第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式（A基礎(chǔ)卷）（解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式（A基礎(chǔ)卷）單項(xiàng)選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1．若，則下列正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時(shí)，這與結(jié)論矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：由，不妨令，，則此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.2．設(shè)a>0，則的最小值為（）A． B．2C．4 D．5【答案】D【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為5.故選：D.3．已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】結(jié)合圖像易知，不等式的解集，故選：A.4．已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】A【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式在上有解，即在上有解，只需的圖象與軸有公共點(diǎn)，所以，即，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.5．若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B．3C．5 D．8【答案】A【詳解】由得，即，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，所以.故選：A.6．已知，，若，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為16.故選：B.7．設(shè)則的最大值是（）A．3 B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：D8．對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.故選：B多項(xiàng)選擇題（本大題共4題，每小題5分，共計(jì)20分。每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，多選或錯(cuò)選不得分）9．設(shè)，則下列不等式不成立的是（）A．a(chǎn)b<b2<1 B．<<1 C．1< D．a(chǎn)2<ab<1【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，取，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，取，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋?，即，綜上，所以C正確，對(duì)于D，取，則，所以D錯(cuò)誤，故選：ABD10．下列說(shuō)法正確的是（）A．的最小值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AB【詳解】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），A正確；，因?yàn)?，所以，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，顯然不成立，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選:AB.11．已知關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值是（）A． B． C． D．【答案】AB【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.故選：AB.12．幾何原本中的幾何代數(shù)法以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題成為了后世數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明如圖，在AB上取一點(diǎn)C，使得，，過(guò)點(diǎn)C作交半圓周于點(diǎn)D，連接作交OD于點(diǎn)下面不能由直接證明的不等式為（）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】由射影定理可知即由得故由由直接證明的不等式為選項(xiàng)B故選：ACD三、填空題（每小題5分，共計(jì)20分）13．若關(guān)于的不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為R；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式的解集為R，則，解得，綜合得.故答案為：.14．若正數(shù)、滿足，則的最小值是______【答案】【詳解】由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，整理可得解不等式可得或，又因?yàn)?、為正?shù)，所以，所以的最小值是.故答案為：15．已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一個(gè)根在(0，1)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【詳解】設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，由題意知，解得－<a<－2.故答案為：.16．下列四個(gè)命題：①若，，則；②函數(shù)的最小值是3；③己知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．其中所有正確命題的序號(hào)是__________．【答案】①③【詳解】對(duì)于①，，，，，，，，即，兩邊同除以得，；同理，即，同除以得，，綜上得＜＜，故①正確；對(duì)于②，，而，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，正實(shí)數(shù)，滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即取等號(hào)，故③正確；故答案為：①③．四、解答題（解答題需寫(xiě)出必要的解題過(guò)程或文字說(shuō)明，共70分）17．已知關(guān)于的不等式．（1）若時(shí)，求不等式的解集（2）求不等式的解集【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，得，所以不等式的解集為，（2）由，得，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為，綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為18．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩實(shí)根為x1、x2，證明：．【詳解】由韋達(dá)定理得：x1+x2=，x1x2=，則|x1-x2|=．所以原題得證.19．已知不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)a=3時(shí)，不等式可化為：恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式對(duì)一切恒成立，只需，解得：；所以.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.20．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式化為，解集為，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，一元二次不等式的解集為或，、是相應(yīng)方程的兩根，且．，解得：．綜上可知：；（2）當(dāng)時(shí)，不等式化為在上恒成立，符合題意；若，關(guān)于的一元二次不等式的解集為，得，解得．綜上，的取值范圍是．21．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品百臺(tái)，其總成本為萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）；銷售收入（萬(wàn)元）滿足：，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣(mài)掉），那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，要使工廠有盈利，產(chǎn)量應(yīng)控制在什么范圍？【詳解】根據(jù)題意可得成本，設(shè)利潤(rùn)為，則，要使工廠有盈利，即滿足，當(dāng)時(shí)，由化簡(jiǎn)得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由解得，所以，綜上，，即產(chǎn)量應(yīng)控制在大于100臺(tái)，小于820臺(tái)的范圍內(nèi).22．已知.（1