廣東省興寧一中2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題含解析

廣東省興寧一中2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末調(diào)研試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的公差d＞0，則下列四個(gè)命題：①數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列是遞增數(shù)列；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞增數(shù)列；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，設(shè)是正六邊形的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．4．若直線：與直線：平行，則的值為（）A．1 B．1或2 C．-2 D．1或-25．記為實(shí)數(shù)中的最大數(shù).若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為（）A． B．1 C． D．6．在平行四邊形中，,,則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，,=1，若，則＝()A．22019 B．22020 C．22017 D．220188．在中，已知是邊上一點(diǎn)，，，則等于（）A． B． C． D．9．已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．曲線與過(guò)原點(diǎn)的直線沒(méi)有交點(diǎn)，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且，若對(duì)任意的正整數(shù)，有，則___________.12．若實(shí)數(shù)滿足，則取值范圍是____________。13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_(kāi)____14．在一個(gè)不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是_________個(gè).15．計(jì)算：=_______________.16．在△中，三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，若，，，則________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．求函數(shù)的最大值18．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量,,.（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足：對(duì)任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對(duì)任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．如圖，在△ABC中，cosC＝，角B的平分線BD交AC于點(diǎn)D，設(shè)∠CBD＝θ，其中tanθ＝﹣1．（1）求sinA的值；（2）若，求AB的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.2、B【解析】

對(duì)于各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列，計(jì)算第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差，看此差的符號(hào)，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結(jié)論．【詳解】設(shè)等差數(shù)列，d＞0∵對(duì)于①，n+1﹣n＝d＞0，∴數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．對(duì)于②，數(shù)列，得，，所以不一定是正實(shí)數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，是假命題．對(duì)于③，數(shù)列，得，，不一定是正實(shí)數(shù)，故是假命題．對(duì)于④，數(shù)列，故數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用定義判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用遞增數(shù)列的定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

容易看出，四邊形是平行四邊形，從而得出.【詳解】根據(jù)圖形看出，四邊形是平行四邊形故選：【點(diǎn)睛】本題考查相等向量概念辨析，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】試題分析：因?yàn)橹本€：與直線：平行，所以或-2，又時(shí)兩直線重合，所以．考點(diǎn)：兩條直線平行的條件．點(diǎn)評(píng)：此題是易錯(cuò)題，容易選C，其原因是忽略了兩條直線重合的驗(yàn)證．5、B【解析】

先利用判別式法求出|x|,|y|,|z|的取值范圍，再判斷得解.【詳解】因?yàn)?，所以，整理得：，解得，所以，同理?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查新定義和判別式法求范圍，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解析】

先求,再求,即可求D坐標(biāo)【詳解】，∴，則D(6,1)故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題7、A【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由題知∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列，an≠1（n∈N*），a1+a2019＝1，∴a1+a2019＝a2+a2018＝a3+a2017＝…＝a1009+a1011a1010=1,∴a1010∴f（a1）×f（a2）×…×f（a2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題，注意：若{an}為等差數(shù)列，且m+n=p+q,則，性質(zhì)的應(yīng)用.8、A【解析】

利用向量的減法將3，進(jìn)行分解，然后根據(jù)條件，進(jìn)行對(duì)比即可得到結(jié)論【詳解】∵3，∴33，即43，則，∵λ，∴λ，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本定理的應(yīng)用，根據(jù)向量的減法法則進(jìn)行分解是解決本題的關(guān)鍵．9、B【解析】

根據(jù)大邊對(duì)大角定理知邊長(zhǎng)為所對(duì)的角不是最大角，只需對(duì)其他兩條邊所對(duì)的利用余弦定理，即這兩角的余弦值為正，可求出的取值范圍．【詳解】由題意知，邊長(zhǎng)為所對(duì)的角不是最大角，則邊長(zhǎng)為或所對(duì)的角為最大角，只需這兩個(gè)角為銳角即可，則這兩個(gè)角的余弦值為正數(shù)，于此得到，由于，解得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，在考查三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形，一般由最大角來(lái)決定，并利用余弦定理結(jié)合余弦值的符號(hào)來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其關(guān)系如下：為銳角；為直角；為鈍角.10、A【解析】

作出曲線的圖形，得出各射線所在直線的傾斜角，觀察直線在繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，直線的傾斜角的變化，由此得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)，時(shí)，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當(dāng)，時(shí)，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當(dāng)，時(shí)，由得，該射線所在直線的傾斜角為；當(dāng)，時(shí)，由得，該射線所在直線的傾斜角為.作出曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，要使得過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵就是作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)條件求出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式．【詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)．所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．12、；【解析】

利用三角換元，設(shè)，；利用輔助角公式將化為，根據(jù)三角函數(shù)值域求得結(jié)果.【詳解】可設(shè)，，本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用三角換元法求解取值范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域的求解問(wèn)題.13、【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可得到答案?！驹斀狻吭O(shè)抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學(xué)校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。14、16【解析】

根據(jù)紅色球和黑色球的頻率穩(wěn)定值，計(jì)算紅色球和黑色球的個(gè)數(shù)，從而得到白色球的個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，紅色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；黑色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；故白色球的個(gè)數(shù)為4個(gè).故答案為：16.【點(diǎn)睛】本題考查概率和頻率之間的關(guān)系：概率是頻率的穩(wěn)定值.15、【解析】試題分析：考點(diǎn)：兩角和的正切公式點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正切公式變形的運(yùn)用，抓住和角是特殊角，是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

利用正弦定理求解角,再利用面積公式求解即可.【詳解】由,因?yàn)?故,.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形的運(yùn)用,根據(jù)題中所給的邊角關(guān)系選擇正弦定理與面積公式等.屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、最大值為5【解析】

本題首先可以根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系以及配方將函數(shù)化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)即可得出函數(shù)的最大值．【詳解】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即，函數(shù)最大，令，，故最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系以及一元二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，考查的公式為，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔題．18、（1）1（2）【解析】

（1）.若,則，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求的值；

（2）.若與的夾角為，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可求的值．【詳解】（1）由，則即，所以所以（2），又與的夾角為，則即即由，則所以，即【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題可令求出的值，然后令求出，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先可令，然后根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和?！驹斀狻?1)當(dāng)，，得.當(dāng)時(shí)，，,兩式相減，得，化簡(jiǎn)得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，所以。(2)由(1)可知，令，則①，兩邊同乘以公比，得到②，由①②得：所以?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法以及數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求數(shù)列通項(xiàng)常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等；求數(shù)列前項(xiàng)和常用的方法有：錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、公式法、分組求和法等，屬于中等題。20、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解析】

（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因?yàn)?，，成等比?shù)列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化為，即f（n）=恒成立，當(dāng)a–1＞0即a＞1時(shí)，不合題意；當(dāng)a–1=0即a=1時(shí)，滿足題意；當(dāng)a–1＜0即a＜1時(shí)，f（n）的對(duì)稱軸為，f（n）單調(diào)遞減，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；綜上，a≤1.21、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)二倍角公式及同角基本關(guān)系