理論力學(xué)（工科專業(yè)）全套教學(xué)課件

第1章

剛體靜力學(xué)基礎(chǔ)全套可編輯PPT課件靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)三部分，共17章。靜力學(xué)包括剛體靜力學(xué)基礎(chǔ)、平面力系、空間力系，運(yùn)動(dòng)學(xué)包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、剛體的基本運(yùn)動(dòng)、點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)、剛體的平面運(yùn)動(dòng)，動(dòng)力學(xué)包括質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程、動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理、碰撞、達(dá)朗貝爾原理、虛位移原理、動(dòng)力學(xué)普遍方程與拉格朗日方程、機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)、質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)。本章內(nèi)容

1力和剛體

2靜力學(xué)公式

3約束和約束力

4物體的受力分析與受力圖第一節(jié)力和剛體的基本概念一、力力使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的效應(yīng)，稱作力的外效應(yīng)；而使物體發(fā)生變形的效應(yīng)，則稱作力的內(nèi)效應(yīng)。力的常用單位為N或kN。力的大小、方向和作用點(diǎn)，稱為力的三要素。二、剛體剛體是指在力的作用下不變形的物體，即在力的作用下其內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離永遠(yuǎn)保持不變的物體。這是一種理想化的力學(xué)模型。剛體是在一定條件下研究物體受力和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)抽象，因此，靜力學(xué)又稱為剛體靜力學(xué)。第二節(jié)靜力學(xué)公理公理一力的平行四邊形法則作用在物體的同一點(diǎn)上的兩個(gè)力的合力仍作用在該點(diǎn)上，其大小和方向由兩個(gè)力組成的平行四邊形的對(duì)角線表示，如圖1-1（a）所示，或者說(shuō)，合力矢等于這兩個(gè)力矢的矢量和，即圖

1-1a圖1-1（b）推論1如圖1-1（b）所示，可另作一力三角形來(lái)求兩匯交力合力矢的大小和方向，即依次將

和

首尾相接畫出，力的三角形法則然后連接第一個(gè)力的起點(diǎn)至第二個(gè)力的終點(diǎn)形成三角形的封閉邊，即為二力的合力矢

，稱為力的三角形法則。圖1-3（c）推論2力的多邊形法則如圖1-1（c）所示，作用線匯交于同一點(diǎn)的若干個(gè)力組成的力系，稱為匯交力系或共點(diǎn)力系。推論2力的多邊形法則利用力三角形，將各力逐一相加，可得到從第一力到最后一力首尾相接的多邊形，如圖1-1（d）所示，多邊形的封閉邊即為該匯交力系的合力。圖1-1（d）用力多邊形求匯交力系的合力時(shí)，合力的指向是從第一力的起點(diǎn)指向最后一力的終點(diǎn)。公理二二力平衡公理使剛體在兩個(gè)力作用下維持平衡狀態(tài)的充要條件是這兩個(gè)力大小相等、方向相反、沿同一直線作用，稱為二力平衡公理，圖1-2（a）反之，若剛體在且僅在兩個(gè)力的作用下處于平衡，則此二力必大小相等、方向相反，且作用在兩受力點(diǎn)的連線上。如圖1-2（a）所示，公理二圖1-2（b）中的三鉸拱在力

的作用下處于平衡狀態(tài)，桿AC，CB兩部分也是平衡的。如圖1-2（c）所示，假如不考慮桿的自重，則桿CB是受二力作用而處于平衡的，故C，B處的兩個(gè)力必作用在兩受力點(diǎn)C，B的連線上，且大小相等、方向相反。這類只有兩點(diǎn)受力的無(wú)重桿，通常稱為二力桿或二力構(gòu)件。圖1-2（b）（c）公理三加減平衡力系公理在作用于剛體的力系上任意加上或減去一個(gè)平衡力系不改變?cè)ο祵?duì)剛體的作用效果。力在剛體上的可傳性原理推論3作用于剛體上的力，其作用點(diǎn)可以沿作用線在該剛體內(nèi)前后任意移動(dòng)，而不改變它對(duì)該剛體的作用效果。證根據(jù)加減平衡力系公理設(shè)有力

作用在剛體上的點(diǎn)A，如圖1-3（a）所示?？稍诹Φ淖饔镁€上任取一點(diǎn)B，并加上兩個(gè)相互平衡的力

和

，且如圖1-3（b）所示，由于力

和

也是一個(gè)平衡力系，故可去掉，這樣只剩下一個(gè)力。如圖1-3（c）所示。因此，原來(lái)的這個(gè)力

與力

等效，即原來(lái)的力

沿其作用線移到了點(diǎn)B。（a）（b）（c）圖1-3三力平衡匯交定理推論4若剛體在三個(gè)互不平行的共面力的作用下處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn)。證如圖所示，在剛體的A，B，C三點(diǎn)上，分別作用三個(gè)相互平衡的力，，根據(jù)力的可傳性，將力

和

移到匯交點(diǎn)O，根據(jù)力的平行四邊形法則，得合力，則力

應(yīng)與

平衡。由于兩個(gè)力平衡必須共線，所以力

必定與力

和

共面，且通過(guò)力

與

的交點(diǎn)O。于是定理得證。公理四作用和反作用定律任何兩個(gè)物體的相互作用力，總是等值、反向、共線且分別作用于兩個(gè)物體上。公理五剛化原理設(shè)變形體在已知力系作用下維持平衡狀態(tài)，如果將這個(gè)已變形但平衡的物體變成剛體（剛化），則其平衡不受影響。第三節(jié)約束和約束力被約束體約束限制被約束體運(yùn)動(dòng)的周圍物體稱為約束。例一個(gè)運(yùn)動(dòng)受到限制或約束的物體，稱為被約束體。如圖，圓柱形滾子靜止在水平路面上。取滾子為研究對(duì)象，則它是一個(gè)被約束體，而路面就是它的一個(gè)約束。約束力例約束對(duì)被約束體的反作用力稱為約束力。如圖，重物由繩索掛在空中。取重物作為研究對(duì)象，則它是一個(gè)被約束體，而繩索是它的一個(gè)約束。約束力的方向應(yīng)當(dāng)與它所能限制的被約束體的運(yùn)動(dòng)方向相反。這是確定約束力方向的基本原則。約束力方向一，理想的光滑表面約束例車輪與軌道的接觸面、圖1-5中與滾子接觸的路面，都可以認(rèn)為是理想光滑表面約束。約束力的方向沿接觸面公法線指向被約束體，稱為法向約束力。圖1-5圖1-5中路面對(duì)滾子的約束力

就是法向約束力。一，理想的光滑表面約束例圖1-7中的直桿放在槽中，它在A，B，C三處受到槽的約束，這種約束稱為尖端支承約束，此時(shí)可將尖端支承處看作小圓弧與直線相切，其約束力仍是法向約束力。圖1-7二，柔性約束例柔性約束一般由柔軟的繩索、鏈條或皮帶等構(gòu)成。由于這些物體只能承受拉力，故這類約束的約束力只能是拉力。

圖1-6中吊住重物的繩索就是一個(gè)柔性約束，其約束力為拉力。

圖1-6二，柔性約束例

如圖l-8（a）所示的帶傳動(dòng)裝置，其傳送帶的約束力都是拉力，如圖1-8（b）所示。（a）（b）圖1-8三，圓柱鉸鏈（平面鉸鏈）約束

為了將兩個(gè)構(gòu)件A與B連接在一起，可以在A，B上各鉆一個(gè)圓孔，然后用圓柱形銷釘將它們串起來(lái)，如圖1-9所示。圖1-9這種約束稱為圓柱鉸鏈三，圓柱鉸鏈（平面鉸鏈）約束

如圖1-10（a）所示，約束力

應(yīng)通過(guò)接觸點(diǎn)K沿公法線方向（通過(guò)銷釘中心）指向構(gòu)件。圖1-10（a）實(shí)際上預(yù)先很難確定接觸點(diǎn)K的位置，因此約束力

的方向無(wú)法確定。三，圓柱鉸鏈（平面鉸鏈）約束

如圖1-10（b）所示，通常用一對(duì)互相垂直的分力

與

表示約束力

圖1-10（b）根據(jù)平衡條件計(jì)算出

與

的大小，再根據(jù)需要用平行四邊形規(guī)則求得合力

的大小和方向。由于這種鉸鏈限制構(gòu)件在垂直于銷釘?shù)钠矫鎯?nèi)的相對(duì)移動(dòng)，故亦稱為平面鉸鏈。約束在工程中實(shí)例（1）固定鉸支座用以將構(gòu)件和基礎(chǔ)連接，橋梁的一端與橋墩的連接常用這種約束，如圖1-11所示為這種約束的簡(jiǎn)圖。圖1-11圖1-12（2）向心滾動(dòng)軸承軸頸處的向心滾動(dòng)軸承，如圖1-12所示。約束在工程中實(shí)例（3）連接鉸鏈用來(lái)連接兩個(gè)可以相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)但不能移動(dòng)的構(gòu)件，如曲柄連桿機(jī)構(gòu)中的曲柄與連桿、連桿與滑塊的連接，如圖1-13所示。圖1-13通常在兩個(gè)構(gòu)件的連接處用一小圓圈來(lái)表示鉸鏈約束在工程中實(shí)例（4）滾動(dòng)鉸支座一種特殊的平面鉸鏈，通常與固定鉸支座配對(duì)，分別裝在橋梁的兩端。與固定鉸支座不同的是，它不限制被約束的梁端在水平方向的位移。（a）（b）圖1-14這種鉸鏈的約束力只能在滾輪與地面接觸面的公法線方向，如圖1-14（a）所示！圓柱鉸鏈約束不能限制構(gòu)件之間繞銷釘軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)三，空間球鉸鏈

球鉸鏈的構(gòu)造如圖1-15（a）所示，通常是將構(gòu)件的一端做成球形后放入另一構(gòu)件或基礎(chǔ)中的球窩中。圖1-15（a）作用是限制被約束體在空間中的移動(dòng)但不限制其轉(zhuǎn)動(dòng)三，空間球鉸鏈

某些電視機(jī)的天線下端與天線座的連接就是球鉸鏈約束。圖1-15（b）其約束力一般由三個(gè)互相垂直的分為

，

，

表示，如圖1-15（b）所示。例第四節(jié)物體的受力分析與受力圖受力分析物體的受力是指分析所要研究的物體（稱為研究對(duì)象）上受力多少、各力大?。ㄒ阎蛭粗┖头较虻倪^(guò)程。主動(dòng)力約束力如工作載荷、構(gòu)件自重、風(fēng)力等，這類力一般是已知的或可以測(cè)量的。需要進(jìn)行受力分析約束力受力分析進(jìn)行受力分析，就是要具體分析構(gòu)件上所受這些力的大小和方向，而分析結(jié)果通常是表示在所研究物體的簡(jiǎn)圖上。表示物體受力分析結(jié)果的簡(jiǎn)圖稱為受力圖作受力圖的一般步驟如下：（1）取研究對(duì)象并畫出簡(jiǎn)圖。（2）先畫上主動(dòng)力。（3）逐個(gè)分析約束，畫出約束力。！作受力圖的主要工作是對(duì)約束力進(jìn)行分析解例1-1重力為P的圓球放在板AC與墻壁AB之間，如圖1-16（a）所示。設(shè)板AC重力不計(jì)，試作出板與球的受力圖先取球作為研究對(duì)象，作出簡(jiǎn)圖，其受力如圖1-16（b）所示。球上主動(dòng)力P，約束力有

和

，均屬于理想光滑面約束的法向約束力圖1-16（b）圖1-16（a）再取板作為研究對(duì)象。由于板的自重不計(jì)，故板AC只有A，C，

處的約束力，其受力如圖1-16（c）所示。圖1-16（c）其中，A處為固定鉸支座，其約束力可用一對(duì)正交分力

，

表示；C處為柔性約束，其約束力為拉力

；

處的約束力為法向約束力。

圖1-16（d）利用三力平衡匯交定理確定出A處約束力的方向，即先由力

與

的作用線延長(zhǎng)后求得匯交點(diǎn)O，再由點(diǎn)A向O連線，則

的方向必沿著AO方向，如圖1-16（d）所示。圖1-16（d）解例1-2如圖1-17（a）所示，梯子AB和AC在點(diǎn)A處鉸接，又在D，E兩點(diǎn)處用繩連接。梯子放在光滑水平面上，不考慮其自重，在AB上的H處作用一鉛垂力F。試分別畫出整個(gè)系統(tǒng)、DE、AB以及AC的受力圖。圖1-17（a）整體的受力分析如圖1-17（b）所示圖1-17（b）把平衡的整個(gè)結(jié)構(gòu)剛化為剛體在H處受載荷F的作用，在鉸鏈A處受AC部分給它的約束力

，

的作用。在點(diǎn)D處受繩子對(duì)它的拉力

作用，

是

的反作用力。在點(diǎn)B處受光滑地面對(duì)它的法向約束力

的作用。圖1-16（c）梯子AB部分的受力分析如圖1-17（c）所示。繩子DE的受力分析如圖1-17（e）所示。

，

是梯子對(duì)繩子兩端D，E的拉力。圖1-17（e）梯子AC部分的受力分析如圖1-17（d）所示。在鉸鏈A處受AB部分對(duì)它的作用力

，作用。在點(diǎn)E處受繩子對(duì)它的拉力

作用，

是

的反作用力。在C處受光滑地面對(duì)它的法向約束力

作用。圖1-17（d）ThankYou!第2章

平面力學(xué)本章內(nèi)容

1力在軸上的投影與力對(duì)點(diǎn)的矩

2力偶矩

平面力偶系的簡(jiǎn)化

3平面力系的簡(jiǎn)化4平面力系的平衡條件與平衡方程式5平面力系平衡方程式的應(yīng)用舉例6物系的平衡

靜定與超靜定的概念7滑動(dòng)摩擦及其平衡問(wèn)題第二章平面力系力系平面力系空間力系各力作用線共面的力系各力作用線不共面的力系本章將詳細(xì)地討論平面力系的簡(jiǎn)化和平衡問(wèn)題。第一節(jié)力在軸上的投影與力對(duì)點(diǎn)的矩一、力在軸上的投影如圖2-1所示，已知力F與軸x，稱力F與軸x的單位向量i的數(shù)量積為力F在軸x上的投影，記為

。于是有圖2-1從幾何上看，是過(guò)力矢的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別向軸x引垂線所得到的有向線段的長(zhǎng)度。圖2-1力在軸上的投影是一個(gè)代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)可由力F與軸x的正向夾角來(lái)反映。由式（2-1）知：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，通過(guò)幾何上判斷其正負(fù)號(hào)如圖2-1所示。當(dāng)有向線段

與x軸正向一致時(shí)，

為正，反之為負(fù)。力在軸上的投影在兩種情況下等于零：①力等于零；②力與軸垂直，即當(dāng)

時(shí)，

。為了計(jì)算上的方便，經(jīng)常取力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影，如圖2-2所示。此時(shí)有圖2-2反表示力F的大小與方向，即之，若已知力F在一對(duì)直角坐標(biāo)軸上的投影

與

，就可由它們來(lái)F的大小與方向，即式中：

，

——分別表示力F與x軸和y軸的夾角。力在平面直角坐標(biāo)軸上的投影與力沿這兩個(gè)方向的分力的大小在數(shù)值上是相等的根據(jù)合矢量投影規(guī)則，可以得到一個(gè)重要的結(jié)論，即合力投影定理

力系的合力在某軸上的投影等于各分力在該軸上投影的代數(shù)和。設(shè)一平面力系由組成，其合力記為。稱為該力系的主矢。力系的合力

與主矢

是有區(qū)別的證合力

的大小和方向與主矢

是相同的，故，

與

在任一軸上的投影相等。根據(jù)合力投影定理，可得（2-3）故（2-4）式中：

，

——分別表示合力

與x軸和y軸的夾角。二、力對(duì)點(diǎn)的矩例用扳手?jǐn)Q螺母時(shí)，螺母的轉(zhuǎn)動(dòng)效果除與力F的大小和方向有關(guān)外，還與點(diǎn)O到力作用線的距離h有關(guān)。距離h越大，轉(zhuǎn)動(dòng)效果就越明顯，反之亦然，如圖2-3所示。圖2-3可以用力對(duì)點(diǎn)的矩這樣一個(gè)物理量來(lái)描述力使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的效果。力F對(duì)某點(diǎn)O的矩等于力的大小與點(diǎn)O到力的作用線的距離h的乘積，并冠以適當(dāng)?shù)恼?、?fù)號(hào)，記作其中，點(diǎn)O稱為矩心；h稱為力臂；Fh表示力使物體繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)效果的大小；是一個(gè)代數(shù)量。規(guī)定：使物體逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的力矩為正，反之為負(fù)。根據(jù)定義圖2-3所示的力

對(duì)點(diǎn)O的矩為由定義知：力對(duì)點(diǎn)的矩與矩心的位置有關(guān)，同一個(gè)力對(duì)不同點(diǎn)的矩是不同的。因此，對(duì)力矩要指明矩心。在計(jì)算力系的合力對(duì)某點(diǎn)的矩時(shí)，常用到所謂合力矩定理，即平面力系的合力對(duì)某點(diǎn)O之矩等于各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。設(shè)平面力系由

組成，該力系合力為

，則有例如果計(jì)算力F對(duì)點(diǎn)O的矩，如圖2-5所示，由合力矩定理，有圖2-5第二節(jié)力偶矩平面力偶系的簡(jiǎn)化力偶是由一對(duì)等值、反向、不共線的平行力組成的特殊力系。它對(duì)物體的作用效果是使物體轉(zhuǎn)動(dòng)。力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)某點(diǎn)之矩的代數(shù)和，稱為該力偶的力偶矩，記為

，簡(jiǎn)記為M。如圖2-6所示：與組成一個(gè)力偶，兩力之間的距離d，稱為力偶臂。在力偶作用面內(nèi)任選一點(diǎn)O，設(shè)點(diǎn)O到力

的距離為a；按定義，該力偶的力偶距

為圖2-6力偶矩與矩心無(wú)關(guān)，這是力偶矩區(qū)別于力對(duì)點(diǎn)的矩的一個(gè)重要特性。正是由于這一點(diǎn)，寫力偶矩時(shí)不必寫出矩心，只記作

或M即可，有力偶中兩個(gè)力在任意軸上的投影的代數(shù)和都為零，這也是力偶所特有的性質(zhì)力偶不能與單個(gè)力等效，也不能與單個(gè)力相平衡力和力偶是靜力學(xué)中的兩個(gè)基本要素。根據(jù)力偶的特性，可以得到一個(gè)重要的結(jié)論，即同平面內(nèi)力偶的等效定理：同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶等效的唯一條件是其力偶矩相等。該定理等價(jià)于下列事實(shí)：（1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。（2）在力偶矩不變的前提下，可以在作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)力偶。（3）在力偶矩不變的前提下，可以同時(shí)改變力偶中力的大小和力

偶臂的長(zhǎng)短。討論平面力偶系的簡(jiǎn)化問(wèn)題設(shè)平面力偶系由n個(gè)力偶組成，其力偶矩分別為圖2-7平面力偶系的簡(jiǎn)化（1）保持各力偶矩不變，同時(shí)調(diào)整其力與力偶臂，使其有共同的臂長(zhǎng)d。由于

，所以有（2）將各力偶在平面內(nèi)移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，使各對(duì)力的作用線分別共線。（3）求各共線力系的代數(shù)和，每個(gè)共線力系得一合力，而這兩個(gè)合力

等值、反向，相距為d，構(gòu)成一個(gè)合力偶，其力偶矩為即平面力偶系可以用一個(gè)力偶等效代替，其力偶矩為原來(lái)各力偶矩的代數(shù)和。圖2-8第三節(jié)平面力系的簡(jiǎn)化一、力平移的定理作用在剛體上A點(diǎn)處的力F，可以平移到剛體內(nèi)任一點(diǎn)B，但必須同時(shí)附加一個(gè)力偶，其力偶矩等于原來(lái)的力F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。這就是力線平移定理。證設(shè)剛體上A點(diǎn)作用著一個(gè)力F，在剛體內(nèi)任選B點(diǎn)，現(xiàn)在把力F平移到B點(diǎn)。根據(jù)加減平衡力系公理在B點(diǎn)處加上一對(duì)平衡力

，

，使得故點(diǎn)A處的力F就由點(diǎn)B處的力

及附加力偶等效代替了，而且該力偶的力偶矩M等于原來(lái)的F對(duì)新作用點(diǎn)B的矩。意義在理論上，它建立了力與力偶這兩個(gè)基本要素之間的聯(lián)系。在實(shí)踐上，應(yīng)用力線平移定理，可以很方便地簡(jiǎn)化一個(gè)復(fù)雜的力系。例圖2-11（a）圖2-11（b）攻螺紋用的鉸杠絲錐二、平面力系的簡(jiǎn)化

主矢與主矩設(shè)剛體上作用著一個(gè)平面力系

，如圖2-12所示。圖2-12（1）在平面力系內(nèi)任選一點(diǎn)O，稱為簡(jiǎn)化中心。（2）將平面匯交力系中的各個(gè)力作矢量和，得到一個(gè)合力矢，稱為原力系的主矢，記為

。由簡(jiǎn)化過(guò)程知（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力線平移定理知其力偶矩記為

，稱為原力系的主矩，它等于各力偶矩的代數(shù)和，也等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)的矩的代數(shù)和，即綜上所述，平面力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶；力稱為原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；力偶矩稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩，它等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心之矩的代數(shù)和。一個(gè)任意的平面力系，都可以由一個(gè)力和一個(gè)力偶等效替換選定直角坐標(biāo)系xOy，計(jì)算出各力在兩軸上的投影，再根據(jù)合力投影定理得到主矢在兩軸上的投影

，

，最后求得主矢即

，即式中：

，

——分別是

與x軸和y軸的夾角固定端（插入端）約束。它是使被約束體插入約束內(nèi)部，被約束體一端與約束成為一體而完全固定，即不能移動(dòng)也不能轉(zhuǎn)動(dòng)的一種約束形式。例（a）（b）圖2-13固定端約束的約束力是由約束與被約束體緊密接觸而產(chǎn)生的一個(gè)分布力系。如圖所示注意固定端約束與平面鉸鏈約束中的固定鉸鏈?zhǔn)怯斜举|(zhì)區(qū)別的。從約束效果上看，固定端約束既限制被約束體移動(dòng)又限制其轉(zhuǎn)動(dòng)，而平面鉸鏈約束則只限制被約束體移動(dòng)，并不限制其轉(zhuǎn)動(dòng)；從約束力的表示方法上看，固定端約束除與鉸鏈約束一樣，用一對(duì)正交分力表示約束力的主矢之外，還必須加上一個(gè)約束力偶，正是這個(gè)約束力偶起著限制轉(zhuǎn)動(dòng)的作用。三、簡(jiǎn)化結(jié)果的進(jìn)一步討論

合力矩定理的證明對(duì)平面力系向作用面內(nèi)一點(diǎn)簡(jiǎn)化后得到的主矢和主矩做進(jìn)一步分析后，可能出現(xiàn)以下四種情況：（1）（2）（3）（4）分別討論這些情況情況（1）

，說(shuō)明該力系無(wú)主矢，而最終簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出，當(dāng)力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶時(shí)，主矩與簡(jiǎn)化中心的選取無(wú)關(guān)。情況（2）

，說(shuō)明原力系的簡(jiǎn)化結(jié)果是一個(gè)力，而且這個(gè)力的作用線恰好通過(guò)簡(jiǎn)化中心（否則

）。這個(gè)力就是原力系的合力。在這種情況下，記為

，以將它與一般力系的主矢相區(qū)別。情況（3）

，這種情況還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化：由力的平移定理知，

與

可以由一個(gè)

等效代替。這個(gè)力

，但作用線不通過(guò)簡(jiǎn)化中心O，若設(shè)合力作用線到簡(jiǎn)化中心的距離為d，則

。三、簡(jiǎn)化結(jié)果的進(jìn)一步討論

合力矩定理的證明情況（3）證明其中

為合力

的作用點(diǎn)，圖2-15（a）（b）（c）另外，由圖2-15（b）及證明過(guò)程知情況（4）

，表明該力系對(duì)剛體總的作用效果為零。根據(jù)牛頓慣性定律，此時(shí)物體將處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即物體處于平衡狀態(tài)。三、簡(jiǎn)化結(jié)果的進(jìn)一步討論

合力矩定理的證明第四節(jié)平面力系的平衡條件與平衡方程式平面力系平衡的充分和必要條件是力系的主矢及作用面內(nèi)任意一點(diǎn)的主矩同時(shí)為零。證由主矢為零，即得而由主矩為零，有綜合以上兩式，并采用簡(jiǎn)寫記號(hào)：以

，

代表力在軸上的投影，以

表示力對(duì)點(diǎn)O的矩，得（2-18）方程式（2-18）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由兩個(gè)投影式和一個(gè)力矩式組成，即平面力系平衡的充分和必要條件是各力在作用面內(nèi)一對(duì)正交坐標(biāo)軸上的投影代數(shù)和以及各力對(duì)作用面內(nèi)任意點(diǎn)O之矩的代數(shù)和同時(shí)為零。二矩式平衡方程為式中，AB連線不得與x軸相垂直。（2-19）方程式（2-19）也完全表達(dá)了力系的平衡條件：由

知，該力系不能與力偶等效，只能簡(jiǎn)化為一個(gè)作用線過(guò)矩心A的合力，或者為平衡力系；由

知，若該力系有合力，則合力必通過(guò)A，B連線最后，由

知，若有合力，則它必垂直于x軸；而據(jù)限制條件，A，B連線不垂直于x軸，故該力系不可能簡(jiǎn)化為一個(gè)合力，從而所研究的力系必為平衡力系，如圖2-16所示。三矩式平衡方程為其中，A，B，C三點(diǎn)不得共線。圖2-16由

，

知，該力系只可能為作用線過(guò)A，B兩點(diǎn)的合力或是平衡力系；由式

，且C點(diǎn)不在AB連線上知，該力系無(wú)合力，為平衡力系，如圖2-17所示。圖2-17應(yīng)用方程式（2-19）或式（2-20）時(shí)，不得違背其限制條件，否則會(huì)得到不獨(dú)立的方程式，仍然不能求得三個(gè)未知量。例對(duì)于平面匯交力系，即各力作用線共面且匯交于一點(diǎn)的力系，假定各力線匯交于點(diǎn)O，則取O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中心，這時(shí)由于不必進(jìn)行力線的平衡，也就不會(huì)產(chǎn)生附加的平面力偶系，從而只要主矢為零，該力系就平衡。其平衡方程為（2-21）圖2-18例對(duì)于平面平行力系（各力作用線共面且平行的力系），該力系簡(jiǎn)化后其主矢必與各力平行從而方向已知，這時(shí)可取兩個(gè)投影軸分別與該力系平行和垂直，則與該力系垂直的軸上的投影方程總是自然滿足的，故其平衡方程式為（2-22）圖2-19對(duì)于平面力偶系，由于它簡(jiǎn)化后為一個(gè)合力偶，而力偶在任何軸上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前兩式自然滿足。所以，平面力偶系的平衡方程為第五節(jié)平面力系平衡方程式的應(yīng)用舉例

應(yīng)用平衡方程式求解平衡問(wèn)題的方法，稱為解析法解題方法包含以下步驟1．選取研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析所謂研究對(duì)象，是指為了解決問(wèn)題而選擇的分析主體。選取研究對(duì)象的原則是：要使所取物體上既包括已知條件，又包括待求的未知量。選取之后，要對(duì)它進(jìn)行受力分析，畫出其受力圖。2．建立平衡方程式三個(gè)小步驟：（1）選擇平衡方程式的類別（如匯交力系、平行力系、一般力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等）。（2）建立投影軸，列投影方程式。投影軸的選取，原則上是任意的，不一定非取水平或鉛垂方向，應(yīng)根據(jù)具體問(wèn)題，從解題方便入手去考慮。（3）取矩心，列力矩方程。矩心的選取也要從解題方便的角度加以考慮。3．解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一個(gè)靜力學(xué)平衡問(wèn)題經(jīng)過(guò)上述力學(xué)分析之后，往往歸結(jié)于求解一個(gè)線性方程組。從理論上說(shuō)，只要建立的平衡方程組具有完整的定解條件，如獨(dú)立方程數(shù)與未知量數(shù)目相等，那么求解它是不困難的。但是如果所要解的方程組互相聯(lián)立，則計(jì)算往往比較麻煩。例2-1，如圖2-20（a）所示的結(jié)構(gòu)，不計(jì)兩桿自重。桿AB上作用有力偶，已知，，求A點(diǎn)和C點(diǎn)處的約束力。解（1）取BC為研究對(duì)象。BC為二力桿，其受力分析如圖2-20（b）所示。（a）（b）圖2-20（2）取AB為研究對(duì)象。其受力分析如圖2-20（c）所示。列平衡方程：從而可求得所以圖2-20（c）例2-2懸臂梁AB如圖2-21所示。梁上作用均布載荷（包括自重），載荷集度（單位長(zhǎng)度梁上的載荷），梁自由端處受集中力集中力偶矩，梁長(zhǎng)，求固定端A處的約束力。圖2-21解（1）取梁為研究對(duì)象，作受力圖。固定端的約束力用，，三個(gè)分量表示。

（2）列平衡方程。選用基本形式的平衡方程式（2-18），坐標(biāo)系如圖2-21所示。由得其中，第三式中是用合力矩定理求得的均布載荷q對(duì)A點(diǎn)之矩。（3）由上面的方程組解得其中，是顯然的。因?yàn)樵摻Y(jié)構(gòu)所有外力都沒有沿x方向的分量。例2-3求圖2-22所示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A，B處的約束力。圖2-22解（1）取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象。畫受力如圖2-22所示。固定鉸鏈A處約束力用，表示。（2）列平衡方程，有由：由：由：（3）解上述方程組，得，，第六節(jié)物系的平衡

靜定與超靜定的概念

所謂物系，是指由若干個(gè)部件按一定方式組合而成的機(jī)構(gòu)或結(jié)構(gòu)。這里構(gòu)成物系的部件主要是剛體，因此也稱為剛體系統(tǒng)。若物系中的每個(gè)物體和物系整體都處于平衡狀態(tài)，則稱該物系處于平衡狀態(tài)。研究物系平衡問(wèn)題的主要要點(diǎn)包括：（1）求外界對(duì)物系整體的約束力。（2）求物系內(nèi)各物體之間相互作用的內(nèi)力。（3）求機(jī)構(gòu)平衡時(shí)主動(dòng)力與工作阻力之間的關(guān)系物系的平衡問(wèn)題靜定問(wèn)題：即所考察的問(wèn)題中所包含的獨(dú)立的平衡方程數(shù)目與未知量（主要是約束力）總數(shù)相等。超靜定問(wèn)題：即問(wèn)題中包含的獨(dú)立平衡方程數(shù)少于未知量數(shù)。例如圖2-23所示為由兩根和三根繩索吊起一個(gè)重物。圖2-23（a）為靜定問(wèn)題，圖2-23（b）為超靜定問(wèn)題（a）（b）圖2-23例圖2-24（a）表示一個(gè)連續(xù)梁結(jié)構(gòu)有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而結(jié)構(gòu)中包含了五個(gè)未知的約束力，故為二次超靜定結(jié)構(gòu)。該梁若沒有中間兩個(gè)活動(dòng)鉸支座，則為一個(gè)簡(jiǎn)支梁，屬于靜定問(wèn)題，如圖2-24（b）所示。把梁做成超靜定的，主要是為了提高梁的強(qiáng)度與剛度性能，如圖2-24（c）所示。（a）（b）（c）圖2-24例2-4，AC，CD兩段梁在C處由鉸鏈連接。其支承和受力如圖2-25（a）所示。若已知，，不計(jì)梁重，求支座A，B，D處的約束力和鉸鏈C處所受之力。分析可分別取每段梁為研究對(duì)象，先取CD段梁為研究對(duì)象，因?yàn)槠渲邪巳齻€(gè)未知量，，，可以由三個(gè)平衡方程求出它們，然后再取整體或AC段梁，由三個(gè)平衡方程求得余下的三個(gè)未知量。圖2-25（a）解，（1）取CD段梁作研究對(duì)象，受力分析如圖2-25（b）其中含，，，三個(gè)未知量。列方程，，，解得圖2-25（b）（2）再取AC段梁為研究對(duì)象，

受力分析如圖2-25（c）所示。在數(shù)值上有，。由二矩式，，，解得，，圖2-25（c）例2-5如圖2-26（a）所示結(jié)構(gòu)，已知物體重，求A和B處的約束力以及桿BC所受的力。圖2-26（a）解（1）研究整體，其受力分析如圖2-26（b）所示。列出平衡方程并求解：，，，，，，（2）以CE桿（帶滑輪）為研究對(duì)象，其受力分析如圖2-26（c）所示。圖2-26（c）列出平衡方程并求解：，例2-6如圖2-27（a）所示，AB桿和BC桿在B點(diǎn)處鉸接，C處為活動(dòng)鉸支座。已知，，均布載荷，求A，C處的約束力。解（1）受力分析：圖2-27（b）分別為AB桿、BC桿及整體的受力圖。（a）（b）圖2-27（2）以BC為研究對(duì)象：，，（3）以整體為研究對(duì)象：，，，，，例2-7如圖2-28（a）所示的曲軸沖床機(jī)構(gòu)由圓盤O、連桿AB和沖頭B組成。A，B兩處為鉸鏈連接。，。若不計(jì)各零件自重及摩擦，當(dāng)OA在水平位置，沖壓力為F時(shí)，求主動(dòng)力偶矩M。

解由幾何法，作三角形，如圖2-28（c）所示。，為壓力。再取圓盤O為研究對(duì)象，受力分析如圖2-28（d）所示。（b）（c）（d）圖2-28（a）由得例2-8平面桁架受力分析如圖2-29（a）所示。已知，試求其中4，5，7，10各桿內(nèi)力。圖2-29（a）分析桁架是由直桿鉸接而成的結(jié)構(gòu)。圖示桁架中所有桿件都在一個(gè)平面內(nèi)，故稱為平面桁架。桁架中桿件的鉸鏈接頭處稱為節(jié)點(diǎn)。解法一

所謂節(jié)點(diǎn)法是指每次取一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為研究對(duì)象求A，B處的約束力，取整體為研究對(duì)象。由得可解出

，，取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象受力分析如圖2-29（b）所示。圖2-29（b），，解得再取節(jié)點(diǎn)D為研究對(duì)象，受力分析如圖2-29（c）所示。與上面類似地求得，又取節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，受力圖如圖2-29（d）所示，可求得，最后取節(jié)點(diǎn)E為研究對(duì)象，受力圖如圖2-29（e）所示，可求得，（c）（d）（e）圖2-29解法二

所謂截面法假想地用一個(gè)截面將桁架中若干根桿截開，將桁架截成兩個(gè)部分，取其中一部分為研究對(duì)象，求得截面處各桿的內(nèi)力。受力分析如圖2-29（f）所示，由得由得圖2-29（f）受力分析如圖2-29（g）所示由得關(guān)于，可由求出，圖2-29（g）第七節(jié)滑動(dòng)摩擦及其平衡問(wèn)題

兩個(gè)相互接觸的物體，當(dāng)它們具有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)或已經(jīng)滑動(dòng)時(shí)，接觸表面上將產(chǎn)生阻礙滑動(dòng)的力。當(dāng)物體之間只有滑動(dòng)趨勢(shì)而尚未滑動(dòng)時(shí)，這種力稱為靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力。而當(dāng)物體之間已經(jīng)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，則稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦力。靜摩擦力的性質(zhì)靜摩擦力可以看作是接觸面對(duì)具有滑動(dòng)趨勢(shì)的物體的切向約束力。圖2-30靜摩擦力的取值范圍是最大靜摩擦力的取值滿足如下定律：最大靜摩擦力發(fā)生于物體的臨界平衡狀態(tài)，其大小與兩物體間的法向約束力成正比，其方向與物體的滑動(dòng)趨勢(shì)相反。上述定律為靜摩擦定律，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中f稱為靜摩擦因數(shù)，它是反映摩擦表面物理性質(zhì)的一個(gè)比例常數(shù)。動(dòng)摩擦力的性質(zhì)當(dāng)物體已經(jīng)滑動(dòng)時(shí)，接觸面上作用著阻礙相對(duì)滑動(dòng)的動(dòng)摩擦力，它與靜摩擦力有相似的性質(zhì)，在數(shù)值上也與接觸面的法向約束力成正比，即式中，是動(dòng)摩擦因數(shù)摩擦角接觸表面對(duì)物體的法向約束力和切向約束力（即摩擦力）可以合成為一個(gè)合力,稱為全約束力。如圖2-31所示圖2-31全約束力與接觸面法線的夾角為，其正切值。當(dāng)靜摩擦力由零增大到最大值時(shí)，也由零增大到最大值，且有稱為摩擦角，它是全約束力與接觸面法線夾角的最大值。當(dāng)物體處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，全約束力與法線方向的夾角即為摩擦角。如圖2-32所示為一可調(diào)角度的平板，上面放置重為P的物體。若分別用待測(cè)靜摩擦因數(shù)的兩種材料制成平板和重物，并逐漸調(diào)整斜面傾角使物塊進(jìn)入臨界平衡狀態(tài)，則這時(shí)的斜面傾角就是摩擦角。于是有圖2-32二、滑動(dòng)摩擦平衡問(wèn)題舉例摩擦平衡問(wèn)題分為下列三種類型:（1）物體的平衡尚未達(dá)到臨界平衡狀態(tài)

此時(shí)靜摩擦力也未達(dá)到最大值。（2）物體處于臨界平衡狀態(tài)

此時(shí)有最大靜摩擦力,其方向要根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)確定。（3）平衡范圍問(wèn)題

需根據(jù)摩擦力的取值范圍來(lái)確定某些主動(dòng)力或約束力的取值范圍。例2-9如圖2-33（a）所示，物塊A重,放在懸臂梁DB的粗糙平面下，兩邊分別用繩及彈簧拉住，繩繞過(guò)滑輪B吊一重為的物塊C，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。已知,，

，物塊A與梁間摩擦因數(shù)。問(wèn)（1）欲保持物塊A平衡，彈簧拉力應(yīng)為多大？（2）當(dāng)彈簧拉力時(shí)，物塊A與梁之間的摩擦力為多大？圖2-33（a）解（1）這是平衡范圍問(wèn)題。①設(shè)彈簧拉力的最小值為，此時(shí)物塊A處于臨界平衡狀態(tài)，且有向右運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。故摩擦力，且方向向左，如圖2-33（b）所示。

由，，解得圖2-33（b）②設(shè)彈簧拉力取最大值，此時(shí)物體A也處于臨界平衡狀態(tài)但具有向左運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)。故摩擦力方向如圖2-33（c）所示。由，，解得綜合①與②知：當(dāng)時(shí)，物塊A可以處于平衡狀態(tài)。圖2-33（c）（2）依題意取物塊A為研究對(duì)象，受力分析如圖2-33（d）所示，此時(shí)方向可假設(shè)向右。，其中，負(fù)號(hào)表示此時(shí)摩擦力實(shí)際方向與假設(shè)相反。圖2-33（d）例2-10凸輪推桿機(jī)構(gòu)如圖2-34（a）所示。已知推桿與滑道間的靜摩擦因數(shù)為f，滑道寬度為b，推桿直徑為d。問(wèn)：為保證推桿不會(huì)被卡住，a應(yīng)取多大？設(shè)凸輪與推桿間的摩擦不計(jì)。圖2-34解法一取推桿剛能被卡住時(shí)的平衡狀態(tài)，即臨界平衡狀態(tài)來(lái)研究，可以求得a的最大值，即。取推桿為研究對(duì)象，作受力圖，如圖2-34（b）所示。A，B處的摩擦力均向下，且為最大靜摩擦力。圖2-34（b）列方程，，，，聯(lián)立上述方程，解得即只要，推桿就不會(huì)被卡住。解法二

全約束力與接觸面的法線夾角為摩擦角。受力分析如圖2-34（c）所示。圖2-34（c）由幾何關(guān)系，設(shè)，交于點(diǎn)C,則有因，故有例2-11制動(dòng)器的構(gòu)造和主要尺寸如圖2-35（a）所示。若制動(dòng)塊與鼓輪表面間摩擦因數(shù)為f，求制動(dòng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)的最小力F。圖2-35（a）解所謂最小力F，應(yīng)使鼓輪剛能停住，故為臨界平衡狀態(tài)問(wèn)題。此時(shí)摩擦力。先取鼓輪：受力分析如圖2-35（b）所示。由，得圖2-35（b），其中，再取桿，如圖2-35（c）所示。圖2-35（c），于是即欲使鼓輪停住，至少應(yīng)加力。ThankYou!第3章

空間力系本章內(nèi)容1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影

2力對(duì)軸的矩與力對(duì)點(diǎn)的矩

3空間力系的平衡方程式及其應(yīng)用

4平行力系的中心與重心當(dāng)物體所受的力，其作用線不在同一平面而呈空間分布時(shí)，稱為空間力系。在工程實(shí)際中，有許多問(wèn)題都屬于這種情況。如圖3-1所示，車床主軸受切削力、、和齒輪上的圓周力、徑向力以及軸承A、B處的約束力，這些力構(gòu)成一組空間力系。如圖3-1第一節(jié)力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影一、直接投影法若一力的作用線與x，y，z軸對(duì)應(yīng)的夾角已經(jīng)給定，如圖3-2（a）所示，則可直接將力向三個(gè)坐標(biāo)軸投影，得圖3-2式中：，，——分別為力

與x，y，z三坐標(biāo)軸間的夾角。二、二次投影法當(dāng)力與坐標(biāo)軸x，y間的夾角不易確定時(shí)，可先將力投影到Oxy坐標(biāo)平面上，得一力向x，y軸上投影，如圖3-2（b）所示。若

為力與z軸間的夾角，

為

與x軸間的夾角，則力

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為圖3-2（b）如果力

的大小、方向是已知的，則它在選定的坐標(biāo)系的三個(gè)軸上的投影是確定的；反過(guò)來(lái)，如果已知力

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影

，

，

的值，則力

的大小與方向也就被唯一地確定了，它的大小為其方向余弦為一、力對(duì)軸的矩第二節(jié)力對(duì)軸的矩與力對(duì)點(diǎn)的矩一力使物體繞某一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其效應(yīng)通常以此力對(duì)該軸的矩來(lái)度量，稱為力對(duì)軸的矩。圖3-3歸納：當(dāng)力作用線與旋轉(zhuǎn)軸共面時(shí)，不可能使物體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)。如果力

垂直于門且不通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)軸，就能使門轉(zhuǎn)動(dòng)；而且這個(gè)力越大，或其作用線與轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離越遠(yuǎn)，這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就越顯著。圖3-3因此，可以用力

的大小與上述距離的乘積來(lái)度量力

對(duì)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，再用不同的正、負(fù)號(hào)來(lái)區(qū)別不同的轉(zhuǎn)動(dòng)方向，此即力對(duì)軸的矩的概念。如圖3-4所示，將力

分解為兩個(gè)分力

和

，力

平行于z軸，力

位于通過(guò)力

的作用點(diǎn)A且與z軸垂直的平面E內(nèi)。圖3-4力

對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)完全由分力

決定因此，力對(duì)軸之矩為力在垂直于該軸的平面上的分力對(duì)于該軸與平面交點(diǎn)之矩。力

對(duì)z軸的矩，定義為式中，O點(diǎn)為平面E與z軸的交點(diǎn)；d為O點(diǎn)到力

作用線的距離。力對(duì)軸的矩是一個(gè)代數(shù)量，其單位是N·m。從力對(duì)軸的矩的定義可知：（1）當(dāng)力與軸平行時(shí)（

）或力作用線與軸相交時(shí)（

），

力對(duì)軸的矩均為零。（2）當(dāng)力沿其作用線移動(dòng)時(shí)，力對(duì)軸的矩不變。這是因?yàn)榇藭r(shí)

及

均未改變。合力矩定理

空間力系的合力對(duì)某一軸的矩，等于各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。設(shè)有空間一般力系（）

，其合力為，則合力矩定理為設(shè)有一力，其作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為

，如圖3-5所示。為求力

對(duì)z軸的矩，可將力

向x，y，z三個(gè)坐標(biāo)軸上投影，分別記為

，

，

，而

為力

在

坐標(biāo)面內(nèi)的分力。根據(jù)力對(duì)軸之矩的定義，對(duì)于z軸的矩等于

對(duì)于O點(diǎn)的矩，即根據(jù)平面力系的知識(shí)及合力矩定理，有于是如圖3-5同理，可計(jì)算力對(duì)x軸及對(duì)y軸的矩。因此，力

對(duì)x，y，z軸的矩分別為（3-6）式（3-6）即為力對(duì)軸之矩的解析表達(dá)式。注意式中力

的投影

，

，

和力

的作用點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z都是代數(shù)量。例3-1托架固連在軸上，載荷

，方向如圖3-6（a）所示，求力

對(duì)直角坐標(biāo)系

各軸之矩。圖中長(zhǎng)度單位是cm。3-6（a）由圖3-6（b）可得解

（1）求方向余弦圖3-6（b）（2）計(jì)算力在各坐標(biāo)軸上的投影（3）計(jì)算力在各坐標(biāo)軸的矩力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)是，，因此，利用式（3-6）求得力對(duì)各坐標(biāo)軸的矩為二、力對(duì)點(diǎn)的矩矢研究力使剛體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，需要引入力對(duì)點(diǎn)的矩矢的概念，它取決于力與矩心所構(gòu)成平面的方位、力矩在該平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向、力矩的大小這三個(gè)因素。因此，對(duì)于空間力系，力對(duì)點(diǎn)的矩可用一矢量來(lái)表示，稱為力矩矢。設(shè)有一力（用矢量

表示）及矩心O，如圖3-7所示，點(diǎn)O到力

作用線的距離為d。用

來(lái)表示力

對(duì)O點(diǎn)的矩，其大小為圖3-7力矩與矩心位置有關(guān)，應(yīng)以矩心作為起始點(diǎn)。所以力矩矢是定位矢。如果以表示矩心O到力

作用點(diǎn)A的矢徑，由矢量代數(shù)得知，矢量積

也是一個(gè)矢量，其大小等于

面積的兩倍，其方向垂直于

與

所決定的平面，其指向符合右手螺旋法則，因此（3-7）即力對(duì)點(diǎn)的矩矢等于矩心到該力作用點(diǎn)的矢徑與該力的矢量積。若以矩心O為原點(diǎn)，作空間直角坐標(biāo)系，如圖3-8所示，則與分別表示為圖3-8代入式（3-7），可得（3-8）式中：，，，

——A點(diǎn)坐標(biāo)；，，—分別為力

在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影。三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過(guò)該點(diǎn)的軸的矩之間的關(guān)系由式（3-8）可知，力矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為（3-9）將式（3-9）與式（3-6）比較，可得（3-10）由此可得出結(jié)論：力對(duì)某一點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于此力對(duì)該軸的矩。第三節(jié)

空間力系的平衡方程式及其應(yīng)用一、空間一般力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化設(shè)有空間任意力系，分別作用在剛體的

各點(diǎn)上，如圖3-9所示。在剛體上取任意一點(diǎn)O為簡(jiǎn)化中心，將各力向O點(diǎn)平移，可得到一個(gè)在O點(diǎn)的空間匯交力系和一個(gè)空間附加力偶系。與平面力系類似，該匯交力系可合成為一個(gè)作用于O點(diǎn)的力，等于各力的矢量和。即（3-11）圖3-9附加力偶系可合成為一個(gè)空間力偶，其力偶矩，等于各附加力偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力對(duì)于簡(jiǎn)化中心O的矩的矢量和。稱為原力系的主矢，稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩矢。如圖3-10所示圖3-10結(jié)論：空間任意力系向一點(diǎn)（簡(jiǎn)化中心）簡(jiǎn)化的結(jié)果一般可得一個(gè)力和一個(gè)力偶，該力作用于簡(jiǎn)化中心，等于原力系中各力的矢量和，稱為原力系的主矢；該力偶的矩等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中心的矩的矢量和，稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩矢。若用解析法來(lái)計(jì)算力系的主矢和主矩矢，可在簡(jiǎn)化中心O點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，由式（3-11）可得主矢在各坐標(biāo)軸上的投影為（3-13）且（3-14）將式（3-12）向各坐標(biāo)軸投影，并注意到力對(duì)點(diǎn)之矩與力對(duì)軸之矩間的關(guān)系，則得（3-15）且（3-16）二、空間任意力系的平衡方程及應(yīng)用從力系的簡(jiǎn)化結(jié)果來(lái)分析力系的平衡條件?？臻g任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果得到一個(gè)力和一個(gè)力偶，因此，空間任意力系處于平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和力系對(duì)于任意點(diǎn)的主矩矢都等于零。即根據(jù)式（3-14）和式（3-16），上述條件可寫成（3-17）空間任意力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在任一直角坐標(biāo)系中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及各力對(duì)每一軸的矩的代數(shù)和也等于零?？臻g任意力系是物體受力的最一般情況，其他類型的力系都可以認(rèn)為是空間任意力系的特殊情形，因而它們的平衡方程也可由方程式（3-17）導(dǎo)出，具體如下。（1）空間匯交力系取力系的匯交點(diǎn)作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則力系中各力都通過(guò)該點(diǎn)，即與各坐標(biāo)軸相交。因此各力對(duì)坐標(biāo)軸的矩均為零，即式（3-17）中，

，，。于是，空間匯交力系的平衡方程只有三個(gè)，即（3-18）（2）空間平行力系若取z軸平行于力系中各力的作用線，則坐標(biāo)面與各力作用線垂直。因此，式（3-17）中，，，。于是，空間平行力系的平衡方程只有三個(gè)，即（3-19）（3）平面任意力系取力系的作用面為坐標(biāo)面，則力系中各力在z軸上投影均為零，各力對(duì)x，y軸的矩也為零。因此，，，于是，平面任意力系的平衡方程只有三個(gè)，即（3-20）式（3-20）與前面得出的平面任意力系的平衡方程是相同的。例3-2半圓板的半徑為r，重力為如圖3-11所示，板的重心C離圓心為

，在A，B，D三點(diǎn)用三根鉸鏈桿懸掛于固定處，使板處于水平位置。求此三根桿的內(nèi)力。圖3-11解取半圓板為研究對(duì)象。由題意，吊桿1，2，3均為二力桿，設(shè)它們均受拉力，分別記為，，，則板受

，，，四個(gè)平行力的作用，這是一個(gè)空間平行力系的問(wèn)題。如圖3-11所示。根據(jù)式（3-19），有圖3-11取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，（a），（b），（c）由式（a）解得代入式（b），解得將解得的，代入式（c），得例3-3三根無(wú)重桿AB，AC，AD鉸接于點(diǎn)A，其下懸掛一物體，重力為如圖3-12所示，AB與AC等長(zhǎng)且互相垂直，

，B，C，D處均為鉸接。求各桿所受的力。圖3-12解取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象。由于各桿自重不計(jì)，則所受的力都沿桿的軸線方向，設(shè)均為拉力，則A點(diǎn)受三桿的拉力，，和繩子的拉力

，這是一個(gè)空間匯交力系的平衡問(wèn)題。取坐標(biāo)系如圖3-12所示，利用方程式（3-9），可得圖3-12由式（c）解得（注意

），（a），（b），（c）將此結(jié)果代入式（a）和式（b），可解得式中，負(fù)號(hào)表明，的實(shí)際方向與假設(shè)相反，即兩桿均受壓力。例3-4和圓盤與水平軸固連，盤垂直于z軸，盤垂直于x軸，盤面上分別作用力偶，，如圖3-13所示。已知兩半徑為，，，，不計(jì)構(gòu)件自重，試計(jì)算軸承和的約束力。解（1）取整體為研究對(duì)象，受力分析，A，B處x方向和y方向的約束力分別組成力偶，畫受力圖。（2）列平衡方程：A，B處的約束力：：：，，例3-5某車床主軸裝在軸承A與B上，如圖3-14所示，其中A為向心推力軸承（即不允許軸沿任何方向移動(dòng)），B為向心軸承（即能允許沿軸向有不大的移動(dòng)，故無(wú)軸向約束力）。圓柱直齒齒輪C的節(jié)圓半徑

，其下與另一齒輪嚙合，壓力角

。在軸的右端固定一半徑為

的圓柱體工件。已知

，

，

。車外圓時(shí)車刀給工件的力作用在點(diǎn)H，其中切向切削力

，軸向切削力

，徑向切削力

。試求齒輪所受的力F和兩軸承的約束力。圖3-14解取主軸連同齒輪C和工件一起作為研究對(duì)象。以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x軸在水平面內(nèi)，y軸與主軸軸線重合，z軸沿鉛垂線。這是一個(gè)空間任意力系的平衡問(wèn)題，未知力有六個(gè)：，，

，，，，可利用空間任意力系的六個(gè)平衡方程求解。，（a），（b），（c），（d），（e），（f）由式（a）可解得再由式（b），得將其代入式（c），得將求得的和

值代入式（d），解得將

值代入式（e），得再將

和

值代入式（f），解得一個(gè)平衡的空間任意力系，在三個(gè)坐標(biāo)平面，，上的投影所組成的三個(gè)平面任意力系也不一定是平衡力系。因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)，有平衡條件，，。在平面內(nèi)，有平衡條件，，。在平面內(nèi)，有平衡條件，，。例如，在例3-5中，可采用上述方式，將軸上各力分別向所選定的三個(gè)坐標(biāo)平面投影，得到如圖3-15所示的三個(gè)平面力系的受力圖。其中，齒輪C的嚙合力在切向和徑向上的投影分別為和。且，在這三個(gè)平面力系中，分別根據(jù)各自的平衡方程，可得與例3-5中同樣的結(jié)果。圖3-15（a）在圖3-15（a）中，由平衡方程可知，，，上述三個(gè)方程與例3-5中由，，得出的方程是一樣的。在圖3-15（c）中，有這與上例中根據(jù)，得出的結(jié)果相同。圖3-15，，同理，在圖3-15（b）中，有即為上例得出的相同的平衡方程。，圖3-15（b）應(yīng)當(dāng)特別指出的是，在畫投影圖時(shí)，必須特別注意力在三個(gè)視圖之間的關(guān)系，不要把力的方向畫錯(cuò)。對(duì)空間任意力系而言，只有六個(gè)平衡方程，可用來(lái)求解六個(gè)未知量。轉(zhuǎn)化為三個(gè)平面任意力系后，如前所述，總共可列出九個(gè)平衡方程，然而，不難看出，獨(dú)立的方程數(shù)仍然只有六個(gè)，因而仍然只能求解六個(gè)未知量。第四節(jié)平行力系的中心與重心一、平行力系的中心平行力系的中心，即為平行力系合力的作用點(diǎn)。例如，兩同向平行力和分別作用在A，B兩點(diǎn)，如圖3-16所示。利用平面一般力系簡(jiǎn)化的理論，可求得它們的合力

，其大小為

，其作用線內(nèi)分AB連線于C點(diǎn)，且有圖3-16顯然，C點(diǎn)與兩力

，

在空間的方位無(wú)關(guān)。若，按同方向轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度

，則合力

亦轉(zhuǎn)過(guò)同一角度

，且仍通過(guò)C點(diǎn)，如圖3-16所示。圖3-16上述結(jié)論可推廣到由任意多個(gè)力組成的平行力系。這樣，便可將力系中各力逐個(gè)地順次合成，最終求得力系的合力

，

的作用點(diǎn)即為該平行力系的中心，且此點(diǎn)的位置只與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無(wú)關(guān)?，F(xiàn)利用解析法確定平行力系中心的位置。取一直角坐標(biāo)系

，設(shè)有一空間平行力系

平行于z軸，各力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為

，而平行力系中心C點(diǎn)的坐標(biāo)為

，如圖3-17所示。根據(jù)合力矩定理，有，或，或再利用平行力系中心的性質(zhì)，將各力按相同轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)到與

軸平行，同理，有于是，得平行力系中心C點(diǎn)的坐標(biāo)公式為二、重心物體的重心是平行力系中心的特例。放置在地球表面附近的物體，每一部分都受到地心的重力作用，由于地球半徑比物體的尺寸大得多，因此，物體各部分所受的重力組成了一平行力系，此力系的合力即為物體整體所受的重力，重力的作用點(diǎn)稱為物體的重心。顯然，無(wú)論物體如何放置，其重心總是確定的點(diǎn)。重心的位置可由平行力系中心的坐標(biāo)公式來(lái)確定。設(shè)物體各微小部分的重力為，則物體整體的重力為

，其大小為

，物體重心

的坐標(biāo)公式為（3-22）對(duì)于均質(zhì)物體，設(shè)其密度為

，則

，，其中

，

分別為物體微小部分及整體的體積。于是，式（3-22）可寫成(3-23)此即為物體形心的坐標(biāo)公式式（3-23）也可寫成積分的形式，即(3-24)對(duì)于均質(zhì)等厚的薄殼（板），設(shè)其表面積為A，由于厚度極小，則式（3-23）可寫成或?qū)τ诰|(zhì)線段，設(shè)其長(zhǎng)度為L(zhǎng)，類似地可得其重心坐標(biāo)公式為或求物體重心時(shí)，需注意：（1）利用物體的對(duì)稱性求重心（2）組合體的重心求法例3-6不等邊角鋼的截面近似地簡(jiǎn)化如圖3-18所示，試求其形心，已知，，。3-18解將該圖形分成1及2兩個(gè)矩形。取坐標(biāo)系如圖3-18所示，于是，，則形心坐標(biāo)為例3-7半徑為的圓面有一圓孔，孔的半徑為，如圖3-19所示，兩圓中心的距離為，求圓形的重心位置。3-19解將圓形看作由兩部分組成：半徑為的大圓面和半徑為的小圓面。后者是切去部分，故其面積為負(fù)值。取大圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)令軸通過(guò)兩圓的中心，利用對(duì)稱性，應(yīng)有，則即圖形的重心C應(yīng)在點(diǎn)O的左邊。ThankYou!第4章

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)本章內(nèi)容

1運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念

2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

3速度與加速度的矢徑表示法

4速度與加速度的直角坐標(biāo)表示法

5自然軸系

6速度與加速度的自然表示法第一節(jié)

運(yùn)動(dòng)學(xué)的基本概念靜力學(xué)中所研究的對(duì)象，都是由于受到平衡力系的作用而處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，即平衡狀態(tài)。在描述某一物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，總是選定合適的物體作為參考體。將坐標(biāo)系固結(jié)于參考體上就構(gòu)成參考坐標(biāo)系，稱為參考系。在運(yùn)動(dòng)學(xué)里，總是選取地球作為參考系，為了方便，將這個(gè)坐標(biāo)系稱為靜坐標(biāo)系。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究點(diǎn)在空間中的位置隨時(shí)間變化的規(guī)律。它包括點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。運(yùn)動(dòng)學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)幾何規(guī)律的學(xué)科。第二節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路線，稱為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如為直線，則稱為直線運(yùn)動(dòng)；如為曲線，則稱為曲線運(yùn)動(dòng)。若動(dòng)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，可取此直線為軸，如圖4-1所示。在直線上任選一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選某一方向?yàn)檎?，則動(dòng)點(diǎn)的位置可由它的坐標(biāo)確定。4-1當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的坐標(biāo)隨時(shí)間變化，在一般情況下，坐標(biāo)是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，即（4-1)式（4-1）稱為動(dòng)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)相對(duì)于點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程。(1)自然法一般地，動(dòng)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的幾何位置隨時(shí)間變化的規(guī)律，同樣可用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示，稱為點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。動(dòng)點(diǎn)對(duì)于不同的參考系，可寫出不同形式的運(yùn)動(dòng)方程。（2）直角坐標(biāo)法（3）矢徑法（4）柱坐標(biāo)法式（4-2）稱為動(dòng)點(diǎn)沿已知軌跡的運(yùn)動(dòng)方程。顯然，當(dāng)函數(shù)已知時(shí)，動(dòng)點(diǎn)任一瞬時(shí)在軌跡曲線上的位置可完全確定。設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線是已知的，可參照點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的表示方法，以點(diǎn)的軌跡曲線本身作為參考系來(lái)決定點(diǎn)的位置，如圖4-2所示。

自然法4-2在軌跡曲線上選定一點(diǎn)作為原點(diǎn)，并規(guī)定在原點(diǎn)某一邊的弧長(zhǎng)為正，在另一邊的弧長(zhǎng)為負(fù)。點(diǎn)在曲線上的位置由弧長(zhǎng)來(lái)確定。為代數(shù)量，稱為動(dòng)點(diǎn)的弧坐標(biāo)或自然坐標(biāo)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿軌跡曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧坐標(biāo)將隨時(shí)間而變，并可表示為時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)：（4-2）

直角坐標(biāo)系法當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任一瞬時(shí)的位置可用直角坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)來(lái)確定，如圖4-3所示。三個(gè)位置坐標(biāo)都是時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)，通常表示為（4-3）圖4-3式（4-3）就是動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程。若函數(shù)都已知，則動(dòng)點(diǎn)在任一瞬時(shí)的位置即可完全確定。由上述方程消去時(shí)間，即可得到之間的關(guān)系式，這就是動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)始終在同一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如取這個(gè)平面為坐標(biāo)平面，則運(yùn)動(dòng)方程（4-3）就簡(jiǎn)化為（4-4）消去之后，即是軌跡方程矢徑法如圖4-4所示，設(shè)動(dòng)點(diǎn)沿任一空間曲線運(yùn)動(dòng)，選空間任意一點(diǎn)作為原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的位置可由如下的矢徑來(lái)表示：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑的大小及方向均隨時(shí)間而改變，因而可表示為時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)這就是動(dòng)點(diǎn)的矢徑運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，矢徑端點(diǎn)所描繪的曲線就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。圖4-4柱坐標(biāo)法由高等數(shù)學(xué)知識(shí)可知，動(dòng)點(diǎn)在空間的位置可由點(diǎn)的柱坐標(biāo)唯一確定。如圖4-5所示，參數(shù)為動(dòng)點(diǎn)的柱坐標(biāo)。當(dāng)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，其柱坐標(biāo)隨點(diǎn)的位置不同而變，即為時(shí)間的單值連續(xù)函數(shù)：圖4-5（4-6）式（4-6）即為用柱坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。當(dāng)點(diǎn)做平面曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位置用坐標(biāo)和便可唯一確定。因此，可用極坐標(biāo)系代替柱坐標(biāo)系來(lái)描述動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。如圖4-6所示。此時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)化為圖4-6從上式中消去參數(shù)，即可得到用極坐標(biāo)表示的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。例4-1直桿兩端分別沿兩互相垂直的固定直線與運(yùn)動(dòng)，如圖4-7所示。試確定桿上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和軌跡方程，已知，，。圖4-7解選取直角坐標(biāo)系，則動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為這就是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。從運(yùn)動(dòng)方程中消去時(shí)間，則得點(diǎn)的軌跡方程這是以，為半軸的橢圓方程。例4-2如圖4-8所示，刨床的曲柄滑道搖桿機(jī)構(gòu)由曲柄，搖桿

及滑塊

組成。當(dāng)曲柄繞

軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，搖桿可繞

軸擺動(dòng)，搖桿及滑塊

與扶架相連，搖桿擺動(dòng)時(shí)可帶動(dòng)扶架做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。已知

，

，，且

。當(dāng)曲柄以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)（即

），求扶架的運(yùn)動(dòng)方程。圖4-8解取坐標(biāo)系

如圖4-8所示，令

點(diǎn)表示扶架的運(yùn)動(dòng)，由

可知

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為了求出與時(shí)間的關(guān)系，應(yīng)找出與轉(zhuǎn)角的關(guān)系，由及得知：即將的值代入前式，即得扶架的運(yùn)動(dòng)方程一、點(diǎn)的速度第三節(jié)速度與加速度的矢徑表示法圖4-9設(shè)動(dòng)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，從瞬間到瞬間，動(dòng)點(diǎn)由位置移動(dòng)到，其矢徑分別為和，如圖4-9所示。在時(shí)間間隔內(nèi)，矢徑的改變量為圖4-9則稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)的位移。描述點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均快慢程度，稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度矢量，以表示，即因?yàn)闀r(shí)間是標(biāo)量，故知的方向與的方向相同。越小，與的差別就越小，平均速度就越趨近于動(dòng)點(diǎn)的真實(shí)速度。因此當(dāng)趨近于零時(shí)，即得動(dòng)點(diǎn)的瞬時(shí)速度，即表示，即所以，動(dòng)點(diǎn)的速度等于動(dòng)點(diǎn)的矢徑對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)用在函數(shù)上方加表示。速度描述點(diǎn)在瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢與方向。點(diǎn)的速度是矢量，它的方向就是或在極限情況下的方向，也就是軌跡曲線上點(diǎn)的切線方向。一般地說(shuō)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向指的是速度的方向。速度的單位是m/s。二、點(diǎn)的加速度在一般情況下，動(dòng)點(diǎn)的速度的大小和方向都可能隨時(shí)間變化。為了表明點(diǎn)的速度的變化情況，用加速度來(lái)表示每一瞬時(shí)點(diǎn)的速度對(duì)于時(shí)間的變化率。加速度既包括速度大小的變化，也包括速度方向的變化。設(shè)動(dòng)點(diǎn)在瞬時(shí)的速度是，在瞬時(shí)的速度是，如圖4-10所示，則速度的變化是，故動(dòng)點(diǎn)的平均加速度為圖4-10當(dāng)趨近于零時(shí)，即得動(dòng)點(diǎn)在瞬時(shí)的加速度為動(dòng)點(diǎn)的加速度等于動(dòng)點(diǎn)的速度對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或等于動(dòng)點(diǎn)的矢徑對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。如由任一定點(diǎn)作相當(dāng)于各瞬時(shí)，，，的速度矢量，，，，連接速度矢量端點(diǎn)的曲線稱為速度矢端曲線。由瞬時(shí)加速度的概念，可知瞬時(shí)加速度的方向是沿著動(dòng)點(diǎn)速度矢端曲線的切線方向，如圖4-11所示。加速度的單位是。圖4-11第四節(jié)速度與加速度的直角坐標(biāo)表示法一、點(diǎn)的速度的直角坐標(biāo)表示法動(dòng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程為由圖4-3知，矢徑可寫成式中：，，——沿直角坐標(biāo)軸正向的單位矢量。圖4-3第三節(jié)已經(jīng)證明，動(dòng)點(diǎn)的速度等于動(dòng)點(diǎn)的矢徑對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，因此動(dòng)點(diǎn)的速度可寫為但速度矢量也可表示為式中：，，——在坐標(biāo)軸，，上的投影。由此我們得到，用直角坐標(biāo)表示的速度為這就表明：動(dòng)點(diǎn)的速度在各坐標(biāo)軸上的投影，分別等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。速度的大小及方向余弦為二、點(diǎn)的加速度的直角坐標(biāo)表示法加速度是速度對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以加速度在坐標(biāo)軸上的投影，，應(yīng)分別等于速度在坐標(biāo)軸上的投影對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即這就表明：動(dòng)點(diǎn)的加速度在各坐標(biāo)軸上的投影，分別等于動(dòng)點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。加速度的大小及方向余弦為例4-3曲柄連桿機(jī)構(gòu)在工程中有非常廣泛的應(yīng)用，這種機(jī)構(gòu)能將轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為平動(dòng)，如壓氣機(jī)、往復(fù)式水泵、鍛壓機(jī)等；或?qū)⑵絼?dòng)轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)動(dòng)，如蒸汽機(jī)、內(nèi)燃機(jī)等。如圖4-12所示的曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄以勻角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由于連桿的帶動(dòng)，滑塊沿著直線導(dǎo)槽做往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)。已知，，且，求滑塊的運(yùn)動(dòng)方程、速度及加速度。圖4-12解滑塊的運(yùn)動(dòng)是往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，軌跡沿直線，可用直角坐標(biāo)法建