（預(yù)習(xí)課）2024年高中數(shù)學(xué)高二暑假講義06 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示（原卷版）

第第頁(yè)1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.了解空間直角坐標(biāo)系理解空間向量的坐標(biāo)表示

2.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應(yīng)用

4.掌握空間向量的模夾角以及兩點(diǎn)間距離公式，能運(yùn)用公式解決問(wèn)題重點(diǎn)：理解空間向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算難點(diǎn)：運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題

一、平面向量坐標(biāo)表示及其運(yùn)算已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，寫(xiě)出下列向量的坐標(biāo)表示SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0//SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0；SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0如果表示向量SKIPIF1<0的有向線(xiàn)段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；cos=SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）一、情境導(dǎo)學(xué)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家吳文俊先生在《數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問(wèn)題》中指出：“數(shù)學(xué)研究數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡(jiǎn)單講就是形與數(shù)，歐幾里得幾何體系的特點(diǎn)是排除了數(shù)量關(guān)系，對(duì)于研究空間形式，你要真正的‘騰飛’，不通過(guò)數(shù)量關(guān)系，我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學(xué)幾何的“騰飛”是“數(shù)量化”，也就是坐標(biāo)系的引入，使得幾何問(wèn)題“代數(shù)化”，為了使得空間幾何“代數(shù)化”，我們引入了坐標(biāo)及其運(yùn)算.二、探究新知一、空間直角坐標(biāo)系與坐標(biāo)表示1.空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底i,j,k，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz，O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為Oxy平面，Oyz平面1.畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy=135°(或45°)，∠yOz=90°.三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)部分.2.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.本書(shū)建立的都是右手直角坐標(biāo)系.2.點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量OA，且點(diǎn)A的位置由向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底i,j,k下與向量OA對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z3.向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作OA=a由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡(jiǎn)記作a=(x，y，z小試牛刀1.若a=3i+2j﹣k，且{i，j，k}為空間的一個(gè)單位正交基底，則a的坐標(biāo)為.

思考：在空間直角坐標(biāo)系中，向量OP的坐標(biāo)與終點(diǎn)P的坐標(biāo)有何關(guān)系?二、空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a+b

減法a﹣b

數(shù)乘λa

數(shù)量積a·b

2.空間向量的坐標(biāo)與其端點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB=(x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1).即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).3.空間向量平行與垂直條件的坐標(biāo)表示：若向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則(1)當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a=λb?(λ∈R);

(2)a⊥b??.

4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標(biāo)表示若向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則(1)|a|=a·a=(2)cos<a，b>=a·b|(3)若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則P1，P2兩點(diǎn)間的距離為|P1P2小試牛刀1.已知空間向量m=(1，﹣3，5)，n=(﹣2，2，﹣4)，則有m+n=?，3m﹣n=?，(2m)·(﹣3n)=.

2.已知空間向量a=(2，λ，﹣1)，b=(λ，8，λ﹣6)，若a∥b，則λ=，若a⊥b，則λ=.

3.已知a=(﹣2，2，3)，b=(32，6，0)，則|a|=，a與b夾角的余弦值等于.

例1在直三棱柱ABO﹣A1B1O1中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，AA1=4，D為A1B1的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求DO用坐標(biāo)表示空間向量的步驟如下：跟蹤訓(xùn)練1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，B1C1的中點(diǎn)，若以{AB,AD,AA1}為基底，則向量AE的坐標(biāo)為，向量AF的坐標(biāo)為例2已知在空間直角坐標(biāo)系中，A(1，﹣2，4)，B(﹣2，3，0)，C(2，﹣2，﹣5).(1)求AB+CA,CB(2)若點(diǎn)M滿(mǎn)足AM=1(3)若p=CA，q=CB，求(p+q)·(p﹣q).空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注意以下幾點(diǎn)：(1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于這個(gè)向量的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則類(lèi)似于平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，牢記運(yùn)算公式是應(yīng)用的關(guān)鍵.(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a﹣b)=a2﹣b2.跟蹤訓(xùn)練2在△ABC中，A(2，﹣5，3)，AB=(4，1，2)，BC=(3，﹣2，5).(1)求頂點(diǎn)B，C的坐標(biāo);(2)求CA·(3)若點(diǎn)P在A(yíng)C上，且AP=12PC，例3已知空間三點(diǎn)A(﹣2，0，2)，B(﹣1，1，2)，C(﹣3，0，4).設(shè)a=AB，b=AC.(1)若|c|=3，c∥BC，求c;(2)若ka+b與ka﹣2b互相垂直，求k.向量平行與垂直問(wèn)題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問(wèn)題，即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意：①適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)a=λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程;②最好選擇坐標(biāo)形式，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.跟蹤訓(xùn)練3.已知a=(λ+1，1，2λ)，b=(6，2m﹣1，2).(1)若a∥b，分別求λ與m的值;(2)若|a|=5，且與c=(2，﹣2λ，﹣λ)垂直，求a.例4如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點(diǎn).(1)求BM，BN的長(zhǎng).(2)求△BMN的面積.反思感悟向量夾角與模的計(jì)算方法利用坐標(biāo)運(yùn)算解空間向量夾角與長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用夾角與模的計(jì)算公式進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練4.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1D1，BB1的中點(diǎn)，則cos∠EAF=，EF=.

一題多變——空間向量的平行與垂直典例在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別為線(xiàn)段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3B1P=PD1，若PQ⊥AE，BD=λ延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ，其他條件不變，結(jié)果如何?延伸探究2本例中若點(diǎn)G是A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)H在平面xOy上，且GH∥BD1，試判斷點(diǎn)H的位置.1.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐標(biāo)為(2，1，﹣3).若分別以DA,DC,DD1的方向?yàn)閤軸A.(2，1，﹣3) B.(﹣1，2，﹣3)C.(1，﹣8，9) D.(﹣1，8，﹣9)2.下列向量中與向量a=(0，1，0)平行的向量是()A.b=(1，0，0) B.c=(0，﹣1，0)C.d=(﹣1，﹣1，1) D.e=(0，0，﹣1)3.已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，﹣2)，若(ka+b)·(a+kb)=2，則k的值等于()A.1 B.35 C.25 4.已知點(diǎn)A(1﹣t，1﹣t，