2023-2024學(xué)年遼寧省丹東第四中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年遼寧省丹東第四中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在四邊形中，，，，，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，點(diǎn)在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．2．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為（）A． B．C． D．4．已知分別為圓與的直徑，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．如圖，四邊形為正方形，延長(zhǎng)至，使得，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).設(shè)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知中，角、所對(duì)的邊分別是，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充分必要條件7．已知定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值為（）A． B． C． D．9．已知，若對(duì)任意，關(guān)于x的不等式（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）至少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知為正項(xiàng)等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則的值是()A．29 B．30 C．31 D．3211．在等差數(shù)列中，，，若（），則數(shù)列的最大值是（）A． B．C．1 D．312．點(diǎn)為棱長(zhǎng)是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.14．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_________．15．三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160，240，400，為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績(jī)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本，若在學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績(jī)的份數(shù)為30，則抽取的樣本容量為_(kāi)___________.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓及點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，在中，若的角平分線與相交于點(diǎn)，則的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開(kāi)展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來(lái)越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：123456758810141517（1）經(jīng)過(guò)進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取600元購(gòu)物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒(méi)有購(gòu)物券．已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為．現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購(gòu)物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，，，．18．（12分）如圖，已知拋物線：與圓：（）相交于，，，四個(gè)點(diǎn)，（1）求的取值范圍；（2）設(shè)四邊形的面積為，當(dāng)最大時(shí)，求直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，角為銳角，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值.20．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).22．（10分）已知橢圓：的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，，切點(diǎn)分別，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的坐標(biāo)，求出邊所在直線的方程，設(shè)，利用坐標(biāo)表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由，，，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，設(shè)，解得，所在直線的方程為因?yàn)辄c(diǎn)在邊所在直線上，故設(shè)當(dāng)時(shí)故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，關(guān)鍵是建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題.2、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.3、C【解析】根據(jù)命題的否定，可以寫(xiě)出：，所以選C.4、A【解析】

由題先畫(huà)出基本圖形，結(jié)合向量加法和點(diǎn)乘運(yùn)算化簡(jiǎn)可得，結(jié)合的范圍即可求解【詳解】如圖，其中，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題5、C【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可解決.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則，，設(shè)，則，所以，且，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求變量的取值范圍，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，本題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，是一道基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由大邊對(duì)大角定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】中，角、所對(duì)的邊分別是、，由大邊對(duì)大角定理知“”“”，“”“”.因此，“”是“”的充分必要條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力，是基礎(chǔ)題．7、A【解析】

因?yàn)榻o出的解析式只適用于，所以利用周期性，將轉(zhuǎn)化為，再與一起代入解析式，利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4，當(dāng)時(shí)，，，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.8、B【解析】

列出每一次循環(huán)，直到計(jì)數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：，退出循環(huán)，輸出的為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容易題.9、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知，要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)（），則（），所以在上單調(diào)遞增，所以，故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x，使得成立，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.，整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問(wèn)題中求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力和邏輯推理能力,難度較難.10、B【解析】

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為q，則a4=16q3，a7=16q6，a4與a7的等差中項(xiàng)為，即有a4+a7=，即16q3+16q6，=，解得q=（負(fù)值舍去），則有S5===1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．11、D【解析】

在等差數(shù)列中,利用已知可求得通項(xiàng)公式,進(jìn)而,借助函數(shù)的的單調(diào)性可知,當(dāng)時(shí),取最大即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以公差，所以，即，因?yàn)楹瘮?shù)，在時(shí)，單調(diào)遞減，且；在時(shí)，單調(diào)遞減，且.所以數(shù)列的最大值是，且，所以數(shù)列的最大值是3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問(wèn)題,難度較易.12、C【解析】

設(shè)的中點(diǎn)為，利用正方形和正方體的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，最后求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長(zhǎng)為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系：因此有，設(shè)平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查了立體幾何中軌跡問(wèn)題，考查了球截面的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.14、【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳，紅球?yàn)锽，黃球?yàn)椋瑒t一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點(diǎn)：古典概型概率15、【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.【詳解】設(shè)抽取的樣本容量為x，由已知，，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力，是一道容易題.16、【解析】

由角平分線成比例定理推理可得，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)表示向量構(gòu)建方程組表示點(diǎn)P坐標(biāo)，代入圓C方程即可表示動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，再由將所求視為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，所以其最值為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑.【詳解】由題可構(gòu)建如圖所示的圖形，因?yàn)锳Q是的角平分線，由角平分線成比例定理可知,所以.設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，即，則，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則，故點(diǎn)Q的運(yùn)功軌跡是以為圓心為半徑的圓，又即為該圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離，因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查與圓有關(guān)的距離的最值問(wèn)題，常常轉(zhuǎn)化到圓心的距離加減半徑，還考查了求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（I）由題意可得，，則，，關(guān)于的線性回歸方程為．（II）由題意可知二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，．據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元．試題解析：（I）依題意：，，，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為．（II）二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，，．所以，總金額的分布列如下表：03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元．18、（1）（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為【解析】

將拋物線方程與圓方程聯(lián)立,消去得到關(guān)于的一元二次方程,拋物線與圓有四個(gè)交點(diǎn)需滿足關(guān)于的一元二次方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)即可得到關(guān)于的不等式組,解不等式即可.不妨設(shè)拋物線與圓的四個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，據(jù)此可表示出直線、的方程,聯(lián)立方程即可表示出點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)等腰梯形的面積公式可得四邊形的面積的表達(dá)式,令,由及知,對(duì)關(guān)于的面積函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性和最值,即可求出四邊形的面積取得最大值時(shí)的值,進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）聯(lián)立拋物線與圓的方程消去，得.由題意可知在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.所以解得，所以的取值范圍為.（2）根據(jù)（1）可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，（），則，，，，且，，所以直線、的方程分別為，,聯(lián)立方程可得,點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?所以，令，則，所以，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取得最大值，因?yàn)?點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以當(dāng)四邊形的面積取得最大值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線相關(guān)的最值問(wèn)題；考查運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;利用函數(shù)的思想求圓錐曲線中面積的最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.19、（1）；（2）7.【解析】分析：（1）由三角形面積公式和已知條件求得sinA的值，進(jìn)而求得A；（2）利用余弦定理公式和（1）中求得的A求得a．詳解：（1）∵，∴，∵為銳角，∴；（2）由余弦定理得：.點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.20、（1）；（2）【解析】

（1）分類(lèi)討論去絕對(duì)值號(hào)，即可求解；（2）原不等式可轉(zhuǎn)化為在R上恒成立，分別求函數(shù)與的最小值，根據(jù)能同時(shí)成立，可得的最小值，即可求解.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí),不等式可化為,得，無(wú)解；②當(dāng)-2≤x≤1時(shí),不等式可化為得x>0,故0<x≤1;③當(dāng)x>1時(shí),不等式可化為,得x<2,故1<x<2.綜上，不等式的解集為（2）由題意知在R上恒成立，所以令，則當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，取得最小值，且又所以當(dāng)時(shí)，與同時(shí)取得最小值.所以所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】