八年級下冊 第一章第01講 等腰三角形的性質(zhì)與判定(6類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第01講等腰三角形的性質(zhì)與判定(6類熱點(diǎn)題型講練)1.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)展推理能力.2.進(jìn)一步了解作為證明基礎(chǔ)的幾條基本事實(shí)的內(nèi)容，能證明等腰三角形的性質(zhì).3.有意識地培養(yǎng)學(xué)生對文字語言、符號語言和圖形語言的轉(zhuǎn)換能力，關(guān)注證明過程及其表達(dá)的合理性.知識點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：文字：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號：在中，AB＝AC，知識點(diǎn)02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定義法）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有兩個角相等的三角形是等腰三角形；(簡稱：等角對等邊)題型01根據(jù)等腰三角形腰相等求第三邊或周長【例題】（2023上·河南商丘·八年級商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）一個等腰三角形的兩條邊長分別為和，則第三邊的長為．【答案】8【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①若一腰長為，則底邊為，則第三邊的長為，，故能組成三角形；②若一腰長為，則底邊為，則第三邊的長為，，故不能組成三角形．故答案為：8．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅隴南·八年級校考階段練習(xí)）一個等腰三角形有兩邊分別為和，則周長是．【答案】19【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系．等腰三角形兩邊的長為和，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論．【詳解】解：①當(dāng)腰是，底邊是時：，不滿足三角形的三邊關(guān)系，因此舍去．②當(dāng)?shù)走吺?，腰長是時，，能構(gòu)成三角形，則其周長．故答案為：19．2．（2023上·山東濰坊·八年級?？茧A段練習(xí)）若，則以a，b為邊長的等腰三角形的周長為．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的概念，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及三角形的三邊關(guān)系，注意利用分類討論思想解題．根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為零，可得每個非負(fù)數(shù)同時為零，可得a，b的值，根據(jù)等腰三角形的概念進(jìn)行分類討論，可得答案．【詳解】解：∵，且，，∴，，解得：，，當(dāng)4為等腰三角形的腰長，5為等腰三角形的底邊時，則等腰三角形的周長為，當(dāng)5為等腰三角形的腰長，4為等腰三角形的底邊時，則等腰三角形的周長為，故答案為：或．題型02根據(jù)等腰三角形等邊對等角求角的度數(shù)【例題】等腰三角形的底角等于，則它的頂角是．【答案】100【詳解】解：等腰三角形的底角等于，又等腰三角形的底角相等，頂角等于．故答案為：100．【變式訓(xùn)練】1．一個等腰三角形的兩條邊長分別為和，則第三邊的長為．【答案】8【詳解】解：①若一腰長為，則底邊為，則第三邊的長為，，故能組成三角形；②若一腰長為，則底邊為，則第三邊的長為，，故不能組成三角形．故答案為：8．2．已知等腰三角形一個內(nèi)角的度數(shù)為．則這個等腰三角形底角的度數(shù)為．【答案】或【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚捻斀菚r，底角的度數(shù)；當(dāng)?shù)慕菫榈妊切蔚牡捉菚r，其底角為，故它的底角度數(shù)是或．故答案為：或．題型03根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行求解【例題】如圖，在四邊形中，，，對角線，則線段的長為．

【答案】【詳解】解：如圖，作，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)勾股定理，，∵，∴，∴，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，平分并交于點(diǎn)，則．

【答案】10【詳解】解：，平分，，，故答案為：10．2．兩個同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長．(2)求的長．【詳解】（1）解：連接，如下圖，根據(jù)題意，，，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，且，∴，∴，∴；（2）根據(jù)題意，，又∵，，∴在中，，∴．題型04根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行證明【例題】如圖，點(diǎn)，在的邊上，，

(1)若求的度數(shù)；(2)求證：【詳解】（1）解：∵，，，∴，，∴，（2）過點(diǎn)作于.

∵，∴，∴.【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東威?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，請判斷與的位置關(guān)系．【答案】垂直【分析】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)：連接，證明，得到，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，熟練掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】答：連接∵∴∴又∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)∴．2．如圖，在中，，，是邊上的高．線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．(1)試問：線段與的長相等嗎？請說明理由；(2)求的度數(shù)．【詳解】（1）解：線段與的長相等，理由如下：連接，如圖所示：

∵，是邊上的高，∴，∴為的垂直平分線，∵點(diǎn)在上，∴，又∵線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵是邊上的高，∴平分，∴，∵，∴，∴．題型05根據(jù)等角對等邊證明等腰三角形【例題】（2023上·廣西玉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在的延長線上，已知平分，．求證：是等腰三角形．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了等角對等邊，平行線的性質(zhì)與角平分線的定義，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由角平分線的定義和等量代換得到，即可證明是等腰三角形．【詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽合肥·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平分，，且，請確定的形狀并說明理由．【答案】是等腰三角形，理由見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，設(shè)，則，，由角平分線的定義得到，再由三角形外角的性質(zhì)得到，，根據(jù)得到，則可求出，由此可得結(jié)論．【詳解】解：是等腰三角形，理由如下：設(shè)，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．2．（2023上·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，是的平分線，，且．求證：是等腰三角形．

【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，證明是解題的關(guān)鍵；根據(jù)角平分線的定義可得，以及直線平行的性質(zhì)證明，再根據(jù)等角對等邊可得證得；【詳解】證明：∵，，，∴，又∵是的平分線，，∴，∴，即是等腰三角形．題型06等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用【例題】如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．(3)若平分的周長，的周長為15，求的周長．【詳解】（1）解：，，∵，∴，，為的中點(diǎn)，，，∴；（2）證明：平分，，又∵，∴，∴，，是等腰三角形；（3）解：的周長為15，，，，即，平分的周長，，的周長．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，D為延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求證：是等腰三角形(2)若，求線段的長．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，，∴，∵，∴．2．如圖，將長方形紙片沿對角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，，(1)試判斷折疊后重疊部分的形狀，并說明理由．(2)求重疊部分的面積．【詳解】（1）解：是等腰三角形．理由如下：∵四邊形是長方形，∴，∴，由圖形折疊的性質(zhì)可知：，∴．∴是等腰三角形；（2）解：設(shè)，則，在中，，解得：，∴，∴．故重疊部分的面積為10．一、單選題1．（2023上·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為（

）．A． B． C． D．或【答案】A【分析】本題主要查了等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形的一個底角為，∴等腰三角形的頂角為．故選：A2．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，在中，為邊上的中線，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】略3．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）下列條件中，可以判定是等腰三角形的是（

）A．， B．C． D．三個角的度數(shù)之比是【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．利用三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定，進(jìn)行計(jì)算并逐一判斷即可解答．【詳解】解：A．∵，，∴，∴不是等腰三角形，故選項(xiàng)A錯誤；B．∵，，∴，，，∴不是等腰三角形，故選項(xiàng)B錯誤；C．∵，，∴，∴，而無法判斷與的大小，∴不是等腰三角形，故選項(xiàng)C錯誤；D．∵三個角的度數(shù)之比是，∴三個角的度數(shù)分別是，，，∴是等腰三角形，故選項(xiàng)D錯誤；故選：D．4．（2023上·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期中）一個等腰三角形的周長為，只知其中一邊的長為，則這個等腰三角形的腰長為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；分為兩種情況：是等腰三角形的腰或是等腰三角形的底邊，然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形．【詳解】解：若為等腰三角形的腰長，則底邊長為：，此時三角形的三邊長分別為，，，符合三角形的三邊關(guān)系；若為等腰三角形的底邊，則腰長為：，此時三角形的三邊長分別為，，，符合三角形的三邊關(guān)系；該等腰三角形的腰長為或，故選：D．5．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰直角三角形中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F，若，則的面積為（

）A．16 B．20 C．48 D．32【答案】A【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握并會運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)定理．先得出，根據(jù)可證，推出；然后可得出，進(jìn)而得到長，求出、長；再根據(jù)三角形的面積公式得出的面積等于，代入求出即可．【詳解】，，，，，，，．在和中，，．，為中點(diǎn)，．，，，，的面積是．故選：A．二、填空題6．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）等腰三角形一邊的長是4，另一邊的長是8，則它的周長是．【答案】20【解析】略7．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┰谥?，，要使為等腰三角形，寫出一個可添加的條件：．【答案】（或）【分析】本題考查的是等腰三角形的定義，等腰三角形的判定，熟記等腰三角形的定義與判定方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵中，，要使為等腰三角形，∴可添加（或）．故答案為：（或）8．（2023上·浙江金華·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）“三等分角”是由古希臘人提出來，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒、組成．兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動，點(diǎn)固定，，點(diǎn)、在槽中滑動，若，則．【答案】/28度【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，理清各個角之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．由等腰三角形的性質(zhì)得，由三角形外角的性質(zhì)得，然后根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：．9．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，延長至D，使，延長至E，使，連接和，則的度數(shù)為．【答案】/117度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角可得，，，再結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，可得，，由此可解．【詳解】解：中，，，，，，，，又，，，，．故答案為：．10．（2023上·浙江杭州·八年級杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，的頂點(diǎn)A，C在直線l上，，，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動，當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)是．【答案】，，或【詳解】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，先利用三角形內(nèi)角和定理可得：，分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，分別討論是解題的關(guān)鍵．解：∵，，∴，分三種情況：當(dāng)時，若點(diǎn)P在的延長線上，如圖：+

∵是的一個外角，∴，∵，∴；當(dāng)時，若點(diǎn)P在上，如圖：

∵，，∴；當(dāng)時，如圖：

∵，∴，∴；當(dāng)時，如圖：

∵，∴；綜上所述：當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)是，，或，故答案為：，，或．三、解答題11．（2023上·廣東汕尾·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）用一條長為的細(xì)繩圍成一個等腰三角形．(1)如果腰長是底邊長的3倍，那么各邊的長是多少?(2)能圍成有一邊的長為的等腰三角形嗎?如果能，請求出另兩邊長．【答案】(1)三角形的三邊分別為(2)能圍成一個底邊是，腰長是的等腰三角形【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長，難點(diǎn)在于要分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．（1）設(shè)底邊長為，表示出腰長，然后根據(jù)周長列出方程求解即可；（2）分5是底邊和腰長兩種情況討論求解．【詳解】（1）設(shè)底邊長為，則腰長為，根據(jù)題意得，，解得；則三角形的三邊分別為．（2）①若為底時，腰長，三角形的三邊分別為，能圍成三角形②若為腰時，底邊，三角形的三邊分別為，，不能圍成三角形，綜上所述，能圍成一個底邊是，腰長是的等腰三角形．12．（2023上·重慶開州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在和中，，，，與交于點(diǎn)P，點(diǎn)C在上．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊對等角，證明是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)證明，由全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）由三角形外角的性質(zhì)求出，由（1）知，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【詳解】（1）∵，∴，即，在和中，，∴，∴．（2）∵，，∴，又∵，∴，由（1）知，∴．13．（2023上·浙江金華·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，，，垂足為，與交于點(diǎn)，(1)求的長．(2)求的長．【答案】(1)4(2)5【分析】本題考查了勾股定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．（1）先由勾股定理計(jì)算得出，再由，，計(jì)算即可得出答案；（2）連接，證明得到，，設(shè)，則，由勾股定理可得：，即，求出的值即可．【詳解】（1）解：在中，，，，，；（2）解：如圖，連接，，，，平分，，在和中，，，，，設(shè)，則，由勾股定理可得：，，解得：，．14．（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)在的延長線上，且，(1)求證：是等腰三角形；(2)連接，當(dāng)，，的周長為時，求的周長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，是解答本題的關(guān)鍵．（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到，然后推出，，結(jié)合已知條件，得到結(jié)論．（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一，得到，根據(jù)的周長，利用已知條件，求出答案．【詳解】（1）證明：根據(jù)題意得：在中，，，，，，，，，是等腰三角形．（2）解：如圖，連接，當(dāng)時，，，的周長，，，的周長的周長．15．（2023上·湖北武漢·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，是的中線，是的平分線，交的延長線于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)：（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，即可作答．（2）先由角平分線的定義得，結(jié)合，得，因?yàn)榻堑牡攘看鷵Q，即可作答．【詳解】（1）解：∵是的中線，∴；（2）證明：∵是的平分線∴∵∴∴，∴∴是等腰三角形．16．（2023上·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，點(diǎn)D、E在的邊上，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到,相減后即可得到正確的結(jié)論.（2）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到，，即可得到，設(shè)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，解題即可．【詳解】（1）過點(diǎn)作于.

∵.∴,∴.（2）∵，，∴，，，∴，又∵，∴，設(shè)，則，∴，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，解得：，∴，【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，方程思想，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解答此題的關(guān)鍵．17．（2023上·河北石家莊·八年級校考階段練習(xí)）（1）如圖1，，平分，則的形狀是三角形；（2）如圖2，平分，，，則．（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則．（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長為．（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長是．【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，對角對等邊．（1）平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到，即可得出結(jié)果；（2）平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線平分角，得到，進(jìn)而得到即可；（3）同法（2）可得：，利用，求解即可；（4）同法（2）得到，推出的周長等于，即可得出結(jié)果；（5）同法（2）得到，推出的周長等于的長即可．掌握平行線加角平分線往往存在等腰三角形，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，∴，∴，∴是等腰三角形；故答案為：等腰；（2）∵平分，，∴，∴，∴；故答案為：3；（3）同法（2）可得：，∴；故答案為：12；（4）同法（2）可得：，∴的周長；故答案為：30；（5）同法（2）可得