（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義08 用空間向量研究距離、夾角問題（原卷版）

第第頁1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(1)1.用向量語言表示點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題2.能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行的直線、互相平行的平面的距離問題.重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間距離的原理難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間距離的方法

一、自主導(dǎo)學(xué)（一）、點(diǎn)到直線的距離、兩條平行直線之間的距離1.點(diǎn)到直線的距離已知直線l的單位方向向量為μ，A是直線l上的定點(diǎn)，P是直線l外一點(diǎn).設(shè)AP=a，則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·μ)μ.點(diǎn)P到直線l的距離為PQ=a22.兩條平行直線之間的距離求兩條平行直線l，m之間的距離，可在其中一條直線l上任取一點(diǎn)P，則兩條平行直線間的距離就等于點(diǎn)P到直線m的距離.點(diǎn)睛：點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的垂線段的長度，由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面，所以空間點(diǎn)到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問題.（二）、點(diǎn)到平面的距離、兩個平行平面之間的距離點(diǎn)到平面的距離已知平面α的法向量為n，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P到平面α的距離為PQ=|AP點(diǎn)睛：1.實質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長度.2.如果一條直線l與一個平面α平行，可在直線l上任取一點(diǎn)P，將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面α的距離求解.3.兩個平行平面之間的距離如果兩個平面α，β互相平行，在其中一個平面α內(nèi)任取一點(diǎn)P，可將兩個平行平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到平面β的距離求解.二、小試牛刀1.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是C1C，D1A1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線EF的距離為.

2.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，則點(diǎn)B1到平面AD1C的距離為.

一、情境導(dǎo)學(xué)如圖，在蔬菜大棚基地有一條筆直的公路，某人要在點(diǎn)A處，修建一個蔬菜存儲庫。如何在公路上選擇一個點(diǎn)，修一條公路到達(dá)A點(diǎn)，要想使這個路線長度理論上最短，應(yīng)該如何設(shè)計？問題：空間中包括哪些距離?求解空間距離常用的方法有哪些?答案：點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條平行線及兩個平行平面的距離;傳統(tǒng)方法和向量法.二、典例解析例1.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，求點(diǎn)B到直線A1C1的距離.用向量法求點(diǎn)到直線的距離時需注意以下幾點(diǎn)：(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段;(2)在直線上可以任意選點(diǎn)，但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn);(3)直線的方向向量可以任取，但必須保證計算正確.延伸探究1例1中的條件不變，若M，N分別是A1B1，AC的中點(diǎn)，試求點(diǎn)C1到直線MN的距離.延伸探究2將條件中直三棱柱改為所有棱長均為2的直三棱柱，求點(diǎn)B到A1C1的距離.例2在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=23，M，N分別為AB，SB的中點(diǎn)，如圖所示.求點(diǎn)B到平面CMN的距離.求點(diǎn)到平面的距離的主要方法(1)作點(diǎn)到平面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.(2)在三棱錐中用等體積法求解.(3)向量法：d=|n·MA||n|(n為平面的法向量，跟蹤訓(xùn)練1在直三棱柱中，AA1=AB=BC=3，AC=2，D是AC的中點(diǎn).(1)求證：B1C∥平面A1BD;(2)求直線B1C到平面A1BD的距離.金題典例如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，CC1=4，點(diǎn)E在棱BB1上，EB1=1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點(diǎn)，EF與B1D相交于點(diǎn)H.(1)求證：B1D⊥平面ABD;(2)求證：平面EGF∥平面ABD;(3)求平面EGF與平面ABD的距離.總結(jié)：求兩個平行平面的距離，先在其中一個平面上找到一點(diǎn)，然后轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到另一個平面的距離求解.注意：這個點(diǎn)要選取適當(dāng)，以方便求解為主.1.兩平行平面α，β分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n=(-1，0，1)，則兩平面間的距離是()A.32 B.22 C.3 2.若三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1，則點(diǎn)P到平面ABC的距離是()A.66 B.63 C.363.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，O是平面A1B1C1D1的中心，則O到平面ABC1D1的距離是()A.12 B.24 C.224.Rt△ABC的兩條直角邊BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=95，則點(diǎn)P到斜邊AB的距離是5.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是線段BB1，B1C1的中點(diǎn)，則直線MN到平面ACD1的距離為.

運(yùn)用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的額距離和夾角等問題；（3）把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論。1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題(2)1.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關(guān)系，會用向量方法求兩異面直線所成角.2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系，會用向量方法求直線與平面所成角.3.理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關(guān)系，會用向量方法求二面角的大小.重點(diǎn)：理解運(yùn)用向量方法求空間角的原理難點(diǎn)：掌握運(yùn)用空間向量求空間角的方法

一、自主導(dǎo)學(xué)1.利用向量方法求兩異面直線所成角若兩異面直線l1，l2所成角為θ，它們的方向向量分別為a，b，則有cosθ=|cos<a，b>|=|a特別提醒：不要將兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角等同起來，因為兩異面直線所成角的范圍是0,π2，而兩個向量夾角的范圍是[0，π]，事實上2.利用向量方法求直線與平面所成角若直線l與平面α所成的角為θ，直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則有sinθ=|cos<a，n>|=|特別提醒：直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.3.利用向量方法求二面角(1)若二面角α-l-β的平面角的大小為θ，其兩個面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|=|cos<n1，n2>|=|(2)二面角的大小還可以轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角.在二面角α-l-β的兩個半平面α，β內(nèi)，各取一條與棱l垂直的直線，則當(dāng)直線的方向向量的起點(diǎn)在棱上時，兩個方向向量的夾角即為二面角的大小.特別提醒：由于二面角的取值范圍是[0，π]，而兩個面的法向量的方向無法從圖形上直觀確定，因此不能認(rèn)為二面角的大小就是其兩個面法向量夾角的大小，需要結(jié)合具體圖形判斷二面角是銳角還是鈍角，從而求得其大小.二、小試牛刀1.若異面直線l1，l2的方向向量分別是a=(0，-2，-1)，b=(2，0，4)，則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于()A.-25 B.25 C.-252.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A.120° B.60° C.150° D.30°3.二面角α-l-β中，平面α的一個法向量為n1=32,-12,-2，平面β的一個法向量是n2=0,12,A.120° B.150°C.30°或150° D.60°或120°一、情境導(dǎo)學(xué)地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶，太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個星座，稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起，每30°便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、獅子座、雙子座等等，這便是星座的由來.問題：空間角包括哪些角?求解空間角常用的方法有哪些?答案：線線角、線面角、二面角;傳統(tǒng)方法和向量法.二、典例解析例1.如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，試求直線EF和BC1所成的角.1.利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟.(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo).(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.2.求兩條異面直線所成的角的兩個關(guān)注點(diǎn).(1)余弦值非負(fù)：兩條異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值，而對應(yīng)的方向向量的夾角可能為鈍角.(2)范圍：異面直線所成角的范圍是0,π2，故兩直線方向向量夾角的余弦值為負(fù)時跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.

例2.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).(1)證明MN∥平面PAB;(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.跟蹤訓(xùn)練2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，則直線A1B與平面BDE所成的角為()A.π6B.π3C.π2 例3.如圖，在正方體ABEF-DCE'F'中，M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)，求平面MNA與平面MNB所成銳二面角的余弦值.利用平面的法向量求二面角利用向量方法求二面角的大小時，多采用法向量法，即求出兩個面的法向量，然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小，但利用這種方法求解時，要注意結(jié)合圖形觀察分析，確定二面角是銳角還是鈍角，不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1-A1C-C1的大小.金題典例如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值.延伸探究1本例條件不變，求二面角B-A1C-D的余弦值.延伸探究2本例四棱柱中，∠CBA=60°改為∠CBA=90°，設(shè)E，F(xiàn)分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，求平面AB1E與平面AD1F所成銳二面角的余弦值.向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求出兩個半平面的法向量n1，n2;(3)設(shè)二面角的平面角為θ，則|cosθ|=|cos<n1，n2>|;(4)根據(jù)圖形判斷θ為鈍角還是銳角，從而求出θ(或其三角函數(shù)值).1.平面α的斜線l與它在這個平面上射影l(fā)'的方向向量分別為a=(1，0，1)，b=(0，1，1)，則斜線l與平面α所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°2.已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos<m，n>=-12，則l與α所成的角為(A.30° B.60° C.120° D.150°3.在正方體ABCD-A1B1C1D