河北省兩校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

河北省兩校2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是A． B． C． D．2．已知實(shí)數(shù)滿足且，則下列選項(xiàng)中不一定成立的是（）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，則（）A． B． C． D．4．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則邊上的中線的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．86．設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,成等差數(shù)列,則()A．,,成等差數(shù)列 B．,,成等比數(shù)列C．,,成等差數(shù)列 D．,,成等比數(shù)列7．已知滿足，且，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()A． B． C． D．8．從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對(duì)立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α0≤α≤π的始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，將OA繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2至OB，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為Q．記線段BQ的長(zhǎng)為y，則函數(shù)A． B．C． D．10．把函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)解析式為（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=cos2x D．y=﹣sin2x二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，已知扇形和，為的中點(diǎn).若扇形的面積為1，則扇形的面積為_(kāi)_____.12．方程的解集是__________.13．設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為{Sn}．若，，則q＝______________．14．若，則的值為_(kāi)______.15．已知，則____．16．設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解關(guān)于x的不等式18．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（I）求的值；（II）證明：當(dāng)，且時(shí)，；（III）若對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.19．在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足（1）求的值；（2）若，求b的取值范圍.20．已知方程，.（1）若是它的一個(gè)根，求的值；（2）若，求滿足方程的所有虛數(shù)的和.21．已知以點(diǎn)為圓心的圓C被直線截得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）求過(guò)與圓C相切的直線方程：（3）若Q是直線上的動(dòng)點(diǎn)，QR，QS分別切圓C于R，S兩點(diǎn)．試問(wèn)：直線RS是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出恒過(guò)點(diǎn)坐標(biāo)：若不是，說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：由題意，這是幾何概型問(wèn)題，班車每30分鐘發(fā)出一輛，到達(dá)發(fā)車站的時(shí)間總長(zhǎng)度為40，等車不超過(guò)10分鐘的時(shí)間長(zhǎng)度為20，故所求概率為，選B.【考點(diǎn)】幾何概型【名師點(diǎn)睛】這是全國(guó)卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是確定“測(cè)度”,常見(jiàn)的測(cè)度有長(zhǎng)度、面積、體積等.2、D【解析】

由題設(shè)條件可以得到，從而可判斷A，B中的不等式都是正確的，再把題設(shè)變形后可得，從而C中的不等式也是成立的，當(dāng)，D中的不等式不成立，而時(shí)，它又是成立的，故可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榍遥?，所以，故A正確；又，故，故B正確；而，故，故C正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有，故不一定成立，綜上，選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出.【詳解】解：由已知得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，再利用兩點(diǎn)間距離公式求得結(jié)果.【詳解】由，可得中點(diǎn)又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得中點(diǎn)坐標(biāo).5、C【解析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進(jìn)而得到數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，即可求解.【詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項(xiàng)，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項(xiàng)，所以數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.6、A【解析】

先說(shuō)明不符合題意，由時(shí)，成等差數(shù)列，算得，然后用表示出來(lái)，即可得到本題答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，有，不滿足成等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得，所以，，，則成等差數(shù)列.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，計(jì)算出等比數(shù)列的公比是關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中等題.7、D【解析】

首先根據(jù)題意得到，，結(jié)合選項(xiàng)即可找到答案.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.8、B【解析】

根據(jù)對(duì)立事件的概念，選出正確選項(xiàng).【詳解】從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，“至少有一件次品”的對(duì)立事件為兩件全是正品.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查對(duì)立事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】BQ=|y點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解，要注意實(shí)際問(wèn)題中的定義域問(wèn)題．10、D【解析】試題分析：三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減．直接求出平移后的函數(shù)解析式即可．解：把函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象向右平移個(gè)單位，所得到的圖象的函數(shù)解析式為：y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣π）=﹣sin2x．故選D．考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

設(shè)，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據(jù)已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：設(shè)，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點(diǎn)，，在扇形中，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

令，，將原方程化為關(guān)于的一元二次方程，解出得到，進(jìn)而得出方程的解集.【詳解】令，，故原方程可化為，解得或，故而或，即方程的解集是，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)方程的解法，轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子．即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)14、【解析】

把已知等式展開(kāi)利用二倍角余弦公式及兩角和的余弦公式，整理后兩邊平方求解．【詳解】解：由，得，，則，兩邊平方得：，即．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15、【解析】

由于，則，然后將代入中，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系包含平方關(guān)系與商的關(guān)系，平方關(guān)系是正弦與余弦值之間的轉(zhuǎn)換，商的關(guān)系是正余弦與正切之間的轉(zhuǎn)換.16、-8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）討論的取值，分為，兩種情形，求出對(duì)應(yīng)不等式的解集即可.試題解析：當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為x+10，解得;當(dāng)時(shí)，原不等式化為，解得；綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.點(diǎn)睛：本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，元二次不等式的核心還是求一元二次方程的根，然后在結(jié)合圖象判定其區(qū)間解題時(shí)應(yīng)用分類討論的思想，是中檔題目；常見(jiàn)的討論形式有：1、對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行討論；2、相對(duì)應(yīng)的方程是否有根進(jìn)行討論；3、對(duì)應(yīng)根的大小進(jìn)行討論.18、（I）；（II）見(jiàn)解析；（III）的最大值為1【解析】

（I）直接令中的n=1即得的值；（II）由題得時(shí)，，化簡(jiǎn)即得證；（III）用累加法可得：，再利用項(xiàng)和公式求得，再求的范圍得解.【詳解】（I）（II）因?yàn)椋詴r(shí)，，化簡(jiǎn)得：；（III）因?yàn)椋美奂臃傻茫?，由，得，?dāng)時(shí)，上式也成立,因?yàn)?，則，所以是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，又因?yàn)?，所以，即，的最大值?.【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19、(1)(2)【解析】

（1）代入條件化簡(jiǎn)得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出；（2）利用余弦定理、，把表示成關(guān)于的二次函數(shù).【詳解】（1），，即，，，又，解得：.（2），可得，由余弦定理可得：，，所以b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，常用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行研究，所以自然而然想到構(gòu)造以是關(guān)于或的函數(shù).20、（1）；（2）190.【解析】

（1）先設(shè)出的代數(shù)形式，把代入所給的方程，化簡(jiǎn)后由實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)相等進(jìn)行求值；（2）由方程由虛根的條件，求出的所有的取值，再由方程虛根成對(duì)出現(xiàn)的特點(diǎn)，求出所有虛根之和．【詳解】解：（1）設(shè)，是的一個(gè)根，，，，解得，，，（2）方程有虛根，，解得，，，2，，又虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，所有的虛根之和為．【點(diǎn)睛】本題是復(fù)數(shù)的綜合題，考查了復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用，方程有虛根的等價(jià)條件，以及方程中虛根的特點(diǎn)，屬于中檔題．21、（1）（2）或（3）直線RS恒過(guò)定點(diǎn)【解析】

（1）由弦長(zhǎng)可得,進(jìn)而求解即可；（2）分別討論直線的斜率存在與不存在的情況,再利用圓心到直線距離等于半徑求解即可；（3）由QR,QS分別切圓C于R,S兩點(diǎn),可知,在以為直徑的圓上,設(shè)為,則可得到以為直徑的