCZ）中.側(cè)面底面ABC。，△

ABE為等邊三角形，四邊形A8C￡＞為正方形，且48=2.

（1）若尸為的中點，證明：ABLEF-,

（2）求點B到平面CDE的距離.

20.（12分）（2024?銅川二模）己知橢圓C；今+/=l（a>6>0）的離心率為當(dāng)直線x=

ky+b經(jīng)過橢圓C的右焦點為，且與橢圓交于點A,B.

（1）求橢圓C的標(biāo)準方程;

（2）設(shè)橢圓C的左焦點為尸2,求的內(nèi)切圓的半徑最大時上的值.

1

21.（12分）（2024?銅川二模）已知m>0,函數(shù)/（x）=mxlnx滿足對任意％〉0,--</（%）<

x2—久恒成立.

（1）當(dāng)m=1時，求/（%）的極值;

（2）求m的值.

（二）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.（本小題滿分10分）［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.（10分）（2024?銅川二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

\x=l+cosa,（觀為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，工軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,

（y=sina

曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=-2sin0.

（1）求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;

（2）設(shè)直線百久+y=0與曲線Ci,C2分別交于A,B兩點（異于極點），求線段AB

的長度.

［選修4-5：不等式選講］

23.（2024?銅川二模）已知a>0,b>0,函數(shù)<（x）=|x+a|+|x-"的最小值為2,證明:

（1）3次+貶》3；

41

(2)——+->3.

a+1b

2024年陜西省銅川市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的

1.（5分）（2024?銅川二模）若集合M={x|2x-1>5},N={xeN*|-則（CRM）

CN=（）

A.{0,1,2,3}B.{1,2,3）C.{0,1,2}D.{1,2}

【考點】補集及其運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】由題知，對集合N進行轉(zhuǎn)化，根據(jù)補集的概念求出CRM,結(jié)合交集的運算

求出（CRM）AN.

【解答】解：由題意知Af={x|2x-1>5}={小>3},?/={x6N*|-1<%<5}={1,2,3,

4}，

所以CRM={X|尤W3},（CRM）AN={1,2,3）.

故選：B.

【點評】本題主要考查補集及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）（2024?銅川二模）已知復(fù)數(shù)（1+2力（z-1）=-2+i,則|z|=（）

A.V2B.2C.V3D.3

【考點】復(fù)數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的公式，即可求解.

r癡;幺;1Aw—2+i.（—2+i）（l—2i）.5i...

【斛答】解：z=1=（1+20（1-20+1=y+1=1+i-

則|z|=應(yīng).

故選：A.

【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）（2024?銅川二模）從1,2,…，9這九個數(shù)字中任取兩個，這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)

的概率為（）

【考點】古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；排列組合；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】c

【分析】直接利用列舉法和組合數(shù)求出概率的值.

【解答】解：從1,2,…，9這九個數(shù)字中任取兩個，這兩個數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的有(1,2),

(1,4),(1,6),(2,3),(2,5),(2,9),(3,4),(3,8),(4,7),(4,9),(5,

6),(5,8),(6,7),(8,9)一共14個，

故和為質(zhì)數(shù)率P=與=芫=焉.

故選：C.

【點評】本題考查的知識要點：組合數(shù)，概率的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2024?銅川二模)已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的9倍，則它的

側(cè)面積擴大為原來的()

A.遍倍B.3倍C.3百倍D.9倍

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺).

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓柱的高為心底面半徑為廠，由圓柱的體積和表面積公式分析可

得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓柱的高為人，底面半徑為r,則體積為

若其體積擴大為原來的9倍，則擴大后的體積為『=9dh,

因為高不變，故體積(3r)2h,即底面半徑擴大為原來的3倍，

原來側(cè)面積為S=2mV7,擴大后的圓柱側(cè)面積為S'=2n?3〃7=6m7z,故側(cè)面積擴大為原

來的3倍.

故選：B.

【點評】本題考查圓柱的體積和表面積計算，涉及圓柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.(5分)(2024?銅川二模)已知A,8是(DC：(x-2)2+(j-4)2=25上的兩個動點，P

是線段AB的中點，若|A8|=6,則點P的軌跡方程為()

A.(x-4)2+(y-2)2=16B.(X-2)2+(j-4)2=11

C.(x-2)2+Cy-4)2=16D.(尤-4)2+(y-2)2=11

【考點】軌跡方程.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】利用已知條件推出|PC|的距離是定值，推出軌跡方程.

【解答】解：A,8是(DC：(%-2)2+(y-4)?=25上的兩個動點，尸是線段的中點，

\AB\=6,圓的直徑為10,所以圓的半徑為5,

可得|PC|=V25-9=4,

所以點尸的軌跡方程為(x-2)2+(j-4)2=16.

故選：C.

【點評】本題考查軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題.

6.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)

=e*,則/(勿2)=()

11

A.-2B.2C.-77D.—

22

【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】c

【分析】由己知結(jié)合奇函數(shù)的定義及已知區(qū)間上的函數(shù)解析式即可求解.

【解答】解：因為函數(shù)/(無)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(-x)=-/(尤)恒成立，

因為尤<0時，f(x)=",

所以/'(仇2)=-/(-Zn2)=-e-ln2=

故選：C.

【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.(5分)(2024?銅川二模)設(shè)尸為拋物線G：*=2%的焦點，點尸在拋物線上，點。在

準線/上，滿足尸?！▁軸.若|PQ|=|QF|,則|PF|=()

A.2B.2A/3C.3D.3V3

【考點】拋物線的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】先根據(jù)題意和拋物線的性質(zhì)可得到△P。/為等邊三角形，進而即可求得IPFI的

值.

【解答】解：依題意有|PQ=|。尸|=|尸尸|,則尸為等邊三角形,

又PQ〃x軸，所以|尸目=|尸。|=4|。同=2.

故選：A.

【點評】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

x+3y-2<0,

x-2y+3<0,貝Iz=2x+y的

(x+y+1>0,

最大值為()

381

----C--

A.2B.3D.2

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】C

【分析】由約束條件可作出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為y=-2x+z在y軸截距最大的問題,

采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.

【解答】解：由約束條件可得可行域如下圖所示，

>

X

當(dāng)z=2x+y取得最大值時，y=-2x+z在y軸上的截距最大，

由圖象可知：當(dāng)y=-2x+z過B時，直線在y軸上的截距最大.

.—2y+3=0

由《八，

(%+I3y—2O=0

解得8(-1,1),：.Zmax=-2+1=-1.

故選：C.

【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

9.（5分）（2024?銅川二模）在遞增等比數(shù)列｛金｝中，其前〃項和為品,且6a7是。8和。9

的等差中項，則0=（）

A.28B.20C.18D.12

【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】由等比數(shù)列的通項公式求出q，再由等比數(shù)列的前八項和公式代入化簡，即可得

出答案.

【解答】解：由題意得12a7=。8+。9,12=q+/，解得q=3或q=-4（舍），

ai（i-q6）6

則的=—；勺界=—4=1+q'=1+3，=28.

S3ai（i_q3）1_q3”

i-q

故選：A.

【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想和方程思想，考查邏輯推

理能力和運算能力，屬于中檔題.

10.（5分）（2024?銅川二模）已知函數(shù)f（x）=2s譏（3久+芻3>0）且滿足了（一一x）=/

33

（x-著），則O）的最小值為（）

21

A.—B.—C.1D.2

32

【考點】正弦函數(shù)的圖象.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算.

【答案】A

【分析】由S=4itR2=i27t可得函數(shù)/（尤）的圖象關(guān)于久=,對稱，由正弦型函數(shù)的對稱

性列方程求3的最小值.

【解答】解：由已知可得函數(shù)f（x）=2s譏（3久+軟3>0）且滿足y（w-x）=/（x-^）,

即f?—x）=

所以/（尤）關(guān)于％=今對稱，

9

所以3=4k+可，又3>0,

2

所以女=o時，3取最小值為3

故選：A.

【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

工2y2

11.（5分）（2024?銅川二模）已知為，/2是雙曲線——三=l（b>0）的左、右焦點，過

4

后的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點，若△48^2為等邊三角形，則匕=

（）

A.V6B.2V6C.4A/2D.4V6

【考點】雙曲線的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】B

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，余弦定理，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解.

【解答】解：???△A8F2為等邊三角形，

：.\AB\=\AF2\=\BF2\,

.".|AFI|=|BFI|-\BFi\=2a=4,|AF2|=|AFi|+2a=8,,@.ZF1AF2=120°,

1

22

由余弦定理可得：4c==\AFr\+\AF2^-2\AFr\\AF2\x

=16+64+32=112,

Ac2=28,

.'.b2=c2-CZ2=24,

b=2A/6.

故選：B.

【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

12.（5分）（2024?銅川二模）正四棱錐P-ABCD內(nèi)有一球與各面都相切，球的直徑與邊

AB的比為4：5,則B4與平面ABC。所成角的正切值為（）

【考點】直線與平面所成的角.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；球；數(shù)學(xué)運算.

【答案】D

【分析】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)得出球心的位置，進而構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形得

出球的半徑，以及四棱錐的高，即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，易知球心在正棱錐的高線上,

設(shè)球心為O,P在平面ABCD內(nèi)的射影為H,PH=h,

1

取M■為中點，貝且

作0E1.PM于E,設(shè)球的半徑為r,

則力B=|r,HM=1r,PM=<PH2+HM2=Jh2+(1r)2,OE=OH=r.

因為0E1.PM,

所以APOEsAPMH,

?,OPOE

所以嬴=俞’

即1九一r二I整理可得〃=等.

*2+(%)2丁

連接AH,則4"=*AB=學(xué)，

匚口、I,/n”h2/2h2072

所以tCm/P4”==—g—?—=一g一.

因為PHL平面ABCD,所以/B4”即為直線PA與平面ABCD所成的角，

20A/2

所以，E4與平面48CD所成角的正切值為----.

【點評】本題考查通過正棱錐的性質(zhì)得出球心的位置以及棱錐的高，并進行球的相關(guān)計

算，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

T—T——

13.(5分)(2024?銅川二模)已知向量a=(t-2,3),1=(3,-1),且(a+2b)||b,

則鬲=3V10.

【考點】平面向量共線(平行)的坐標(biāo)表示.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由向量平行的坐標(biāo)運算，得到，=-7,再利用模的坐標(biāo)公式求而

T—TT

【解答】解：已知向量a=(t—2,3),b=(3,-1),a+26=(t+4,1),

V(a+2b)||b,

-(f+4)=3,解得f=-7,

：.a=(-9,3),|a|=3"U.

故答案為：3A/T5.

【點評】本題主要考查向量平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.(5分)(2024?銅川二模)已知銳角a,P滿足s譏cos/3=則cos(a-P)

_2^5

-

【考點】兩角和與差的三角函數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運算.

2V5

【答案】

5,

【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡即可求解.

【解答】解：由sina=。，cosp=1,a,0均為銳角，得cosa=：^,sinp=1,

milzn\2-/53A42-/5

則cos(a—/?)=5x耳+/5x耳=5?

故答案為：—

【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)(2024?銅川二模)已知函數(shù)/■(>)=。-3)靖+*/一2%+1在區(qū)間(2m-2,

3+:w)上不單調(diào)，則”的取值范圍是(7,2).

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(2m-2,3+m)內(nèi)有零點，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可求.

【解答】解：由題意知了'(無)—(x_3)e^+e^+x-2—("+1)(%-2),

因為了（無）在區(qū)間（2m-2,3+m）上不單調(diào)，

即尸/（X）在區(qū)間（2/7?-2,3+772）有零點，

又，+1>0,即為y=x-2的零點x=2在區(qū)間（2m-2,3+m）內(nèi),

2徵_2<72

'解得-1<加<2,即根的取值范圍是（-1,2）.

{3+m>2,

故答案為：（-1,2）.

【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.（5分）（2024?銅川二模）如圖所示是一系列有機物的結(jié)構(gòu)簡圖，途中的“小黑點”表

示原子，兩黑點間的“短線”表示化學(xué)鍵，按圖中結(jié)構(gòu)第n個圖的化學(xué)鍵和原子的個數(shù)

之和為9〃+3個.（用含”的代數(shù)式表示）

（1）（2）（3）（n）

【考點】歸納推理.

【專題】整體思想；綜合法；推理和證明；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】從圖（1）、圖（2）、圖（3）、…的個數(shù)之和找到對應(yīng)的數(shù)字規(guī)律.

【解答】解：由圖，第1個圖中有6個化學(xué)鍵和6個原子，

第2個圖中有11個化學(xué)鍵和10個原子，

第3個圖中有16個化學(xué)鍵和14個原子，

觀察可得，后一個圖比前一個圖多5個化學(xué)鍵和4個原子，

則第n個圖有6+5（?-1）=5n+l個化學(xué)鍵和4?+2個原子，

所以總數(shù)為9”+3.

故答案為：9w+3.

【點評】本題主要考查了歸納推理，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）（2024?銅川二模）清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等，是傳統(tǒng)

的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng).某社區(qū)進行

流動人口統(tǒng)計，隨機抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2

X2列聯(lián)表:

回老家不回老家總計

50周歲及以下55

50周歲以上1540

總計100

(1)根據(jù)統(tǒng)計完成以上2X2列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計該社區(qū)流動人口中50周歲以

上的居民今年回老家祭祖的概率；

(2)能否有99.9%的把握認為回老家祭祖與年齡有關(guān)？

2

參考公式.K2=--------n(ad-bc)------苴中

2麥么隊.A(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，火什"a+o+c+a.

參考數(shù)據(jù)：

P（片Nko）0.1000.0500.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

【考點】獨立性檢驗.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)補全列聯(lián)表后，由古典概型概率公式計算概率;

(2)計算出K?后可得結(jié)論.

【解答】解：(1)補全表格如下：

回老家不回老家總計

50周歲及以下55560

50周歲以上152540

總計2080100

153

該社區(qū)中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為一=-；

408

7

（）2—100x（5x25-15x55）"—1225

⑵-K-20x80x60x40—96~12,760>10,828,

二.有99.9%的把握認為是否回老家祭祖與年齡有關(guān).

【點評】本題主要考查了古典概型的概率公式，考查了獨立性檢驗的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

18.(12分)(2024?銅川二模)在△A8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,

tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC.

（1）證明：3c2+3廿=5/；

（2）若。=，正，當(dāng)4取最大值時，求AABC的面積.

【考點】三角形中的幾何計算；正弦定理；余弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理得sin2A=3sinBsinCcosA,再利用正、余弦

定理邊化角分析運算；

（2）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得A取最大值時，b=c,cosA=進而可求三角

形的面積.

【解答】解：(1)證明：?.,tanAtanB+tanAtanC=3tanBtanC,

sinAsinBsinCsinBsinC

：.------(-------+——)=3x--------------,

cosAcosBcosCcosBcosC

sinA(sinBcosC+cosBsinC)=3sinBsinCcosA,

sin(B+C)sinA=3sinBsinCcosA,

又sin(B+C)=sinA,sin2A=3sinBsinCcosA,

由正弦定理可得a2=3bccosA,

由余弦定理可得a?=3bccosA=(-&2+c2-a2),

整理得3b2+3c2=5a2.

（2）由（1）可得：3b2+3c2=5a2,即小=,（爐+。2）,

b2+c2—a2

則cos/=

2bc

當(dāng)且僅當(dāng)＞3即-，4取最大值,

此時3房+3(?2=6廿=5〃2=75,貝傷2=—,

*.*cosA=耳＞0,則Ze（0,引，可得sinA=

故S3ibcsinA用爐x%J*孕x警=學(xué)

乙乙J乙乙JT*

【點評】本題考查解三角形問題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔

題.

19.（12分）（2024?銅川二模）如圖，在四棱錐E-ABC。中.側(cè)面底面ABC。，△

A3E為等邊三角形，四邊形ABC。為正方形，且AB=2.

（1）若b為C。的中點，證明：ABLEF-,

（2）求點B到平面CDE的距離.

E

【考點】點、線、面間的距離計算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運算.

【答案】（1）證明過程請見解答；（2）第.

【分析】（1）取AB的中點AL連接EM,MF,可證ABIMF,由線面垂直的

判定定理與性質(zhì)定理，即可得證；

（2）連接BZ）,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面A8CD,再由VB-CDE^VE-BCD,

即可得解.

【解答】（1）證明：取A3的中點連接EM,MF,

:△ABE為等邊三角形，：.EM±AB,

:四邊形ABC。為正方形，：.AD±AB,且AO〃MR

：.AB±MF,

又MECMF=M,ME,MFu平面MEE

，A8_L平面MEF,

:EFu平面MEF,C.ABLEF.

(2)解：連接8。，

VfMffiABCD,ABECtABCD=AB,EMu平面ABE,EMLAB,

平面ABC。，

■■VE-BCD=制BCD-EM=|x|x2x2xV3=^,

_____________1

22

EF=<EM+MF=VT+4=巾,ShCDE=jCD-￡F=V7,

設(shè)B到平面CDE的距離為h,

?；VB-CDE=VEBCD,

.1ch2^32V21

---S&CDE-h=―,解侍力=

故B到平面CDE的距離為亞祖.

7

【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，面

面垂直的性質(zhì)定理，等體積法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能

力，屬于中檔題.

20.(12分)(2024?銅川二模)已知橢圓C；今+，=l(a>6>0)的離心率為當(dāng)直線%=

3+舊經(jīng)過橢圓C的右焦點為，且與橢圓交于點A,B.

(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；

(2)設(shè)橢圓C的左焦點為尸2,求△尸2X3的內(nèi)切圓的半徑最大時上的值.

【考點】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準方程；橢圓的性質(zhì).

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問題；數(shù)學(xué)運算.

%2

【答案】(1)—+y2=1；(2)±V2.

4

【分析】(1)依題意求出a,b,c的值，即可求出橢圓方程；

(2)設(shè)△/2AB的內(nèi)切圓半徑為廣，表示出△尸2AB的面積，由等面積法，表示出廠，結(jié)合

韋達定理，由基本不等式即可求出r的最大值及k的值.

【解答】解：(1)由題意知右焦點&(8,0),/.c=V3.

Ve=搟=孚，貝!1a=2,b=\.

2

，橢圓C的標(biāo)準方程為x丁+y2=1；

(2)設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r,

AF2AB的周長=尸2川+下2司+|AB|=|AFi|+|AF2|+|BFI|+|BF2|=8,

SAFZ^B=2.8,r=4r,.,.r-SAF2AB.

.,.△/MB的面積最大時，其內(nèi)切圓半徑最大.

設(shè)A(xi,yi),B(%2,y2),

x=fcy+V3_

聯(lián)立，消去X得(1+4)y2+2百灼7一1=0,

(w+V=i

A=12必+4(正+4)=16合+16>0恒成立，

?■S^AB=jlfi^21,l7i-yl=BJCXi+%)2—4月火=4：］：］

2

令t=7k2+1,則話=F-1.

?C_4V3t_4V3W3_

??5"2的=市=講《云耳二乙9

當(dāng)且僅當(dāng)t=*即t=b時等號成立，此時k=±&.

【點評】本題考查了橢圓的方程及性質(zhì)，考查了直線與橢圓的綜合，考查了方程思想，

屬于中檔題.

1

21.(12分)(2024?銅川二模)已知m>0,函數(shù)/(x)—mxlnx滿足對任意x〉0,--</(%)<

x2一%恒成立.

(1)當(dāng)機=1時，求/(x)的極值；

(2)求機的值.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】⑴/⑴極小值為解)=—，無極大值；

(2)1.

【分析】(1)將m=1代入/(x)中，判斷了(x)的單調(diào)性，再求出了(x)的極值;

(2)根據(jù)對任意%>0,-}W/(%)W/-”恒成立，分兩個部分求解即可.

【解答】解：(1)當(dāng)相=1時，/(x)=xlnx,則，(x)=lnx+\,x>0,

由/(x)>0,得久+00),由/(九)<0,得xe(0,-),

.?.73)在9，+8)上單調(diào)遞增，(0,》上單調(diào)遞減，

?V(X)極小值為熊)=—,無極大值；

(2)f(x)的定義域為(0,+8),由/(%)=mxlnx,得，(x)=m(1+Znx).

則/(%)在(2,+8)上單調(diào)遞增，(0,》上單調(diào)遞減，/(%)》/(3=—￡.

又,**對任意％>0,f(%)>——>————,*,?m41.

又/(x)-x等價于minx-x+l<0.

設(shè)函數(shù)g(%)=minx—x+1,g7(%)=￡—1=7nx

???g(x)在(0,m)上單調(diào)遞增，(m,+°°)上單調(diào)遞減，

?'?g(x)《g(m)=mlnm-m+1.

i

?對任意x>0,g(x)40,'.mlnm-m+l<0,Inm+—<1.

設(shè)/(TH)=Inm+熱則//(m)=

當(dāng)機(1時，h'(m)<0,：.h(m)>/z(1)=1.

?,?只能有根=1,即m的值為1.

綜上，機的值為1.

【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用不等式恒成立求參數(shù)的值，

考查了轉(zhuǎn)化思想，屬難題.

(二)選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計分.(本小題滿分10分)［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(10分)(2024?銅川二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

L=1+cosa,(觀為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

(y=sina

曲線C2的極坐標(biāo)方程為p=-2sin0.

(1)求曲線Q的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)直線I；舊尤+，=0與曲線口，C2分別交于A,B兩點(異于極點)，求線段A2

的長度.

【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)將曲線G的參數(shù)方程化為普通方程，進而化為極坐標(biāo)方程即可；

(2)直線Z；gx+y=0過原點，所以化為極坐標(biāo)方程后與曲線Ci,C2的極坐標(biāo)方程聯(lián)

立，利用p的幾何意義求解即可.

【解答】解：⑴曲線Cl：*=l+cosa，(a為參數(shù))，消去參數(shù)得(x-1)2+y2=l,

［y=sina

將卜=pcos?！?，得曲線Cl的極坐標(biāo)方程為p=2cose,

(y—psind

由p=-2sin0得p2=-2psin0,

-2yf

，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為7+(y+1)2=1；

(2)易知直線/的極坐標(biāo)方程為8=代入曲線Ci,C2的極坐標(biāo)方程得pi=l,P2=回

\AB\=|pi-p2l=V3-1.

【點評】本題主要考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

［選修4-5：不等式選講］

23.(2024?銅川二模)已知a>0,b>0,函數(shù)<(x)=|尤+a|+|x-用的最小值為2,證明：

(1)3flW^3；

41

(2)——+->3.

a+1b

【考點】不等式的證明.

【專題】整體思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)絕對值的三角不等式，得到了(%)的最小值為4+6=2,進而化簡得到

3次+后=4/_4〃+4,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

4114ba+1

(2)由(1)得到〃+1+/?=3,化簡---+-=-(5+-------+—「)，結(jié)合基本不等式，

a+1b3a+1b

即可求解.

【解答】證明：(1)由于〃>0,b>0,則/(%)=\x+a\+\x-b\^\a+b\=a+b,

當(dāng)且僅當(dāng)-九WZ?取等號，故/(x)=|x