2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江蘇省無錫市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+2i,貝股（1一。=（）

A.-1+3iB.3—iC.—1—31D.3+i

2.為了調(diào)查某地高中“課外閱讀”的實施情況，某報采用分層抽樣的方法從該地的甲，乙，

丙三所高中共抽取80名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，已知甲，乙，丙三所高中分別有2400,3360,1920名

學(xué)生，則從甲校中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）

A.20B.25C.30D.35

3.已知一個水平放置的四邊形ABCD,用斜二測畫法畫出它的直觀圖是一個底角為45。，上

底長為1,下底長為2的等腰梯形AB'C'D',則四邊形ABCD的面積為（）

t

4.己知向量,=（一1,2）,b=（3,4）,c=2a-Ab，若7J.B，則實數(shù)2=（）

A.一看B.gC.一gD.

5.一組數(shù)據(jù)27,12,15,14,31,17,19,23的第70百分位數(shù)是（）

A.17B.19C.23D.31

6.在△ABC中，A=^,B=需，c=2,則a=（）

A亨B.亨C"D.2^T2

7.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次，記事件A="n次中至多有一次反面朝上"，事件B="n次

中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列說法不正確的是（）

1

=

A.當(dāng)n=2時，PQ4B)4-B.當(dāng)71=2時，4與B不獨立

C.當(dāng)n=3時，P(2uB)=|D.當(dāng)n=3時，4與B不獨立

O

8.已知正四棱臺4BCD-4iBiGDi的對角面4&C1C的面積為72,側(cè)面斗公當(dāng)口的面積為81,

則該正四棱臺下底面與上底面面積之差的絕對值為（）

A.96B.180C.252D.280

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件4=”出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，事件B="出現(xiàn)點數(shù)為3”,

事件C="出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，事件。=”出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，則以下選項正確的是（）

A.A與B互斥B.A與D互為對立事件

C.P（C）=gD.P（CD）=P（B）

10.在△ABC中，AD=^AB+^AC,BC=4,tan"DC=|,|同|=Q3,則下列結(jié)論正

確的有（）

A.BD=3DCB.4C=2

C.AABC的面積為3D.△ABC的外接圓半徑為門

11.已知正方體/^。。一治為口劣的棱長為2,當(dāng)為上有兩個動點E,F,且EF=1,則下列

結(jié)論中正確的是（）

A.直線4E和直線CQ始終異面B.直線4C與平面BEF所成角為90。

C.△AEF的面積與^BEF的面積相等D.三棱錐B-4EF的體積為定值

12.窗花是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，體現(xiàn)了中國人民的勞動智慧：圖1是一個正八邊

形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形力BCDEFGH的邊長

為2,P是正八邊形ZBCDEFGH邊上任意一點，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.OA+OG=

B.近在荏方向上的投影向量為南

C.若而=AAG+11AC，則〃=(<7+1)4

D.兩?廂的取值范圍為［一1,12+8一%

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知樣本的各個個體的值由小到大依次為1,4,4,7,a,b,12,13,19,20(a,b6N),

且樣本的中位數(shù)為11，則樣本的平均數(shù)為.

14.已知△ABC三個內(nèi)角4B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,且Cas譏B-bcosA=0,當(dāng)

b=3V-3?a=3時，c=.

15.已知圓錐的高為2,體積為8兀，若該圓錐頂點和底面圓周上所有點都在同一個球面上，

則此球的體積為.

16.甲、乙兩名選手參加一項射擊比賽，射擊一次命中目標(biāo)得2分，未命中目標(biāo)不得分.若甲、

乙兩人每次射擊命中率分別為|和P，甲、乙兩人各射擊一次，且甲得分不超過乙得分的概率

為。.則P的值為，兩人各射擊三次得分之和不超過8分的概率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

2

已知復(fù)數(shù)Z1=m+(4-7n)i(mGR'),z2=2cos6+(2—3sbi0)i(/l,0GR).

(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Zi所對應(yīng)的點位于第二象限，求小的取值范圍；

(2)已知Zi=z2,求4的最大值.

18.(本小題12.0分)

在一場文藝比賽中，8名專業(yè)人士和8名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分.

下面是兩組評委對同一名選手的打分：

小組44446554749555145

小組B5540616542474668

(1)請寫出這16個分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，極差以及4、B兩組各自的平均成績；

(2)請你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷小組A與小組B中哪一個更像是由專業(yè)人士組成，并說明

理由.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四面體4-中，平面4BC平面4CD,Z.ABD=乙BCD=90°,4BCA為銳角，E是

4B的中點，P是DE的中點，點Q在線段4C上，且4Q=3QC.

(1)求證：PQ〃平面BCD；

(2)求證：48_L平面BCD.

20.(本小題12.0分)

如圖，已知。為平面直角坐標(biāo)系的原點，4(4,0),點B,C在第一象限，且滿足沅=3荏，OA-

AB=AB-BC=4.

(1)求B和C的坐標(biāo)；

(2)若AC交OB于點。，求COSNOLM.

21.(本小題12.0分)

記AABC三個內(nèi)角力，B,C的對應(yīng)邊分別為a,b,c,已知I2b=a+c,點。在邊AC,BDsinA+

bsinC=2bsin/-ABC.

(1)證明：BD=b；

(2)從下面的兩個條件中選擇一個補充在題目條件中，求器的值.

①COSZJ4BC=9且Q>C;

]

②cos"——

22.體小題12.0分)

如圖，在正三棱柱4BC-A'B'C'中，AB=6,AA'=8,動點P在4B'上，動點Q在AC上，且

滿足AQ=24P=23te[0,5],R為CC'的中點.

(1)當(dāng)￡=5時，求PQ與底面ABC所成角的正切值；

(2)當(dāng)平面PQR〃B4'C'時，求t的值；

(3)是否存在t,使得平面PQR1平面AA'B'B?若存在，求出t的值，若不存在，說明理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：z=1+2i,

z=1—2i>

：.z(l-i)=(1-2i)(l-i)=-l-3i.

故選：C.

利用共粗復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算法則求解即可.

本題主要考查共輾復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：???抽樣比為801

2400+3360+1920=96,

從甲校中應(yīng)抽取的人數(shù)為2400x表=25.

故選：B.

確定抽樣比，根據(jù)分層抽樣的方法得出結(jié)果.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：根據(jù)斜二測畫法可知，原圖形為直角梯形，其中上底為1,下底為2,高為二,

所以四邊形的面積為gx(1+2)xC=亨

故選：A.

根據(jù)斜二測畫法可知，原圖形為直角梯形，其中上底為1,下底為2,高為C，再利用梯形的面

積公式求解即可.

本題主要考查了平面圖形的直觀圖，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解:由于知向量6=(-1,2),3=(3,4)，c=2a-Ah=(-2-31,4-42)，

由于31石,

故：3x（—2—32）+4x（4-44）=0,解得4=（.

故選：D.

直接利用向量的坐標(biāo)運算，向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量的坐標(biāo)運算，向量垂直的充要條件，向量的數(shù)量積，主要考查學(xué)生的

理解能力和計算能力，屬于中檔題.

5.【答案】C

【解析】解：將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：12,14,15,17,19,23,27,31共8個數(shù),

則8x70%=5.6,則該組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是第六個數(shù)，即23.

故選：C.

由百分位數(shù)的定義求解即可.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由于在AABC中，A=l8=舞

412

所以:

由于C=2,利用正弦定理：亮=磊，整理得告=胃，解得a=啰.

S171/1SLTIL,-~2~3

故:。=宇

故選：A.

直接利用三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：當(dāng)n=2時，所有基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4種,

A中基本事件有：（正，正），（正，反），（反，正），共3種，

B中基本事件有：（正，正），（反，反），共2種，

4CB中基本事件有：（正，正），共1種，

???P（A）=pP（B）=/2（48）=/,故A正確；

MPQ4）P（B）,.?.事件4與事件B不獨立，故B正確；

當(dāng)n=3時，所有基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，

正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8種，

4中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），共4種，

B中基本事件有：（正，正，正），（反，反，反），共2種，

4nB中基本事件有：（正，正，正），共1種，

4UB中基本事件有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（反，反，反

15

8-8-

???P（AB）=P（A）P（B）,.?.事件4與事件B獨立，故力錯誤.

故選：D.

首先，列出和4UB事件，再求概率，然后根據(jù)P（4B）與P（A）P（B）的關(guān)系，判斷兩個事件是

否獨立.

本題考查古典概型、列舉法、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意，分別過Bi，J,5作平面ABCD的垂線，垂足分別為4，%,Q，D2,

在平面441B1B內(nèi)，過久作A8的垂線，垂足為0,連接0人2，如圖，

vA14平面ABC。，ABu平面ABC。，AtA21AB,

■■■At01AB,&。n&&=4，ABJ■平面人出。，

??,人2。U平面440,AAB1A20,

在正四棱臺4BCD-AIB】CI￡)I中，上下底面相似，設(shè)其相似比端=九

設(shè)AB=Q,A1B1=Aa,在正方體4BCD中，AC=y/~2a^A1C1=\T~2Xay

在正四棱臺/BCD-4/1QJ中，/遇2,平面???4”。，

則對角面的面積S1=？A41?(AC+4G)=|?A^2■(\T2a+t入cC)=殍-AtA2-(a+Aa)=

72,

側(cè)面面積S2=}40?(4B+4出)=*40?(a+4a)=81,

.￡1=''=/勺_72解得如空=生2

"S241。81附E/li。9

???4遇2，平面ABC。，A20u平面ABCD,:.ArA21A20,

I

在Rt△4遇2。中，sinzX10424，smz.Ax0A2=???cosZ-A1OA2=

vi41X2,B1B2)的。2，。1。2J-平面ABCD,???=A2B2>

正方形&B1GD1與正方形4282c2。2全等，

在正四棱臺4BCD-&B1C1D1中，四邊形42B2B/I、四邊形82c2。仄四邊形四邊形力2。2。力

全等，

???上下底面的面積之差的絕對值為4x63=252.

故選：C.

根據(jù)題意作圖，結(jié)合正四棱臺的幾何性質(zhì)，建立方程，求得已知面積的圖形的高之比，利用等腰

梯形的面積公式，能求出該正四棱臺下底面與上底面面積之差的絕對值.

本題考查正四棱臺的幾何性質(zhì)、等腰梯形的面積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，

事件4="出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，事件B="出現(xiàn)點數(shù)為3"，事件C="出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，事

件。="出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，

對于44與B不能同時發(fā)生，是互斥事件，故4正確；

對于8,4與。不能同時發(fā)生，不能同時不發(fā)生，是對立事件，故8正確；

對于C,P(C)=；=J,故C錯誤；

O3

對于O,P(CD)=P(B)=g-1故。正確.

6

故選：ABD.

利用互斥事件、對立事件的定義直接求解.

本題考查互斥事件、對立事件、古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：由題意，可作圖如右圖：)

對于4，設(shè)BD=4DC,則麗=4反，麗=￡菰，

■■AD=AB+BD=AB+工^

---------------\

=AB+-^(AC-AB')Q

=1Ad4-——~^C.

(1=3

又而=，南+：彳?，貝“1?：，解得;1=[,故A錯誤；

44|人_13

11+1-4

對于8,由4選項可知8。=2DC,且BC=4,貝ijB。=1,DC=3,

由tan乙4DC=：，且N4DC€(0,兀)，可得cos乙4DC=*^，

在小ADC中，AC2=AD2+CD2-2-AD-CD-cos^ADC=13+9-2XV-T3X3X洋產(chǎn)=4.

解得力C=2,故8正確；

對于C,由B選項可知AC=2,由題設(shè)，40=「方，

則4c2+。。2=4。2,即zcj.BC,

11

所以24叱=》4>3。=5'2>4=4，故C錯誤；

對于D,由C選項可知AABC為直角三角形，

該三角形的外接圓的半徑為斜邊AB的一半，

又AB=VAC2+BC2=V4+16=2屋,故。正確.

故選：BD.

對于4,根據(jù)平面向量的線性運算，建立方程，可得答案；對于B,由角的正切值求得余弦值，根

據(jù)三角形的余弦定理，可得答案；對于C,根據(jù)勾股定理的逆定理，結(jié)合直角三角形的面積公式，

可得答案；對于D,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得答案.

本題考查平面向量基本定理，三角形中的幾何計算等知識，屬中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：對4選項，如圖，當(dāng)E為&G與當(dāng)名的交點時，

直線4E和直線CG共面，:4選項錯誤；

對B選項，由正方體的性質(zhì)易知AC1對角面BDD1a,

故直線4c與平面BEF所成角為90。，B選項正確；

對C選項，?.?△4占。1是邊長為的正三角形，

4到EF的距離為分x2c=又B到EF的距離為2,

4EF的面積與4BEF的面積不相等，C選項錯誤；

對。選項，rEFul,又4到EF的距離為定值，

??.△4EF的面積為定值，

又B到平面的距離也為定值，

.??三棱錐B-4EF的體積為定值，二。選項正確.

故選：BD.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，異面直線所成角的概念，三角形的面積公式,三棱錐的體積公式，即可分別

判斷.

本題考查正方體的性質(zhì)，異面直線所成角的概念，三角形的面積公式，三棱錐的體積公式，屬中

檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：如圖所示：以力E所在直線為y軸，GC

所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)正八邊形邊長為a,則N40B=乙BOC=乙COD=

乙DOE=乙EOF=乙FOG=4GOH=Z.HOA=%

在404B中，由余弦定理可得:4=a2+a2-2a2x

cos稱,解得a?=4+2V-2.

又4(0,-a),B(分a,-苧a)，C(a,0),

E(0,a),F(—2~~n,a)>G{—a,0),H(—2~a,—

對于4???07=(0,—a),而=(一見0),

**?OA4~OG—(—CL,-a),又V~~2DO—V__2(—a,—CL)—(—u,一Q)，

則就+而前，故A正確；

對于B：麗=(—a,a),AB=a,a—a),

CEAB_-^a2+a2-^a2_—

荷二京2+(Q—?22=-于

，而在何方向上的投影向量為-?近，故B錯誤;

)"—Qi-Q

對于C?AD=(―^―CL,CL+ci)?AG=(-a,a),AC—(Q,Q)，

右4。=AAG+〃AC,則ci,Q+a)=(—AQ+XCL+，

(yT2_]工

|~T~d=—ACL+jtza1、/

]r-o，解得a=5，〃=—-—，則〃=+1)九故c正確;

Q+Q=Ad+[Id

對于D,取4B的中點M,則對+方=2而，同一麗=瓦？=2褚，

則（丙+而）2=4麗:（以一而>=4國

兩式相減得：PA-PB=PM2-Mf=PM2-

當(dāng)點P與點M重合時，由2最小為0,此時成?麗的最小值為—1,

由正八邊形的對稱性知，當(dāng)點P與點E或F重合時，麗2最大,

又叭？a，T-?a)，E(O,a),

會

23苧

1麗Z22

所以EM=a,—|a—a)>L2-=13+8<^，

PA-麗的最大值為前-1=12+8>/~2>

則可?麗的取值范圍為[-1,12+8/2],故D正確.

故選：ACD.

以4E所在直線為y軸，GC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運算

判斷4利用投影向量的概念求解后判斷B；利用向量的坐標(biāo)運算及平面向量基本定理判斷C；取48

的中點M，得到同.麗=pjif—羽彳2=麗2_4,求出PM的最值，從而得到瓦？?麗的范圍，即

可判斷D.

本題考查用坐標(biāo)法解決平面向量的線性運算，數(shù)量積運算問題，屬中檔題.

13.【答案】10.2

【解析】解:因為樣本的各個個體的值由小到大依次為1,4,4,7,a,b,12,13,19,20(a,beN),

且樣本的中位數(shù)為11,

所以半=11,

解得a+b=22,

則樣本平均數(shù)為l+4+4+7+a+b+12+13+19+20102

16To-10.2.

故答案為：10.2.

由題意，根據(jù)中位數(shù)的定義可得a與b的關(guān)系，再利用平均數(shù)的公式進(jìn)行求解即可.

本題考查中位數(shù)和平均數(shù)，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】3或6

【解析】解：因為VNasinB—bcosA=0，所以由正弦定理得/NsinAsinB=sinBcosA>

因為86(O,TT),所以sinB豐0,

所以=cosAy即tanA=

又因為46(0,兀),所以4屋.

由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA,

得c2-9c+18=0,解得c=3或6.

故答案為：3或6.

由正弦定理化邊為角，化簡可求出角4,利用余弦定理求出c.

本題考查的知識要點：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

15.【答案】詈7r

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,圓錐的高為八

因為圓錐的高為2,體積為8兀，所以g“2%=8兀,

即:兀xr2x2=8TT,解得r=2-7-3，

當(dāng)圓錐頂點與底面在球心。的兩側(cè)時，如圖，

圓錐S3的底面半徑。送=2，？，高S3=2,

設(shè)球。的半徑為R,則（2-/?）2+（2，1）2=/?2,

解得R=4,

當(dāng)圓錐頂點與底面在球心。的同側(cè)時，如圖，

圓錐SO1的底面半徑0遇=2，？，高S0i=2,

設(shè)球。的半徑為R,則（R-2/+（2，與）2=R2,

解得R=4.

綜上，此球的半徑為4,

球的體積為1/=號兀/?3=竽

故答案為：-|-7T.

首先由己知求得圓錐底面半徑,再設(shè)球的半徑為R,根據(jù)圓錐的幾何特征，可得R2=（/?-九）2+r2,

解出半徑，則球的體積可求.

本題考查圓錐的外接球，考查空間想象能力與思維能力，體現(xiàn)了分類討論思想，屬于中檔題..

16.【答案】眈

4io

【解析】解：設(shè)“甲射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件4,“乙射擊一次，擊中目標(biāo)”為事件B,

則PQ4)=：,P(B)=p,

???甲、乙兩人各射擊一次，且甲得分不超過乙得分的概率為自

O

???PQ4B)+P(AB)+P(/B)=PQ4)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=|,

.1.|p+1p+i(l-p)=|,解得p=，,

記兩人各射擊三次得分之和為f,f的可能取值是0,2,4,6,8,10,12,

P(f=10)=(|)3x或(|)2x3+C抬7x|x(令3=A,

P(f=12)=(|)3x(1)3=l,

???兩人各射擊三次得分之和不超過8分的概率為P=1—P(f=10)-P(f=12)=磊.

故答案為：7；1

416

由題意寫出關(guān)于P的方程，解方程求出p的值；記兩人各射擊三次得分之和為f,f的可能取值是0,

2,4,6,8,10,12,求出P(6=10),P(f=12),結(jié)合對立事件的概率關(guān)系能求出結(jié)果.

本題考查相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)復(fù)數(shù)21=m+(4-血2)火M6/?),因為復(fù)數(shù)Zi所對應(yīng)的點位于第二象限，

所以｛；：22>0,解得：一2<加<0,

故m的取值范圍為(一2,0)；

⑶因為z1=Z2,所以｛k泮工3sM

OQ

所以A=4-4cos2。+3sin9=4sin26+3sin9=4(sin0+-)2--,

olo

因為eGR,所以sizi。E[—1,1],

當(dāng)sin。=1時，Amax=4+3=7,

所以；l的最大值為7.

【解析】(1)由復(fù)數(shù)Zi所對應(yīng)的點位于第二象限，貝山；：22>0,解不等式即可得出答案.

(2)由復(fù)數(shù)相等可得吃:_3s.nd，即;I=4(s譏6+，_2，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即

可.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)易知在這16個分?jǐn)?shù)中，出現(xiàn)最多的是55,其中最高分為68,最低分為40,

所以眾數(shù)為55,極差為68-40=28,

i-44+46+55+47+49+55+51+45.-55+40+61+65+42+47+46+68

則mi當(dāng)=-----------§-----------=49n,4=------------------§-----------------=53；

(2)因為專業(yè)評委給分更符合專業(yè)規(guī)則，相似程度更高，可以用方差來衡量每一組評委打分的相似

性，

方差越小，分?jǐn)?shù)越集中，相似程度越高，

易知貨=|[(44-49產(chǎn)+(46-49)2+(55-49)2+(47-49)2+(49-49)2+(55-49)2+

2

(51-49)+(45-49/]=1625,

sj[(55-53)2+(40-53)2+(61-53)2+(65-53)2+(42-53)2+(47-53)2+(46-

O

53)2+(68-53月=101.5,

因為呢＞sl，

所以4組更像是由專業(yè)人士組成.

【解析】(1)由題意，根據(jù)眾數(shù)、極差和平均數(shù)的定義及計算公式進(jìn)行求解即可；

(2)因為專業(yè)評委給分更符合專業(yè)規(guī)則，相似程度更高，可以用方差來衡量每一組評委打分的相似

性，方差越小，分?jǐn)?shù)越集中，相似程度越高，利用方差公式求出4B兩組的方差，進(jìn)而即可求解.

本題考查平均數(shù)、眾數(shù)、極差和方差，考查了邏輯推理和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)取BD中點F,在BC上取點M,滿足=3MC,

因為P為DE中點，尸為中點，

所以PF〃BE,PF=\BE,

因為"=也=工，

^yJCACB4

所以QM〃AB,OM=^AB,

從而PF〃QM,PF=QM,

所以四邊形PFMQ是平行四邊形,

所以PQ〃FM,

又PQU面BCD,FMu面BCD,

所以PQ〃平面BCD.

(2)過B作BH1AC,垂足為H,

因為NBCA為銳角，

所以H和C不重合，

因為面ABC_L面4CD,面ABCn面ACD=4C,BHu面ABC,BH1AC,

所以BHL^ACD,

因為CDu面4CD,

所以BH1CD,

又因為CDIBC,BH,BCu面ABC,BHOBC=H,

所以CD_1_面48。，

因為48u面ABC,

所以CD_LAB,

又因為ABIB。，BD,CDu面BCD,BDCCD=D,

所以AB1面BCD.

【解析】(1)取BD中點凡在BC上取點M,滿足BM=3MC,可證得四邊形PFMQ是平行四邊形,

所以PQ〃FM,進(jìn)而證得結(jié)論；

(2)過B作BH1AC,垂足為H,通過證明BH1CD,CD1AB,進(jìn)而利用線面垂直的判定即可證明

AB_L面BCD.

本題考查了線面平行的判定和線面垂直的判定，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴設(shè)B(a,b),則荏=(a—4,b),

OC=3AB=(3a-12,3b)，即C(3a-12,3b),

又市=(4,0)，則市?荏=4a-16+0?b=4，

解得a=5,故8(5,b),C(3,3b),

則荏=(l,b),BC=(-2,2b)，

：.AB-BC=-2+2b2=4,由b>0,解得b=C，

故可得B(5,C)，C(3,3AT3);

(2)由題意，可作圖如下：

y

由次=3荏，可得4B〃0C,=

易知△ABD^^CDO,可得第=黑=黑=今

LzUU\JlzUJ

則詬=3循由B（5,C）,可得。岑,平），

/1577^*A3V~3、

■-D0=（--,一一—）?DA=（-）一一1），

527123

-+--=--=-

DODA=616164

2---c--=—<7，

網(wǎng)I=J2+*4------2

3

DODA1

???cosZ-ODA=

\DO\\DA\一亨X?~7-

【解析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，建立方程，可得答案;

(2)根據(jù)相似三角形，求得交點的坐標(biāo)，利用數(shù)量積與模長公式，求得夾角.

本題主要考查用坐標(biāo)法表示平面向量及平面向量的坐標(biāo)運算，屬中檔題.

21.【答案】證明：（l）???2b=Q+c,

???a=2b—c,

由正弦定理及BDsi幾4+bsinC=2bsin乙ABC,

得BD?Q+be=2b2,

2廿一beb（2b-c},

.?.BDDn=----------=-7-r--=b，

a2b-c

???BD—b；

解：（2）選①：由余弦定理得：b2=a2+c2-

11

2accos/-ABC=99——ac,

o

v2b=Q+c,

D

,a+C、22I211

???（▼）/=a/+c」--r-ac,

Zo

整理得：2a2—5ac+2c2=0,

???a=gc或Q=2c,

aNc,?*?ci—2c,

???b2=4c2+c2—X2c2=2c2,...b="

842

設(shè)藍(lán)=t（t>0）,則℃=白，

在AABC中，cose=">2,①

2ab

在△BCD中，cosC=，呵,②

2a京

由①②解得：t=筆紅，

?AD—7_+_3__/_7_1?

?'DC~14'

選②：由余弦定理得：a2=62+c2-2bccosA=62+c2+1Z?c,

v2b=Q+c,

???（2b-c）2=b24-c2

整理得：h=|c,

a2=7c2+c2+x^c2=4c2,???a=2c,

422

設(shè)嚶=t(t>0),則。c=上,

在△ABC中，cosC=史晨巴①

2ab

..a2+（TT7）2-62公

在△BCD中，cosC=—四一，（2）

2a~

由①②解得：《=卓/

.AD_7+3<^1

~~?

DC14

【解析】(1)由正弦定理和條件式化簡即可證明;

(2)選①：由余弦定理和題中條件可得a=2c,b=|c,設(shè)喘=t(t>0),再在△4BC和△BCD中由

余弦定理即可求得t；

選②：由余弦定理和題中條件可得a=2c,b=|c,設(shè)境=t(t>0),再在UBC和△BCD中由余

弦定理即可求得t.

本題考查正余弦定理在解三角形中的運用，屬于中檔題.

22.【答案】解：(1)以A為原點，4與B'C'中點連線為x軸，44'所在直線為z軸，過點《與mC’平行

的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系：

A(0,0,0),B(3<-3,-3(8),C'(3/3,3,0),>4(0,0,8),夕(3/1,-3,0)，C(373,3,8).

所以痔=(3，？,一3,—8)，莉=(3，？,3,8)，

因為4P=t,AB'=V62+82=10,

所以存一相=(得，端，-6

所以P(嗒，-黯