安徽省淮南市2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

安徽省淮南市2024屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知與之間的幾組數(shù)據(jù)如下表則與的線性回歸方程必過()A．點 B．點C．點 D．點2．在銳角三角形中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，已知，，，則的面積為（）A． B． C． D．3．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數(shù)學(xué)模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．4．直線x+y+2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓（x﹣2）2+y2＝2上，則△ABP面積的最小值為（）A．1 B．2 C． D．5．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．16．下列極限為1的是（）A．（個9） B．C． D．7．對一切實數(shù)，不等式恒成立.則的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知，函數(shù)的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．69．在集合且中任取一個元素，所取元素x恰好滿足方程的概率是（）A． B． C． D．10．從裝有紅球和綠球的口袋內(nèi)任取2個球(其中紅球和綠球都多于2個)，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個紅球，至少有一個綠球B．恰有一個紅球，恰有兩個綠球C．至少有一個紅球，都是紅球D．至少有一個紅球，都是綠球二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角的對邊分別為，若，則_______.（僅用邊表示）12．若的兩邊長分別為和，其夾角的余弦為，則其外接圓的面積為______________；13．計算：__________．14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差________.15．設(shè)為正偶數(shù)，，則____________.16．關(guān)于的不等式的解集是，則______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．?dāng)?shù)列的前n項和滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項.18．已知直線，，是三條不同的直線，其中.（1）求證：直線恒過定點，并求出該點的坐標(biāo)；（2）若以，的交點為圓心，為半徑的圓與直線相交于兩點，求的最小值.19．從含有兩件正品和一件次品的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求：（1）一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間．（2）取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率20．已知平面向量，且（1）若是與共線的單位向量，求的坐標(biāo)；（2）若，且，設(shè)向量與的夾角為，求．21．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標(biāo)號為1，2，3，4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個球被取出的可能性相等.（1）求取出的兩個球上標(biāo)號為相同數(shù)字的概率；（2）若兩人分別從甲、乙兩個盒子中各摸出一球，規(guī)定：兩人誰摸出的球上標(biāo)的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，即可得到結(jié)論．【詳解】，，8根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，可得與的線性回歸方程必過．故選：C．【點睛】本題考查線性回歸方程，解題的關(guān)鍵是利用線性回歸方程必過樣本中心點，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】由結(jié)合題意可得：，故，△ABC為銳角三角形，則，由題意結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)有：，則：，即：，則，由正弦定理有：，故.本題選擇D選項.點睛：在解決三角形問題中，求解角度值一般應(yīng)用余弦定理，因為余弦定理在內(nèi)具有單調(diào)性，求解面積常用面積公式，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.3、B【解析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現(xiàn)，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，若，設(shè)糖的量為，糖水的量設(shè)為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現(xiàn)，而，能體現(xiàn)糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【點睛】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

求得圓心到直線的距離，減去圓的半徑，求得△ABP面積的最小時，三角形的高，由此求得△ABP面積的最小值.【詳解】依題意設(shè)，故.圓的圓心為，半徑為，所以圓上的點到直線的距離的最小值為（其中為圓心到直線的距離），所以△ABP面積的最小值為.故選：B【點睛】本小題主要考查圓上的點到直線的距離的最小值的求法，考查三角形面積的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

的對稱軸為，化簡得到得到答案.【詳解】對稱軸為：當(dāng)時，有最小值為故答案選C【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，將對稱軸表示出來是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.6、A【解析】

利用極限的運算逐項求解判斷即可【詳解】對于A項，極限為1，對于B項，極限不存在，對于C項，極限為1．對于D項，，故選：A．【點睛】本題考查的極限的運算及性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、A【解析】

時，恒成立.時，原不等式等價于.由的最小值是2，可得，即.選A.8、D【解析】試題分析：因為該函數(shù)的單調(diào)性較難求，所以可以考慮用不等式來求最小值，，因為，由重要不等式可知，所以，本題正確選項為D.考點：重要不等式的運用.9、B【解析】

寫出集合中的元素，分別判斷是否滿足即可得解.【詳解】集合且的元素，,，，，，.基本事件總數(shù)為，滿足方程的基本事件數(shù)為.故所求概率.故選：B.【點睛】本題考查了古典概型概率的求解，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】由于從口袋中任取2個球有三個事件，恰有一個紅球，恰有兩個綠球,一紅球和一綠球.所以恰有一個紅球，恰有兩個綠球是互斥而不對立的兩個事件.因而應(yīng)選B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

直接利用正弦定理和三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】由正弦定理，結(jié)合可得，即，即，從而.【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理余弦定理和三角形面積的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．12、【解析】

首先根據(jù)余弦定理求第三邊，再求其對邊的正弦值，最后根據(jù)正弦定理求半徑和面積.【詳解】設(shè)第三邊為，，解得：，設(shè)已知兩邊的夾角為，，那么，根據(jù)正弦定理可知，,外接圓的面積.故填：.【點睛】本題簡單考查了正余弦定理，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.13、【解析】

分子分母同除以，即可求出結(jié)果.【詳解】因為.故答案為【點睛】本題主要考查“”型的極限計算，熟記常用做法即可，屬于基礎(chǔ)題型.14、1【解析】

利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，，∴，解得＝1．故答案為：1．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

得出的表達(dá)式，然后可計算出的表達(dá)式.【詳解】，，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查項的變化，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系，由二次不等式的解集得到二次方程的根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到和的值，得到答案.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集是，所以關(guān)于的方程的解是，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以.【點睛】本題考查二次不等式解集和二次方程根之間的關(guān)系，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用與的關(guān)系，即要注意對進(jìn)行討論，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，證明為常數(shù)；（2）利用錯位相減法對數(shù)列進(jìn)行求和.【詳解】解（1）當(dāng)時，，所以因為①，所以當(dāng)時，②，①-②得，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，因為，所以，設(shè)的公差為，則，所以所以，，所以，則，以上兩式相減得：，所以.【點睛】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則數(shù)列的求和可采用錯位相減法求和，注意求和后要保證常數(shù)的準(zhǔn)確性.18、（1）證明見解析；定點坐標(biāo)；（2）【解析】

（1）將整理為：，可得方程組，從而求得定點；（2）直線方程聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線距離的最大值的問題，根據(jù)圓的性質(zhì)可知最大值為，從而求得最小值.【詳解】（1）證明：，可化為：令，解得：，直線恒過定點（2）將，聯(lián)立可得交點坐標(biāo)設(shè)到直線的距離為，則則求的最小值，即求的最大值由（1）知，直線恒過點，則最大時，，即【點睛】本題考查直線過定點問題的求解、直線被圓截得弦長的最值的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)確定求解弦長的最小值即為求解圓心到直線距離的最大值，求得最大值從而代入求得弦長最小值.19、(1)和；(2)【解析】

（1）注意先后順序以及是不放回的抽??；（2）在所有可能的事件中尋找符合要求的事件，然后利用古典概型概率計算公式求解即可.【詳解】（1）每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即和其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品（2）用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則∴事件A由4個基本事件組成，因而，=．【點睛】本題考查掛古典概型的基本概率計算，難度較易.對于放回或不放回的問題，一定要注意區(qū)分其中的不同.20、或【解析】分析：（1）由與共線，可設(shè)，又由為單位向量，根據(jù)，列出方程即可求得向量的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量的夾角公式，即可求解向量與的夾角．詳解：與共線，又，則，為單位向量，，或，則的坐標(biāo)為或，，．點睛：對于平面向量的運算問題，通常用到：1、平面向量與的數(shù)量積為，其中是與的夾角，要注意夾角的定義和它的取值范圍：；2、由向量的數(shù)量積的性質(zhì)有，，，因此利用平面向量的數(shù)量積可以解決與長度、角度、垂直等有關(guān)的問題；3、本題主要利用向量的模與向量運算的靈活轉(zhuǎn)換，應(yīng)用平面向量的夾角公式，建立的方程.21、（1）（2）這樣規(guī)定公平，詳見解析【解析】

（1）利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的計算公式，求得的概率，即可得到結(jié)論.【詳解