湖北省部分重點中學高二下學期期中考試數(shù)學（文）試卷

湖北省部分重點中學20172018學年度下學期高二期中考試數(shù)學（文科）試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)a+3i?iA.0B.3C.3D.2【答案】A【解析】復數(shù)a+3i-i（i故答案為：A。2.對下列三種圖形，正確的表述為（）A.它們都是流程圖B.它們都是結(jié)構(gòu)圖C.（1）、（2）是流程圖，（3）是結(jié)構(gòu)圖D.（1）是流程圖，（2）、（3）是結(jié)構(gòu)圖【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)流程圖和結(jié)構(gòu)圖的定義分別判斷三種圖形是流程圖還是結(jié)構(gòu)圖．解：（1）表示的是借書和還書的流程，所以（1）是流程圖．（2）表示學習指數(shù)函數(shù)的一個流程，所以（2）是流程圖．（3）表示的是數(shù)學知識的分布結(jié)構(gòu)，所以（3）是結(jié)構(gòu)圖．故選C．點評：本題主要考查結(jié)構(gòu)圖和流程圖的識別和判斷，屬于基礎(chǔ)題型．3.已知函數(shù)f(x)＝1xcosxA.-2πB.2πC.3【答案】A【解析】∵因此f′(4.在復平面內(nèi)，O是原點，OA,OC,AA.4＋7iB.1＋3iC.4－4iD.－1＋6i【答案】C【解析】B=?15.我國古代數(shù)學典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述，如圖所示，則輸出結(jié)果n＝()A.4B.5C.2D.3【答案】A【解析】循環(huán)依次為n=1,a=1,A=6.若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于()A.2B.3C.6D.9【答案】D【解析】函數(shù)的導數(shù)為f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函數(shù)f(x)在x＝1處有極值，可知函數(shù)f(x)在x＝1處的導數(shù)值為零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由題意知a，b都是正實數(shù)，所以ab≤9，當且僅當a＝b＝3時取到等號．選D視頻7.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排一列:1,11,22,1A.62,2B.63,1【答案】C【解析】設(shè)“整數(shù)對”為（m，n）（m，n∈N*），由已知可知點列的排列規(guī)律是m+n的和從2開始，依次是3，4，…，其中m依次增大．當m+n=2時只有一個（1，1）；當m+n=3時有兩個（1，2），（2，1）；當m+n=4時有3個（1，3），（2，2），（3，1）；…當m+n=64時有63個（1，63），（2，62），…，（63，1）；其上面共有1+所以第2017個整數(shù)對為1,64。選C。8.已知a,b,cA.都大于6B.至少有一個不大于6C.都小于6D.至少有一個不小于6【答案】D【解析】假設(shè)3個數(shù)a+4b，b+9利用基本不等式可得，a+4b+b+9c+故選D.點睛：本題考查反證法，考查進行簡單的合情推理，屬于中檔題，正確運用反證法是關(guān)鍵.9.在半徑為r的半圓內(nèi)作一內(nèi)接梯形，使其底為直徑，其他三邊為圓的弦，則梯形面積最大時，其梯形的上底為()A.r2B.32rC.33【答案】D【解析】設(shè)∠COB=θ因此梯形面積為S因為由S′得cosθ=12，根據(jù)實際意義得cos點睛：利用導數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用f′10.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)fx=x3+ax2+a?A.6x+C.6x?【答案】D【解析】f'x=3x2+2ax+a?3，因為f'x為偶函數(shù)，故a=點睛：（1）一般地，對于多項式函數(shù)fx=an+1xn+a（2）曲線在某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點橫坐標處的導數(shù)，因此切點的橫坐標是處理切線問題的核心.11.函數(shù)fx=1?A.B.C.D.【答案】C【解析】f-x=-1-c解得2cosx+1.....................12.定義在R上的減函數(shù)fx，其導函數(shù)是f′x滿足A.當且僅當x∈?∞,C.對于?x∈R,【答案】D【解析】由題意f′(x)<0,f(x)>(1?點睛：解答本題時充分運用題設(shè)條件，運用分類整合的思想與函數(shù)方程思想，如當x<1時，(1?x)f′(x)二、填空題：本大題4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上，答錯位置，書寫不清，均不得分.13.設(shè)集合A={x|x4?【答案】25【解析】由x4?1=0,x∈C得：x=±1，x=±i，則x=1時x?z=14.根據(jù)下圖所示的流程圖，回答下面問題：若a＝50.6，b＝0.65，c＝log0.65，則輸出的數(shù)是________．【答案】50.6【解析】因為a>b15.已知球O的直徑長為12，當它的內(nèi)接正四棱錐的體積最大時，則該四棱錐的高為________.【答案】8【解析】設(shè)正四棱錐底面邊長為a，則高為6所以正四棱錐的體積為V=由V′=1由極值唯一性可知當a=8時，V【答案】2016【解析】∵f因此y=fx關(guān)于設(shè)f1則2因此S點睛：函數(shù)對稱性代數(shù)表示（1）函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?f(（2）函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,b)對稱?（3）函數(shù)周期為T,則f三、解答題：共6題，共70分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)z＝bi(b∈R)，z?21(1)求復數(shù)z；(2)若復數(shù)(m＋z)2所表示的點在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）z＝－2i（2）m∈(－∞，－2)【解析】【試題分析】（1）將z=bi(b∈R)代入z-21解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是實數(shù)，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵復數(shù)所表示的點在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）時，復數(shù)所表示的點在第一象限．18.你設(shè)計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設(shè)AE＝FB＝xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，x應(yīng)取何值？(2)若廠商要求包裝盒容積V(cm3)最大，x應(yīng)取何值？【答案】（1）x＝15cm時包裝盒側(cè)面積S(x)最大．（2）x＝20cm時包裝盒容積V(x)最大．【解析】試題分析：（1）先設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為，寫出a，h與x的關(guān)系式，并注明x的取值范圍，再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式，最后求出何時它取得最大值即可；（2）利用體積公式表示出包裝盒容積V關(guān)于x的函數(shù)解析式，利用導數(shù)知識求出何時它取得的最大值即可．設(shè)包裝盒的高為，底面邊長為由已知得a（1）∵2分∴當x=15時，（2）根據(jù)題意有V=∴V′由得，(舍)或?！喈攛∈(0,20)時∴當x=20即包裝盒的高與底面邊長的比值為12考點：1．函數(shù)的應(yīng)用問題；2．函數(shù)的最值與導數(shù)；3．二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．視頻19.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn＝Snn(n∈N*)，求證：數(shù)列【答案】（1）an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)（2）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件求出等差數(shù)列的公差d，然后再求an和S（2）用反證法證明．試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則S3=3a1+3d=9+32，又a1=1+2，解得d=2，所以anSn(2)由(1)得bn=Snn=n+假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列．則bq2=bp·b即(q+2)2=(p+2)·(r+2)，整理得(q2pr)+2(2qpr)=0，所以q2消去q得p+r22=pr，即所以p=r．與p，q，r互不相等矛盾．所以數(shù)列{bn}中任意不同三項都不可能成等比數(shù)列．點睛：（1）結(jié)論若是“都是”、“都不是”、“至多”、“至少”形式的命題，或直接從正面入手難以尋覓解題的突破口的問題，證明時可考慮使用反證法．（2）用反證法證明命題時，推導出的矛盾可能多種多樣：有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實相違背等等，但推導出的矛盾必須是明顯的．20.如圖所示，矩形ABCD中，AB＝3,BC＝4，沿對角線BD把△ABD折起，使點A在平面BCD上的射影E落在BC上．(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；(2)求三棱錐A－BCD的體積．【答案】（1）見解析（2）37【解析】解：試題分析：(1)利用題意證得CD⊥平面ABC.然后由面面垂直的判斷定理即可證得平面ACD⊥平面ABC.(2)三棱錐的體積關(guān)鍵在于選擇合適的頂點和底面，以點A為頂點計算可得VA－BCD＝1試題解析：(1)∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，且AE∩BC＝E，∴CD⊥平面ABC.又CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC.(2)由(1)知，CD⊥平面ABC，又AB?平面ABC，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.∴VA－BCD＝VB－ACD＝13·S△ACD·AB又∵在△ACD中，AC⊥CD，AD＝BC＝4，AB＝CD=3，∴AC＝AD∴VA－BCD＝121.已知函數(shù)f(x)＝13x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍．【答案】（1）[－1，＋∞)（2）(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)【解析】試題分析：（1）先求導函數(shù)，然后根據(jù)導函數(shù)求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；（2）根據(jù)（1）可知k與﹣1k的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點的橫坐標取值范圍解析：(1)由題意得f′(x)＝x2－4x＋3，則f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍是[－1，＋∞)．(2)設(shè)曲線C的其中一條切線的斜率為k，則由(2)中條件并結(jié)合(1)中結(jié)論可知，k解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)22.已知函數(shù)f(x)＝xln(1)若f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若a＝2，求函數(shù)f(x)的極小值；(3)若方程(2x－m)lnx＋x＝0在(1，e]上有兩個不等實根，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1）(?∞,-1【解析】試題分析：利用導數(shù)解