4.3.3（中）三角形的判定與性質(zhì)

第1頁（共1頁）一．選擇題（共17小題）1．（2018?邵陽縣一模）如圖所示，已知∠1=∠2，下列結(jié)論正確的是（）A．AB∥DC B．AD∥BC C．AB=CB D．AD=CD【分析】根據(jù)平行線的判定解答即可．【解答】解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故選：B．【點評】此題考查平行線的判定，關(guān)鍵是根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行解答．2．（2017秋?和平區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠B=60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠BCA，AD，CE交于點F，則（）A．AE+CD＞AD B．AE+CD=AD C．AE+CD＞AC D．AE+CD=AC【分析】通過角之間的轉(zhuǎn)化可得出△COF≌△COD，進而可得出線段之間的關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：在AC上截取AG=AE，連接GF，如圖所示：在△AGF和△AEF中，，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴FG=FE，∠AFG=∠AFE=60°，∴FG=FD，∠GFC=120°﹣60°=60°，在△CFG和△CFD中，，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴CG=CD，∴AE+CD=AG+CG=AC．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是需要通過作輔助線證明三角形全等才能得出結(jié)論．3．（2017秋?金平區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，AB=AC，BD=CD，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．∠B=∠C B．∠BAC=∠C C．AD⊥BC D．∠BAD=∠CAD【分析】由在△ABC中，AB=AC，BD=CD，根據(jù)等邊對等角與三線合一的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：∵AB=AC，BD=CD，∴∠B=∠C，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．故A、C、D正確，B錯誤．故選：B．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．4．（2017秋?蘭陵縣期末）如圖，在△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別為R、S，若AQ=PQ，PR=PS，則這四個結(jié)論中正確的有（）①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)已知條件利用HL易證△APR≌△APS，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠PAR=∠PAS，AR=AS，從而可證（1）、（2）正確；由AQ=PQ，利用等邊對等角易得∠1=∠APQ，再利用三角形外角的性質(zhì)可得∠PQC=2∠1，而（1）中PA是∠BAC的角平分線可得∠BAC=2∠1，等量代換，從而有∠PQC=∠BAC，利用同位角相等兩直線平行可得QP∥AR，（3）正確；根據(jù)已知條件可知△BRP與△CSP只有一角、一邊對應(yīng)相等，故不能證明兩三角形全等，因此（4）不正確．【解答】解：（1）PA平分∠BAC．∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC；（2）由（1）中的全等也可得AS=AR；（3）∵AQ=PR，∴∠1=∠APQ，∴∠PQS=∠1+∠APQ=2∠1，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAC=2∠1，∴∠PQS=∠BAC，∴PQ∥AR；（4）∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等與△CSP（只具備一角一邊的兩三角形不一定全等）．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；做題時利用了平行線的判定、等邊對等角、三角形外角的性質(zhì)，要熟練掌握這些知識并能靈活應(yīng)用．5．（2017秋?蘭陵縣期末）如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點，且DE=DF，連結(jié)BF，CE．下列說法①△BDF≌△CDE；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④CE=BF．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】證明△BDF≌△CDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、平行線的判定定理證明．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE，①正確；∵AD是△ABC的中線，∴△ABD和△ACD面積相等，②正確；∵△BDF≌△CDE，∴∠F=∠CDF，∴BF∥CE，③正確；∵△BDF≌△CDE，∴CE=BF，④正確，故選：D．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2017秋?越秀區(qū)期末）如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CP交于點D，則對于下列結(jié)論：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分線上．其中正確的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①、②和③【分析】如圖，證明△ABE≌△ACF，得到∠B=∠C；證明△CDE≌△BDF；證明△ADC≌△ADB，得到∠CAD=∠BAD；即可解決問題．【解答】解：如圖，連接AD；在△ABE與△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；∴∠B=∠C；∵AB=AC，AE=AF，∴BF=CE；在△CDE與△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DC=DB；在△ADC與△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴∠CAD=∠BAD；綜上所述，①②③均正確，故選：D．【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)定理，這是靈活運用解題的基礎(chǔ)．7．（2017秋?新羅區(qū)期末）如圖，已知AB=AC，BD=CD，E是AD上的一點，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．BE=CE B．AE=DE C．∠BAD=∠CAD D．∠BED=∠CED【分析】由△ADB≌△ADC，推出∠BAD=∠CAD，∠BDE=∠CDE，由△EDC≌△EDB，推出BE=EC，∠BED=∠CED，即可判斷．【解答】解：在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD，∠BDE=∠CDE，在△EDC和△EDB中，，∴△EDC≌△EDB，∴BE=EC，∠BED=∠CED，故A、C、D正確，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2017秋?洛陽期末）如圖，已知，BD為△ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上的一點，BE=BA．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④AC=2CD．其中正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由SAS證明△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①正確，再根據(jù)角平分線和全等三角形的性質(zhì)得出②正確；證出∠ADE=∠BEA，得出AD=AE，因此AD=AE=EC，③正確；根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到④錯誤，即可得出結(jié)論．【解答】解：①∵BD為△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正確；②∵BD為△ABC的角平分線，BD=BC，BE=BA，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE=∠BDA，AD=EC，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，②正確；③由②得：∠BDC=∠BEA，又∵∠ADE=∠BDC，∴∠ADE=∠BEA，∴AD=AE，∴AD=AE=EC，③正確；④∵AD=AE=EC，AE+CE＞AD+CD，∴AD＞CD，∴AC≠2CD，故④錯誤，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．9．（2017秋?郾城區(qū)期末）如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板疊放在一起，AB⊥CE，有以下五個結(jié)論：（1）∠ACH=30°；（2）△ACH≌△DCG；（3）F為AB的中點；（4）CG=EF；（5）AH：BF：DE=1：2：4其中錯誤的結(jié)論有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可．【解答】解：（1）∠ACH=不一定等于30°，故（1）不符合題意；（2）∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACH=∠DCG，∵∠A=∠D，AC=CD，∴△ACH≌△DCG，故（2）符合題意；（3）點F不一定是AB中點，故（3）不符合題意；（4）CG不一定等于EF，故（4）不符合題意；（5）只有∠ACH=30°時，AH：BF：DE=1：2：4成立，故（5）不符合題意，故選：B．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．10．（2017秋?文登區(qū)期末）如圖，△ABC中，點D是邊AB上一點，點E是邊AC的中點，過點C作CF∥AB與DE的延長線相交于點F．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．DE=EF B．AD=CF C．DF=AC D．∠A=∠ACF【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠1=∠F，∠2=∠A，求出AE=EC，根據(jù)AAS證△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【解答】解：∵CF∥AB，∴∠1=∠F，∠2=∠A，∵點E為AC的中點，∴AE=EC，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF，AD=CF，∠A=∠ACF，故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．11．（2017秋?松滋市期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且AB=AC+CD，若∠BAC=n°，則∠ABC的大小為（）A． B． C． D．【分析】可在AB上取AC′=AC，則由題中條件可得BC′=C′D，即∠C=∠AC′D=2∠B，再由三角形的內(nèi)角和即可求解∠B的大小．【解答】解：在AB上取AC′=AC，在△ACD和△AC′D中，，∴△ACD≌△AC′D（SAS），又∵AB=AC+CD，得AB=AC′+C′D，∴BC′=C′D，∴∠C=∠AC'D=2∠B，又∵∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣n°，∴∠B=．故選：B．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，熟記相似三角形的判定和巧作輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2017秋?莆田期末）已知AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB=3，AD=2，則AC的長可以是（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】延長AD至E，使DE=AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【解答】解：延長AD至E，使DE=AD，連接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即3﹣AC＜4＜3+AC，∴1＜AC＜7．故選：A．【點評】此題綜合運用了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系．注意：倍長中線是常見的輔助線之一．13．（2017秋?河西區(qū)期末）如圖，D是AB上一點，DF交AC于點E，F(xiàn)C∥AB，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．若AE=CE，則DE=FE B．若DE=FE，則AE=CEC．若BC=CF，則AD=CF D．若AD=CF，則DE=FE【分析】由題目已知條件、結(jié)合每個選項分別證得三角形全等即可判斷得出答案．【解答】解：∵AB∥FC，∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠F，當(dāng)AE=CE時，利用AAS則可證得△ADE≌△CFE，則有DE=EF，故A選項說法是正確的，不符合題意，當(dāng)DE=FE時，同理可證得△ADE≌△CFE，則有AE=CE，故B選項說法是正確的，不符合題意，當(dāng)BC=CF時，無法證明△ADE≌△CFE，即無法得出AD=CF，故C說法是錯誤的，符合題意，當(dāng)AD=CF時，利用ASA則可證得△ADE≌△CFE，則有DE=FE，故D選項是正確的，不符合題意，故選：C．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性質(zhì)（即對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．14．（2017秋?金鄉(xiāng)縣期末）如圖所示，AB⊥BC且AB=BC，CD⊥DE且CD=DE，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形面積是（）A．64 B．50 C．48 D．32【分析】根據(jù)AAS證△ABP≌△BCM，推出AP=BM=3，BP=CM=2，同理可得CM=DN=2，DM=EH=5，求出PN=12，根據(jù)陰影部分的面積=S梯形AENP﹣S△ABP﹣S△BCD﹣S△DEN進行計算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，CM⊥DB，AP⊥BD，∴∠APB=∠BMC=∠ABC=90°，∴∠ABP+∠BAP=90°，∠ABP+∠CBM=90°，∴∠BAP=∠CBM，在△ABP和△BCM中，∴△ABP≌△BCM（AAS），∴AP=BM=3，BP=CM=2，同理可得CM=DN=2，DM=EH=5，∴PN=12，∴梯形AENP的面積=×（AP+EN）×PN=×（3+5）×12=48，∴陰影部分的面積=S梯形AENP﹣S△ABP﹣S△BCD﹣S△DEN=48﹣×3×2﹣×（3+5）×2﹣×5×2=48﹣3﹣8﹣5=32．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，梯形的面積等知識的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)，把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的和差關(guān)系．15．（2017秋?淮南期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB為斜邊，AC=BD，BC，AD相交于點E，下列說法錯誤的是（）A．AD=BC B．∠DAB=∠CBA C．△ACE≌△BDE D．AC=CE【分析】可證明Rt△ABC≌Rt△BAD，可得出∠BAD=∠ABC，根據(jù)等角對等邊得出AE=BE，進而得出△ACE≌△BDE．【解答】證明：在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠BAD=∠ABC，AD=BC，∴AE=BE，又∵∠C=∠D=90°，∠AEC=∠BED，∴△ACE≌△BDE．故選：D．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具，在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．16．（2017秋?岱岳區(qū)期末）如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別在PA，PB，AB上，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=40°，則∠P的度數(shù)為（）A．140° B．90° C．100° D．110°【分析】由條件可證明△AMK≌△BKN，再結(jié)合外角的性質(zhì)可求得∠A=∠MKN，再利用三角形內(nèi)角和可求得∠P．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN（SAS），∴∠AMK=∠BKN，∵∠A+∠AMK=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠MKN=40°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣40°﹣40°=100°，故選：C．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用條件證得△AMK≌△BKN是解題的關(guān)鍵．17．（2017秋?瀘縣期末）如圖，已知AB=AC，EC=FB，BE與CF交于點D，則對于下列結(jié)論：①△BCE≌△CBF；②△ABE≌△ACF；③△BDF≌△CDE；④D在∠BAC的平分線上．其中正確的是（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【分析】如圖，證明△ABE≌△ACF，得到∠B=∠C；證明△CDE≌△BDF；證明△ADC≌△ADB，得到∠CAD=∠BAD；即可解決問題．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ECB=∠FBC，在△BCE與△CBF中，∴△BCE≌△CBF（SAS），如圖，連接AD；在△ABE與△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；∴∠B=∠C；∵AB=AC，AE=AF，∴BF=CE；在△CDE與△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DC=DB；在△ADC與△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴∠CAD=∠BAD；綜上所述，①②③④均正確，故選：D．【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)定理，這是靈活運用解題的基礎(chǔ)．二．填空題（共21小題）18．（2017秋?萬州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CE⊥BD，交BD的延長線于點E，若BD=8，則CE=4．【分析】延長BA、CE相交于點F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD=∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF，然后求解即可．【解答】解：如圖，延長BA、CE相交于點F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE=EF，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD=CF，∵CF=CE+EF=2CE，∴BD=2CE=8，∴CE=4．故答案為：4．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形并得到與BD相等的線段CF．19．（2017秋?朝陽區(qū)期末）如圖，點D是線段AB上一點，∠CAB=∠ADE=∠ABF=90°，AC=BD，AD=BF，AB=DE．若∠AEB=α，則∠CEF=90°﹣α．（用含α的式子表示）【分析】連接BC、AF，則易證△EDB≌△BAC，則△BEC和△AEF都是等腰直角三角形，則∠AEF=∠CEB=45°，即可證得：∠AEC=∠BEF；根據(jù)∠AEF=∠CEB=45°，再依據(jù)∠CEF=∠AEF﹣∠AEC=∠AEF﹣（∠AEB﹣∠BEC）即可求解．【解答】解：連接BC、AF．∵ED⊥AB，AC⊥AB，∴∠EDB=∠BAC=90°．又∵BD=AC，ED=AB，△EDB≌△BAC，∴EB=BC，∠BED=∠CBA．在Rt△EDB中，∵∠EDB=90°，∴∠BED+∠EBD=90°．∴∠CBA+∠EBD=90°．即∠EBC=90°．∴△BEC是等腰直角三角形．∴∠BEC=45°．同理可證：△AEF是等腰直角三角形．∴∠AEF=45°．∴∠AEF=∠BEC．∴∠AEF﹣∠CEF=∠BEC﹣∠CEF．即∠AEC=∠BEF，∵∠AEB=α，∴∠CEF的度數(shù)為90°﹣α．故答案為：90°﹣α【點評】本題考查了三角形全等的判定，正確證明△BEC和△AEF都是等腰直角三角形是關(guān)鍵．20．（2017秋?大興區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E，F(xiàn)分別在BC，AC，AB上的點，且BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，則∠A的度數(shù)是180°﹣2α度．（用含α的代數(shù)式表示）【分析】根據(jù)已知條件可推出BDF≌△CDE，從而可知∠EDC=∠FDB，則∠EDF=∠B．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CDE∴∠EDC=∠DFB∴∠EDF=∠B=（180°﹣∠A）÷2=90°﹣∠A，∵∠FDE=α，∴∠A=180°﹣2α，故答案為：180°﹣2α【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；此題能夠發(fā)現(xiàn)全等三角形，再根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)角和定理發(fā)現(xiàn)∠EDF=∠B．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)進行推導(dǎo)．21．（2017秋?宜賓期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，△ABC的高CD與角平分線AE相交點F，過點C作CH⊥AE于G，交AB于H．下列說法：①∠BCH=∠CAE；②DF=EF；③CE=BH；④S△ABE=2S△ACE；⑤CF=DF．正確的是①③⑤．【分析】①根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論正確；②如圖1，作輔助線，構(gòu)建三角形的內(nèi)心為F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得：DF=FM，由垂線段最短可知：EF＞FM，則EF＞DF；③如圖1，證明△ACF≌△CBH，可得CF=BH=CE，可作判斷；④如圖2，連接EH，F(xiàn)H，先證明四邊形CFHE是菱形，得CD∥EH，則EH⊥AB，所以△EHB是等腰直角三角形，則BE=EH=CE，根據(jù)三角形面積公式可得；⑤如圖2，易得△ADF≌△CDH，由△FDH是等腰直角三角形，則FH=DF，所以CF=FH=DF．【解答】解：①∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠AEC=90°，∵CH⊥AE，∴∠CGE=90°，∴∠BCH+∠AEC=90°，∴∠BCH=∠CAE；故①正確；②如圖1，連接FB，過F作FM⊥BC于M，∵AC=BC，CD⊥AB，∴CD平分∠ACB，∵AE平分∠CAB，∴BF平分∠ABC，∵FD⊥AB，∴DF=FM，Rt△FME中，∠AEC=45°+22.5°=67.5°，∴EF＞FM，即EF＞DF，故②不正確；③如圖1，∵∠DCH=∠BCH，AE⊥CG，∴∠CFG=∠CEF，∴CF=CE，在△ACF和△CBH中，∵，∴△ACF≌△CBH，∴CF=BH=CE，故③正確；④如圖2，連接EH，F(xiàn)H，∵∠AHC=∠B+∠BCH=45°+22.5°=67.5°，∠ACH=90°﹣∠BCH=67.5°，∴∠AHC=∠ACH，∴AC=AH，∵AE⊥CH，∴CG=GH，∵CF=CE，∴GF=GE，∴四邊形CFHE是菱形，∴CD∥EH，∵CD⊥AB，∴EH⊥AB，∴△EHB是等腰直角三角形，∴BE=EH=CE，∵S△ABE=BE?AC，S△ACE=CE?AC，∴，故④不正確；⑤如圖2，易得△ADF≌△CDH，∴DF=DH，∴∠FHD=45°，∴△FDH是等腰直角三角形，∴FH=DF，∵∠AHC=67.5°，∴∠FHC=∠FCH=22.5°，∴CF=FH=DF，故⑤正確；綜上所述，正確的是：①③⑤故答案為：①③⑤．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，同時做好本題還要熟練掌握等腰三角形的等邊對等角和等角對等邊；從而得出邊和角的關(guān)系，使問題得以解決．22．（2017秋?濱?？h期末）如圖，已知AB=DE，∠A=∠D，AC=DC，若∠ACD=15°，則∠BCE=15°．【分析】根據(jù)SAS證明△ACB與△CDE全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：在△ACB與△CDE中∴△ACB≌△CDE（SAS），∴∠ACB=∠DCE，即∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE=15°，故答案為：15【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明△ACB與△CDE全等．23．（2017秋?陽谷縣期末）如圖1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，若AB=AC+CD，那么∠ACB與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小明通過觀察分析，形成了如下解題思路：（1）判定△ABD與△AED全等的依據(jù)是SAS（SSS，SAS，ASA，AAS從其中選擇一個）；（2）∠ACB與∠ABC的數(shù)量關(guān)系為：∠ACB=2∠ABC．【分析】（1）根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）SAS；（2）∵△ABD≌△AED，∴∠B=∠E，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∴∠ACB=2∠E，∴∠ACB=2∠ABC．故答案為：SAS，∠ACB=2∠ABC．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2017秋?岱岳區(qū)期末）如圖，正方形①，②的一邊在同一直線上，正方形③的一個頂點也在該直線上，且有兩個頂點分別與正方形①，②的兩個頂點重合，若正方形①，②的面積分別3cm2和4cm2，則正方形③的面積為7cm2．【分析】正方形①、②的面積分別3cm2和4cm2，推出DE=cm，GH=2cm，由△DEF≌△FHG（AAS），推出DE=FH=，在Rt△GHF中，利用勾股定理得可求FG．【解答】解：如圖，∵正方形①、②的面積分別3cm2和4cm2，∴DE=cm，GH=2cm，∵根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DF=FG，∠DEF=∠GHF=∠DFG=90°，∴∠EDF+∠DFE=90°，∠DFE+∠GFH=90°，∴∠EDF=∠GFH，在△DEF和△FHG中，∴△DEF≌△FHG（AAS），∴DE=FH=，∵GH=2，∴在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG==，所以正方形3的面積為7cm2．故答案為7．【點評】本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)求出FH的長，屬于中考常考題型．25．（2017秋?邵陽期末）如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2cm，BE=0.5cm，則DE=1.5cm．【分析】證明△ACD≌△CBE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得CE=AD，從而求解．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E=∠ADC=90°∴∠DAC+∠DCA=90°∵∠ACB=90°∴∠BCE+∠DCA=90°∴∠BAC=∠DAE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE=CD=0.5（cm），EC=AD=2（cm）DE=CE﹣CD=1.5（cm），故答案為1.5【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明∠BAC=∠DAE是解決本題的關(guān)鍵．26．（2017秋?尚志市期末）如圖，已知AB=AC=AD，∠CAD=60°，分別連接BC、BD，作AE平分∠BAC交BD于點E，若BE=4，ED=8，則DF=6．【分析】連接CE、CD，取DE的中點M，連接CM．首先證明△ECM，△ACD度數(shù)等邊三角形，再證明△CEF∽△DEC即可解決問題．【解答】解：連接CE、CD，取DE的中點M，連接CM．∵AB=AC，∠EAB=∠EAC，AE=AE，∴△EAB≌△EAC，∴BE=EC=4，∠ABE=∠ACE，∵AB=AD，∴∠ABE=∠ADB，∴∠ACE=∠ADF，∵∠DFA=∠CFE，∴∠DAF=∠CEF=60°，∵EM=ED=4，∴CE=EM，∴△EMC是等邊三角形，∴CM=EM=DM，∠EMC=60°，∵∠EMC=∠MCD+∠MDC，∴∠MCD=∠MDC=30°，∵AC=AD，∠CAD=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC=60°，∴∠ADB=∠ABD=∠ACE=∠CDB=30°，∵∠CEF=∠CED，∴△CEF∽△DEC，∴EC2=EF?ED，∴16=8EF，∴EF=2，DF=DE﹣EF=6．故答案為6．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題．27．（2017秋?岳池縣期末）如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=8，CF=5，則BD=3．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（AAS），∴FC=AD=5，∴BD=AB﹣AD=8﹣5=3．故答案為：3．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．28．（2017秋?金東區(qū)期末）在△ABC中，高AD、BE所在直線交于H點，若BH=AC，則∠ABC=45°或135°．【分析】根據(jù)題意畫出兩個圖形，證△HBD≌△CAD，推出AD=DB，推出∠DAB=∠DBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABD，即可求出答案．【解答】解：分為兩種情況：①如圖1，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°；②如圖2，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠HDB=∠AEH=90°，∴∠H+∠HAE=∠C+∠HAE=90°，∴∠H=∠C，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD（AAS），∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，∴∠ABC=180°﹣45°=135°；故答案為45°或135°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，垂直定義，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應(yīng)用，用了分類討論思想．29．（2017秋?越秀區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF與AD相交于E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm，則AE=2cm．【分析】易證∠CAD=∠CBF，即可求證△ACD≌△BED，可得DE=CD，即可求得AE的長，即可解題．【解答】解：∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，∴∠CAD+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，∴∠CAD=∠CBF，∵在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，（ASA）∴DE=CD，∴AE=AD﹣DE=BD﹣CD=BC﹣CD﹣CD=2；故答案為2．【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△BED是解題的關(guān)鍵．30．（2017秋?襄城區(qū)期末）如圖所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，若∠1=34°，∠2=22°，則∠3=56°．【分析】首先證明△BAD≌△CAE，推出∠ABD=∠2=22°，由∠3=∠1+∠ABD，即可解決問題．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠2=22°，∵∠3=∠1+∠ABD，∠1=34°，∴∠3=56°，故答案為56°．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外角等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．31．（2017秋?順義區(qū)期末）已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD和BE的交點，AD=12，BC=17，則線段BH的長為13．【分析】由∠ABC=45°，AD是高，得出BD=AD后，根據(jù)ASA，可證△ADC≌△BDH，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得答案．【解答】解：解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BD，∠ADB=BEA=90°．∵∠2=∠AHE，∠1+∠2=90°，∠3+∠AHE=90°，∴∠1=∠3（等角的余角相等）在△ADC和△BDH中，，∴△ADC≌△BDH（ASA），∴BH=AC，∵BC=17，AD=12，∴CD=17﹣12=5，在Rt△ACD中，AC==13，∴BH=AC=13．故答案為13．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS等．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．32．（2017秋?宜城市期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足為E，若線段AE=3，則四邊形ABCD的面積是9．【分析】過A點作AF⊥CD交CD的延長線于F點，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四邊形AECF為矩形，則∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根據(jù)等角的余角相等得∠1=∠3，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根據(jù)全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性質(zhì)有AE=AF=5，S△ABE=S△ADF，則S四邊形ABCD=S正方形AECF，然后根據(jù)正方形的面積公式計算即可．【解答】解：過A點作AF⊥CD交CD的延長線于F點，如圖，∵AE⊥BC，AF⊥CF，∴∠AEC=∠CFA=90°，而∠C=90°，∴四邊形AECF為矩形，∴∠2+∠3=90°，又∵∠BAD=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△ADF中，∵，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE=AF=3，S△ABE=S△ADF，∴四邊形AECF是邊長為3的正方形，∴S四邊形ABCD=S正方形AECF=32=9．故答案為：9．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對應(yīng)角相等，并且有一條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的面積相等．也考查了矩形的性質(zhì)．33．（2017秋?鄂城區(qū)期末）如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=11cm，CF=5cm，則BD=6cm．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，進而利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【解答】解：∵AB∥CF，∴∠A=∠ACF，∠AED=∠CEF，在△AED和△CEF中，∴△AED≌△CEF（AAS），∴FC=AD=5cm，∴BD=AB﹣AD=11﹣5=6（cm）．故答案為：6．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．34．（2017秋?宜賓期末）如圖，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E，D，AC=13，BE=5，則DE=7．【分析】可先證明△BCE≌△CAD，可求得AC=BC=13，結(jié)合條件可求得CE，則可求得DE．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，又∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴AC=BC=13，CD=BE=5，∴CE=，∴DE=CE﹣CD=12﹣5=7，故答案為：7；【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等得出對應(yīng)邊相等是解決問題的關(guān)鍵．35．（2017秋?淮南期末）如圖所示，在△ABC與△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于點D，給出下列結(jié)論：①∠EAB=∠FAC；②AF=AC；③∠C=∠EFA；④AD=AC，其中正確的結(jié)論是①②③（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【分析】根據(jù)SAS證明△AEF≌△ABC即可作出判斷．【解答】解：在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF=∠BAC，AF=AC，∠C=∠EFA，∴∠EAB=∠FAC，故①②③正確，④A錯誤；所以答案為：①②③．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．36．（2017秋?上杭縣期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，則∠α與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為2∠α+∠A=180°．【分析】根據(jù)SAS證明△BED與△CDF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B，在△BED與△CDF中，，∴△BED≌△CDF（SAS），∴∠BED=∠FDC，∵∠α+∠FDC=∠B+∠BED，∴∠α=∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠α+∠A=180°．故答案為：2∠α+∠A=180°．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．37．（2017秋?上杭縣期中）如圖：在△ABC，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC．【分析】先求證△AEC和△ADB全等，推出AE=AD，再求證△AEF和△ADF全等，可得EF=DF，進而可得推出AF平分∠BAC．【解答】證明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠AEC=∠ADB=90°，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴AE=AD，在Rt△AEF和Rt△ADF中，∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定，關(guān)鍵是掌握到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．38．（2017秋?上杭縣期中）如圖，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，則∠P的度數(shù)為92°．【分析】先利用“SAS”證明△AMK≌△BKN得到∠AKM=∠BNK，再利用三角形外角性質(zhì)得到∠B=∠MKN=44°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠P的度數(shù)．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN，∴∠AKM=∠BNK，∵∠AKN=∠B+∠BNK，即∠AKM+∠MKN=∠B+∠BNK，∴∠B=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣2×44°=92°．故答案為92°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．三．解答題（共12小題）39．如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB上一點，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，求：∠ABC的度數(shù)．【分析】延長BC到F，使CF=DE，連接AF，利用邊角邊定理求證△BDE≌△AFC，然后證明出∠BAF=90°，即可求得∠ABC的度數(shù)．【解答】解：延長BC到F，使CF=DE，連接AF（如圖）∵DE+BC=1，∴BF=BC+CF=BC+DE=1∵BE=AC，∠DEB=∠ACF=90°，DE=CF，∴△BDE≌△AFC（SAS），∵BD=，∴AF=BD=，∠B=∠1，∴AF=BF，∵∠B+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ABC=30°．【點評】此題對初二學(xué)生來說是個難題，因?qū)W生在作輔助線時大多數(shù)是延長某一線段或作某線段的平行線等，像這種：延長BC到F，使CF=DE，學(xué)生一般考慮不到，因此是一道難題．40．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，M是CD的中點，若∠AMD=∠BMD，求證：∠CDA=2∠ACD．【分析】過點A作AG∥DC交BM延長線于H，交BC延長線于G，連HC，先求證∠NCM=2∠ACM（1），利用△MAD≌△MNC，得出∠MDA=∠MCN（2），由（1）與（2）得∠CDA=2∠ACD．【解答】證明：過點A作AG∥DC交BM延長線于H，交BC延長線于G，連HC，∴∠BMD=∠AHB，∠AMD=∠HAM，∠HAC=∠ACD，==，∵CM=DM，∴HG=AH，即H是AG中點，∵AC⊥BC∴CH=AG/2=HG=AH（直角三角形ACG斜邊上的中線CH等于斜邊AG的一半）∴∠HCA=∠HAC=∠ACD∴∠HCM=∠HCA+∠ACD=∠ACD+∠ACD=2∠ACD∵∠HAM=∠AMD，∠AMD=∠BMD，∠BMD=∠AHB，∠BMD=∠HMC∴∠HAM=∠AHB，∠AMD=∠HMC∴HM=AM（等角對等邊）∵MD=MC，∠AMD=∠HMC，AM=HM∴△AMD≌△HMC∴∠ADM=∠HCM=2∠ACD即∠ADM=2∠ACD．【點評】此題考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是：過A作CD的平行線，交BC的延長線于P，連AP，交BM的延長線于N．41．如圖，已知△ABC中，∠ABC＞∠ACB，BE、CF分別是角平分線．求證：BE＜CF．【分析】在∠ABE內(nèi)部以BE為一邊作∠GBE=∠ACF，GB交AC于G，在GC上截以CH=BG，過H作HK∥BG交CF于K，從而構(gòu)造出△BGE≌△CHK，再利用已知條件即可解答．【解答】證明：∵∠ABC＞∠ACB，∴∠ABE＞∠ACF，∠BEC＞∠FCB，在∠ABE內(nèi)部以BE為一邊作∠GBE=∠ACF，GB交AC于G，在△GBC中，∠GBC＞∠GCB，∴GC＞GB，在GC上截以CH=BG，過H作HK∥BG交CF于K，則∠BGE=∠KHC，∴△BGE≌△CHK（ASA），∴BE=CK＜CF．【點評】本題考查全等三角形的判定及全等三角形的性質(zhì)，有一定難度，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等形．42．已知△ABC，∠C=90°，AC=BC．M為AC中點，延長BM到D，使MD=BM；N為BC中點，延長NA到E，使AE=NA，連接ED，求證：ED⊥BD．【分析】延長BA到F，使AF=AB，連接DF，EF，AD，可以得出△ADM≌△CBM，就可以得出AD=BC，∠DAC=∠C=90°，就有∠FAD+∠CAB=90°，由中位線的性質(zhì)可以得出∠DFA=∠CAB，就可以得出∠DFA+∠DAF=90°，就有∠FDA=90°，在通過證明△AFE≌△ABN就可以得出EF=BN，∠EFA=∠NBA，就有EF=AM，∠DFA+∠EFA=90°，就可以得出△DFE≌△DAM，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論．【解答】證明：延長BA到F，使AF=AB，連接DF，EF，AD，∵M為AC中點，N為BC中點，∴AM=CM=AC，BN=CN=BC．∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA，AM=BN．在△ADM和△CBM中，∴△ADM≌△CBM（SAS），∴AD=BC=2BN=2AM．，∠DAC=∠C=90°，∴∠FAD+∠CAB=90°．DA∥BC．∴∠DAF=∠ABC．∵MD=BM，AF=AB，∴AM是△FDM的中位線，∴FD=2AM，F(xiàn)D∥AM，∴FD=AD，∠DFA=∠CAB，∴∠DFA+∠DAF=90°．∴∠FDA=90°．在△AFE和△ABN中，∴△AFE≌△ABN（SAS），∴EF=NB，∠EFA=∠NBA=∠DAF，∴EF=AM，∠EFA=∠CAB∠DFA+∠EFA=90°，即∠DFE=90°，∴∠DFE=∠DAM．在△DFE和△DAM中，∴△DFE≌△DAM（SAS），∴∠FDE=∠ADM，∵∠FDE+∠ADE=∠ADF=90°，∴∠ADM+∠ADE=90°，即∠EDM=90°．∴ED⊥BD．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，解答時正確作輔助線是難點，證明三角形全等是關(guān)鍵．43．在△ABC中，D為AB的中點，分別延長CA，CB到點E，F(xiàn)，使DE=DF；過E，F(xiàn)分別作CA，CB的垂線，相交于P．求證：∠PAE=∠PBF．【分析】取AP、BP的中點，并連接EM、DM、FN、DN，根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)易證得△DEM≌△FDN，即可得各角的關(guān)系．即可證得結(jié)論．【解答】解：如圖，分別取AP、BP的中點M、N，并連接EM、DM、FN、DN．根據(jù)三角形中位線定理可得：DM∥BP，DM=BP=BN，DN∥AP，DN=AP=AM，∴∠AMD=∠APB=∠BND，∵M、N分別為直角三角形AEP、BFP斜邊的中點，∴EM=AM=DN，F(xiàn)N=BN=DM，已知DE=DF，∴△DEM≌△FDN（SSS），∴∠EMD=∠FND，∴∠AME=∠BNF，∴△AME、△BNF為頂角相等的等腰三角形，∴∠PAE=∠PBF．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，涉及到直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，是一道難度較大的綜合題型，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．44．如圖，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O為△ABC內(nèi)一點，∠OAB=10°，∠OBA=30°，則線段AO的長是多少？【分析】先作輔助線，作∠CAO的平分線AD，交BO的延長線于D，連接CD．根據(jù)條件可證得△ACD≌△BCD，再可證得△ACD≌△AOD，即可得AO=AC=5．【解答】解：如圖，作∠CAO的平分線AD，交BO的延長線于D，連接CD．∵∠ACB=80°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=50°，（3分）又∠OAB=10°，∴∠CAO=40°，∴∠CAD=∠OAD=20°，∠DAB=10°+20°=30°=∠DBA，∴AD=BD，∠ADB=120°，（5分）在△ACD與△BCD中，，∴△ACD≌△BCD（SSS），∴=120°．（7分）在△ACD與△AOD中，，∴△ACD≌△AOD（ASA），（9分）∴AO=AC=5．（10分）【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)等知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．45．（2018?長春模擬）如圖所示，點B、F、C、E在同一直線上，AB⊥BE，DE⊥BE，連接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求證：AB=DE．【分析】欲證明AB=DE，只要證明Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）即可；【解答】證明：∵BF=EC∴BC=EF∵AB⊥BE，DE⊥BE∴∠B=∠E=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴AB=DE【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，屬于中考常考題型．46．（2018?云南模擬）如圖，已知在△ABC和△ABD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求證：∠C=∠D．【分析】根據(jù)“SAS”可證明△ADB≌△BAC，由全等三角形的性質(zhì)即可證明∠C=∠D．【解答】證明：在△ADB和△BAC中，，∴△ADB≌△BAC（SAS），∴∠C=∠D【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．47．（2018?長安區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ABC=2∠C，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，解答下面的問題：（1）求證：△ABE≌△AFE；（2）若AB=3.3，BE=1.8，求AC的長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理進行證明；（2）利用（1）中全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等推知：∠C=∠FEC，結(jié)合等角對等邊得到BC=FE，則FC=BE，結(jié)合圖形求得答案．【解答】（1）證明：由尺規(guī)作圖的痕跡可知，AB=AF，且AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠FAE，又AE=AE，∴△ABE≌△AFE．（2）由（1）中的結(jié)論可知，AB=AF，BE=FE，∠ABE=∠AFE，又∠ABC=2∠C，∴∠AFE=2∠C，∵∠AFE=∠C+∠FEC，∴∠C=∠FEC，∴FC=FE，∴FC=BE，故AC=AF+FC=AB+BE=3.3+1.8=5.1．【點評】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．48．（2018?宜賓模擬）如圖，點D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求證：AB=EF．【分析】利用AAS證明△ABC≌△EFD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AB=EF；【解答】證明：∵AB∥EF，∴∠B=∠F．又∵BD=CF，∴BC=FD．在△ABC與△EFD中，∴△ABC≌△EFD（AAS），∴AB=EF．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是證明△ABC≌△EFD．49．（2018?邗江區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，已知O是AC的中點，AE=CF，DF∥BE．（1）求證：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論．【分析】（1）由DF與BE平行，得到兩對內(nèi)錯角相等，再由O為AC的中點，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得證；（2）若OD=AC，則四邊形ABCD為矩形，理由為：由OD=AC，得到OB=AC，即OD=OA=OC=OB，利用對角線互相平分且相等的四邊形為矩形即可得證．【解答】（1）證明：∵DF∥BE，∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，∵O為AC的中點，∴OA=OC，∵AE=CF，∴OA﹣AE=OC﹣CF，即OE=OF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）若OD=AC，則四邊形ABCD是矩形，理由為：證明：∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，∵OD=AC，∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，∴四邊形ABCD為矩形．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．50．（2018?武漢模擬）如圖，點C，F(xiàn)，E，B在一條直線上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE，寫出CD與AB之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】求出CF=BE，根據(jù)SAS證△AEB≌△CFD，推出CD=AB，∠C=∠B，根據(jù)平行線的判定推出CD∥AB．【解答】解：CD∥AB，CD=AB，理由是：∵CE=BF，∴CE﹣EF=BF﹣EF，∴CF=BE，在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS），∴CD=AB，∠C=∠B，∴CD∥AB．【點評】本題考查了平行線的判定和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．一．解答題（共50小題）1．（2018?松桃縣模擬）如圖，已知AF=BE，∠A=∠B，AC=BD．求證：∠F=∠E．【分析】利用SAS得出全等三角形，進而利用全等三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】證明：∵AC=BD∴AC+CD=BD+CD∴AD=BC在△ADF與△BCE中∴△ADF≌△BCE（SAS）即，∠F=∠E（全等三角形的對應(yīng)角相等）【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)AC=BD，得出對應(yīng)線段AD=BC，是解題關(guān)鍵．2．（2017秋?溫州期末）如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求證：AB=DC．【分析】利用全等三角形的判定定理AAS證得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得AB=CD．【解答】證明：∵點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．3．（2017秋?臨安市期末）已知：如圖，點E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠BED=∠AFC，AF與DE交于點O．求證：OA=OD．【分析】根據(jù)BE=CF推出BF=CE，然后利用“角角邊”證明△ABF和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明．【解答】證明：∵BE=CF，∠BED=∠AFC∴BE+EF=CF+EF，∠AFB=∠CED即BF=CE，在△ABF和△DCE中，∵，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AF=DE（全等三角形對應(yīng)邊相等）．∵∠AFB=∠CED，∴OE=OF，∴AF﹣OF=DE﹣OE，即OA=OD．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)BE=CF推出BF=CE，從而得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．4．（2017秋?寧江區(qū)期末）如圖，△ABC和△EBD中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=CB，BE=BD，連接AE，CD，AE與CD交于點M，AE與BC交于點N．（1）求證：AE=CD；（2）求證：AE⊥CD；（3）連接BM，有以下兩個結(jié)論：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正確的有②（請寫序號，少選、錯選均不得分）．【分析】（1）欲證明AE=CD，只要證明△ABE≌△CBD；（2）由△ABE≌△CBD，推出BAE=∠BCD，由∠NMC=180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC=180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM=∠ABC，∠ABC=90°，可得∠NMC=90°；（3）結(jié)論：②；作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．理由角平分線的判定定理證明即可；【解答】（1）證明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE=∠cbe，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE=CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE=∠BCD，∵∠NMC=180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC=180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM=∠ABC，∵∠ABC=90°，∴∠NMC=90°，∴AE⊥CD．（3）結(jié)論：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE=CD，S△ABE=S△CDB，∴?AE?BK=?CD?BJ，∴BK=BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨設(shè)①成立，則△ABM≌△DBM，則AB=BD，顯然可不能，故①錯誤．故答案為②．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線解決問題．5．（2017秋?歷城區(qū)期末）（1）如圖，在△ABC和△DCE中，AB∥DC，AB=DC，BC=CE，且點B，C，E在一條直線上．求證：∠A=∠D．（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分線．求∠BDC的度數(shù)．【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)得到∠B=∠DCE，再根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△DCE，然后根據(jù)全等的性質(zhì)即可得到結(jié)論．（2）首先由AB=AC，利用等邊對等角和∠A的度數(shù)求出∠ABC和∠C的度數(shù)，然后由BD是∠ABC的平分線，利用角平分線的定義求出∠DBC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BDC的度數(shù)．【解答】證明：（1）∵AB∥DE，∴∠B=∠DCE，在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A=∠D．（2）∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．6．（2017秋?上城區(qū)期末）如圖，已知CA=CB，點E，F(xiàn)在射線CD上，滿足∠BEC=∠CFA，且∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°．（1）求證：△BCE≌△CAF；（2）試判斷線段EF，BE，AF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形可以證明△BCE≌△CAF，即可解決問題．【解答】證明：（1）∵∠BEC=∠CFA，∵∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°．∠CFA+∠ACF+∠FAC=180°，∴∠BCF=∠FAC，在△BCE與△CAF中，∴△BCE≌△CAF（AAS）；（2）AF+EF=BE，理由如下：∵△BCE≌△CAF，∴AF=CE，CF=BE，∵CE+EF=CF，∴AF+EF=BE．【點評】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)．7．（2017秋?鄂城區(qū)期末）如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．（1）證明：BC=DE；（2）若AC=12，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根據(jù)SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（2）由△ABC≌△ADE，推出四邊形ABCD的面積=三角形ACE的面積，即可得出答案；【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，∴∠BAC=∠EAD．在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴BC=DE（2）∵△ABC≌△ADE，∴S△ABC=S△ADE，∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=×122=72．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，并利用割補法求四邊形ABCD的面積是解此題的關(guān)鍵，難度適中．8．（2017秋?豐臺區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點，連接BE，CF，且BE∥CF．求證：DE=DF．【分析】由AD是△ABC的中線就可以得出BD=CD，再由平行線的性質(zhì)就可以得出△CDF△BDE就可以得出DE=DF．【解答】證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD．∵BE∥CF，∴∠FCD=∠EBD，∠DFC=∠DEB．在△CDE和△BDF中，∴△CDF≌△BDE（AAS），∴DE=DF．【點評】本題全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．9．（2017秋?江津區(qū)期末）如圖1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于點M，連接CM．（1）求證：BE=AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；（3）當(dāng)α=90°時，取AD，BE的中點分別為點P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．【分析】（1）由CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS即可判定△ACD≌△BCE；（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，得出∠CAD=∠CBE，再根據(jù)∠AFC=∠BFH，即可得到∠AMB=∠ACB=α；（3）先根據(jù)SAS判定△ACP≌△BCQ，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，最后根據(jù)∠ACB=90°即可得到∠PCQ=90°，進而得到△PCQ為等腰直角三角形．【解答】解：（1）如圖1，∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD；（2）如圖1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM=180°﹣α，∴△ABM中，∠AMB=180°﹣（180°﹣α）=α；（3）△CPQ為等腰直角三角形．證明：如圖2，由（1）可得，BE=AD，∵AD，BE的中點分別為點P、Q，∴AP=BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP=∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP=CQ，且∠ACP=∠BCQ，又∵∠ACP+∠PCB=90°，∴∠BCQ+∠PCB=90°，∴∠PCQ=90°，∴△CPQ為等腰直角三角形．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定以及三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2017秋?岳池縣期末）如圖，點E、C、D、A在同一條直線上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求證：BC=EF．【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA證明△ABC≌△DEF，進而證明即可．【解答】證明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．∴BC=EF．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．11．（2017秋?羅平縣期末）如圖，過∠AOB的平分線上一點C作CD∥OB交OA于點D，E是線段OC的中點，過點E作直線分別交線段CD和射線OB于點M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）當(dāng)點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON．首先根據(jù)OC是∠AOB的平分線，CD∥OB，判斷出∠DOC=∠DCO，所以O(shè)D=CD=DM+CM；然后根據(jù)E是線段OC的中點，CD∥OB，推得CM=ON，即可判斷出OD=DM+ON，據(jù)此解答即可．（2）當(dāng)點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=ON﹣DM．由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，再根據(jù)CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可．【解答】解：（1）當(dāng)點M在線段CD上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON．證明：如圖1，，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOC=∠COB，又∵CD∥OB，∴∠DCO=∠COB，∴∠DOC=∠DCO，∴OD=CD=DM+CM，∵E是線段OC的中點，∴CE=OE，∵CD∥OB，∴，∴CM=ON，又∵OD=DM+CM，∴OD=DM+ON．（2）當(dāng)點M在線段CD延長線上時，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=ON﹣DM．證明：如圖2，，由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，又∵CM=ON，∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM，即OD=ON﹣DM．【點評】（1）此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．（2）此題還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．12．（2017秋?江海區(qū)期末）已知：如圖，M是AB的中點，∠1=∠2，MC=MD．求證：∠A=∠B．【分析】根據(jù)線段中點的定義得到AM=BM．證得△AMC≌△BMD（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵M是AB的中點，∴AM=BM．在△AMC和BMD中，，∴△AMC≌△BMD（SAS）．∴∠A=∠B．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2017秋?泉州期末）如圖，點B、C、E、F在一條直線上，AB=DC，AE=DF，BF=CE．求證：∠A=∠D．【分析】由BF=CE知BE=CF，根據(jù)“SSS”可證△ABE≌△DCF，據(jù)此可得．【解答】證明：∵BF=CE，∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF，在△ABE和△DCF中∵，∴△ABE≌△DCF．∴∠A=∠D．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及等式的基本性質(zhì)．14．（2017秋?龍湖區(qū)期末）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，AB=DE，求證：BE=CF．【分析】根據(jù)ASA推出△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BC=EF，即可得出答案．【解答】證明：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）∴BC=EF，∵BE=BC﹣EC，CF=EF﹣EC，∴BE=CF．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的判定推出△ABC≌△DEF是解此題的關(guān)鍵．15．（2017秋?徐州期末）如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上兩點，AD=AE，∠BAD=∠CAE．求證：AB=AC．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠AED，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴180°﹣∠ADE=180°﹣∠AED．即∠ADB=∠AEC，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴AB=AC．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2017秋?泰州期末）如圖，A，B，C，D是同一條直線上的點，AC=BD，AE∥DF，∠1=∠2．求證：BE=CF．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出AB=DC，再利用ASA證明△ABE≌△DCF．【解答】證明：∵AC=AB+BC，BD=BC+CD，AC=BD，∴AB=DC，∵AE∥DF，∴∠A=∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定，利用全等三角形的判定定理ASA證出△ABE≌△DCF是解題的關(guān)鍵．17．（2017秋?婁星區(qū)期末）已知：如圖所示，△ABC中，∠ABC=45°，高AE與高BD交于點M，BE=4，EM=3．（1）求證：BM=AC；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）易證AE=BE，由垂直的性質(zhì)和已知條件證明△BEM≌△AEC，所以BM=AC；（2）由（1）可知△BEM≌△AEC，所以BE=AE，EM=EC，根三角形的面積計算即可．【解答】（1）證明：∵AE、BD為△ABC的高∴∠BEM=∠AEC=∠BDC=90°∴∠EBM+∠C=∠EBM+∠BME=90°∴∠BME=∠C又∠ABC=45°∴∠A