重慶江北區(qū)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

重慶江北區(qū)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，，則這個(gè)三角形的形狀為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形2．若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是()A． B． C．5 D．63．已知函數(shù)在處取得極小值，則的最小值為（）A．4 B．5 C．9 D．104．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度5．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（sin，cos），則tanα=（）A． B． C． D．6．角的終邊落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)的圖象是()A． B． C． D．8．若，直線的傾斜角等于（）A． B． C． D．9．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度（）．A． B． C． D．10．，則的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為_(kāi)_______12．已知向量，，則與的夾角等于_______.13．等差數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_________.14．為了研究問(wèn)題方便,有時(shí)將余弦定理寫成:,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下問(wèn)題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足,，，則_______.15．如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形中，，為中點(diǎn)，則______.16．若，，則的值為_(kāi)_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線:和:的交點(diǎn)，直線:；(1)若，求的直線方程；(2)若，求的直線方程．18．在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB．（Ⅰ）已知AB=BC，AE=EC．求證：AC⊥FB；（Ⅱ）已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證：GH∥平面ABC．19．某城市的華為手機(jī)專賣店對(duì)該市市民使用華為手機(jī)的情況進(jìn)行調(diào)查.在使用華為手機(jī)的用戶中，隨機(jī)抽取100名，按年齡(單位:歲）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，分別求出樣本的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)和中位數(shù)的估計(jì)值(均精確到個(gè)位）；（2）在抽取的這100名市民中，按年齡進(jìn)行分層抽樣，抽取20人參加華為手機(jī)宣傳活動(dòng)，再?gòu)倪@20人中年齡在和的人群里，隨機(jī)選取2人各贈(zèng)送一部華為手機(jī)，求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.20．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．21．如圖，等邊所在的平面與菱形所在的平面垂直，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】解：2、C【解析】

由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．3、C【解析】由，得，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選C.4、D【解析】試題分析：由題意，為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，故選D.【考點(diǎn)】三角函數(shù)圖象的平移【名師點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個(gè)單位得的圖象，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，再向左平移個(gè)單位得的圖象．5、A【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得tanα的值．【詳解】解：∵角α的終邊上有一點(diǎn)P（sin，cos），∴x＝sin，y＝cos，∴則tanα，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

由，即可判斷.【詳解】，則與的終邊相同，則角的終邊落在第三象限故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷角的終邊所在象限，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】解：函數(shù)y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=分段畫出函數(shù)圖象如D圖示，故選D．8、A【解析】

根據(jù)以及可求出直線的傾斜角.【詳解】，，且直線的斜率為，因此，直線的傾斜角為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的計(jì)算，要熟悉斜率與傾斜角之間的關(guān)系，還要根據(jù)傾斜角的取值范圍來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角?！驹斀狻拷馕觯河深}意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最小．∴最小正角為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。10、D【解析】由題意得，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，涉及函數(shù)與不等式思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力，具有一定的綜合性，屬于中檔題型.首先利用誘導(dǎo)公式和兩角和差公式將化簡(jiǎn)，再利用正弦的函數(shù)圖像可得正解.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，然后利用反三角函數(shù)的定義得出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及反三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵就是利用三角函數(shù)的定義求出的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

由已知向量的坐標(biāo)求得兩向量的模及數(shù)量積，代入數(shù)量積求夾角公式得答案．【詳解】∵（﹣1，），（，﹣1），∴，，則cos，∴與的夾角等于．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了由數(shù)量積求向量的夾角，是基礎(chǔ)題．13、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得出的值，然后利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】由等差數(shù)列的基本性質(zhì)可得，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時(shí)也考查了等差數(shù)列基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長(zhǎng)，由此計(jì)算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問(wèn)題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.15、【解析】

選取為基底，根據(jù)向量的加法減法運(yùn)算，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?,，又，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法減法運(yùn)算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.16、【解析】

求出，將展開(kāi)即可得解．【詳解】因?yàn)?，，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等式及兩角和的正弦公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)【解析】

(1)先求出與的交點(diǎn)，再利用兩直線平行斜率相等求直線l(2)利用兩直線垂直斜率乘積等于-1求直線l【詳解】（1）由，得，∴與的交點(diǎn)為.設(shè)與直線平行的直線為，則，∴.∴所求直線方程為.（2）設(shè)與直線垂直的直線為，則，解得．∴所求直線方程為.【點(diǎn)睛】?jī)芍本€平行斜率相等，兩直線垂直斜率乘積等于-1．18、（Ⅰ）證明：見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)，知與確定一個(gè)平面，連接，得到，，從而平面，證得.（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，連，在，中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面平面，進(jìn)一步得到平面.試題解析：（Ⅰ）證明：因，所以與確定平面.連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，同理可得.又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，連.在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以.在中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?【考點(diǎn)】平行關(guān)系，垂直關(guān)系【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面平行.此類題目是立體幾何中的基本問(wèn)題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用已知的直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，通過(guò)嚴(yán)密推理，給出規(guī)范的證明.本題能較好地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想等.19、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】分析：（1）直接利用頻率分布直方圖的平均值和中位數(shù)公式求解.(2)利用古典概型求這2名市民年齡都在內(nèi)的概率.詳解：(Ⅰ)平均值的估計(jì)值:中位數(shù)的估計(jì)值：因?yàn)?，所以中位?shù)位于區(qū)間年齡段中，設(shè)中位數(shù)為，所以，.(Ⅱ)用分層抽樣的方法，抽取的20人，應(yīng)有4人位于年齡段內(nèi)，記為，2人位于年齡段內(nèi)，記為.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人，設(shè)基本事件空間為，則設(shè)2名市民年齡都在為事件A，則,所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查頻率分布直方圖，考查平均值和中位數(shù)的計(jì)算和古典概型，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和基本的運(yùn)算能力.(2)先計(jì)算出每個(gè)小矩形的面積，通過(guò)解方程找到左邊面積為0.5的點(diǎn)P，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)就是中位數(shù).一般利用平均數(shù)的公式計(jì)算.其中代表第個(gè)矩形的橫邊的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，代表第個(gè)矩形的面積.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

(1)直接用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)利用（1）的單調(diào)性結(jié)論可求函數(shù)在上的值域【詳解】（1）證明：任取，且則由，且，則，所以所以所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)所以，即所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.屬于基礎(chǔ)題.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

解法一：（1）取中點(diǎn)，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.（2）取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，過(guò)作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中點(diǎn)，連接，證出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證出平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證出.（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】解法一：（1）取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）取中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面同理，在平面?nèi)，過(guò)作于，則平面，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，