《8.4 空間點、直線、平面之間的位置關系》考點講解復習與同步訓練

《8.4空間點、直線、平面之間的位置關系》考點講解【思維導圖】考法一三個基本事實【例1-1】如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．【例1-2】正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點．（1）證明：M，N，Q，P四點共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點．【一隅三反】1．(多選題)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面2．在正方體中，，，，分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中，，，四點共面的是（）A． B．C． D．4．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.考法二平面【例2-1】下列有關平面的說法正確的是（）A．平行四邊形是一個平面B．任何一個平面圖形都是一個平面C．平靜的太平洋面就是一個平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面【例2-2】空間中三個平面，最多把空間分成區(qū)域的個數(shù)為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．三個平面將空間不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．72．（1）空間任意4點，沒有任何3點共線，它們最多可以確定________個平面.（2）空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定________個平面.考法三空間點、直線、平面之間的位置關系【例3-1】一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關系是（）A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交【例3-2】．若直線與平面平行，直線，則與位置關系：（）A．平行 B．異面 C．相交 D．沒有公共點【一隅三反】1．若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交2．若直線不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（）A．內(nèi)的所有直線均與直線異面B．內(nèi)不存在與平行的直線C．直線與平面有公共點D．內(nèi)的直線均與相交3．平面滿足則與的位置關系為（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對《8.4空間點、直線、平面之間的位置關系》考點講解答案解析考法一三個基本事實【例1-1】如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，連接，，則，因為，，所以四邊形為平行四邊形，又，平面，則平面，因為平面平面，所以．即，，三點共線．【例1-2】正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點．（1）證明：M，N，Q，P四點共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）連接.分別為的中點，且，分別為，的中點，且.四邊形為平行四邊形，且且四點共面.（2）由（1）知且必交于一點.平面平面.平面平面.又平面平面.，即三線共點.【一隅三反】1．(多選題)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面【答案】ABC【解析】在題圖中，連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，∴A，B，C均正確，D不正確.故選：ABC2．在正方體中，，，，分別是該點所在棱的中點，則下列圖形中，，，四點共面的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】選項A，點，，確定一個平面，該平面與底面交于，而點不在直線上，故，，，不共面，選項A錯誤；選項B，連接底面對角線，則由中位線定理可知，，又易知，則，故，，，共面，選項B正確；選項C，顯然，，所確定的平面為正方體的底面，而點不在該平面內(nèi)，故故，，，不共面，選項C錯誤；選項D，如圖，取部分棱的中點，順次連接，可得一正六邊形，也即是點，，確定的平面與正方體正面的交線為，而點不在直線上，故，，，四點不共面，選項D錯誤.4．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.【答案】證明見解析【解析】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P，Q，R三點共線.法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線.考法二平面【例2-1】下列有關平面的說法正確的是（）A．平行四邊形是一個平面B．任何一個平面圖形都是一個平面C．平靜的太平洋面就是一個平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面【答案】D【解析】對于A，我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，平行四邊形是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，是不能無限延展的，故A錯誤；對于B，平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的，不能無限延展，而平面是無限延展的，無法度量，故B錯誤；對于C，太平洋面是有邊界的，不是無限延展的，故C錯誤；對于D，在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D正確.故選：D【例2-2】空間中三個平面，最多把空間分成區(qū)域的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，三個平面最多將空間分成個區(qū)域.故選：D【一隅三反】1．三個平面將空間不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．7【答案】B【解析】若三個平面互相平行，則把空間分成4部分；若兩個平面互相平行，另一平面與它們相交，則把空間分成6部分；三個平面兩兩相交，且有一條交線，則把空間分成6部分；三個平面兩兩相交，且有三條交線，則把空間分成7或8部分.故選：B．2．（1）空間任意4點，沒有任何3點共線，它們最多可以確定________個平面.（2）空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定________個平面.【答案】45【解析】（1）可以想象三棱錐的4個頂點，它們總共確定4個平面.（2）可以想象四棱錐的5個頂點，它們總共確定5個平面.故答案為：（1）4；（2）5.考法三空間點、直線、平面之間的位置關系【例3-1】一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關系是（）A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交【答案】B【解析】如圖（1）所示，此時直線與直線為異面直線，其中，此時直線與為相交直線；如圖（2）所示，此時直線與直線為異面直線，其中，此時直線與為異面直線，綜上，一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關系是相交或異面.故選:B.【例3-2】．若直線與平面平行，直線，則與位置關系：（）A．平行 B．異面 C．相交 D．沒有公共點【答案】D【解析】若直線與平面平行，直線，則直線與可能平行或異面，不可能相交，即沒有公共點.故選：D.【一隅三反】1．若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交【答案】D【解析】因為、為異面直線，所以、所成的角為銳角或直角，因為直線與平行，所以與所成的角為銳角或直角，所以與的位置關系是異面或相交，故選：D2．若直線不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（）A．內(nèi)的所有直線均與直線異面B．內(nèi)不存在與平行的直線C．直線與平面有公共點D．內(nèi)的直線均與相交【答案】C【解析】若直線不平行于平面，則直線與平面相交或在平面內(nèi)；對于A，內(nèi)的直線與直線異面，可能相交，也可能平行，故不成立；對于B，當在平面內(nèi)就存在與平行的直線，故不成立；對于C，當直線與平面相交與在平面內(nèi)都有公共點，故成立；對于D，內(nèi)的直線均與相交，可能異面，也可能平行；故不成立.故選：C.3．平面滿足則與的位置關系為（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不對【答案】C【解析】例如正方體的四個側(cè)面都與底面垂直，它們之間有平行有相交．故選：C．《8.4空間點、直線、平面之間的位置關系（精練）》同步練習【題組一三個基本事實】1．（多選）下面四個條件中，能確定一個平面的是（）A．一條直線 B．一條直線和一個點C．兩條相交的直線 D．兩條平行的直線2．（多選）下列敘述中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則重合D．若，則3．以下不屬于公理的是（）A．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)B．過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面C．空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補D．平行于同一條直線的兩條直線平行4．下列說法正確的是（）A．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面B．平面與平面相交，它們只有有限個公共點C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合5．下面四個條件中，能確定一個平面的是（）A．空間中任意三點 B．空間中兩條直線C．空間中兩條相交直線 D．一條直線和一個點【題組二平面】1.若點A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點A，直線b，平面β之間的關系可以記作（）A．A∈b∈β B．A∈b?βC．A?b?β D．A?b∈β2．如圖所示，用符號語言可表述為（）A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n3．已知為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理錯誤的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈，M∈β，N∈，N∈β?C．A∈，A∈β?D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共線?，β重合4．設平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l.5．在空間中，兩個不同平面把空間最少可分成___________部分，最多可分成___________部分.6．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形.（1）點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)；（2）直線l在平面α內(nèi)，直線m不在平面α內(nèi).【題組三空間點、直線、平面之間的位置關系】1．一條直線與兩條平行線中的一條異面且垂直，則它與另一條的位置關系不可能的是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直2．若異面直線分別在平面內(nèi)，且，則直線l（）A．與直線都相交B．至少與中的一條相交C．至多與中的一條相交D．與中的一條相交，另一條平行3．若a，b是異面直線，直線，則c與b的位置關系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交4．和是異面直線，且，則過點與都相交的直線（）A．不存在 B．無數(shù)條 C．唯一一條 D．最多一條5．已知三條直線，，滿足：與平行，與異面，則與（）A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交6．已知，，是兩兩不同的三條直線，下列說法正確的是（）A．若直線，異面，，異面，則，異面B．若直線，相交，，相交，則，相交C．若，則，與所成的角相等D．若，，則7．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是（）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面8．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是（）A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面9．空間中，直線a與平面的位置關系不可能是（）A．平行 B．相交 C．異面 D．直線在平面內(nèi)10．如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線（）A．只和這個平面內(nèi)的一條直線平行 B．只和這個平面內(nèi)的兩相交直線不相交C．和這個平面內(nèi)的任何一條直線都平行 D．和這個平面內(nèi)的任何一條直線都不相交11．設直線不在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，則下列說法正確的是（）A．直線與直線沒有公共點 B．直線與直線異面C．直線與直線至多一個公共點 D．直線與直線不垂直12．在正方體中，判斷下列直線間的位置關系：①與________；②與________；③與(為的中點)________；④與________.《8.4空間點、直線、平面之間的位置關系（精練）》同步練習答案解析【題組一三個基本事實】1．（多選）下面四個條件中，能確定一個平面的是（）A．一條直線 B．一條直線和一個點C．兩條相交的直線 D．兩條平行的直線【答案】CD【解析】對于選項A：一條直線不能確定一個平面，故選項A不正確；對于選項B：一條直線和直線外的一個點可以確定一個平面，一條直線和直線上的一個點不能確定一個平面，故選項B不正確；對于選項C：兩條相交的直線可以確定一個平面，故選項C正確；對于選項D：兩條平行的直線可以確定一個平面，故選項D正確；故選：CD2．（多選）下列敘述中，正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則重合D．若，則【答案】AD【解析】對于選項A：直線上有兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)；故選項A正確；對于選項B：若，則不一定是兩個面的公共點.故選項B錯誤；對于選項C：若，當三點共線時，則不一定重合.故選項C錯誤；對于選項D：兩平面的公共點在公共直線上，故選項D正確.故選：AD.3．以下不屬于公理的是（）A．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)B．過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面C．空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補D．平行于同一條直線的兩條直線平行【答案】C【解析】在中，由公理一知：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，故是公理；在中，由公理二得，過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面，故正確；在中，由等角定理知：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補，故是定理，不是公理；在中，由平行公理得：平行于同一條直線的兩條直線互相平行，故是公理；故選：C4．下列說法正確的是（）A．經(jīng)過一條直線和一個點，有且只有一個平面B．平面與平面相交，它們只有有限個公共點C．經(jīng)過三點，有且只有一個平面D．如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合【答案】D【解析】對于，當點在直線上時，說法不正確；對于，當平面與平面相交，它們無數(shù)個公共點，這些公共點在一條公共直線上，說法不正確；對于，經(jīng)過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面，說法不正確；對于，如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合，說法正確.故選：D5．下面四個條件中，能確定一個平面的是（）A．空間中任意三點 B．空間中兩條直線C．空間中兩條相交直線 D．一條直線和一個點【答案】C【解析】A,空間任意三點，當三點共線時能確定一條直線而不是平面，故不正確；B.空間兩條直線，當兩條直線重合時，過這條直線的平面有無數(shù)個，故不正確；C.空間兩條平行直線，根據(jù)課本中的判定得到是正確的；D.一條直線和一個點，當這個點在直線上時，過這條直線的平面有無數(shù)個，故不正確.故選：C.【題組二平面】1.若點A在直線b上，b在平面β內(nèi)，則點A，直線b，平面β之間的關系可以記作（）A．A∈b∈β B．A∈b?βC．A?b?β D．A?b∈β【答案】B【解析】點A在直線b上，記作，b在平面β內(nèi)，記作，故選：B2．如圖所示，用符號語言可表述為（）A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【答案】A【解析】根據(jù)點、線、面的位置關系的符號表示可得α∩β＝m，n?α，m∩n＝A，故選：A3．已知為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理錯誤的是（）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈，M∈β，N∈，N∈β?C．A∈，A∈β?D．A∈，B∈，M∈，A∈β，B∈β，M∈β，且A，B，M不共線?，β重合【答案】C【解析】，A∈β，由基本事實可知為經(jīng)過A的一條直線而不是A.故的寫法錯誤.故選：C4．設平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M_______l.【答案】【解析】∵a∩b＝M，所以，因為，所以，因為，所以.故答案為：5．在空間中，兩個不同平面把空間最少可分成___________部分，最多可分成___________部分.【答案】34【解析】兩個平行平面將空間分成3部分，兩個相交平面可以將空間分成4部分，故答案為：3；46．用符號語言表示下列語句，并畫出圖形.（1）點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)；（2）直線l在平面α內(nèi)，直線m不在平面α內(nèi).【答案】（1），圖形見解析（2），，圖形見解析【解析】（1），圖形如圖：（2），，圖形如圖：或【題組三空間點、直線、平面之間的位置關系】1．一條直線與兩條平行線中的一條異面且垂直，則它與另一條的位置關系不可能的是（）A．相交 B．平行 C．異面 D．垂直【答案】B【解析】若該直線與兩平行線中另一條也平行，則三條直線都平行，不滿足該直線與其中一條平行線垂直，所以該直線與另一條線不可能平行，故選：B2．若異面直線分別在平面內(nèi)，且，則直線l（）A．與直線都相交B．至少與中的一條相交C．至多與中的一條相交D．與中的一條相交，另一條平行【答案】B【解析】因為，所以，則與a平行或相交，與b平行或相交，又為異面直線，所以不能與同時平行，即與可都相交，也可能與一條相交，所以A、C、D錯誤，故選：B3．若a，b是異面直線，直線，則c與b的位置關系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交【答案】D【解析】若a，b是異面直線，直線，則c與b不可能是平行直線．否則，若，則有，得出a，b是共面直線．與已知a，b是異面直線矛盾，故c與b的位置關系為異面或相交，故選：D4．和是異面直線，且，則過點與都相交的直線（）A．不存在 B．無數(shù)條 C．唯一一條 D．最多一條【答案】D【解析】∵，∴由點和直線確定一平面，是異面直線，則直線與平面可能相交可能平行，若，則過直線不可能同時與都相交，若與相交，則過交點與的直線與相交或平行，∴過點與都相交的直線最多只有一條．故選：D．5．已知三條直線，，滿足：與平行，與異面，則與（）A．一定異面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交【答案】C【解析】如圖所示：與可能異面，也可能相交，不可能平行．用反證法證明一定不平行，假設，又，則，這與已知與異面矛盾，所以假設不成立，故與不可能平行.故選：C.6．已知，，是兩兩不同的三條直線，下列說法正確的是（）A．若直線，異面，，異面，則，異面B．若直線，相交，，相交，則，相交C．若，則，與所成的角相等D．若，，則【答案】C【解析】對于A，若直線，異面，，異面，則，相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若直線，相交，，相交，則，相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，由直線所成的角的定義可得若，則，與所成的角相等，故C正確；對于D，若，，則，相交、平行或異面，故D錯誤.故選：C.7．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是（）A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面【答案】D【解析】a和b是異面直線，b和c是異面直線，根據(jù)異面直線的定義可得：可以是異面直線，如下所示：也可以相交也可以平行故選：.8．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，，且