甘肅省涇川縣第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題含解析_第1頁(yè)
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甘肅省涇川縣第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列,對(duì)于函數(shù),若數(shù)列為等差數(shù)列,則稱(chēng)函數(shù)為“保比差數(shù)列函數(shù)”,現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):①,②,③;④,則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號(hào)為()A.①② B.①②④ C.③④ D.①②③④2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足.若對(duì)任意正整數(shù)都有恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.3.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.4.已知函數(shù),若方程在上有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.5.為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況,擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大,在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是()A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B.按性別分層抽樣C.按學(xué)段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣6.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公比()A. B. C.或 D.以上都不對(duì)7.已知,,那么是()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.若向量互相垂直,且,則的值為()A. B. C. D.9.已知函數(shù)是連續(xù)的偶函數(shù),且時(shí),是單調(diào)函數(shù),則滿(mǎn)足的所有之積為()A. B. C. D.10.設(shè),若不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.在△中,三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,若,,,則________12.水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示,已知,,則邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為_(kāi)_____.13.在中,,且,則.14.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則___________.15.已知數(shù)列滿(mǎn)足且,則____________.16.在平面直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,則的最大值是.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生,將其數(shù)學(xué)成績(jī)(均為整數(shù))分成六段后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問(wèn)題:(1)求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;(2)統(tǒng)計(jì)方法中,同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分;(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中任取個(gè),求至多有人在分?jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.18.已知,,且(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的值.19.在中,角的對(duì)邊分別是,已知,,.(1)求的值;(2)若角為銳角,求的值及的面積.20.如圖,長(zhǎng)方形材料中,已知,.點(diǎn)為材料內(nèi)部一點(diǎn),于,于,且,.現(xiàn)要在長(zhǎng)方形材料中裁剪出四邊形材料,滿(mǎn)足,點(diǎn)、分別在邊,上.(1)設(shè),試將四邊形材料的面積表示為的函數(shù),并指明的取值范圍;(2)試確定點(diǎn)在上的位置,使得四邊形材料的面積最小,并求出其最小值.21.在平面直角坐標(biāo)系中,的頂點(diǎn)、,邊上的高線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為,邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為.(1)求點(diǎn)B到直線(xiàn)的距離;(2)求的面積.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠1),利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義,逐項(xiàng)驗(yàn)證數(shù)列{lnf(an)}為等差數(shù)列,即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q≠1)①由題意,lnf(an)=ln,∴l(xiāng)nf(an+1)﹣lnf(an)=lnlnlnlnq是常數(shù),∴數(shù)列{lnf(an)}為等差數(shù)列,滿(mǎn)足題意;②由題意,lnf(an)=ln,∴l(xiāng)nf(an+1)﹣lnf(an)=lnlnlnq2=2lnq是常數(shù),∴數(shù)列{lnf(an)}為等差數(shù)列,滿(mǎn)足題意;③由題意,lnf(an)=ln,∴l(xiāng)nf(an+1)﹣lnf(an)=lnlnan+1﹣an不是常數(shù),∴數(shù)列{lnf(an)}不為等差數(shù)列,不滿(mǎn)足題意;④由題意,lnf(an)=ln,∴l(xiāng)nf(an+1)﹣lnf(an)=lnlnlnq是常數(shù),∴數(shù)列{lnf(an)}為等差數(shù)列,滿(mǎn)足題意;綜上,為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號(hào)為①②④故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義,考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查等差數(shù)列的判定,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.2、C【解析】

先利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,于是可求出,再利用參變量分離法得到,利用數(shù)列的單調(diào)性求出數(shù)列的最小項(xiàng)的值,可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí),,即,得;當(dāng)時(shí),由,得,兩式相減得,得,,所以,數(shù)列為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為,公比為,.,由,得,所以,數(shù)列單調(diào)遞增,其最小項(xiàng)為,所以,,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列前項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng),其關(guān)系式為,其次考查了數(shù)列不等式與參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,一般利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問(wèn)題來(lái)求解,考查化歸與轉(zhuǎn)化問(wèn)題,屬于中等題.3、C【解析】關(guān)于的不等式,即的解集是,∴不等式,可化為,解得,∴所求不等式的解集是,故選C.4、A【解析】

先輔助角公式化簡(jiǎn),先求解方程的根的表達(dá)式,再根據(jù)在上有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根列出對(duì)應(yīng)的不等式求解即可.【詳解】.又在上有且只有三個(gè)實(shí)數(shù)根,故,解得或,即或,.設(shè)直線(xiàn)與在上從做到右的第三個(gè)交點(diǎn)為,第四個(gè)交點(diǎn)為.則,.故.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的根求解參數(shù)范圍的問(wèn)題,需要根據(jù)題意先求解根的解析式,進(jìn)而根據(jù)區(qū)間中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)列出區(qū)間端點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式求解即可.屬于中檔題.5、C【解析】試題分析:符合分層抽樣法的定義,故選C.考點(diǎn):分層抽樣.6、C【解析】

根據(jù)和可得,解得結(jié)果即可.【詳解】由得,所以,所以,所以,解得或故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的基本量的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù),,可判斷所在象限.【詳解】,在三四象限.,在一三象限,故在第三象限答案為C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)在每個(gè)象限的正負(fù),屬于基礎(chǔ)題型.8、B【解析】

首先根據(jù)題意得到,再計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄炕ハ啻怪保?,所?所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量模長(zhǎng)的計(jì)算,同時(shí)考查了平面向量數(shù)量積,屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解析】

由y=f(x+2)為偶函數(shù)分析可得f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),進(jìn)而分析可得函數(shù)f(x)在(2,+∞)和(﹣∞,2)上都是單調(diào)函數(shù),據(jù)此可得若f(x)=f(1),則有x=1或4﹣x=1,變形為二次方程,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系分析可得滿(mǎn)足f(x)=f(1)的所有x之積,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則函數(shù)f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng),又由當(dāng)x>2時(shí),函數(shù)y=f(x)是單調(diào)函數(shù),則其在(﹣∞,2)上也是單調(diào)函數(shù),若f(x)=f(1),則有x=1或4﹣x=1,當(dāng)x=1時(shí),變形可得x2+3x﹣3=0,有2個(gè)根,且兩根之積為﹣3,當(dāng)4﹣x=1時(shí),變形可得x2+x﹣13=0,有2個(gè)根,且兩根之積為﹣13,則滿(mǎn)足f(x)=f(1)的所有x之積為(﹣3)×(﹣13)=39;故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,涉及函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,屬于綜合題.10、D【解析】

由題意可得恒成立,討論,,運(yùn)用基本不等式,可得最值,進(jìn)而得到所求范圍.【詳解】恒成立,即為恒成立,當(dāng)時(shí),可得的最小值,由,當(dāng)且僅當(dāng)取得最小值8,即有,則;當(dāng)時(shí),可得的最大值,由,當(dāng)且僅當(dāng)取得最大值,即有,則,綜上可得.故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問(wèn)題的解法,注意運(yùn)用參數(shù)分離和分類(lèi)討論思想,以及基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想和運(yùn)算能力.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【詳解】由,因?yàn)?故,.故.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形的運(yùn)用,根據(jù)題中所給的邊角關(guān)系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎(chǔ)題型.12、【解析】

利用斜二測(cè)直觀圖的畫(huà)圖規(guī)則,可得為一個(gè)直角三角形,且,得,從而得到邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為.【詳解】利用斜二測(cè)直觀圖的畫(huà)圖規(guī)則,平行于軸或在軸上的線(xiàn)段,長(zhǎng)度保持不變;平行于軸或在軸上的線(xiàn)段,長(zhǎng)度減半,利用逆向原則,所以為一個(gè)直角三角形,且,所以,所以邊上的中線(xiàn)的實(shí)際長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則,考查基本識(shí)圖、作圖能力.13、【解析】

∵在△ABC中,∠ABC=60°,且AB=5,AC=7,

∴由余弦定理,可得:,

∴整理可得:,解得:BC=8或?3(舍去).考點(diǎn):1、正弦定理及余弦定理;2、三角形內(nèi)角和定理及兩角和的余弦公式.14、100【解析】

根據(jù)題意可求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】得【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和,為基礎(chǔ)題目,利用基本量思想解題即可,充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

由題得為等差數(shù)列,得,則可求【詳解】由題:為等差數(shù)列且首項(xiàng)為2,則,所以.故答案為:2550【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義,準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題16、【解析】

試題分析:設(shè),表示以為圓心,r=1為半徑的圓,而,所以,,,故得最大值為考點(diǎn):1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.向量模的運(yùn)算三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)0.3,直方圖見(jiàn)解析;(2)121;(3).【解析】

(1)頻率分布直方圖中,小矩形的面積等于這一組的頻率,而頻率的和等于1,可求出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率,即可求出矩形的高,畫(huà)出圖象即可;(2)同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表,將中點(diǎn)值與每一組的頻率相差再求出它們的和即可求出本次考試的平均分;(3)先計(jì)算、分?jǐn)?shù)段的人數(shù),然后按照比例進(jìn)行抽取,設(shè)從樣本中任取2人,至多有1人在分?jǐn)?shù)段為事件,然后列出基本事件空間包含的基本事件,以及事件包含的基本事件,最后將包含事件的個(gè)數(shù)求出題目比值即可.【詳解】(1)分?jǐn)?shù)在[120,130)內(nèi)的頻率為:1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3,,補(bǔ)全后的直方圖如下:(2)平均分為:95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.(3)由題意,[110,120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為:60×0.15=9人,[120,130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為:60×0.3=18人.∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110,130)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為6的樣本,∴需在[110,120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人,并分別記為m,n;在[120,130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人并分別記為a,b,c,d;設(shè)“從樣本中任取2人,至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120,130)內(nèi)”為事件A,則基本事件有:(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d),(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共15種.事件A包含的基本事件有:(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n,d)共9種,∴.18、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題中條件,求出,進(jìn)而可得,再由兩角差的正切公式,即可得出結(jié)果;(Ⅱ)根據(jù)題中條件,得到,求出,再由,根據(jù)兩角差的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)椋?,所以,因此,所以?Ⅱ)因?yàn)椋?,所以,又,所以,所以,因?【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換,給值求值的問(wèn)題,熟記公式即可,屬于??碱}型.19、(1);(2),.【解析】試題分析:(1)根據(jù)題意和正弦定理求出a的值;

(2)由二倍角的余弦公式變形求出,由的范圍和平方關(guān)系求出,由余弦定理列出方程求出的值,代入三角形的面積公式求出的面積.試題解析:(1)因?yàn)椋?,由正弦定理,?(2)因?yàn)?,且,所以?由余弦定理,得,解得或(舍),所以.20、(1)見(jiàn)解析;(2)當(dāng)時(shí),四邊形材料的面積最小,最小值為.【解析】分析:(1)通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系,得出和,進(jìn)而得出四邊形材料的面積的表達(dá)式,再結(jié)合已知尺寸條件,確定角的范圍.(2)根據(jù)正切的兩角差公式和換元法,化簡(jiǎn)和整理函數(shù)表達(dá)式,最后由基本不等式,確定面積最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在上的位置.詳解:解:(1)在直角中,因?yàn)?,,所以,所以,在直角中,因?yàn)椋?,所以,所以,所以?(2)因?yàn)?,令,由,得,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)等號(hào)成立,此時(shí),,,答:當(dāng)時(shí),四邊形材料的面積最小,最小值為.點(diǎn)睛:本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,注意換元法和基本不等式的合理運(yùn)用.換元法求函數(shù)的值域,通過(guò)引入新變量(輔助式,輔助函數(shù)等),把所有分散的已知條件聯(lián)系起來(lái),將已知條件和要求的

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