專題12 一元一次不等式組壓軸題八種模型全攻略（解析版）

專題12一元一次不等式組壓軸題八種模型全攻略考點一一元一次不等式組的定義考點二求一元一次不等式組的解集考點三求一元一次不等式組的整數(shù)解考點四由一元一次不等式組的解集求參數(shù)考點五由一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)考點六不等式組和方程組結(jié)合的問題考點七列一元一次不等式組考點八一元一次不等式組的應用典型例題典型例題考點一一元一次不等式組的定義例題：（2021·全國·七年級課時練習）下列是一元一次不等式組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用一元一次不等式組的定義判斷即可．【詳解】解：是一元一次不等式組．故選：B．【點睛】本題考查一元一次不等式組，掌握一元一次不等式組定義，會根據(jù)定義識別一元一次不等式組是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2021·廣東·八年級專題練習）下列不等式組中，是一元一次不等式組的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)一元一次不等式組的概念逐一辨析．【詳解】A.是一元一次不等式組，故正確；

B.是二元一次不等式組，故不正確；

C.是一元二次不等式組，故不正確；

D.是分式不等式組，故不正確；故選A．【點睛】本題考查了對一元一次不等式組概念的理解，深刻理解基本定義是解決這類問題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級）下列不等式組，其中是一元一次不等式組的個數(shù)（

）①；②；③；④；⑤A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式組的概念，對5個式子逐一判斷即可．【詳解】解：①是一元一次不等式組；②是一元一次不等式組；③含有兩個未知數(shù)，不是一元一次不等式組；④是一元一次不等式組；⑤，未知數(shù)是3次，不是一元一次不等式組，其中是一元一次不等式組的有3個，答案：B．【點睛】此題主要考查了一元一次不等式組的概念，掌握一元一次不等式組的概念是解決本題的關(guān)鍵.3．（2020·全國·七年級課時練習）有下列不等式組：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式組的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)兩個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1次的，可得答案．【詳解】①是一元一次不等式組，故①正確；②是一元一次不等式組，故②正確；③是一元二次不等式組，故③錯誤；④，含有分式，不是一元一次不等式組，故④錯誤；⑤是二元一次不等式組，故⑤錯誤；⑥是一元一次不等式組，故⑥正確.故選：C．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的定義，每個不等式中含有同一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式組是一元一次不等式組．考點二求一元一次不等式組的解集例題：（2022·廣東·廣州市第四中學九年級期中）解不等式組：，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，見解析【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)解集在數(shù)軸上的表示即可確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，則不等式組的解集為．將不等式解集表示在數(shù)軸如下：．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·湖北·武漢七一華源中學九年級階段練習）解不等式組，請按下列步驟完成解答：(1)解不等式①，得；(2)解不等式②，得；(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；(4)原不等式組的解集為．【答案】(1)(2)(3)見解析(4)【分析】（1）按照一元一次不等式的解法即可得；（2）按照一元一次不等式的解法即可得；（3）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法即可得；（4）結(jié)合數(shù)軸，找出兩個不等式解集的公共部分即可得不等式組的解集．（1）解：①，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，即解不等式①，得，故答案為：．（2）解：②，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為1，得，即解不等式②，得，故答案為：．（3）解：把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來如下：（4）解：由數(shù)軸可知，原不等式組的解集為，故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·連云港外國語學校七年級期末）解下列方程（或不等式）組(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先整理方程，進而根據(jù)加減消元法解二元一次方程組；（2）分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．（1）解：原方程組整理得：得：，解得：把代入②中得：，解得：，∴原方程組的解為：．（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組，正確的計算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·廣東·普寧市普師高級中學八年級階段練習）解不等式組解集在數(shù)軸上表示出來，并求出整數(shù)解【答案】解集為-2<x≤1，數(shù)軸見解析，整數(shù)解為：-1，0，1【分析】正確求解兩個一元一次不等式，并準確找到它們的解集，再在數(shù)軸上把解集表示出來，進而求得整數(shù)解．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：x>-2，所以此不等式組的解集為：-2<x≤1，在數(shù)軸上表示該解集如下圖：故該不等式組的整數(shù)解為：-1，0，1．【點睛】本題考查了解不等式組及把不等式的解集表示在數(shù)軸上，按照解不等式的步驟正確求解不等式，準確找到兩個不等式解集；在數(shù)軸上表示解集時，注意解集方向，以及端點處是實心還是空心是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南·安陽市第五中學七年級期末）解不等式組：，并將其解集表示在如圖所示的數(shù)軸上．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：由①得，解得，由②得，解得，不等式組的解集為，將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：【點睛】本題考查解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題的關(guān)鍵．考點三求一元一次不等式組的整數(shù)解例題：（2022·遼寧葫蘆島·七年級階段練習）不等式組的整數(shù)解是______．【答案】，0，1【分析】分別解不等式，求出不等式組的解集，即可得到整數(shù)解．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的整數(shù)解是：，0，1，故答案為：，0，1．【點睛】本題考查了求不等式組的整數(shù)解，熟練掌握求不等式組解集的方法是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·甘肅·臨洮縣明德初級中學七年級階段練習）不等式組的最大整數(shù)解是____________【答案】4【分析】分別解不等式組中的兩個不等式，再取兩個解集的公共部分，確定不等式組的解集，再確定最大整數(shù)解即可．【詳解】解：由①得：解得：由②得：解得：∴不等式組的解集為：∴不等式組的最大整數(shù)解為：4．【點睛】本題考查的是不等式組的解法，求解不等式組的最大整數(shù)解，掌握“解一元一次不等式組的方法”是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江臺州·七年級階段練習）不等式的正整數(shù)解為______．【答案】2，3【分析】先求出不等式的解集，得到不等式組的解集，進而得出其正整數(shù)解．【詳解】解：解不等式得：，∴不等式組的解集為：，∴不等式組的正整數(shù)解為2，3，故答案為：2，3．【點睛】本題考查了求不等式組的整數(shù)解，掌握確定不等式組解集的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南信陽·七年級期末）不等式組的整數(shù)解的個數(shù)為______．【答案】4個【分析】先分別求出兩個不等式的解集，再找出它們的公共部分即為不等式組的解集，然后找出其整數(shù)解即可得．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，則不等式的解集為，不等式的整數(shù)解為0、1、2、3，共有4個，故答案為：4個．【點睛】本題考查了求一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解題關(guān)鍵．考點四由一元一次不等式組的解集求參數(shù)例題：（2021·黑龍江鶴崗·七年級期末）若關(guān)于x的不等式組的解集是x＜2，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥2 B．a(chǎn)＜2 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≤2【答案】A【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到，結(jié)合不等式組的解集可得答案．【詳解】解：由，得：x＜2，由-3x＞-2x-a，得：x＜a，∵不等式組的解集為x＜2，∴a≥2，故選：A．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·陜西·西安市雁塔區(qū)第二中學八年級階段練習）若不等式組的解集是x＞4，那么m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出第一個不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集是x＞4得出m的范圍即可．【詳解】解：，解不等式①，得x＞4，∵不等式組的解集是x＞4，∴m≤4，故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，能熟記求不等式組解集的規(guī)律（同小取小，同大取大，大小小大中間找，大大小小找不了）是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·重慶實驗外國語學校八年級階段練習）若整數(shù)a滿足關(guān)于x的分式方程的解為非負整數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（

）A．5 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】先解分式方程，用含有a的代數(shù)式表示方程的解，再根據(jù)解為非負數(shù)求出a的范圍，然后根據(jù)不等式組的解集求出a的范圍，進而得出答案．【詳解】解:，解得，且，∵原方程得解為非負數(shù)，∴，且，解得，且．解不等式組，解不等式①得：解不等式②得：∴，∵使關(guān)于y的不等式組的解集為，∴解得，所以，且．可知則．故選：C．【點睛】本題主要考查了分式方程的解，不等式組的解集，及如何解分式方程，解不等式組，注意：解分式方程時分式的分母不等于0．3．（2022·甘肅·臨澤縣第三中學八年級期中）若關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，則m的取值范圍是______．【答案】m≤2【分析】根據(jù)不等式組的解集，可判斷m與2的大小．【詳解】解：因為不等式組的解集是x＞2，根據(jù)同大取較大原則可知：m＜2，當m=2時，不等式組的解集也是x＞2，所以m≤2．故答案為：m≤2．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．考點五由一元一次不等式組的整數(shù)解求參數(shù)例題：（2022·江蘇·泰州中學附屬初中七年級期末）若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個整數(shù)解，則k的取值范圍是_____．【答案】【分析】分別求出兩個不等式的解集，再根據(jù)不等式組的解集只有兩個整數(shù)解求解即可．【詳解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組只有兩個整數(shù)解，即0，-1，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，正確求出兩個不等式的解集是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)拔萃實驗學校八年級期中）己知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有4個，則a的取值范圍是_____________．【答案】【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)一元一次不等式組有四個整數(shù)解進行分析，即可得到答案．【詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∵關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有4個，則這四個整數(shù)解為：0，1，2，3，當時，不等式組的整數(shù)解為：0，1，2，3，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組的知識；解題的關(guān)鍵是正確求得一元一次不等式組的解集．2．（2022·江蘇揚州·七年級期末）若關(guān)于的不等式組的解有且只有個整數(shù)解，則的取值范圍是______．【答案】-3≤a<-2【分析】表示出不等式組的解集，根據(jù)題意確定出的范圍即可．【詳解】解：不等式組整理得：，不等式組有且只有個整數(shù)解，，整數(shù)解為，，，，則的范圍是．故答案為：．【點睛】此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學九年級階段練習）關(guān)于x的不等式組恰好只有4個整數(shù)解，則a的取值范圍為_________．【答案】【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)其只有四個整數(shù)解即可確定的取值范圍．【詳解】解：解不等式①得，解不等式②得，根據(jù)題意，可得該不等式組的解集為，∵不等式組只有4個整數(shù)解∴這4個整數(shù)解為3、2、1、0，∴，解得：，所以的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了不等式組，已知不等組解集的整數(shù)解情況確定參數(shù)的取值范圍關(guān)鍵是靈活的表示不等式組的解集．考點六不等式組和方程組結(jié)合的問題例題：（2021·黑龍江·肇源縣第二中學八年級期中）關(guān)于x、y的方程組的解滿足x+y>0，則k的值滿足的范圍為___________．【答案】k＞?4【分析】兩方程相加，再等式兩邊都除以4，根據(jù)已知x＋y＞0得出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可．【詳解】解：①＋②得：4x＋4y＝k＋4，x＋y＝k＋1，∵關(guān)于x，y的方程組的解滿足x＋y＞0，∴k＋1＞0，解得：k＞?4，故答案為：k＞?4．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，一元一次不等式的應用，解此題的關(guān)鍵是能得出關(guān)于k的一元一次不等式．【變式訓練】1．（2022·甘肅·景泰縣第四中學八年級期中）若關(guān)于、的方程組滿足，則的取值范圍是______．【答案】【分析】先解二元一次方程組求出，再根據(jù)得到關(guān)于k的一元一次不等式組，解不等式組即可．【詳解】解：用①+②得：，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，正確求出是解題的關(guān)鍵．2．（2021·廣東江門·七年級期末）已知方程組的解滿足x為非正數(shù)，y為負數(shù)，則m的取值范圍是________．【答案】-＜m≤4【分析】解方程組用m的代數(shù)式表示出x、y，根據(jù)x為非正數(shù)，y為負數(shù)列出關(guān)于m的不等式組，解之求得m的范圍．【詳解】解：解方程組得，∵x≤0，y＜0，∴，解得-＜m≤4；∴m的取值范圍是-＜m≤4．故答案為：-＜m≤4．【點睛】本題考查了解二元一次方程組和一元一次不等式，解決本題的關(guān)鍵是得出關(guān)于m的不等式組并求解．3．（2022·河南周口·七年級期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足，且關(guān)于x的不等式組無解，那么所有符合條件的整數(shù)a的個數(shù)為_______．【答案】7【分析】先求出方程組的解，再根據(jù)x＞y得出關(guān)于a的不等式，求出a的范圍，再求出不等式組中每個不等式的解集，根據(jù)不等式組無解得出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集，再求出整數(shù)a，最后求出答案即可．【詳解】解：解方程組得：，∵x＞y，∴2a＋1＞a?2，解得：a＞?3，，解不等式①，得x＜，解不等式②，得x≥，∵關(guān)于x的不等式組無解，∴≥，解得：a≤4，∴?3＜a≤4，∵a為整數(shù)，∴a可以為?2，?1，0，1，2，3，4，∴所有符合條件的整數(shù)a的個數(shù)為7，故答案為：7．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組，二元一次方程組的解，解一元一次不等式等知識點，能得出a的范圍?3＜a≤4是解此題的關(guān)鍵．考點七列一元一次不等式組例題：（2021·全國·九年級專題練習）“與5的和是正數(shù)且的一半不大于3”用不等式組表示，正確的是A． B． C． D．【答案】A【分析】利用a與5的和是正數(shù)得出a＋5＞0，再利用a的一半不大于3得出不等式組成不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選A．【點睛】此題主要考查了由文字敘述抽象出一元一次不等式組，正確得出不等式組是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·浙江杭州·八年級期末）檢測游泳池的水質(zhì)，要求三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前兩次檢驗，pH的讀數(shù)分別是7.4，7.9，那么第三次檢驗的pH應該為多少才能合格？設(shè)第3次的pH值為x，由題意可得（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義，并結(jié)合三次檢驗的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意知7.2≤≤7.8，∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，故選：A．【點睛】本題主要考查由實際問題抽象出一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)的定義．2．（2021·全國·九年級專題練習）為了治理環(huán)境，九年級部分同學去植樹，若每人平均植樹7棵，還剩9棵；若每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵．若設(shè)同學人數(shù)為x人，下列各項能準確的求出同學人數(shù)與種植的樹木的數(shù)量的是（

）A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得種植的樹木的數(shù)量為（7x+9）棵，再根據(jù)關(guān)鍵語句“每人平均植樹9棵．則有1名同學植樹的棵樹小于8棵”列出不等式組即可．【詳解】解：設(shè)同學人數(shù)為x人，則種植的樹木的數(shù)量為（7x+9）棵，由題意得：，故選：C．【點睛】本題主要考查一元一次不等式組，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，然后得出相應的不等式組即可．3．（2021·黑龍江佳木斯·七年級期末）若干名學生住宿舍，每間住人，人無處住；每間住人，空一間還有一間不空也不滿，問多少學生多少宿舍？設(shè)有間宿舍，則可列不等式組為____【答案】【分析】先根據(jù)“每間住人，人無處住”可得學生人數(shù)，再根據(jù)“每間住人，空一間還有一間不空也不滿”建立不等式組即可得．【詳解】設(shè)有間宿舍，則學生有人，由題意得：，故答案為：．【點睛】本題考查了列一元一次不等式組，理解題意，正確找出不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．考點八一元一次不等式組的應用例題：（2022·江蘇·連云港外國語學校七年級期末）某家電超市經(jīng)營甲、乙兩種品牌的洗衣機．經(jīng)投標發(fā)現(xiàn)，1臺甲品牌洗衣機進價比1臺乙品牌洗衣機進價貴500元；購進2臺甲品牌洗衣機和3臺乙品牌洗衣機共需進貨款13500元．(1)購進1臺甲品牌洗衣機和1臺乙品牌洗衣機進價各需要多少元？(2)超市根據(jù)經(jīng)營實際情況，需購進甲、乙兩種品牌的洗衣機總數(shù)為50臺，其中甲品牌洗衣機購進的臺數(shù)不少于乙品牌洗衣機臺數(shù)的3倍，且購進甲、乙兩種品牌的洗衣機的總費用不超過145250元．問該超市共有幾種購進方案？試寫出所有的購進方案．【答案】(1)購進1臺甲品牌洗衣機進價3000元，1臺乙品牌洗衣機進價2500元；(2)超市共有3種購進方案，購進方案如下：方案一：甲購進38臺，乙購進12臺；方案二：甲購進39臺，乙購進11臺；方案三：甲購進40臺，乙購進10臺．【分析】（1）設(shè)購進1臺甲品牌洗衣機進價x元，1臺乙品牌洗衣機進價y元，根據(jù)“1臺甲品牌洗衣機進價比1臺乙品牌洗衣機進價貴500元：購進2臺甲品牌洗衣機和3臺乙品牌洗衣機共需進貨款13500元”列二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)超市購進m臺甲品牌洗衣機，根據(jù)“甲品牌洗衣機購進的臺數(shù)不少于乙品牌洗衣機臺數(shù)的3倍，且購進甲、乙兩種品牌的洗衣機的總費用不超過145250元”列一元一次不等式組，求出m的取值范圍，進一步即可確定購進方案．（1）解：設(shè)購進1臺甲品牌洗衣機進價x元，1臺乙品牌洗衣機進價y元，根據(jù)題意，得解得，答：購進1臺甲品牌洗衣機進價3000元，1臺乙品牌洗衣機進價2500元；（2）設(shè)超市購進m臺甲品牌洗衣機，根據(jù)題意，得解得37.5≤m≤40.5，m取正整數(shù)有：38，39，40，∴超市共有3種購進方案，購進方案如下：方案一：甲購進38臺，乙購進12臺；方案二：甲購進39臺，乙購進11臺；方案三：甲購進40臺，乙購進10臺．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，理解題意并根據(jù)題意建立關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022·重慶大學城第三中學校七年級期中）有甲、乙兩種客車，3輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為180人，2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為170人．(1)請問1輛甲種客車與1輛乙種客車的載客量分別為多少人？(2)某校組織不少于180名學生到某紅色教育基地開展“慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年”活動，擬租用甲、乙兩種客車共5輛，總費用不超過1950元，一次將全部學生送到指定地點．若每輛甲種客車的租金為400元，每輛乙種客車的租金為320元，有哪幾種租車方案，最少租車費用是多少？【答案】(1)1輛甲種客車的載客量為40人，1輛乙種客車的載客量為30人(2)租3輛甲車，2輛乙車或租4輛甲車，1輛乙車；最少租車費用是1840元．【分析】（1）設(shè)1輛甲種客車的載客量為x人，1輛乙種客車的載客量為y人，根據(jù)“3輛甲種客車與2輛乙種客車的總載客量為180人，2輛甲種客車與3輛乙種客車的總載客量為170人．”列出方程組，即可求解；（2）設(shè)租用甲種客車a輛，則租用乙種客車（5﹣a）輛，根據(jù)題意．列出不等式組，求出a，即可求解．（1）解：設(shè)1輛甲種客車的載客量為x人，1輛乙種客車的載客量為y人，根據(jù)題意得：，解得，答：1輛甲種客車的載客量為40人，1輛乙種客車的載客量為30人；（2）解：設(shè)租用甲種客車a輛，則租用乙種客車（5﹣a）輛，依題意有：，解得：，∵a為整數(shù)，∴a＝3或4，當a＝3時，租3輛甲車，2輛乙車，費用為：3×400+2×320＝1840（元），當a＝4時，租4輛甲車，1輛乙車，費用為：4×400+1×320＝1920（元），故有2種租車方案，租3輛甲車，2輛乙車或租4輛甲車，1輛乙車；最少租車費用是1840元．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組及二元一次方程組的應用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式及所求量的等量關(guān)系．2．（2021·重慶·巴川初級中學校七年級期中）光環(huán)購物廣場“童趣”商店計劃購進一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進價與一件乙種玩具的進價的和為40元，購買10件甲種玩具的費用與購買6件乙種玩具的費用相同．(1)求每件甲種、乙種玩具的進價分別是多少元？(2)商場計劃購進甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)的，商場決定此次進貨的總資金不超過1080元，求商場共有幾種進貨方案？【答案】(1)甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件(2)共有4種方案【分析】（1）可以通關(guān)兩次購買的數(shù)量及單價列二元一次方程組求解，（2）利用甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)的，商場決定此次進貨的總資金不超過1080元這兩個條件，列不等式組求解．（1）解：設(shè)甲種玩具進價元/件，則乙種玩具進價為元/件，解得答：甲，乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）設(shè)購進甲種玩具件，則購進乙種玩具（48﹣）件，則解得．因為是整數(shù)，∴=12，13，14，15，故共有4種方案．【點睛】本題考查二元一次方程組及不等式組的實際應用，準確列出方程和不等式組是解題關(guān)鍵．3．（2022·河南漯河·七年級期末）我市是“全國文明城市”．其小區(qū)為了響應號召，計劃購進A、B兩種樹苗共棵．已知A種樹苗每棵元，B種樹苗每棵元．(1)若購進A、B兩種樹苗共花費了元，問購進A、B兩種樹苗各多少棵？(2)若購進A種樹苗的數(shù)量不少于B種樹苗的數(shù)量，且總費用不超過2100元，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用．【答案】(1)購進A種樹苗13棵，B種樹苗10棵；(2)購進A種樹苗12棵，B種樹苗11棵；此時購進費用為2080元．【分析】（1）設(shè)購進A種樹苗x棵，B種樹苗y棵，根據(jù)A，B兩種樹苗共23棵，A，B兩種樹苗共花費了2100元，列出二元一次方程組求解；（2）設(shè)購進A種樹苗a棵，根據(jù)A種樹苗的數(shù)量不少于B種樹苗的數(shù)量，總費用不超過2100元，列出不等式組，取其整數(shù)解，進而即可求解．（1）解：設(shè)購進A種樹苗x棵，B種樹苗y棵，由題意可得：解得：答：購進A種樹苗13棵，B種樹苗10棵；（2）設(shè)購進A種樹苗a棵，則購進B種樹苗棵，由題意可得：解得∵為正整數(shù)，∴∴A種樹苗每棵元，B種樹苗每棵元．當樹苗數(shù)量較少時，費用較低，∴當時，費用最少，（元）此時A種樹苗12棵，B種樹苗11棵；此時購進費用為2080元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系或不等關(guān)系列出方程或不等式是解題的關(guān)鍵．課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·山東煙臺·七年級期末）下列各式不是一元一次不等式組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷即可得到結(jié)果；【詳解】符合一元一次不等式組的定義，故A是；因為有a、b兩個未知數(shù)，故B不是；符合一元一次不等式組的定義，故C是；符合一元一次不等式組的定義，故D是；故答案選B．【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的定義，準確判斷是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江·蕭山區(qū)回瀾初級中學七年級期中）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：，解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＞?1，故不等式組的解集為：?1＜x≤1，在數(shù)軸上表示為：故選：C．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到的原則是解題的關(guān)鍵．3．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學七年級期末）若關(guān)于x的不等式組無解，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不等式組整理后，由無解確定出m的范圍即可．【詳解】解：不等式組整理得：，由不等式組無解，得到．故選C．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·重慶大學城第三中學校七年級期中）若不等式組的整數(shù)解恰有四個，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先確定不等式組的解集，利用含a的式子表示，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)就可以確定有哪些整數(shù)解，根據(jù)解的情況可以得到關(guān)于a的不等式，從而求出a的范圍．【詳解】解不等式，得：，∵不等式組整數(shù)解共有四個，∴不等式組的整數(shù)解為2、3、4、5，∴，故選A．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，正確解出不等式組的解集，確定a的范圍，是解答本題的關(guān)鍵．求不等式組的解集，應遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．5．（2021·重慶·巴川初級中學校七年級期中）如果整數(shù)m使得關(guān)于x的不等式組有解，且使得關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為整數(shù)（x，y均為整數(shù)），則符合條件的所有整數(shù)m的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】不等式組整理后，根據(jù)有解確定出m的范圍，再由方程組的解為整數(shù)確定出滿足題意m的值，判斷即可．【詳解】解：由①得，，由②得，∵不等式組有解，∵不等式組的解集為m＜x≤4，∴m＜4，方程組，①－②得：（m﹣2）x＝4，解得：x，把x代入②得：y＝1，解得：y＝1，∵x與y都為整數(shù)，∵m＜4，∴m－2＜2，且m≠2，∴m－2＝1或﹣1或﹣2或﹣4，解得：m＝3或1或0或﹣2，故符合條件的所有整數(shù)m的個數(shù)為4個．故選：C．【點睛】此題考查了二元一次方程組的整數(shù)解，解一元一次不等式組，熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·遼寧·阜新市第十中學八年級期中）如果不等式組無解，則m的取值范圍是_____．【答案】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)不等式組無解，結(jié)合大大小小無解了可得答案．【詳解】解：解不等式x+8＞4x﹣1，得：x＜3，解不等式x﹣m＞1，得：x＞m+1，∵不等式組無解，∴m+1≥3，解得m≥2，故答案為：m≥2．【點睛】此題考查不等式組的解集的應用，正確解不等式，掌握確定不等式組解集的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)華君外國語學校七年級階段練習）關(guān)于x的不等式組的所有整數(shù)解之和為____________．【答案】3【分析】先求出不等式組的解集，再確定整數(shù)解，最后求和即可．【詳解】解：解不等式①得，x＜3，解不等式②得，x≥1，∴不等式組的解集是1≤x＜3，∴不等式組的整數(shù)解是1，2，∴所有整數(shù)解之和為1＋2＝3，故答案為：3【點睛】此題考查了求不等式組的整數(shù)解，熟練掌握不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．8．（2022·遼寧·丹東市第五中學八年級期末）已知關(guān)于x的不等式組僅有三個整數(shù)解，則a的取值范圍是________【答案】≤a＜1【分析】根據(jù)解不等式組，可得不等式組的解，根據(jù)不等式組的解集是整數(shù)，可得答案．【詳解】解：解不等式2x≥3（x-2）+5，得：x≤1，∵不等式組有且僅有三個整數(shù)解，∴此不等式組的整數(shù)解為1、0、-1，又x＞2a-3，∴-2≤2a-3＜-1，解得：≤a＜1，故答案為：≤a＜1．【點睛】本題考查了一元一次不等式組，利用不等式的解得出關(guān)于a的不等式是解題關(guān)鍵．9．（2022·重慶永川·七年級期末）七年級學生張明的母親給他150元錢，作為他一周在校五天的生活費，假定張明平均每天所用的生活費為a元，且到周末略有剩余，則a的取值范圍是_________．【答案】0＜a＜30【分析】根據(jù)題意列出不等式組即可求解．【詳解】解：由周末略有剩余，得到不等式組：，解得：0＜a＜30．故答案為：0＜a＜30．【點睛】本題考查一元一次不等式組的應用，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的不等關(guān)系式，需注意隱含條件的應用．10．（2022·湖北·武漢外國語學校美加分校七年級階段練習）對，定義一種新的運算，規(guī)定：，若關(guān)于正數(shù)的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則的取值范圍是_________．【答案】【分析】分0＜x＜1和x≥1兩種情況，由得到關(guān)于x的不等式組，解之得出x的取值范圍，再根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)可得m的取值范圍．【詳解】解：①若0＜x＜1，由得，解1-x＞4，得：x＜-3，與0＜x＜1不符，舍去；②若x≥1，由得，解得，∵不等式組恰好有3個整數(shù)解，∴8≤m-1＜9，解得9≤m＜10，故答案為：9≤m＜10．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)x的取值范圍列出相應的關(guān)于x的不等式組，并解不等式組，結(jié)合整數(shù)解的個數(shù)得到關(guān)于m的不等式組．三、解答題11．（2022·甘肅·臨澤縣第三中學八年級期中）解下列不等式組，并將結(jié)果表示在數(shù)軸上．(1)(2)【答案】(1)，數(shù)軸見解析(2)，數(shù)軸見解析【分析】（1）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數(shù)軸表示即可．（2）先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分即可得到不等式組的解集，然后畫數(shù)軸表示即可．（1）解：解①得：，解②得：，∴．如圖：（2）解：解①得：，解②得：，∴．如圖：【點睛】本題考查了一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解答本題的關(guān)鍵．先分別解兩個不等式，求出它們的解集，再求兩個不等式解集的公共部分．不等式組解集的確定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解．不等式組的解集在數(shù)軸上表示時，空心圈表示不包含該點，實心點表示包含該點．12．（2022·甘肅·張掖育才中學八年級期中）解下列不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來(1)；(2)．【答案】(1)x＞4，數(shù)軸表示見解析(2)﹣1≤x＜2，數(shù)軸表示見解析【分析】（1）分別求出每一個不等式的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上，進而求得不等式組的解集；（2）分別求出每一個不等式的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上，進而求得不等式組的解集．（1）解：，由①得，x＞2，由②得，x＞4，在數(shù)軸上表示如下：所以，不等式組的解集是x＞4；（2）解：，由①得，x≥﹣1，由②得，x＜2，在數(shù)軸上表示如下：所以，不等式組的解集是﹣1≤x＜2．【點睛】本題考查了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式的解集是解題的關(guān)鍵．13．（2022·廣東·佛山市南海外國語學校八年級階段練習）解不等式組，求出滿足該不等式組的所有整數(shù)解的和．【答案】【分析】先解不等式組得出不等式組的解集，從而知道不等式組的整數(shù)解情況，再求和即可得出答案．【詳解】解：解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴不等式組的解集是：，∴該不等式組的整數(shù)解是：，，，，∴整數(shù)解的和是：．∴滿足該不等式組的所有整數(shù)解的和是．【點睛】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解．解題的關(guān)鍵是得出不等式組的解集及其整數(shù)解的情況．14．（2021·貴州省三穗中學七年級期末）解不等式組：并把解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】，數(shù)軸見解析【分析】分別解兩個一元一次不等式，找出兩個解集的公共部分，在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】：解：解不等式①，得

解不等式②，得

所以不等式組的解集是：在數(shù)軸上表示如下：【點睛】本題考查解一元一次不等式組，并在數(shù)軸上表示不等式組的解集，準確的求出不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．15．（2022·湖北省直轄縣級單位·七年級階段練習）解不等式組，并把解集表示在數(shù)軸上．【答案】x＞﹣1，圖見解析【分析】分別解兩個不等式，求出解集公共部分即可．【詳解】，解不等式①得：x＞﹣3，解不等式②得：x＞﹣1．故不等式組解集為x＞﹣1．數(shù)軸表示如圖：【點睛】本題考查解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟知解集公共部分的求法．16．（2022·甘肅·臨洮縣明德初級中學七年級階段練習）已知方程組的解x為非正數(shù)，y為負數(shù)．(1)求a的取值范圍；(2)當a為何整數(shù)時，不等式ax+2x＞a+2的解集為x＜1？【答案】(1)(2)【分析】（1）先解方程組可得，，再建立不等式組，從而可得答案；（2）根據(jù)不等式的兩邊都除以而不等號的方向發(fā)生了改變，可得再結(jié)合（1）的結(jié)論，從而可得答案．（1）解：①+②得：①-②得：∵x為非正數(shù)，y為負數(shù)，∴由③得：由④得：∴a的范圍為：（2）∵ax+2x＞a+2，∴∵不等式ax+2x＞a+2的解集為x＜1，∴解得：∵∴∴整數(shù)【點睛】本題考查的二元一次方程組的解法，一元一次不等式組的解法，一元一次不等式的解法，掌握“確定不等式組的解集的方法”是解本題的關(guān)鍵．17．（2022·湖北省直轄縣級單位·七年級階段練習）閱讀材料：對x，y定義一種新運算“T”，規(guī)定：T（x，y）＝（其中a，b均為非0常數(shù)，且x+y≠0）．如T（1，0）＝，若T（2，1）＝，T（1，﹣2）＝﹣7．(1)求T（2，3）的值；(2)若關(guān)于c的不等式組恰好有3個整數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)0(2)1＜m≤4【分析】（1）利用新運算定義，代數(shù)求解即可；（2）利用不等式的解集，求符合題目要求的的取值范圍即可．（1）解：，，．，，，解方程組：，得：，，．（2）解：，，由，得：，由，得：，恰好有3個整數(shù)解，則這個整數(shù)解一定是1、0、，，，．【點睛】本題考查的是新運算問題結(jié)合二元一次方程組及一元一次不等式組的解法，解題關(guān)鍵就是理解新運算法則，熟練運用法則進行計算．18．（2022·四川樂山·七年級期末）樂山市在創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市的活動中，為更好的增強人們對垃圾分類的意識，某小區(qū)積極響應，決定在其轄區(qū)內(nèi)安裝溫馨提示牌和垃圾箱，若購買個溫馨提示牌和個垃圾箱共需元，購買個溫馨提示牌和個垃圾箱費用相同．(1)求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元？(2)該小區(qū)至少需要安放個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共個，且總費用不超過元，請問共有幾種購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？【答案】(1)溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是元和元(2)購買溫馨提示牌個，購買垃圾箱個時所需資金最少，最少是元【分析】（1）設(shè)溫馨提示牌的單價為元，垃圾箱的單價為元，根據(jù)“購買個溫馨提示牌和個垃圾箱共需元，購買個溫馨提示牌和個垃圾箱費用相同．”列出方程組，即可求解；（2）設(shè)購買溫馨提示牌個，則購買垃圾箱個，根據(jù)“小區(qū)至少需要安放個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共個，且總費用不超過元，”列出不等式組，即可求解．（1）解：設(shè)溫馨提示牌的單價為元，垃圾箱的單價為元，依題意得，，解得，，答：溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是元和元；（2）解：設(shè)購買溫馨提示牌個，則購買垃圾箱個，依題意得：，解得，為整數(shù)，，，，共有種購貨方案：方案一：購買溫馨提示牌個，購買垃圾箱個，此時費用為元；方案二：購買溫馨提示牌個，購買垃圾箱個，此時費用為元；方案三：購買溫馨提示牌個，購買垃圾箱個，此時費用為元；，購買溫馨提示牌個，購買垃圾箱個時所需資金最少，最少是元．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及一元一次不等式組的應用，理解題意得出相等關(guān)系與不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．19．（2022·浙江臺州·七年級階段練習）為預防新冠肺炎病毒，小紅同學到一家藥店購買口罩．已知3個A型口罩和4個B型口罩共需17元；4個A型口罩和3個B型口罩共需18元．(1)求一個A型口罩和一個B型口罩的售價各是多少元？(2)小紅有290元錢，現(xiàn)要買A型、B型口罩共120個，且A型的數(shù)量不少于B型數(shù)量的①請問有哪幾種購買方案？②藥店營業(yè)員告訴她：“口罩戴久后容易受潮，會導致呼吸受阻和防護能力下降，需及時更換，每個A型口罩累計使用3個小時需更換一次，每個B型口罩累計使用6小時需更換一次”．問怎樣安排購買使