湖北省荊州市沙市區(qū)沙市中學2023-2024學年高一數學第二學期期末監(jiān)測試題含解析

湖北省荊州市沙市區(qū)沙市中學2023-2024學年高一數學第二學期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．我國古代數學名著《九章算術》第六章“均輸”中有這樣一個問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”（注：“均輸”即按比例分配，此處是指五人所得成等差數列；“錢”是古代的一種計量單位），則分得最少的一個得到()A．錢 B．錢 C．錢 D．1錢2．已知函數在時取最大值，在是取最小值，則以下各式：①；②；③可能成立的個數是（）A．0 B．1 C．2 D．33．設，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．4．已知O，N，P在所在平面內，且，，且，則點O，N，P依次是的（）A．重心外心垂心 B．重心外心內心C．外心重心垂心 D．外心重心內心5．設函數，則（）A．2 B．4 C．8 D．166．已知直線,與互相垂直,則的值是()A． B．或 C． D．或7．甲：（是常數）乙：丙：（、是常數）丁：（、是常數），以上能成為數列是等差數列的充要條件的有幾個（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知點A（1，0），B（0，1），C（–2，–3），則△ABC的面積為A．3 B．2 C．1 D．9．已知等差數列：1，a1，a2,9；等比數列：－9，b1，b2，b3，－1.則b2(a2－a1)的值為()A．8 B．－8C．±8 D．810．已知，函數的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，則在方向上的投影為__________．12．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發(fā)到河對岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時，所用時間是__________（精確到）．13．設數列滿足，且，則數列的前n項和_______________.14．已知（），則________.（用表示）15．若角的終邊經過點，則___________.16．從集合A={-1,1,2}中隨機選取一個數記為k,從集合B={-2,1,2}中隨機選取一個數記為b,則直線y=kx+b不經過第三象限的概率為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某工廠提供了節(jié)能降耗技術改造后生產產品過程中的產量（噸）與相應的生產能耗（噸）的幾組對照數據．（1）請根據表中提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程；（2）試根據（1）求出的線性回歸方程，預測產量為（噸）的生產能耗．相關公式：，．18．已知，，且.（1）求函數的最小正周期；（2）若用和分別表示函數W的最大值和最小值.當時，求的值.19．（1）設，直接用任意角的三角比定義證明：.（2）給出兩個公式：①；②.請僅以上述兩個公式為已知條件證明：.20．定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱函數是上的有界函數，其中稱為函數的上界.已知函數.（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍；（3）若，函數在上的上界是，求的解析式.21．如圖，在三棱柱中，、分別是棱，的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

設所成等差數列的首項為，公差為，利用等差數列前項和公式及通項公式列出方程組，求出首項和公差，進而得出答案．【詳解】由題意五人所分錢成等差數列，設得錢最多的為，則公差.所以，則.又，即則，分得最少的一個得到.故選：B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

由余弦函數性質得，()，解出后，計算，可知三個等式都不可能成立．【詳解】由題意，()，解得，，，，三個都不可能成立，正確個數為1．故選A．【點睛】本題考查余弦函數的圖象與性質，解題時要注意對中的整數要用不同的字母表示，否則可能出現遺漏，出現錯誤．3、D【解析】

首先確定題中，，的取值范圍，再根據大小排序即可.【詳解】由題知，，，，所以排序得到.故選：D.【點睛】本題主要考查了比較指數對數的大小問題，屬于基礎題.4、C【解析】

根據向量關系，，所在直線經過中點，由得，即可得解.【詳解】由題：，所以O是外接圓的圓心，取中點，，，即所在直線經過中點，與中線共線，同理可得分別與邊的中線共線，即N是三角形三條中線交點，即重心，，，，，即，同理可得，即P是三角形的垂心.故選：C【點睛】此題考查利用向量關系判別三角形的外心，重心和垂心，關鍵在于準確進行向量的運算，根據運算結果得結論.5、B【解析】

根據分段函數定義域，代入可求得，根據的值再代入即可求得的值．【詳解】因為所以所以所以選B【點睛】本題考查了根據定義域求分段函數的值，依次代入即可，屬于基礎題．6、B【解析】

根據直線垂直公式得到答案.【詳解】已知直線,與互相垂直或故答案選B【點睛】本題考查了直線垂直的關系，意在考查學生的計算能力.7、D【解析】

由等差數列的定義和求和公式、通項公式的關系，以及性質，即可得到結論.【詳解】數列是等差數列，設公差為，由定義可得（是常數），且（是常數），，令，即（、是常數），等差數列通項，令，即（、是常數），綜上可得甲乙丙丁都對.故選：D.【點睛】本題考查等差數列的定義和通項公式、求和公式的關系，考查充分必要條件的定義，考查推理能力，屬于基礎題.8、A【解析】

由兩點式求得直線的方程，利用點到直線距離公式求得三角形的高，由兩點間距離公式求得的長，從而根據三角形面積公式可得結果.【詳解】∵點A（1，0），B（0，1），∴直線AB的方程為x+y–1=0，，又∵點C（–2，–3）到直線AB的距離為，∴△ABC的面積為S=．故選A．【點睛】本題主要考查兩點間的距離公式，點到直線的距離公式、三角形面積公式以及直線方程的應用，意在考查綜合運用所學知識解答問題的能力，屬于中檔題.9、B【解析】a2－a1＝d＝9-13又b22＝b1b因為b2與－9，－1同號，所以b2＝－3.所以b2(a2－a1)＝-3×8本題選擇B選項.10、A【解析】試題分析：由題意可得，滿足運用基本不等式的條件——一正，二定，三相等，所以，故選A考點：利用基本不等式求最值；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據數量積的幾何意義計算．【詳解】在方向上的投影為．故答案為：1．【點睛】本題考查向量的投影，掌握投影的概念是解題基礎．12、6【解析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時間.【詳解】因為行程最短，所以船應該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時間是.故答案為6【點睛】本題主要考查平面向量的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、【解析】令14、【解析】

根據同角三角函數之間的關系，結合角所在的象限，即可求解.【詳解】因為，所以，故，解得，又，，所以.故填.【點睛】本題主要考查了同角三角函數之間的關系，三角函數在各象限的符號，屬于中檔題.15、3【解析】

直接根據任意角三角函數的定義求解，再利用兩角和的正切展開代入求解即可【詳解】由任意角三角函數的定義可得：．則故答案為3【點睛】本題主要考查了任意角三角函數的定義和兩角和的正切計算，熟記公式準確計算是關鍵，屬于基礎題．16、【解析】由題意，基本事件總數為3×3＝9，其中滿足直線y＝kx＋b不經過第三象限的，即滿足有k＝－1，b＝1或k＝－1，b＝2兩種，故所求的概率為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）可以預測產量為（噸）的生產能耗為（噸）【解析】

（1）根據表格中的數據，求出，，，代入回歸系數的公式可求得，再根據回歸直線過樣本中心點即可求解.由（1）將代入即可求解.【詳解】（1）由題意，根據表格中的數據，求得，，，，代入回歸系數的公式，求得，則，故線性回歸方程為．（2）由（1）可知，當時，，則可以預測產量為（噸）的生產能耗為（噸）．【點睛】本題考查了線性回歸方程，需掌握回歸直線過樣本中心點這一特征，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據向量數量積的計算公式和三角恒等變換公式可將化簡為，進而求得函數的最小正周期；（2）由可求得的范圍，進而可求得的最大值和最小值，最后得解.【詳解】（1）∴；（2），，，∴當時，，當時，，∴.【點睛】本題考查向量數量積的計算公式和三角恒等變換公式，考查三角函數的單調性和周期性，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.19、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用任意角的三角函數的定義證得．（2）由已知條件利用誘導公式，證明．【詳解】解：（1）將角的頂點置于平面直角坐標系的原點，始邊與軸的正半軸重合，設角終邊一點（非原點），其坐標為.∵，∴，.（2）由于，將換成后，就有即，.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數的定義、誘導公式，屬于基礎題．20、（1）見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）通過判斷函數的單調性，求出的值域，進而可判斷在上是否為有界函數；（2）利用題中所給定義，列出不等式，換元，轉化為恒成立問題，通過分參求構造函數的最值，就可求得實數的取值范圍；（3）通過分離常數法求的值域，利用新定義進而求得的解析式．【詳解】（1）當時，，由于在上遞減，∴函數在上的值域為，故不存在常數，使得成立，∴函數在上不是有界函數（2）在上是以3為上界的有界函數，即，令，則，即由得，令，在上單調遞減，所以由得，令，在上單調遞增，所以所以；（3）在上遞減，，即，當時，即當時，當時，即當時，∴.【點睛】本題主要考查學生利用所學知識解決創(chuàng)新問題的能力，涉及到函數求值域的有關方法，以及恒成立問題的常見解決思想．21、（1）見證明；（2）見證明【解析】

（1）設與的交點為，連結，證明，再由線面平行的判定可得平面；（2