人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊 第6章 §6.2.3-2.4 組合與組合數(shù) 同步課時講練（原卷版）

第第頁6.2.3組合6.2.4組合數(shù)第1課時組合及組合數(shù)的定義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合的定義，正確認(rèn)識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題．知識點一組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．知識點二排列與組合的關(guān)系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)1．從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素作為一組是組合問題．(√)2．“abc”“acb”與“bac”是三種不同的組合．(×)3．組合數(shù)Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(√)4．兩個組合相同，則其對應(yīng)的元素一定相同．(√)一、組合概念的理解例1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)a，b，c，d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？反思感悟排列、組合辨析切入點(1)組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素即可．(2)只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合．(3)判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān)，與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題．跟蹤訓(xùn)練1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準(zhǔn)備多少種車票？(2)把5本不同的書分給5個學(xué)生，每人一本；(3)從7本不同的書中取出5本給某個學(xué)生．二、組合的個數(shù)問題例2在A，B，C，D四位候選人中．(1)如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；(2)如果選舉兩人負(fù)責(zé)班級工作，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結(jié)果；(3)類比上述兩個結(jié)果間的等量關(guān)系，你能找出排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)間的等量關(guān)系嗎？反思感悟組合個數(shù)的求解策略(1)枚舉法：書寫時常以首字母為切入點，相同元素的不必重復(fù)列舉，如本例中，先枚舉以字母A開頭的組合，再枚舉以字母B開頭的組合，直到全部枚舉完畢．(2)公式法：利用排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)之間的關(guān)系Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟蹤訓(xùn)練2從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．三、簡單的組合問題例3有10名教師，其中6名男教師，4名女教師．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有________種不同的選法．反思感悟利用排列與組合之間的關(guān)系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？1．(多選)下面四組元素，是相同組合的是()A．a(chǎn)，b，c—b，c，a B．a(chǎn)，b，c—a，c，bC．a(chǎn)，c，d—d，a，c D．a(chǎn)，b，c—a，b，d2．從5名同學(xué)中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是()A．10B．5C．4D．13．在橋牌比賽中，發(fā)給4名參賽者每人一手由52張牌的四分之一(即13張牌)組成的牌，一名參賽者可能得到的不同的牌為()A．4×13手 B．134手C．Aeq\o\al(13,52)手 D．Ceq\o\al(13,52)手4．下列問題中，組合問題有________，排列問題有________．(填序號)①從1,3,5,9中任取兩個數(shù)相加，所得不同的和；②平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段的條數(shù)；③從甲、乙、丙三名同學(xué)中選兩名同學(xué)參加不同的兩項活動．5．已知a，b，c，d這四個元素，則每次取出2個元素的所有組合為________________________．1．知識清單：(1)組合與組合數(shù)的定義．(2)排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系．(3)用列舉法寫組合．2．方法歸納：枚舉法．3．常見誤區(qū)：分不清“排列”還是“組合”．1．(多選)給出下面幾個問題，其中是組合問題的有()A．由1,2,3,4構(gòu)成的含有2個元素的集合個數(shù)B．五個隊進(jìn)行單循環(huán)比賽的比賽場次數(shù)C．由1,2,3組成兩位數(shù)的不同方法數(shù)D．由1,2,3組成的無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)2．把三張游園票分給10個人中的3人，分法有()A．Aeq\o\al(3,10)種 B．Ceq\o\al(3,10)種C．Ceq\o\al(3,10)Aeq\o\al(3,10)種 D．30種3．已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個點中任何3點不共線，則由其中每3點為頂點的所有三角形的個數(shù)為()A．3B．4C．12D．244．某新農(nóng)村社區(qū)共包括8個自然村，且這些村莊分布零散沒有任何三個村莊在一條直線上，現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程，則共需建公路的條數(shù)為()A．4B．8C．28D．645．某乒乓球隊有9名隊員，其中有兩名種子選手，現(xiàn)要選5名隊員參加運動會，種子選手都必須在內(nèi)，則不同的選法有()A．Ceq\o\al(5,9)種B．Aeq\o\al(3,7)種C．Ceq\o\al(3,7)種D．Ceq\o\al(5,7)種6．從9名學(xué)生中選出3名參加“希望英語”口語比賽，有______種不同選法．7．若已知集合P＝{1,2,3,4}，則集合P的子集中含有2個元素的子集數(shù)為________．8．有3張參數(shù)是________．(用數(shù)字作答)9．判斷下列問題是排列問題還是組合問題，并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù)．(1)10個人相互寫一封信，一共寫了多少封信？(2)10個人相互通一次電話，一共通了多少次電話？(3)10支球隊以單循環(huán)進(jìn)行比賽(每兩隊比賽一次)，這次比賽需要進(jìn)行多少場？(4)從10個人中選3人去開會，有多少種選法？(5)從10個人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表，有多少種選法？10．平面內(nèi)有10個點，其中任意3個點不共線．(1)以其中任意2個點為端點的線段有多少條？(2)以其中任意2個點為端點的有向線段有多少條？(3)以其中任意3個點為頂點的三角形有多少個？11．(多選)下列問題是組合問題的有()A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次B．平面上有2021個不同的點，它們中任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段C．集合{a1，a2，a3，…，an}中含有三個元素的子集有多少個D．從高三(19)班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法12．從5人中選3人參加座談會，其中甲必須參加，則不同的選法有()A．60種B．36種C．10種D．6種13．從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，若按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A．224B．112C．56D．2814．從2,3,5,7四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)相乘，有m個不同的積，任取兩個不同的數(shù)相除，有n個不同的商，則m∶n＝________.15．某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道．(如圖)(1)圖中有________個矩形；(2)從A點走向B點最短的走法有________種．16．某次足球比賽共12支球隊參加，分三個階段進(jìn)行．(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈勝球數(shù)取前兩名；(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場交叉淘汰賽(每兩隊主客場各賽一場)決出勝者；(3)決賽：兩個勝隊參加決賽一場，決出勝負(fù)．問：全部賽程共需比賽多少場？第2課時組合數(shù)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式.2.能運用組合數(shù)公式進(jìn)行計算.3.會用組合數(shù)公式解決一些簡單的組合問題．知識點一組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.知識點二組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).1．Ceq\o\al(2019,2020)＝________.2．Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＝________.3．若Ceq\o\al(m,7)＝21，Ceq\o\al(m,6)＝15，則Ceq\o\al(m－1,6)＝________.4．方程Ceq\o\al(x,5)＝Ceq\o\al(2,5)，則x＝________.一、組合數(shù)公式的應(yīng)用命題角度1化簡與求值例1－1求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).命題角度2與組合數(shù)有關(guān)的證明例1－2證明：mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m－1,n－1).命題角度3與組合數(shù)有關(guān)的方程或不等式例1－3(1)(多選)若Ceq\o\al(4,n)>Ceq\o\al(6,n)，則n的可能取值有()A．6B．7C．8D．9(2)已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，求Ceq\o\al(m,8)＋Ceq\o\al(5－m,8).反思感悟(1)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)一般用于計算，而組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)一般用于含字母的式子的化簡與證明．(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)的隱含條件為m≤n，且m，n∈N*.(3)計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).跟蹤訓(xùn)練1(1)計算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)證明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).二、有限制條件的組合問題例2課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長，現(xiàn)從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊長當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊長，又要有女生當(dāng)選．反思感悟有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)．(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．跟蹤訓(xùn)練2某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有()A．210種B．420種C．56種D．22種三、分組、分配問題命題角度1平均分組例3－1(1)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種方法？命題角度2不平均分組例3－2(1)6本不同的書，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種方法？(2)6本不同的書，分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的方法？命題角度3分配問題例3－36本不同的書，分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少種不同的方法？反思感悟“分組”與“分配”問題的解法(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等，均勻分成n組，最后必須除以n??；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n??；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．(2)分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．跟蹤訓(xùn)練3將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中．(1)有多少種放法？(2)每盒至多1個球，有多少種放法？(3)恰好有1個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內(nèi)放1個球，并且恰好有1個球的編號與盒子的編號相同，有多少種放法？(5)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題典例如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4.(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含C1點的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？[素養(yǎng)提升](1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．(2)把一個與幾何相關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為組合問題，此題目的解決體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．1．Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(5,7)的值為()A．72B．36C．30D．422．若Ceq\o\al(2,n)＝28，則n的值為()A．9B．8C．7D．63．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m等于()A．9B．8C．7D．64．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案的種數(shù)為______．5．有4名男醫(yī)生、3名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成1個醫(yī)療小組，則不同的選法共有________種．1．知識清單：(1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)計算．(2)涉及字母的可以用階乘式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)計算．(3)計算時應(yīng)注意利用組合數(shù)的性質(zhì)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)簡化運算．(4)分組分配問題．2．方法歸納：分類討論、正難則反、方程思想．3．常見誤區(qū)：分組分配中是否為“平均分組”．1．計算：Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,9)等于()A．120B．240C．60D．4802．從5名志愿者中選派4人在星期六和星期日參加公益活動，每人一天，每天兩人，則不同的選派方法共有()3．(多選)下列等式正確的有()A．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！) B．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)C．Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n＋1)Ceq\o\al(m＋1,n＋1) D．Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)4．200件產(chǎn)品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有()A．Ceq\o\al(32,197)·Ceq\o\al(2,3)種 B．Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,197)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,197)種C．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(5,197)種 D．Ceq\o\al(5,200)－Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,197)種5．空間中有10個點，其中有5個點在同一個平面內(nèi)，其余點無三點共線，無四點共面，則以這些點為頂點，共可構(gòu)成四面體的個數(shù)為()A．205B．110C．204D．2006有______種．7．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________．(用數(shù)字作答)8．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有________種．9．已知Ceq\o\al(4,n)，Ceq\o\al(5,n)，Ceq\o\al(6,n)成等差數(shù)列，求Ceq\o\al(12,n)的值．10．現(xiàn)有8名青年，其中有5名能勝任英語翻譯工作，有4名能勝任德語翻譯工作(其中有1名青年兩項工作都能勝任)．現(xiàn)在要從中挑選5名青年承擔(dān)一項任務(wù)，其中3名