2024屆江蘇省南通市徐州市高三2月大聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（附答案解析）

2024屆江蘇省南通市徐州市高三2月大聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={。」},AB={O,1,2,3},則下列關(guān)系一定正確的是（）

A.UBB.{0,l}UB

C.{2,3}cBD.{1,2,3?

2.已知數(shù)列{%}是公差為2的等差數(shù)列，對(duì)正整數(shù)m,〃,p,若加+〃=2。，則am+an=a2p

是%=d的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

3.已知復(fù)數(shù)z滿足|z（3+4i）|=5（其中i為虛數(shù)單位），且z的虛部為也，貝”=（）

2

A.±-B.±-+—i

222

C.L烏D.±--^i

2222

4.如圖，高速服務(wù)區(qū)停車場(chǎng)某片區(qū)有A至修共8個(gè)停車位（每個(gè)車位只停一輛車），有

2輛黑色車和2輛白色車要在該停車場(chǎng)停車，則兩輛黑色車停在同一列的條件下，兩輛

白色車也停在同一列的概率為（）

5.如圖，己知二面角2-/-6的平面角為60。，棱/上有不同兩點(diǎn)A8,ACua,BDu0,

AC±Z,BDLl.AC=AB=BD=2,則過A,8,C,。四點(diǎn)的球的表面積為（）

28萬兀

D.21TI

27

57r7TTLTT

6.已知-,—）,5sin（2an—）=tan（6r-\—）,則cosa二（）

4424

A百口百R2A/5□2小

A.---------x>.C.-----------D.-------

5555

7.已知耳耳為橢圓C1與雙曲線C?公共的焦點(diǎn)，且G，c?在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為尸，若

-13.

CC的禺心率q?滿足了+至=4,則/用「6=（）

71_71一兀一兀

A.—B.—C.—D.一

6432

8.已知定義在（0,+8）上的函數(shù)“X）,對(duì)任意正數(shù)尤，y滿足/（盯）+l=/（x）+〃y）,

且當(dāng)x>l時(shí)，〃尤)>1,若/'(lnx)</(62),則實(shí)數(shù)°的取值范圍是()

A.(1,+8)B.',+1!C.D.g，+8

二、多選題

9.已知單位向量a,b的夾角為6,則下列結(jié)論正確的有（）

A.（a+b）I.（a-b）

B.a在6方向上的投影向量為（。必W

C.若|a+b|=1,則。=60

D.若（a+A）-a=（a-b>a,則a〃b

10.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0,l）,定義函數(shù)為X取值不小于x的概率,

即〃x）=P（X>x）,則（）

A.f（x）+f（-x）=lB./（x）>/（2x）

C.〃x）為減函數(shù)D.為偶函數(shù)

三、單選題

11.已知點(diǎn)P在曲線V=2y上運(yùn)動(dòng)，過M（0,3）作以尸為圓心，1為半徑的圓的兩條切

|MA||MB|

線則的值可能是（）

\MP\

B.拽

A.?C.4D.5

5

試卷第2頁，共4頁

四、填空題

12.已知(l+x)(2x+1展開式中常數(shù)項(xiàng)為280,貝什=.

13.已知函數(shù)f(x)=^sin(ox+9X0<9<7t)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圓C與/(幻圖

14.已知〃切=1-(公有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

五、解答題

15.已知正項(xiàng)數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為S“，且4S”=(a“+l)2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若b?=a?-%,求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和7；.

16.如圖，在三棱柱ABC-A用G中，A在底面4BC上的射影為線段BC的中點(diǎn)，M為

線段BG的中點(diǎn)，MM=2AB=2AC=4,ABAC=90.

(1)求三棱錐ABC的體積；

(2)求MC與平面所成角的正弦值.

17.某學(xué)校有甲，乙兩個(gè)餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳

14

甲就餐的概率為《，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為不；前一天選擇餐廳乙就餐第二天

23

仍選擇餐廳乙就餐的概率為不，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為若學(xué)生第一天選擇

餐廳甲就餐的概率是選擇餐廳乙就餐的概率是記某同學(xué)第〃天選擇餐廳甲就餐

的概率為

(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及期望E(X)；

(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級(jí)抽調(diào)21人到甲乙兩個(gè)餐廳參加志愿服務(wù),

請(qǐng)求出仍,｝的通項(xiàng)公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個(gè)餐廳志愿者人數(shù)，并說明理

由.

18.已知橢圓C:1r+3=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)為歹，點(diǎn)尸［1。在橢圓C上，且"垂

直于x軸.

⑴求橢圓C的方程；

⑵直線/斜率存在，交橢圓C于A,2兩點(diǎn)，A,民/三點(diǎn)不共線，且直線AF和直線即關(guān)

于PF對(duì)稱.

(i)證明：直線/過定點(diǎn)；

(ii)求△ABB面積的最大值.

19.已知函數(shù)了(%)=/+必一彳(1四+。一1),其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴函數(shù)g(無)=9,求g(x)的最小值火。)；

⑵若石,%,(%<%)為函數(shù)/(X)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：〈"""I.

a-2

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】由并集運(yùn)算和集合的包含關(guān)系，分析集合B中的元素，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】因?yàn)榧?={01},A8={0,1,2,3},

則集合8一定含有2,3,可能含有0,1,

對(duì)比選項(xiàng)可知，只有C正確.

故選：C.

2.D

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，結(jié)合充分、必要條件的定義即可判斷.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列{叫是公差為d的等差數(shù)列，若〃z+〃=20,等價(jià)于

等價(jià)于2[q+（p-l）〃]=q+（2p-l）d,等價(jià)于％=d,

所以a,n+an=是％=d的充要條件.

故選：D.

3.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算法則、求得回=1,由復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式，即可計(jì)算答案.

【詳解】由|z（3+4i）|=5,有用3+倒=5,即忖=1,

由z的虛部為*設(shè)z…爭(zhēng)，則有卜+信[=],

解得a=±g,則z=±「亭.

故選：B

4.A

【分析】設(shè)事件A="兩輛黑色車停在同一列“，事件5="兩輛白色車停在同一列“，根據(jù)條

件概率公式尸（8閭="與

即可求解.

【詳解】設(shè)事件A="兩輛黑色車停在同一列"，事件8="兩輛白色車停在同一列”,

則所求概率為尸（8|A）,

因?yàn)镻（A）二三衿，P（AB）=C；xA；jA；xA；,

NA%

答案第1頁，共15頁

所以尸但力=鏘=4XA：XA；XA；6x2x2x21

2C；XA；2x4x6x55

故選：A

5.B

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得/。2加。|是二面角a-，-尸的一個(gè)平面角，過。2作平面A3C的

垂線和。1平面曲的垂線，得交點(diǎn)。為外接球球心，利用勾股定理即可求出尺，由表面積公

式即可求解.

【詳解】因?yàn)槎娼恰暌?一月的大小為60。,AC=AB=&D=2,AC_L/,aD_L/,

如圖，所以平面ABC與平面W所成角的大小為60。,6，的的，血，

取AD的中點(diǎn)。-8C的中點(diǎn)Q,。一。2為△ABD,ASC的外心，

取AB的中點(diǎn)連接MO2,則O2MJ.AB,OiM±AB,

所以NO2Moi是二面角a-/一#的一個(gè)平面角，則ZO2MOt=60°,

過。2作平面TWC的垂線和過。?作平面4步的垂線，交于點(diǎn)0,。即為外接球球心,

所以。。2_L平面。歸，OQ-L平面八鉆，連接ON,OtM=O2M=^BD=l,

7T

所以易證得：401Mo與公02Mo全等,所以NOMQ=/OMO2=—,

6

所以在直角三角形0m0.30。=*=半=乎=。0]=坐，

MO、133

OD=R=JOO；+O尸=AD

則過A、B、C、O四點(diǎn)的球的表面積為5=4兀代=亍，故B正確.

故選：B.

6.A

【分析】利用已知結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)求得tana=2,再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系

答案第2頁，共15頁

即可求解.

,msr7T5(cos？a-sin2a15(l-tan2a)

【詳解】因?yàn)?sin(2a+-)=5cos2a=-------'———，

2cosa+sin。1+tana

/兀、1+tancr口，3兀兀、皿,一,

tan(a+—)=-------,且aw(----,——),貝IJtana>l或tana<-l,

41—tana44

由5sin(2a+-)=tan(a+-),得，。-3n_1+tana,

241+tan2a1-tan67

即5(「ta;嘰1,解得tan&=2,

則ae(—?，一］),貝Ucosa<0,

sincc

又sin?a+cos?a=1,tancr=-----，故4cos?a+cos2a=1,

cosa

解得COSO=一咚,

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，余弦定理可以得到與=產(chǎn)學(xué)，利用離心率的定義化

rrl-cos26>

13.1-Lccq20

簡(jiǎn)條件下+方=4,可得廿=3〃2,故可得+受;=3,解此方程即可求出結(jié)果.

exe21-cos20

22

【詳解】不妨設(shè)橢圓的方程為：=+與=l(a>b>0),

ab

22

雙曲線方程為--^=l(m>0,n>0),

mn

因?yàn)樵拢闄E圓G與雙曲線c?公共的焦點(diǎn)，

所以O(shè)?=nr+n2=c2；

由橢圓的定義知：\PFl\+\PF2\=2a,

1

兩邊平方得：\PFl\+\PF2^+2\PFl\-\PF21=4a2,

△PKB中,設(shè)/￡產(chǎn)8=2。，由余弦定理得：

2222

IFF,|+\PF21-2\PF,\-\PF2\COS20=\FtF2|=4c,

2h2

所以4/-2|尸耳|PE|(1+COS28)=4c2,^\PF\-\PF1=-----—；

t21+cos20

由雙曲線的定義知：\PFx\~\PF2h2m,

兩邊平方得：IP罵F+|%F-2|/用.?%1=4濟(jì)，

答案第3頁，共15頁

在APJ；鳥中,由余弦定理得：|期『+|尸西『-2|PE|.|P&|COS29=|EKF=4C2,

2〃2

所以4療+2|尸7升|尸鳥|（1—COS29）=4C2,PF\-\PF\=---------—；

X21-cos2c/

22

匚匕ci2b2〃2b1+cos20

所以-------=-------，即一r=-------;

1+cos201-cos20n21-cos20

E、I,113_/二匚［、［3加2.0|-1b2+C23（/一九2）

因?yàn)橄?~￥—4,所以=+^=4,即——+-=4,

G/c2c2cc2

所以房=3后，所以產(chǎn)*=3,解得cos26=5，

由于2。40,兀），所以2。=：.

故選：C.

【分析】先根據(jù)〃孫)+1=〃力+/3變形得到〃》)+1=/5]+/3,即

“X)-〃y)=/-1,然后任取。＜玉＜%,從而可證明為增函數(shù)，可得到姑x＜分2,

再利用參數(shù)分離可得。＞g，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=g(x＞0),利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的最大值,

從而可求解.

【詳解】由題意得對(duì)于任意正數(shù)x,，都有〃孫)+i=/("+/(y),

又因?yàn)?Xy=X,所以++

即〃x)+l="R+〃y),則得〃尤)一=—1,

任意。＜%＜3，貝|1/(%)--(占)=/士]T，因?yàn)?。＜西?，所以三＞1,

V1J%

答案第4頁，共15頁

當(dāng)x>l時(shí)，/（X）>1,所以/&>1,則/匹卜1>0,所以〃9）-〃占）=/三-1>0,

\xiJ7VX1>

lnx>0

所以函數(shù)〃X)在(。，+8)上單調(diào)遞增，所以〃lnx)＜/(以2),且\x>l

ax2>0]a〉0

所以lnx＜分2在工?1,也)時(shí)恒成立，即等價(jià)于°＞皆在x?l,y)時(shí)恒成立,

令g(x)=g(x＞l),則/⑴：：xl：2xlnx]2Jnx,

當(dāng)xel,e2時(shí)，g,(x)＞0,當(dāng)xee2,+oog^,g,(x)＜0,

k)\)

所以g(X)在區(qū)間(I，上單調(diào)遞增，在區(qū)間[e；+s[上單調(diào)遞減,

I)k7

.二Ine,二]

所以當(dāng)x=￡時(shí)，g(x)取到極大值也是最大值g[e]=pY=a,

口

所以“＞：,故D正確.

2e

故選：D.

9.AB

【分析】由題意可得向=M=1,根據(jù)(。+萬＞(。-〃)=必-必可判斷A；根據(jù)a在b方向上

的投影向量為同cos/4可判斷B；根據(jù)力+24.6+62=1可判斷c；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可

判斷D.

【詳解】因?yàn)閍,b都是單位向量，所以向=|力卜1,

所以(a+6).(a-b)=a2-62=0,即(a+6)j_(a-b),故A正確；

。在b方向上的投影向量為同coseg=|4?浦?汗=(。町6,故B正確；

rr11

若則。2+20.。+/?2=],即。.匕二一/,即cos”一^,

因?yàn)?°＜。41800,所以6=120°,故C錯(cuò)誤；

若(a+b)?a=(a-b).a,貝I〃+a-b=a2-a-b,

答案第5頁，共15頁

所以。/=0，即a_Z,6，故D錯(cuò)誤.

故選：AB

10.AC

【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性，利用概率進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,l),

所以/(-x)=P(X2-x)=l-尸(X<-x)=l-尸(XNx)=l-/(x),所以/(尤)+/(-尤)=1,選項(xiàng)

A正確；

x>0時(shí)，/(%)=P{X>x)>P(X>2x)=/(2x),x<0時(shí)，

=P(X>x)<P(X>2x)=f(2x),選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)x增大時(shí)，〃彳)=尸(乂2%)隨著減小，所以/(x)是減函數(shù)，選項(xiàng)C正確；

/(一X)=P(X2-尤)=1一P(X「X)=1-P(X)尤)=1—/(%)牛/(%),選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.BCD

【分析】依據(jù)題意對(duì)目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)確定最值即可.

由題意得=由勾股定理得尸「一1,

令y=|MP|-占,

則v11

\MP\\MP\'

而0一向=i+溫故>在R上單調(diào)遞增，

設(shè)尸(為,%),由兩點(diǎn)間距離公式得\MP\=五2-4%+9,

由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)%=2時(shí)，|即取得最小值，此時(shí)|“尸|=行,

故y的最小值為拽，即y2生叵，顯然B,C,D正確.

55

故選：BCD

答案第6頁，共15頁

12.7

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理|2x+-|展開式的通項(xiàng)公式加=￡「2-Q<r<n,再對(duì)

n分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，可解得n的值.

rrn2r

【詳解展開式的通項(xiàng)公式為=C；(2x)i(r|=Cn-2"--x-,0<r<n,reN,

①當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，貝切-2r為偶數(shù)，

所以當(dāng)”=2廠時(shí)，此時(shí)(1+尤)(2元+n的展開式中常數(shù)項(xiàng)為％2=280,此時(shí)方程無解；

②當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，貝I"-2r為奇數(shù)，

所以當(dāng)〃=2-1時(shí)，此時(shí)(1++工］的展開式中常數(shù)項(xiàng)為CL?2-=280,解得廠=4,〃=7；

所以，=7.

故答案為：7.

…5),5

13.—/—冗

1212

JT

【分析】由點(diǎn)的對(duì)稱性求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為可得函數(shù)的周期以及。值，由五點(diǎn)作圖求

出夕，可得函數(shù)的解析式，從而求得N點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離求出圓的半徑.

【詳解】根據(jù)函數(shù)/(%)='gsin(ox+9)(A〉0,0<夕<兀)的部分圖象，

由圖可知，M,N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，易得點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為三,

函數(shù)/(x)=———sin(2x+(p),

結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2、1IT+。=兀,

4兀71

一+—

57r

所以圓的半徑為CN=

12

答案第7頁，共15頁

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用圓的對(duì)稱性，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解.

e3

14.(——,+oo)

27

【分析】經(jīng)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化可知，函數(shù)"同=6，-$4有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)一與g(尤)4

x

的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，故只需研究函數(shù)g(x)=與e的圖象即可求得參數(shù)范圍.

【詳解】由求導(dǎo)，-(尤)=e'-取3,由/。)=。可得：］=訃3,

因x=0不滿足此式，故可得：fl=￡,

X

則函數(shù)=尤4有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)y=a與g(x)=\的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

由g(x)=］求導(dǎo)，g，(x)=」一：)e',則當(dāng)尤<0時(shí)，g'(無)<0,當(dāng)0<x<3時(shí)，g'(無)<0,

XX

當(dāng)工>3時(shí)g'(x)>。，

則函數(shù)g(%)=與在(-8,0)和(0,3)上是減函數(shù)，在(3,+8)上是增函數(shù)，故％=3時(shí)，g(x)取

得極小值更.

27

且當(dāng)xf-s時(shí)，g(x)-0,當(dāng)x從0的左邊趨近于0時(shí)，g(x)-?f,當(dāng)x從0的右邊趨近

于0時(shí)，g(%)f+OO,當(dāng)％f+8時(shí)，g(%)f+oo.

x

故可作出函數(shù)g(x)==e的圖象如圖.

X

X3

由圖可知：函數(shù)>=［與g(x)=三的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于〃〉J.

x327

3

e

故答案為：(一,+QO).

27

15.(1)?！?2〃-1

(2)7；=(2n-3)2n+2+12-n2

答案第8頁，共15頁

【分析】⑴根據(jù)題意得也=(%+1)2-(％+1)2,再因式分解為-4「2)=0,

即可得到。,-氏_=2,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可知｛%｝為等差數(shù)列，易得其通項(xiàng)公式；

(2)由題意用分組求和法和錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列求和.

【詳解】(1)因?yàn)?—)2,

所以當(dāng)“22時(shí)，45.一=(6_]+1汽

22

所以4%=(an+1)-(￡/?_1+1)=""一+2an-2%,

整理,得2an+2%=(a?-4T)(。,+*),

因?yàn)椋?gt;0,

所以4-%=2,

所以數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列.

當(dāng)”=1時(shí)，4S]=44=(4+1)2,

解得?i=1,

所以數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式為%=2”-1；

(2)由(1)得4=%%=(2n-D(2"+1-l)=(2n-1)2?+1-(2n-1),

記B?=X(2z-l),則

i=\i=\

紇=汽(2—,

i=l

因?yàn)?=tQiT)2'"i，24=1⑵TA"?,

i=li=\

所以一4=2?+2⑵+2,++2"+I)-(2〃-1)2*2=-(2n-3)2,,+2-12,

所以4=(2〃-3)2"+?+12,

所以7；=4-4=(2H-3)2m+12-n2.

16.⑴亞

3

⑵恒

6

【分析】(1)首先利用平行關(guān)系和垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，證明M4,，面ABC,再根據(jù)條件中的

答案第9頁，共15頁

數(shù)值，代入體積公式，即可求解；

（2）首先利用等體積公式轉(zhuǎn)化為求得點(diǎn)C到平面跖里?的距離，再根據(jù)線面角的定義，利用

sin。=工一即可.

MC

【詳解】（1）取BC的中點(diǎn)。，連接。4,。4，

因?yàn)锳在底面45c上的射影為O,

所以。A面ABC,

在三棱柱ABC-ABC中,面ABC//面AB?,

所以。A，面A4G.因?yàn)閁面A3C，

所以04,J_K4,,

在瓦G中，M為線段4G的中點(diǎn)，

因?yàn)?C〃4G,

所以

因?yàn)?。Ai面ABC,3Cu面ABC,O\^BC=O,

所以面ABC,

ABC中，AB=AC=2,ZBAC=90,所以3C=20，OA=也,

所以%?c=gs0=ix|/?C.OAfcL-OA"M4t

=」」x2萬J16-2.應(yīng)=

323

B：

\\/Q'

■l-o

A——上

(2)設(shè)C到平面MA,B的距離為d,則

在Rt.B中，M\=72,4C==\/0^+0B2=V14+2=4,

所以5響8=；幽.45=；*^、4=2a,

答案第10頁，共15頁

所以〃=飛￡=近，

?MAtB

設(shè)MC與平面所成角為凡則

-dd77714

Citi-___-__________—______-___

MC-^+A^~^6~6

所以MC與平面所成角的正弦值為恒.

6

17.⑴分布列見解析，￡（X）=|；

⑵匕二方+（乂1^],分配到甲，乙兩個(gè)餐廳志愿者人數(shù)分別為9和12.

【分析】（1）先求某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出

概率，可得分布列，利用二項(xiàng)分布期望公式可得期望；

（2）根據(jù)題意先求匕與匕+1的關(guān)系，然后利用構(gòu)適法可得通項(xiàng)，由勺f1確定兩餐廳志愿

者人數(shù)分配.

11132

【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率外.，丁尸廠二

14193

某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率?=5、《+5乂,=^

所以3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為X~3卜,|）

記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X,X所有可能的取值為0」,2,3,

3-k

則尸(x-)=c[|)(|)(左=0,1,2,3).

X的分布列為:

X0123

2754368

P

125125125125

￡（X）=3x|=|.

⑵依題意，匕M*xg+（1-匕）義|,即匕M=-|e+g（〃eN*）,

則有匕+「1=一：卜-；j（〃eN*）,當(dāng)“=1時(shí)，可得6一;=

答案第11頁，共15頁

n-1

數(shù)列匕一2是首項(xiàng)為1￡公比為-二的等比數(shù)列，則匕=9+'x2

145"714

3

〃f中x)時(shí)，Pn

3

所以，各年級(jí)抽調(diào)的21人中，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為21x,=9,分配到餐廳乙的志

愿者人數(shù)為21-9=12.

2

18.⑴L/V

43

(2)(i)證明見解析；(ii)當(dāng)叵

4

【分析】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓上的點(diǎn)，求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由的尸+原尸=。，結(jié)合韋達(dá)定理得系數(shù)間的關(guān)系，可得

直線所過定點(diǎn)，利用面積公式表示出△板的面積，由基本不等式求最大值.

【詳解】⑴點(diǎn)小|]在橢圓C上，且P尸垂直于x軸，則有“1,0)

設(shè)橢圓C的焦距為2c(c>0),則c=l,

(3、1919.

點(diǎn)尸代入橢圓方程,有/+后=/+聽刁—

解得a=2,貝I]/=/—°2=4一1=3,

22

所以橢圓C的方程為三+上=1.

43

y=kx+m

(2)(i)設(shè)直線/的方程為丁二丘+根，由<J2,

——+—=1

[43

消去y,整理得(3+4公)爐+8bnx+4m2—12=0,

因?yàn)?交橢圓C于A3兩點(diǎn)，所以A=48(4/一療+3)>0,

設(shè)4(西，X)，8(%，%)，所以占+%=-普今，再％=?二2,

I/1/vI/1/V

答案第12頁，共15頁

因?yàn)橹本€AF和直線叱關(guān)于PF對(duì)稱,

一一一,y.必kx,+mkx-y+m2kxlx2+(根一女)(苔+%2)—2m0

所以仁〃+&E=』7+—=-^V+4T

(%1-l)(x-l)

Xy—1%2一］%一1%2—12

所以2kxi工2+(m—(%+%)—2機(jī)=2%*,+(加一女)x§-2m=0

所以8kmi—24k—8km2+Sk2m—Smk2-6m=0

解得m=-4k.

所以直線/的方程為y=履一4左=M%—4）,

所以直線/過定點(diǎn)（4,0）.

x=ny+4

5)設(shè)直線/的方程為XR+4,由"+￡

I43

消去X,整理得（3/+4）9+24"，+36=0,

因?yàn)?交橢圓C于A,8兩點(diǎn),所以A=（24〃）2-144（3〃2+4）=144（〃2—4）>0,

解得/>4,

24九36

…=一萬寸

24n23612AAz2-4

所以1%_%|=J(%+%『-4yly2=I-4x

3"+43/+4-3/+4

=14…3地三〃2一4

=18x

所以Sw2

22112123"+4療+4

令*-4=/,(^>0)

1,3百

貝IjSABC=18x-------=18x

7Z~~256“一丁，當(dāng)且僅當(dāng)/=?時(shí)取等號(hào),

⑶+16)一9t+---+96