專題08 a除以a的絕對(duì)值（解析版）

專題08a除以a的絕對(duì)值1．設(shè)，則的值是（

）A．－3 B．1 C．3或－1 D．－3或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)a、b、c的正數(shù)的個(gè)數(shù)去掉絕對(duì)值號(hào)，再根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】∵∴a、b、c中二負(fù)一正，又，∴，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的結(jié)果中有二個(gè)1，一個(gè)－1，∴的值是1.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是確定的結(jié)果中有二個(gè)1，一個(gè)－1．2．|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，先求出a的值，然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，則，，再進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，∴當(dāng)時(shí)，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，，∴∴=====0；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的意義，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的意義，正確的求出，，．3．已知：，且，，則共有個(gè)不同的值，若在這些不同的值中，最小的值為，則（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析出a、b、c為兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，分三種情況進(jìn)行討論，求出m不同的值，看有多少個(gè)，最小的值是多少．【詳解】解：∵，，∴a、b、c為兩個(gè)負(fù)數(shù)，一個(gè)正數(shù)，∵，，，∴，分三種情況討論，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，當(dāng)，，時(shí)，，∴，，則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和有理數(shù)的正負(fù)判斷，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值的化簡(jiǎn)進(jìn)行分類討論．4．已知，，的積為負(fù)數(shù)，和為正數(shù)，且，則的值為()A． B．，2 C．，， D．，，，【答案】A【解析】【分析】先判斷出的符號(hào)，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值運(yùn)算即可得．【詳解】的積為負(fù)數(shù)的符號(hào)為三負(fù)或兩正一負(fù)的和為正數(shù)的符號(hào)為兩正一負(fù)因此，分以下三種情況：（1）當(dāng)時(shí)（2）當(dāng)時(shí)（3）當(dāng)時(shí)綜上，的值為0故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，依據(jù)已知條件，判斷出的符號(hào)是解題關(guān)鍵．5．下列說(shuō)法正確的是（

）①已知，，是非零有理數(shù)，若，則的值為0或；②已知時(shí)，那么的最大值為8，最小值為；③若且，則代數(shù)式的值為．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】【分析】利用絕對(duì)值的意義對(duì)每個(gè)說(shuō)法逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：①∵a，b，c是非零有理數(shù)，若，∴a，b，c中有兩個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，∴a，b有可能同為負(fù)數(shù)或一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，當(dāng)a，b同為負(fù)數(shù)時(shí)，；當(dāng)a，b一個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a＜0，b＞0，∴，綜上，的值為0或2．故①正確；②∵x≤5，∴|x-5|=5-x．當(dāng)-3≤x≤5時(shí)，∴|x+3|-|x-5|=（x+3）-（5-x）=2x-2，∴當(dāng)x=5時(shí)，原式有最大值2×5-2=8，當(dāng)x=-3時(shí)，原式有最小值2×（-3）-2=-8；當(dāng)x＜-3時(shí)，|x+3|-|x-5|=-x-3-（5-x）=-x-3+x-5=-8．綜上，當(dāng)x≤5時(shí)，那么|x+3|-|x-5|的最大值為8，最小值為-8，∴②正確；③∵|a|=|b|且|a?b|=，∴a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，a=-b．∴-ab=b2．∴|-2b|=，∴|b|=，∴b2=．∴．∴③正確．綜上，正確的說(shuō)法有：①②③．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值，絕對(duì)值，利用分類討論的方法求|x+3|-|x-5|的最大值或最小值是解題的關(guān)鍵．6．已知有理數(shù)，，滿足，且，則__________．【答案】．【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)，，滿足，且，得到，，中必定只有一個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；然后化簡(jiǎn)絕對(duì)值求解即可．【詳解】解：∵有理數(shù)，，滿足，且，∴有理數(shù)，，中必定只有一個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則：；當(dāng)時(shí)，，，則：；當(dāng)時(shí)，，，則：；綜上所述，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．已知：都不等于0，且的最大值為m，最小值為n，則m+n=__________．【答案】2【解析】【分析】分3種情況來(lái)求解即可．【詳解】解：∵都不等于0，分3種情況來(lái)求求解，∴當(dāng)同正時(shí)，=1+1+1=3；當(dāng)同負(fù)時(shí)，=-1-1+1=-1；當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，=1-1-1=-1；∵的最大值為m，最小值為n，∴m=3,n=-1∴m+n=3-1=2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值及其運(yùn)算，注意要分情況來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，記?。赫龜?shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．三、解答題8．如果、、是非零有理數(shù)，且，那么的所有可能的值為_____.【答案】0【解析】【詳解】試題分析：由、、是非零有理數(shù)，且可得，當(dāng)a、b為正數(shù)時(shí)，則c為負(fù)；當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，則b、c為負(fù)；分情況討論求的值．試題解析：、、為非零有理數(shù)，且、、只能為兩正一負(fù)或一正兩負(fù).①當(dāng)、、為兩正一負(fù)時(shí)，設(shè)、為正，為負(fù)原式②當(dāng)、、為一正兩負(fù)時(shí)，設(shè)為正，、為負(fù)原式綜上，的值為.9．已知a,b,c都不等于零，且的最大值是m，最小值為n，求的值．【答案】-1；其中m=2,n=-2【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)閍,b,c符號(hào)不確定所以需要對(duì)其進(jìn)行分類討論,因?yàn)閍,b,c在原式中的位置相同，所以隨意給三個(gè)字母規(guī)定正負(fù)，討論三個(gè)字母符號(hào)正負(fù)，計(jì)算最值

.試題解析：,分類討論，a,b,c同正，原式=1+1+1-1=2,；a,b,c同負(fù)，原式=-1-1-1+1=-2；a,b,c兩正一負(fù)，原式=1+1-1+1=2；a,b,c兩負(fù)一正，原式=-1-1+1-1=-2.所以m=2,n=-2，所以.10．a(chǎn)，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示：(1)求_______(2)、、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則：化簡(jiǎn)：；(3)求的最大值，并求出此時(shí)x的范圍．【答案】(1)-1(2)(3)b-a，x≥b【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上的位置可得a＜b＜0＜c，從而化簡(jiǎn)絕對(duì)值得到結(jié)果；（2）根據(jù)a＜b＜0＜c，從而化簡(jiǎn)絕對(duì)值得到結(jié)果；（3）分x＜a，a≤x≤b，x＞b三種情況進(jìn)行討論，綜合討論結(jié)果可得．(1)解：由數(shù)軸可知：a＜b＜0＜c，；(2)∵a＜b＜0＜c，∴==(3)當(dāng)x＜a時(shí)，==＜0，當(dāng)a≤x≤b時(shí)，==，∴，當(dāng)x＞b時(shí)，==＞0，綜上：的最大值為，此時(shí)x的范圍是：x≥b．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)式子，同時(shí)更好的理解題意，將困難的問(wèn)題分開討論．11．（1）一個(gè)數(shù)a，當(dāng)a>0時(shí)，=；當(dāng)a<0時(shí)，=；（2）兩個(gè)數(shù)a、b，當(dāng)ab<0時(shí)，=；（3）三個(gè)數(shù)a、b、c，當(dāng)abc<0，a+b+c>0，且，求的值【答案】（1）1，-1；（2）-1；（3）-5．【解析】【分析】（1）根據(jù)題目給出的條件，利用絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可；（2）分為兩種情況：①，,②，,分別化簡(jiǎn)絕對(duì)值然后計(jì)算即可；（3）根據(jù)已知得出其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，其余兩個(gè)為正數(shù)，分為三種情況：①當(dāng)a＜0時(shí)，b＞0，c＞0，②當(dāng)b＜0時(shí)，a＞0，c＞0，③當(dāng)c＜0時(shí)，a＞0，b＞0，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后求出x的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）當(dāng)a>0時(shí)，，當(dāng)a<0時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，有兩種情況：①，,②，,∴①當(dāng)，時(shí),②當(dāng)，時(shí),，∴綜上所述，當(dāng)時(shí)，（3）解：，，符合條件的只有一種情況：其中一個(gè)為負(fù)數(shù)，其余兩個(gè)為正數(shù)，分為以下三種情況：①當(dāng)時(shí)，，，，，，；②當(dāng)時(shí)，，，，，，；③當(dāng)時(shí)，，，，，，，綜上所述，的值為0，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)和應(yīng)用，能根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)將等式化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（1）數(shù)學(xué)小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：若a，b均不為零，求的值．請(qǐng)補(bǔ)充以下解答過(guò)程（直接填空）①當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有2個(gè)正，0個(gè)負(fù)時(shí)，x=；②當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有1個(gè)正，1個(gè)負(fù)時(shí)，x=；③當(dāng)兩個(gè)字母a，b中有0個(gè)正，2個(gè)負(fù)時(shí)，x=；綜上，當(dāng)a，b均不為零，求x的值為．（2）請(qǐng)仿照解答過(guò)程完成下列問(wèn)題：①若a，b，c均不為零，求的值．②若a，b，c均不為零，且a+b+c=0，直接寫出代數(shù)式的值．【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1【解析】【分析】（1）①根據(jù)a、b的符合化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得到答案；②設(shè)a是正數(shù)，b是負(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得到答案；③根據(jù)a、b的符合化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得到答案；綜合上面三個(gè)的結(jié)果得到答案；（2）①分四種情況化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得到答案；②根據(jù)a、b、c均不為零，分兩種情況求出答案即可.【詳解】（1）①∵a、b都是正數(shù)，∴=a，=b，∴=1+1=2，故答案為：2；②設(shè)a是負(fù)數(shù)，b是正數(shù)，∴=-a，=b，∴=-1+1=0，故答案為：0；③∵a、b都是負(fù)數(shù)，∴=-a，=-b，∴=-1-1=-2，故答案為：-2；綜上，當(dāng)a，b均不為零，求x的值為2或0或-2；（2）①由題意可得：a、b、c的符號(hào)分為四種情況：當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時(shí)，=1+1-1=1，當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)且a、b為正c為負(fù)時(shí)，=1+1+1=3，當(dāng)a、b、c為一正兩負(fù)且a、b為負(fù)c為正時(shí)，=-1-1-1=-3,當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時(shí)，=-1-1+1=-1，綜上，的值為1或3或-3,或-1；②∵a，b，c均不為零，且a+b+c=0，∴=，∴當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)時(shí)，=-1-1+1=-1，當(dāng)a、b、c為一正兩負(fù)=-1+1+1=1，綜上，的值為-1或1.【點(diǎn)睛】此題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，根據(jù)絕對(duì)值的符號(hào)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟記性質(zhì)特征是解題的關(guān)鍵.13．請(qǐng)利用絕對(duì)值的性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)，則＝______；當(dāng)b＜0時(shí)，則＝______．(2)已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)abc≠0時(shí)，求的值．【答案】(1)1，-1(2)-1(3)3或﹣1或1或﹣3【解析】【分析】（1）根據(jù)a，b的取值范圍化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算出結(jié)果即可；（2）根據(jù)a，b，c是有理數(shù)，且a+b+c＝0，abc＜0，可得b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，進(jìn)而代入原式中可得結(jié)果；（3）根據(jù)題意可分為四種情況分別為：①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，③當(dāng)a，b，c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，分別求出算式的的結(jié)果．(1)解：當(dāng)a＞0時(shí)，則，當(dāng)b＜0，則，故答案為：1，﹣1；(2)解：已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0．∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，且a，b，c中兩正一負(fù)，∴；(3)解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時(shí)，則：；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a＞0，b＜0，c＜0，則：；③當(dāng)a，b，c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a＞0，b＞0，c＜0，則：＝1+1﹣1＝1；④當(dāng)a，b，c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí)，則：＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；綜上所述：的值為3或﹣1或1或﹣3．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的化簡(jiǎn)，能夠掌握分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．14．“分類討論”是一種重要數(shù)學(xué)思想方法，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答題目后提出的三個(gè)問(wèn)題．例：三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足，求的值．解：由題意得：a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①當(dāng)a，b，c都是正數(shù)，即，，時(shí)，則：；②當(dāng)a，b，c有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)，，，則：；綜上所述：的值為3或-1．請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）已知，，且，求的值；（2）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）已知a，b，c是有理數(shù)，，．求的值．【答案】（1）或；（2）或0；（3）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)絕對(duì)值運(yùn)算求出a、b的值，再根據(jù)可得兩組a、b的值，然后代入求值即可得；（2）分①，、②，、③，、④，四種情況，再分別化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后計(jì)算有理數(shù)的除法與加減法即可得；（3）先根據(jù)已知等式可得，，，且a，b，c有兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值，然后計(jì)算有理數(shù)的除法與加減法即可得．【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋曰?，則或，即的值為或；（2）由題意，可分以下四種情況：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；綜上，的值為或0；（3）因?yàn)閍，b，c是有理數(shù)，，，所以，，，且a，b，c有兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，設(shè)，，，則．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值運(yùn)算、有理數(shù)除法與加減法的應(yīng)用，熟練掌握分類討論思想是解題關(guān)鍵．15．在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問(wèn)題．【提出問(wèn)題】三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足，求的值．【解決問(wèn)題】解：由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)．①a，b，c都是正數(shù)，即，，時(shí)，則；②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，，則，綜上所述，值為3或?1．【探究】請(qǐng)根據(jù)上面的解題思路解答下面的問(wèn)題：（1）三個(gè)有理數(shù)a，b，c滿足，求的值；（2）若a，b，c為三個(gè)不為0的有理數(shù)，且，求的值．【答案】（1）值為-3或1；（2）【解析】【分析】（1）由可得a，b，c都為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，然后問(wèn)題可求解；（2）由題意及可得a，b，c為兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：（1）由題意，得a，b，c三個(gè)有理數(shù)都為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，①當(dāng)a，b，c都是負(fù)數(shù)，即，，時(shí)，則；②當(dāng)a，b，c中有一個(gè)為負(fù)數(shù)，另兩個(gè)為正數(shù)時(shí)，不妨設(shè)，，，則，綜上所述，值為-3或1；（2）由及（1）可得：a，b，c中有兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，∴不妨設(shè)，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．16．在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們常用到"分類討論"的數(shù)學(xué)思想，下面是運(yùn)用"分類討論"的數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的過(guò)程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并解答問(wèn)題．【提出問(wèn)題】已知有理數(shù)a，b，c滿足abc＞0，求的值．【解決問(wèn)題】解∶由題意，得a，b，c三個(gè)