數(shù)學(xué)文化 課件 14-數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)文化

第十四章數(shù)學(xué)美章節(jié)目錄14.1數(shù)學(xué)美的特征14.2數(shù)學(xué)方法美*14.3

數(shù)學(xué)的審美直覺性原則14.1數(shù)學(xué)美的特征由于美是一種意識，所以對什么是美，每個人都有不同的理解。在《美學(xué)大觀》一書中有中外美學(xué)家對美的本質(zhì)的多種看法，如：美是和諧；美即有用；美在于將零散的因素結(jié)合成統(tǒng)一體；美與真、善相統(tǒng)一；美在于完善；美是關(guān)系；美是直覺，即成功的表現(xiàn)；美是典型；美是主客觀的統(tǒng)一；美是人的本質(zhì)力量對象化，等等。人們對美本身就有許多形容，如壯美，俊美，秀美，柔美，優(yōu)美，不同的形容方式反映了人們對美的不同理解和感覺，反映了美的多樣性。數(shù)學(xué)美是一種科學(xué)美，也有其多樣性，也可適當(dāng)分類。一般我們把數(shù)學(xué)美歸結(jié)為簡潔、對稱、和諧和奇異。我們分別就這四方面作一些討論和分析。

數(shù)學(xué)以簡潔著稱。數(shù)學(xué)的簡潔性并不是指數(shù)學(xué)內(nèi)容本身簡單而是指數(shù)學(xué)表達(dá)形式與數(shù)學(xué)理論體系的結(jié)構(gòu)簡潔。它主要表現(xiàn)在其表達(dá)的形式上、符號上、語言上、方法上。

簡潔美不只存在于數(shù)學(xué)中，在藝術(shù)設(shè)計中也以簡潔為基本要求之一。建筑物的外裝修一般強(qiáng)調(diào)簡潔的線條；標(biāo)志性設(shè)計也強(qiáng)調(diào)筆法的簡潔。當(dāng)然，在簡潔之中亦希望盡可能有深刻的寓意，富于想象力。徽標(biāo)、圖案等皆如此，國畫藝術(shù)尤其顯示了這一點。14.1.1簡潔美

數(shù)學(xué)的簡潔美首先表現(xiàn)在數(shù)學(xué)中最基本的位值制上。1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，這是個符號是全世界普遍采用的，它們表達(dá)了全部的（任何大小的）數(shù)，書寫也十分方便，運算也十分靈便。18世紀(jì)一位法國著名數(shù)學(xué)家曾說過，“用不多的記號表示全部的數(shù)的思想，賦予它的除了形式上的意義外，還有位置上的意義，它之如此絕妙非常，正是由于這種簡易得難以估量。”這里，關(guān)于“位置上的意義”，指的是數(shù)字的進(jìn)位表達(dá)或說是位值制。而且，不管是多大或多小的數(shù)字，表達(dá)起來都十分方便與簡潔。

例如，這樣巨大的數(shù)字，一般語言就說不太清楚了，更不要說像等更大的數(shù)字了；而則是非常非常小的數(shù)字。比起0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個符號來，僅有0和1這兩個符號的數(shù)字表示系統(tǒng)似乎更簡潔了。但這要作具體分析。一方面，符號雖大大減少了，但實際書寫時，用二進(jìn)位反而不如十進(jìn)位簡單。例如，在十進(jìn)制中的兩位數(shù)89，用二進(jìn)制表示時卻變?yōu)橐粋€7位數(shù)1011001，可見書寫時反而復(fù)雜了，而像十進(jìn)制數(shù)字1015，要用二進(jìn)制書寫就更不方便、不簡潔了。但另一方面，僅有0和1這兩個符號的系統(tǒng)對電子計算機(jī)的運算卻又是最適合不過的了。今日計算機(jī)的廣泛應(yīng)用，二進(jìn)制功不可沒。所以簡潔的概念有時也是相對的，我們不能絕對地去想象它。

數(shù)學(xué)的簡潔美還表現(xiàn)在其他數(shù)學(xué)符號上。數(shù)學(xué)符號有許多種，前面已提到了一些數(shù)字符號，還有代數(shù)的符號、幾何的符號、幾何的符號、運算的符號、函數(shù)的符號，等等。如字母x、y、z代表任何的變數(shù)，表示三角形，表示圓，等號是=，//是平行關(guān)系的符號，表示垂直關(guān)系等，既簡單又明了，不僅簡潔，而且反映了事物最內(nèi)在的本質(zhì)，減輕了想象的任務(wù)。再如這樣優(yōu)美的式子，是在萊布尼茨符號下才能出現(xiàn)的，優(yōu)美且有效，理想與現(xiàn)實緊密相連在一起。數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)語言的基本成分，而數(shù)學(xué)語言是科學(xué)語言，其獨特之處在于普通語言是無法替換它的。現(xiàn)代科學(xué)離開了數(shù)學(xué)語言，就無法表達(dá)自己。越來越多的科學(xué)用數(shù)學(xué)語言表述自己，這不僅是因為數(shù)學(xué)語言的簡潔，而且是因為數(shù)學(xué)語言的精確及其思想的普遍性與深刻性。例如，下面幾個著名的定律：

前二兩個式子分別是牛頓第一定律（慣性）和第二定律，第三個式子是萬有引力定律。慣性定律說的是，在沒有外力的條件下，物體保持原來的運動（或靜止）狀態(tài)，然而簡潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)了定律的實質(zhì)。第二定律說的是，力和質(zhì)量和加速度成正比，數(shù)學(xué)式子表達(dá)了明確的比例關(guān)系。而當(dāng)質(zhì)量是常數(shù)的時，式子可寫為若用a表示加速度，則又可以表述為萬有引力定律說的是，任何兩個物體之間都有引力存在，其大小與兩物體質(zhì)量之積成正比，與距離的平方成反比，式子

是多么有力且簡潔地刻畫了這一思想。那個偶然從樹上掉下來的蘋果，卻成了人類思想史的一個轉(zhuǎn)折點，促使牛頓發(fā)現(xiàn)了對人類具有劃時代意義的萬有引力定律。圖14-2萬有引力定律

第四個式子是愛因斯坦的質(zhì)能公式（圖14-3），它簡潔而深刻地描述了質(zhì)量與能量之間的關(guān)系，是現(xiàn)代原子科學(xué)的基礎(chǔ)。第五個式子是阿基米德的杠桿原理（圖14-4），難怪阿基米德自豪地說：“給我一個支點，我就能撬動地球?！眻D

14-4杠桿原理圖

14-3質(zhì)能公式

如上分析，應(yīng)當(dāng)說數(shù)學(xué)的簡潔美最主要的表現(xiàn)是它對復(fù)雜的自然現(xiàn)象的簡潔描述上。從人類的認(rèn)識與實踐活動的過程來看，經(jīng)常有這樣的現(xiàn)象：起初，人們以為某一事物比較復(fù)雜，甚至覺得其雜亂無章，當(dāng)然也就更無美感可言：但隨著認(rèn)識的深入，特別是當(dāng)用簡潔的數(shù)學(xué)公式表述出它時，就會發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)、原理并不復(fù)雜，就更會感覺到它所蘊(yùn)涵的意義，甚至越看越覺得簡單，而在越覺得它簡潔明晰的時候越欣賞它、喜歡它，越能感覺到它的美。

例如，我們在第7章中曾提到過的“色盲遺傳問題”；再如，上面提到的萬有引力定律，而這些正是著名科學(xué)家龐加萊所描述的“他們研究自然是因為他們從中得到了快樂，而他們從中得到快樂是因為它美”的具體體現(xiàn)。我們常說“天人合一”，其實就是說人與自然的和諧。數(shù)學(xué)對復(fù)雜自然現(xiàn)象的簡潔描述，促使人們比較容易地理解自然現(xiàn)象，這不是天人合一是什么？這還不美嗎？所以，龐加萊說科學(xué)家研究自然的動機(jī)是人類的審美追求也就不難理解了。

簡潔性應(yīng)當(dāng)是科學(xué)家在科學(xué)研究中堅持的一個準(zhǔn)則或目標(biāo)。著名物理學(xué)家愛因斯坦就自稱是一個到數(shù)學(xué)的簡潔性中去尋找真理的唯一可靠源泉的人。在科學(xué)史上，我們可以看到不少關(guān)于數(shù)學(xué)的簡潔性加強(qiáng)了科學(xué)家工作信心的例子。例如，從歷史上看，哥白尼正是由于堅信“自然是喜愛簡單性的”而堅持他的日心說。

因為無論從我們?nèi)庋鄣闹苯佑^察來看，還是從當(dāng)時的科學(xué)觀察數(shù)據(jù)來看，日心說在當(dāng)時并不占據(jù)優(yōu)勢，當(dāng)然，其一個最大的優(yōu)勢就是把托勒密在地心說中引進(jìn)的“本輪”由77個縮減到了33個，而正是這一“簡化”成為當(dāng)時許多科學(xué)家支持日心說的一個主要原因。在丹皮爾的《科學(xué)史》中描寫了著名天文學(xué)家、被人們稱為“天空的立法者”的開普勒的心路歷程，因為“哥白尼的體系具有更大的數(shù)學(xué)簡單性與諧和的緣故，我從心靈的最深處證明它是真的，我以難以相信的歡樂心情去欣賞它的美?！?/p>

數(shù)學(xué)語言的簡潔性與美是數(shù)學(xué)工作者多年辛勤勞動的結(jié)晶。我們可以通過“函數(shù)連續(xù)性”定義的演化過程略見一斑。關(guān)于函數(shù)連續(xù)性問題，柯西在其《分析教程》中是這樣定義的：

設(shè)

是變量x的一個函數(shù)，并設(shè)對介于給定兩個限（界）之間的x

佳值，這個函數(shù)總?cè)∫粋€有限且唯一的值。如果從包含在這兩個界之間的一個x

值開始，給變量x以一個無窮小增量α，函數(shù)本身就將得到一個增量，即差

。這個差同時依賴于新變量α

和原變量x

的值。假定這一點之后，如果對于每一個在這兩個限中間的x

值，差

的數(shù)值隨著α的無限減小而無限減小，那么就說，在變量x

的兩限之間，函數(shù)

是變量x

的一個連續(xù)函數(shù)。換句話說，如果在這兩限之間，變量的一個無窮小增量總產(chǎn)生函數(shù)自身的一個無窮小增量，那么函數(shù)

在給定限之間對于

x

保持連續(xù)。

這一定義有的地方看起來像繞口令似的，初學(xué)的人既難記也難懂。魏爾斯特拉斯采用字母化方法，就把柯西要表達(dá)的意思更精確、更簡潔地表達(dá)了出來，這就是至今沿用的

定義：

設(shè)

是變量x

的一個函數(shù)，如果給定任何一個正數(shù)

，都存在一個正數(shù)

，使得對于區(qū)間內(nèi)所有x都有，則函數(shù)

在點處連續(xù)。

你看，這簡潔美的神韻，不是躍然紙上了嗎？

數(shù)學(xué)美還表現(xiàn)在其方法的美。科學(xué)研究中我們常需注意方法得當(dāng)，此時可能就會收到事半功倍的奇效，否則將會有事倍功半之感，甚至?xí)诙鵁o獲。數(shù)學(xué)的方法美，也同樣如此。例如，大家可能都會記得高斯加數(shù)的故事，就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的方法美。它講的是數(shù)學(xué)家高斯在上小學(xué)時，也即1785年的一天，一位德國教師為了使學(xué)生有事可做，要他們把從1到100的數(shù)全都加起來。剛布置完題目不久，10歲的高斯就把寫有答案的石板交了上去。教師發(fā)現(xiàn)高斯不像其他孩子一樣是按1+2+3＋…＋100的順序依次相加，而是按下面方法相加：1+100=101,2+99=101，…,50+51=101;101x50=5050其方法之簡便，使人很難相信這是一個10歲小學(xué)生的杰作，無怪乎老師都吃驚了。

對稱是一種美，這是大家都熟悉的。在日常生活中，我們可以看到許多對稱的圖案、對稱的建筑物等。對稱是自然美的一種表現(xiàn)，繪畫中、文學(xué)作品中常用對稱的手法揭示美或表現(xiàn)美，數(shù)學(xué)當(dāng)然也有責(zé)任揭示這一美學(xué)現(xiàn)象，并把它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)的美。

在數(shù)學(xué)中，最明顯和直觀的是幾何圖形的對稱。在幾何圖形中，有所謂點對稱、線對稱、面對稱。我們試舉幾例：

14.1.2對稱美(1)

軸對稱，即線對稱。圖14-5所示為軸對稱的等腰三角形，即如果把等腰三角形

以其高線AD為軸整體地轉(zhuǎn)

，則所得的圖形將與原來的等腰三角形完全重合。(2)點對稱或中心對稱。圖14-6所示是一個平行四邊形，如果把平行四邊形ABCD繞其兩對角線的交點整體地旋轉(zhuǎn)

，則所得圖形與原來的平行四邊形完全重合，即圖形關(guān)于點O對稱。圖

14-5軸對稱圖形圖

14-6點對稱圖形(3)圓對稱。圖14-7所示的圓，既能滿足軸對稱也滿足點對稱，同時左右、上下半平面都是對稱的，使許多古代數(shù)學(xué)家為之傾倒。例如，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為球是最完美的立體，圓是最完美的平面圖，認(rèn)為日、月、星都是球形，懸浮在太空中。球既是點對稱的，又是線對稱的，還是面對稱的。這種贊美，其原因很可能是基于球形與圓形的對稱性、勻稱性等美的特征。圖

14-7圓對稱圖形

下面我們由法國數(shù)學(xué)家、建筑師德薩格初步建立起來的射影幾何理論中對直線與點的對稱性的理解與描述來加深我們對對稱美的理解。我們知道，在歐氏幾何中，點與直線的對稱性是不完全的，例如，過兩點總可作一條直線，但兩直線并不總有一個交點，因為兩直線平行時就沒有交點。但如果我們設(shè)想兩平行直線在無窮遠(yuǎn)點相交，那么就形成完全對應(yīng)關(guān)系了。正是基于這種對對稱性的著迷使得德薩格推進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展。在射影幾何中，點與直線始終具有“對偶”的重要特性，例如：(1)

兩點確定一直線：兩直線確定一點。(2)不共線的三點唯一地確定一個三角形：不共點的三直線唯一地確定一個三角形（這個三角形的一個定點可能在無窮遠(yuǎn)點）。這樣，在歐氏平面幾何中的定理與射影幾何中的定理之間也構(gòu)成了一種對稱關(guān)系。在平面幾何的定理中，若將其中的“點”換成“直線”、“直線”換成“點”，就可得到相應(yīng)的射影幾何中的定理。例如，著名的德薩格定理與其對偶定理：(1)

若兩個三角形對應(yīng)頂點的直線共點，則其對應(yīng)邊上的支點共線。(2)

若兩個三角形對應(yīng)邊的交點共線，則其對應(yīng)頂點的連線共點。注意到系數(shù)的對稱性：

就可寫出：

對稱美還表現(xiàn)在許多公式和運算之中。我們來看一下牛頓二項式與楊輝三角中所表現(xiàn)出來的對稱美。大家知道，著名的牛頓二項公式：在這個式子中，a與b的位置交換結(jié)果是不變的。把這個式子右端的系數(shù)按

排列出來就是著名的楊輝三角：

用不著計算，你就可以根據(jù)對稱性及上排的數(shù)字寫出下排的數(shù)字來，并一直寫下去。

我們再來看集合論中的德·摩根律所表現(xiàn)出來的對稱美。設(shè)A、B

是兩個集合，則有推廣的情形是

數(shù)學(xué)對稱美的精華更體現(xiàn)在群論之中。大家知道，一次、二次、三次、四次方程解的問題經(jīng)過歷代數(shù)學(xué)家的努力，都獲得圓滿的解決。但五次以及五次以上的高次方程求解問題，持續(xù)了三個多世紀(jì)都沒得到解決。直到1832年，法國年輕數(shù)學(xué)家伽羅華(1811-1832）用對稱性的思想解決了這個代數(shù)學(xué)發(fā)展史上的難題，開辟了代數(shù)學(xué)的一個嶄新方向——群論。美國數(shù)學(xué)家阿爾佩林指出：“群是數(shù)學(xué)中偉大的統(tǒng)一概念之一。它來自數(shù)學(xué)對象和科學(xué)對象的對稱性研究。十分驚人的是，這些對稱性的考察導(dǎo)致深邃的洞察，絕非直接觀察所能企及；盡管群的概念不難解釋，這個概念應(yīng)用卻極為深遠(yuǎn)，并非全然浮于表面。”限于篇幅與數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性，在此我們就不再詳述了。

和諧美與統(tǒng)一美聯(lián)系在一起。統(tǒng)一、和諧，這是數(shù)學(xué)美的又一種表現(xiàn)形式。德國著名物理學(xué)家、諾貝爾獎金獲得者海森堡曾對科學(xué)美作過這樣的解釋：“美是部分同部分之間以及部分同整體之間固有的協(xié)調(diào)一致。”在科學(xué)中，具體表現(xiàn)在什么地方呢？他以牛頓力學(xué)為例，作了說明：“部分”就是個別的力學(xué)過程，天上地下的各種機(jī)械運動；“整體”則是統(tǒng)一的形式原則，所有個別過程都遵守這個原則，牛頓以簡單的公理系統(tǒng)從數(shù)學(xué)角度建立起這個原則。14.1.3和諧美

這里包含著兩個特點，即統(tǒng)一性與簡單性，復(fù)雜多樣的力學(xué)過程通過簡單數(shù)學(xué)形式化得到了統(tǒng)一，科學(xué)家從中得到強(qiáng)烈美感。顯然，這里的統(tǒng)一美，就特別是指人們可以成功地運用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)公式對許多不同的現(xiàn)象進(jìn)行概括總結(jié)，歸納揭示出對象的內(nèi)在聯(lián)系或本質(zhì)，進(jìn)而體驗到成功的喜悅與美感。

科學(xué)中關(guān)于用數(shù)學(xué)的和諧與統(tǒng)一美來進(jìn)行的工作有許多著名的例子，除了牛頓的工作，愛因斯坦的狹義與廣義相對論的研究也是對統(tǒng)一性的一種追求。徐利治、鄭毓信在他們的著作《數(shù)學(xué)模式論》中就曾舉過門捷列夫關(guān)于元素周期表對化學(xué)元素和諧與統(tǒng)一性質(zhì)的研究所起到的巨大作用。他們寫到，“門捷列夫在表中留下了不少的空位，而這主要就是出于和諧性的考慮，因為，不然的話，在整體上就不可能體現(xiàn)出明顯的周期性。門捷列夫在當(dāng)時依據(jù)周期性預(yù)言了與空位相對應(yīng)的化學(xué)元素的存在及其主要的性質(zhì)。

這些預(yù)言后來都得到了證實。例如，門捷列夫預(yù)言在鋁與錮之間的空位是未知元素亞鋁的位置，它的原子量是68，相對密度是5.9~6。1875年，法國的勒科克·布瓦保德朗在比利牛斯錚礦發(fā)現(xiàn)了嫁（Ga），計算出其相對密度為4.7。門捷列夫就寫信指出應(yīng)當(dāng)是5.9~6。后者起初不信，但后經(jīng)反復(fù)計算發(fā)現(xiàn)果然是5.96?！边@一例子再一次表明了和諧與統(tǒng)一的美學(xué)思想在科學(xué)研究中所具有的重要意義。

在數(shù)學(xué)史上，代數(shù)與幾何曾長期分離，而解析幾何的誕生卻是一次數(shù)學(xué)上的統(tǒng)一過程。運用解析幾何的方法，平面、空間上的點被表示為一個二元或三元數(shù)對(x,y

)

或(x,y,z)，幾何中的直線與曲線、曲面被表示為代數(shù)方程，而代數(shù)中的矩陣、行列式在幾何研究中也起到重要作用。它把幾何圖形的某些內(nèi)在聯(lián)系揭示得更清楚，從而也使人更容易看清它們之間的和諧、統(tǒng)一。這是代數(shù)與幾何和諧、統(tǒng)一的進(jìn)一步表現(xiàn)。

例1

平面上過點

和

的直線方程是

而平面上過不共線的三點

、

和的圓方程是

平面上過點

、

、、

和圓錐曲線方程是一個式子是另一個式子的推廣，形式整齊、和諧而美觀，而且使我們非常容易記憶。

進(jìn)一步地，由此我們即可寫出三點

、

和共線的條件是同時，我們又可立即寫出三直線共點的條件是多么的對稱、和諧、整齊與美觀啊！

例2我們再來看一個大家熟悉的解析幾何例子。大家知道，像圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，它們的圖形和方程各不相同。圓的方程為

，其中

r

為圓的半徑；橢圓的方程為

，其中a

、b

為橢圓的長、短半軸長；雙曲線方程為拋物線方程為雖然它們都為二次方程，但圖形區(qū)別甚大，能將它們統(tǒng)一在一起嗎？17世紀(jì)解析幾何的誕生，為這一統(tǒng)一鋪平了道路。

首先，從幾何圖形上看，它們可以統(tǒng)一于一個正圓錐（圖14-8）。在圖14-8中，用一平面去截正圓錐，就得到一條截口曲線。由于平面和圓錐軸的交角大小不等，截口曲線的幾何形狀也就不同。圖14-8圓錐曲線

圓錐母線與軸的交角為α，平面與圓錐軸線交角為

，那么就有：(1)

當(dāng)

時，截口曲線為圓；(2)

當(dāng)

時，截口曲線為橢圓；(3)

當(dāng)

時，截口曲線為拋物線；(4)當(dāng)

時，截口曲線為雙曲線。由于四種曲線都是由圓錐與平面的截線，所以通常通稱為圓錐曲線。

其次，從代數(shù)方程上看，如果我們設(shè)有二次方程：則當(dāng)

時，方程(1)為圓或橢圓；當(dāng)

時，方程(1)

為拋物線；當(dāng)

時，方程(1)

為雙曲線。這是一幅多么美妙的統(tǒng)一與和諧的畫面?。?/p>

例3關(guān)于數(shù)學(xué)的和諧美我們再看一個非常美妙

的公式。這里，包含了整數(shù)0，1，包含了自然對數(shù)的底

e

，包含了圓周率,

包含了虛單位i。0是加法的單位，1是乘法的單位，如果把公式改變一下就成為

，又包含了負(fù)

。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以整數(shù)與整數(shù)的比作為世界的根本，以致不容許有無理數(shù)的產(chǎn)生，我們前面也曾說過負(fù)數(shù)是多么的令人難以接受，更不要說虛數(shù)了，而圓周率

的研究曾是數(shù)千年數(shù)學(xué)家夢里縈懷的東西。而這6個數(shù)卻統(tǒng)一在這樣一個簡單的公式里，這還不美嗎？

例4著名的德國數(shù)學(xué)家克萊因的埃爾郎根綱領(lǐng)對幾何學(xué)的統(tǒng)一。大家都知道，在非歐幾何之后，各種幾何理論紛紛出現(xiàn)。我們應(yīng)當(dāng)如何認(rèn)識這些幾何學(xué)呢？能不能有一種統(tǒng)一的解釋呢？19世紀(jì)70年代，克萊因思考了種種幾何的統(tǒng)一問題，于1872年在埃爾郎根大學(xué)作了一次著名的演講。他指出，在變幻群的觀點下可以統(tǒng)一所有的幾何，不同的幾何只是變換群的不同而己，卻都是在研究不同變換下的不變量或不變式：歐氏幾何是剛體變換群（如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換）下的不變形，仿射幾何學(xué)是仿射變換群下的不變形；作為非歐幾何的羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何，也無不統(tǒng)一在某一變換群下。他的理論被譽(yù)為幾何理論體系的偉大綜合，以“埃爾郎根綱領(lǐng)”著稱于世。

數(shù)學(xué)中關(guān)于統(tǒng)一與和諧美的更著名的工作還有著名的法國的巴爾布基數(shù)學(xué)學(xué)派，曾用結(jié)構(gòu)的觀點來統(tǒng)一數(shù)學(xué)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)有三種基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。所有的數(shù)學(xué)無非是這些結(jié)構(gòu)及其不同的組合。雖然巴爾布基學(xué)派的工作還有許多缺憾，但他們的工作卻進(jìn)一步揭示了數(shù)學(xué)自身的和諧、統(tǒng)一及其美的內(nèi)容。

在此我們再插入一個小故事。我們前面多次提到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把音樂和數(shù)學(xué)，特別是和比例問題聯(lián)系起來建立了“萬物皆數(shù)”的核心思想。他們把音樂歸結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的比例關(guān)系，把行星運動也歸結(jié)為數(shù)的比例關(guān)系。他們相信物體在空間運動時發(fā)出聲音，而且運動快的物體比運動慢的物體發(fā)出更高的音。根據(jù)他們的天文學(xué)知識，離地球越遠(yuǎn)的行星運動得越快，因此行星發(fā)出的聲音因其離地球的距離而異而且都配成諧音。但因這“天際的音樂”也像所有諧音一樣都可歸結(jié)為整齊的比例數(shù)，所以行星運動也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的比例美。

著名天文學(xué)家開普勒繼承了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的傳統(tǒng)，開辟了用比例、音樂、和諧研究天體運動規(guī)律的方法。開普勒在其名著《宇宙的和諧》書中依據(jù)他多年的觀察結(jié)果與計算的數(shù)據(jù)，設(shè)想出“天體的音樂”，他虔誠地相信“太空的運動不過是一首連續(xù)的、幾個聲部的歌曲。它為智力思維所理解，但不為昕覺所感覺。這音樂好像通過抑揚頓挫，根據(jù)一定的、預(yù)先設(shè)計的、六個聲部的韻律進(jìn)行，借以在不可計量的時間川流中定出界標(biāo)”。300年后的1969年，美國耶魯大學(xué)地質(zhì)學(xué)家羅杰斯與作曲家威利盧福合作，利用電子計算機(jī)和電子合成器，將開普勒長期計算出來的天文數(shù)據(jù)譯成具體的聲音，形成樂曲，并灌制成唱片。開普勒所設(shè)想的這種“天體的音樂”終于變成了能夠為聽覺所能感覺到的、真實的“天體運動進(jìn)行曲”。

奇異美，也就是新奇美，這是美學(xué)的重要形態(tài)之一，其突出的特點在于出人意料的心理體驗，使人在驚訝中感受到美的力量。數(shù)學(xué)同其他科學(xué)一樣，也有許多奇異之美，而這當(dāng)然也是吸引許多人喜歡數(shù)學(xué)的原因之一。

在第1章中，我們介紹過七橋問題，在經(jīng)過歐拉的奇妙抽象之后，七橋問題成了一筆畫問題，成了一個純粹的數(shù)學(xué)圖論問題，問題迎刃而解，結(jié)果出人意料，解答是如此的簡單，使所有的人都感到數(shù)學(xué)的奇異之美。14.1.4奇異美

我們還介紹過海王星的發(fā)現(xiàn)過程，真是奇之又奇。年輕的勒維列不靠觀察，僅僅依賴一支筆與前人觀察的數(shù)據(jù)，運籌于帷握之中，完成了海王星發(fā)現(xiàn)的壯舉，表現(xiàn)了數(shù)學(xué)乃至科學(xué)理論的偉大神力。

關(guān)于色盲遺傳問題，也同樣表達(dá)了數(shù)學(xué)理論的神奇。我們不需要從生理結(jié)構(gòu)入手，而僅僅依賴色盲遺傳的一些數(shù)量特征，就可以從數(shù)學(xué)上推演出其遺傳規(guī)律。

我們再來看幾個例子。例5勾股定理及其相關(guān)問題。大家都知道勾股定理：

，類似的式子還有很多，如：

這樣的數(shù)組（3,4,

5），（5,12,13）等也稱為勾股數(shù)組。進(jìn)一步地，我們把它們總結(jié)為不定方程：那么，這個不定方程有多少正整數(shù)解呢？有沒有一個一般辦法尋求勾股數(shù)或?qū)で蠓匠?/p>

的非平凡整數(shù)解呢？

我們不妨令

（其中a與b

一奇一偶），即可求得

的一切正整數(shù)解，而且有無窮組解。由此，人們很快會想到不定方程：

的正整數(shù)解問題，它有沒有解呢？有的話，有多少？再進(jìn)一步推廣，這就是前面我們已經(jīng)介紹過的費馬猜想，不定方程(為正整數(shù))

的結(jié)論不用我們多說了。但是，對于進(jìn)一步推廣的不定方程：但是，對于進(jìn)一步推廣的不定方程：有無正整數(shù)解呢？1996年人們發(fā)現(xiàn)了以下等式：于是，人們驚奇地看到，

有正整數(shù)解。但是有沒有正整數(shù)解還是個疑問。后來，終于發(fā)現(xiàn)了以下等式：而且，還證明了當(dāng)時不定方程：有無窮多組正整數(shù)解。這與當(dāng)時沒有任何正整數(shù)解的結(jié)論相去甚遠(yuǎn)。真是使人感到意外的驚奇。

例6

麥比烏斯帶及相關(guān)問題。什么是麥比烏斯帶呢？如圖14-9a的一條長方形紙帶

，我們?nèi)绻麑⒓垘D(zhuǎn)

，用漿糊將

與B,

與A

粘和起來，就形成了圖14-9b的圖形，也就是麥比烏斯帶了。圖14-9要注意的是，這是一個沒有正反面之分的曲面。什么意思呢？如果我們設(shè)想一只螞蟻從麥比烏斯帶上的任何一點出發(fā)，它可以不翻越帶的邊緣又回到出發(fā)點（如圖14-10所示，這是埃舍爾所創(chuàng)作的又一幅數(shù)學(xué)名畫）。圖14-10

這種奇怪的性質(zhì)是任何普通常見的雙側(cè)曲面（有正面、反面的區(qū)別的曲面稱為雙側(cè)曲面）都沒有的。麥比烏斯帶的上述特性也可以這樣來描述：如果給普通紙雙側(cè)曲面涂上顏色的話,正面和反面可以涂兩種不同的顏色。但麥比烏斯帶卻只能涂一種顏色。它沒有正面和反面之分，稱之為單側(cè)曲面。一條紙帶把我們引入了單側(cè)曲面的奇境。這里沒有內(nèi)外、正反之分，螞蟻不知不覺就由正面走到了反面，又從反面走到正面；邊界沒有了，正反沒有了，天上地下渾然成為一體。

麥比烏斯帶是現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)研究的重要內(nèi)容之一，有許多奇妙的性質(zhì)，讀者不妨自己去試一試。比如，用剪刀沿原紙帶的中線在莫比烏斯帶的中間把它分成兩半看看，再分一次又如何呢？14.2

數(shù)學(xué)方法美

前面在許多地方已談到了數(shù)學(xué)方法，數(shù)學(xué)歸納法也是數(shù)學(xué)方法之一。這種通過有限的步驟去認(rèn)識無限的方法確實是意味深長的。14.2.1反證法

在日常用語中，對于一件我們很想做的事，常用“不能不”去強(qiáng)調(diào)。例如，我們說，這件事太重要了，我們不能不去做，也不能不把它做好。在數(shù)學(xué)中也常有運用“不能不”的時候，“反證法”就是在表達(dá)這個意思。用“反證法”證明某命題成立時，就是在論證說：這個命題不可能不成立。

具體地說，一個命題，最簡單的形式必包含有已知條件部分與結(jié)論的部分。反證法的第一步就是假定結(jié)論不成立，然后通過一定的推導(dǎo)，或者推導(dǎo)出與已知條件相沖突的命題，或者是推導(dǎo)出與已有公理相沖突的命題，或者是推導(dǎo)出與臨時的假定（論證之中的）相沖突的命題，或有自相矛盾的東西出現(xiàn)，即得出矛盾，從而說明結(jié)論不成立是不可能的。例7 證明

是無理數(shù)。證

假設(shè)

不是無理數(shù)，即

是有理數(shù)，那么它必可表示為一個既約分?jǐn)?shù)。令

，其中，p、q

是兩個互質(zhì)的正整數(shù)。上式兩邊平方，得

?？梢姡琿

必為一偶數(shù)，記為q

=2m,m

為正整數(shù)。于是

，又得

。這樣p

也成了偶數(shù)。至此我們得到一個矛盾：p

與q

都是偶數(shù)，而

是既約的。

假如我們設(shè)想從正面去證明

是無理數(shù)，那么就要通過對2開方，計算出它的確是一個無限不循環(huán)的小數(shù)。這能做到嗎？我們可以開方計算到小數(shù)點后百萬位甚至億萬位，但永遠(yuǎn)算不到盡頭，所以我們不能下結(jié)論說明它就是一個無限不循環(huán)小數(shù)即無理數(shù)。

數(shù)學(xué)中的對應(yīng)或映射（也可以說是函數(shù)）與逆映射（反函數(shù)）大家都不陌生，而這恰恰就是一種數(shù)學(xué)中非常重要的思想方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)對象之間辯證的邏輯關(guān)系，給人以特殊的美感，也叫邏輯美，是科學(xué)美的一種。映射與逆映射（函數(shù)與反函數(shù)）這一矛盾運行過程就構(gòu)成了所謂的RMI方法。14.2.2關(guān)系映射反演（RMI）方法

我們還是先從大家熟悉的例子說起

。我們應(yīng)用張楚廷先生在他的著作《數(shù)學(xué)文化》中舉過的對數(shù)計算的例子來說明。

大家知道，計算

是比較容易的。因為

再乘以4，得到

，于是

也很好算。相反，計算

就要困難多了。對2開3次方就不容易，對2開11次方就更不容易了。但是，計算

的對數(shù)很容易，很多人記得2的常用對數(shù)值是0.3010，于是接著，我們有對數(shù)表可查，查出0.0274的反對數(shù)：1.065，這就是的近似值，于是得到

以上，我們實際上經(jīng)歷了一個這樣的過程：本來是求2的11次方根

，但是我們先求lgx

，然后再求出

即x。簡言之：

。這是從x

出發(fā)又回到了x

，但后一個x

與前一個x

不同，前者是由一個運算所涵蓋著的，后者以一個具體數(shù)字顯現(xiàn)，即

的值。

以上的過程是走了一個曲折的路，化難為易。正是有了這種曲折才導(dǎo)致了進(jìn)步。這種曲折不是一般人走的彎路，而是一種創(chuàng)造，一種發(fā)明。這里，關(guān)鍵的工具是對數(shù)。對數(shù)出現(xiàn)后，不到一個世紀(jì)，就傳遍了世界上許多國家。它的出現(xiàn)與天文學(xué)有關(guān)，因此，尤其是天文學(xué)家們以十分欣喜的心情歡迎它。伽利略甚至以藝術(shù)般的語言說：“給我空間、時間及對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙?！?/p>

關(guān)系映射反演方法就是這樣，通過映射（函數(shù)）把一個問題轉(zhuǎn)化為與之等價的另一個問題，然后通過對轉(zhuǎn)化后的等價問題的研究，得出結(jié)論，再運用逆映射（或反函數(shù)）把問題再轉(zhuǎn)化為原問題的解，這樣我們就可以通過一個迂回的道路得到原問題的解答。轉(zhuǎn)了一圈，不是倒退，而是一種迂回前進(jìn)。這就是辯證的美。

再舉一個張楚延先生在《數(shù)學(xué)文化》中舉過的級數(shù)計算的例子。求和：

由于這里給出的不是等比級數(shù)，而且，我們還知道

是無窮大。但式(1)

、式(2)兩個級數(shù)明顯不一樣，而且可以看出，當(dāng)加減交替時，不會是無窮大了。我們先繞繞彎子。首先，我們把它變成一個變動的式子（函數(shù)項級數(shù)）

：

如果能知道它的和，然后令此和中的x=1，就可達(dá)到目的了。問題在于，這個變數(shù)級數(shù)和容易求嗎？下面我們就來考慮這個變數(shù)級數(shù)和的計算。只要一點點微積分知識就知道

這樣，如果一旦對前面那個函數(shù)項級數(shù)作微分運算，我們很快就會得到一個比較容易求和的級數(shù)了，它就是一個等比級數(shù)：此式的公比是，于是得到我們很容易地求出了

，卻不是y

，然后再由

來求出y

從而變成了求原函數(shù)（積分）的問題。但是，這個求原函數(shù)的問題也簡單，由基本積分表即知

似乎應(yīng)考慮積分常數(shù)，但由于當(dāng)x=0時y

=

0

，故可知積分常數(shù)是0，所以上述結(jié)果無誤。當(dāng)然，上述運算過程中還有一些理論問題，這里就不細(xì)說了。若令x=1，就得到：

關(guān)鍵在于對我們走過的路程的理解。與前一例相同的是，我們也是經(jīng)歷了一個“否定之否定”的程序，所不同的是，這里所使用的工具不是對數(shù)，而是微積分。對這個過程也可表示如下：再比較一下就可明白，以上都是利用了兩個互逆的運算來實現(xiàn)我們的目標(biāo)的。一個是對數(shù)和反對數(shù)，一個是微分與積分，一正一反解決了問題。

數(shù)學(xué)方法有許多，例如化歸方法，再如我們前面說過的抽象方法。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)就是方法論，這是有一定道理的。為了不浪費讀者的時間，也為節(jié)省篇幅，此處不再贅述。有興趣的讀者可以參閱相關(guān)的數(shù)學(xué)方法論方面的著作，如徐利治的《數(shù)學(xué)方法論選講》等。

這里，我們還想借用張楚延先生對直觀性與數(shù)學(xué)抽象方法的辯證分析強(qiáng)調(diào)一下我們應(yīng)對各種數(shù)學(xué)方法的重視?！霸谖覈鴤鹘y(tǒng)的教育理論中，特別強(qiáng)調(diào)直觀性原則。其實，這是一條帶有很大片面性的原則。第一，人的認(rèn)識能力的提高，既表現(xiàn)在善于直觀上，更表現(xiàn)在通過直觀到抽象的飛躍上；

第二，雖然總體上講是求得直觀與抽象在認(rèn)識上的統(tǒng)一，但青少年時期大量學(xué)到的是間接知識，完成這一過程的更重要方面是迅速提高他們的抽象能力，接觸直觀形象同樣多的人，在認(rèn)知程度上、在智力程度上可能有很大差別，造成這一差別的基本原因之一是能否更好地、更有效地增強(qiáng)抽象思維能力；第三，直觀不僅難以把握事物的本質(zhì)，還可以造成直觀錯覺，為直觀所欺騙，避免這種錯覺，防止受騙，基本的解決辦法是提高抽象能力，提高邏輯判斷的能力。數(shù)學(xué)，由于它典型的抽象方法和邏輯方法，在這方面也就起著獨特的、難以替代的作用?！?/p>

我們關(guān)心數(shù)學(xué)美，除了領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美以外，更重要的是要清楚數(shù)學(xué)的美學(xué)因素對于數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造所具有的重要意義。這里，我們以龐加萊的論述來說明問題，因為這直接反映了他作為一個大數(shù)學(xué)家的親身體驗。

14.3.1數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)*14.3

數(shù)學(xué)的審美直覺性原則

龐加萊首先對數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的本質(zhì)進(jìn)行了分析。在龐加萊以前，萊布尼茨已經(jīng)提出了一個觀點：發(fā)明創(chuàng)造的實質(zhì)是找出概念的一切可能的組合。而與萊布尼茨不同的是，龐加萊更進(jìn)了一步，他突出地強(qiáng)調(diào)了發(fā)明創(chuàng)造的“選擇性”。他指出“數(shù)學(xué)創(chuàng)造實際上是什么呢?它并不在于用已知的數(shù)學(xué)實體作出新的組合。任何一個人都會作這種組合！但這樣作出的組合在數(shù)目上是無限的，它們中的大多數(shù)完全沒有用處。創(chuàng)造恰恰在于不作無用的組合，而作有用的、為數(shù)極少的組合。發(fā)明就是識別、選擇?！憋@然，與菜布尼茨的上述論點相比，龐加萊的這一分析是更為深入、更為正確的。

那么，數(shù)學(xué)家究竟是如何作出所說的發(fā)明創(chuàng)造的？龐加萊在此又突出地強(qiáng)調(diào)了無意識思維活動的作用。龐加萊認(rèn)為，各種有意識的思維活動都必然地會受到已有的觀念或思想的限制或束縛，從而，就只有無意識的思維活動才可能形成大量的可能的組合。進(jìn)而，龐加萊指出，在無意識的思維活動所形成的大量組合中，正是審美感發(fā)揮了重要的“篩選”作用。他寫到：“數(shù)學(xué)的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學(xué)的雅致感，這是一切真正的數(shù)學(xué)家都知道的審美感，……在由下意識的自我盲目形成的大量組合中，幾乎所有的都毫無興趣，毫無用處；可是正因為如此，它們對審美感也沒有什么影響。

意識永遠(yuǎn)不會知道它們；只有某些組合是和諧的，從而同時也是有用的和美的，它們能夠觸動我剛才所說的幾何學(xué)家的這種特殊情感，這種情感一旦被喚起，便會把我們的注意力引向它們，從而為它們提供變?yōu)橛幸庾R的機(jī)會?！庇纱耍邶嫾尤R看來，缺乏這種審美感的人永遠(yuǎn)不會成為真正的創(chuàng)造者。另外，數(shù)學(xué)家把重大的意義與他們的方法和他們的結(jié)果的雅致聯(lián)系起來。這不是純粹的淺薄涉獵。

在解中、在證明中給我們以雅致感的實際是什么呢？是各部分的和諧，是它們的對稱、它們的巧妙平衡；一句話，雅致感是所有引人秩序的東西，是所有給出統(tǒng)一，容許我們清楚地觀察和一舉理解整體和細(xì)節(jié)的東西。可是，這正好就是產(chǎn)生重大結(jié)果的東西。顯然，這也就清楚地表明了美學(xué)的因素對于數(shù)學(xué)發(fā)展的重大意義。

然而，從方法論的角度去進(jìn)行分析，龐加萊的論述又具有明顯的局限性，由于龐加萊突出地強(qiáng)調(diào)發(fā)明過程中的無意識思維活動，從而就未能超出發(fā)明心理學(xué)的研究范圍而上升到方法論的高度。特別是，就數(shù)學(xué)美的研究而言，我們在此顯然應(yīng)當(dāng)考慮這樣的問題，即我們能否以對于數(shù)學(xué)美的追求作為數(shù)學(xué)研究自覺的指導(dǎo)性原則？

事實上，我們知道，對于數(shù)學(xué)美的自覺追求的確在數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展中發(fā)揮了重要的作用，這也就是所謂的數(shù)學(xué)研究的“美學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)”。這一標(biāo)準(zhǔn)曾得到不少數(shù)學(xué)家的明確肯定。

另外，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管龐加萊主要是從發(fā)明心理學(xué)的角度進(jìn)行分析的，他的論述仍然具有十分重要的方法論意義。例如，特別重要的是，龐加萊曾對無意識的思維活動與有意識工作之間的關(guān)系進(jìn)行了深人的分析，他指出：“這些突如其來的靈感只有在有意識努力工作了若干天之后才會出現(xiàn)。盡管這些努力好像毫無成果，從中也沒有得出什么好東西，而且所采取的路線似乎也是完全錯誤的。因此，這些努力并不像人們設(shè)想的那樣一點結(jié)果也沒有；它們驅(qū)動著無意識的機(jī)器，沒有它們，無意識的機(jī)器就不會運轉(zhuǎn)，也不會產(chǎn)生出任何東西?！睆亩覀冊诖艘簿涂梢鋈缦碌姆椒ㄕ撛瓌t：“沒有有意識的努力，就不會有任何發(fā)明?！?/p>

綜上所述，我們就可以，而且應(yīng)當(dāng)從方法論的角度去從事數(shù)學(xué)美的研究，并引出相應(yīng)的方法論原則。顯然，由數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)到數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法這一發(fā)展事實上也就從又一角度更為清楚地表明了數(shù)學(xué)方法論研究的意義，即其基本目標(biāo)就在于促成由方法論原則的“不自覺”應(yīng)用向“自覺狀態(tài)”的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)美學(xué)方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中的必然性

由于數(shù)學(xué)抽象是一種重新構(gòu)造的過程，而且，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究對象在很大程度上又可被看成自由想象的產(chǎn)物，從而，在純粹的數(shù)學(xué)研究中我們就不可能依據(jù)實用的考慮來選擇可能的研究方向；與此相反，由于數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)造性的活動，因此，這就如同馬克思所指出的“人也是按照美的規(guī)律來塑造物體的”，數(shù)學(xué)家們也常常依據(jù)美學(xué)的考慮來作出必要的選擇或判斷。14.3.2數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法與“審美直覺選擇性原則”2.數(shù)學(xué)美學(xué)方法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中的合理性

對此可以首先從認(rèn)識的角度去進(jìn)行分析。即如前面所指出的，數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容可以說是對稱性、簡單性、統(tǒng)一性和奇異性，而由實例的考察又可看出(可參見《數(shù)學(xué)方法論入門》)，對于對稱性、簡單性、統(tǒng)一性和奇異性的追求事實上也就是認(rèn)識不斷深化和發(fā)展的過程。例如，對統(tǒng)一性的追求即是揭示了對象的內(nèi)在聯(lián)系，奇異性結(jié)果的獲得則又往往就意味著沖破了原先認(rèn)識的局限性。

英國數(shù)學(xué)家阿蒂