2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（在下列各題的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列四個實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A． B． C．3.14 D．2．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（﹣2，1）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（3分）如圖所示，若l1∥l2，∠1+∠2＝240°，則∠3的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．60° D．80°4．（3分）下列等式正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠5 D．∠4+∠ADC＝180°6．（3分）一塊含30°角的直角三角板，按如圖所示方式放置，頂點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若直線a∥b，∠1＝25°，則∠2的度數(shù)是（）A．45° B．35° C．30° D．25°7．（3分）（m﹣2）x+3ym＝23是關(guān)于x，y的二元一次方程，則m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（3分）用加減消元法解方程組，下列做法正確的是（）A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣②9．（3分）我國明代《算法統(tǒng)宗》一書中有如下的類似問題：“一支竿子一條索，索比竿子長兩托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托（一托按照5尺計算）．”大意是：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長10尺；如果將繩索對折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此題中設(shè)竿長x尺，繩索長y尺，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．10．（3分）下列命題中：①5的平方根是；②負(fù)數(shù)沒有立方根；③的相反數(shù)是；④負(fù)數(shù)沒有平方根；⑤立方根是本身的數(shù)有﹣1，0，1．是真命題的有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）已知x﹣4y＝5，請用含y的代數(shù)式表示x，則x＝．12．（3分）已知點(diǎn)P（3，﹣2），則P點(diǎn)到x軸距離是．13．（3分）已知方程組的解滿足x+y＝3，則k＝．14．（3分）如圖，長方形ABCD沿EF對折后，若∠1＝50°，則∠AEF＝．15．（3分）已知的整數(shù)部分是1，則小數(shù)部分是﹣1；若的小數(shù)部分為a，則a＝．16．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一動點(diǎn)從原點(diǎn)O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移動一個單位，得到點(diǎn)A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）計算：．18．（6分）解方程組：（1）；（2）．19．（6分）如圖，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°，試說明∠ADC＝90°．請完善解答過程，并在括號內(nèi)填寫相應(yīng)的理論依據(jù)．解：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥．（）∴∠2＝∠DAC．（）∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代換）∴AD∥EF．（）∴∠ADC＝∠．（）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°．（）∴∠ADC＝90°．（等量代換）20．（8分）已知正數(shù)x的兩個平方根分別是2a﹣1和a+7，負(fù)數(shù)y的立方根與它本身相同．（1）求a，x的值；（2）求x﹣11y的算術(shù)平方根．21．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），線段MN的位置如圖所示，其中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3，﹣2）．（1）將線段MN平移得到線段AB，其中點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對應(yīng)點(diǎn)為B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），連接AC，BC，求△ABC的面積；（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為6，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（9分）北京時間2023年10月26日，神舟十七號載人飛船發(fā)射取得了圓滿成功！神舟十七號發(fā)射成功并對接中國空間站，標(biāo)志著中國載人航天走過空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段和建造階段．某超市為了滿足廣大航天愛好者的需求，計劃購進(jìn)A、B兩種航天載人飛船模型進(jìn)行銷售，據(jù)了解，2件4種航天載人飛船模型和4件B種航天載人飛船模型的進(jìn)價共計140元；3件A種航天載人飛船模型和2件B種航天載人飛船模型的進(jìn)價共計130元．（1）求A，B兩種航天載人飛船模型每件的進(jìn)價分別為多少元？（2）若該超市計劃正好用240元購進(jìn)以上兩種航天載人飛船模型（兩種航天載人飛船模型均有購買），請你寫出所有購買方案．23．（9分）三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段DE延長線上一點(diǎn)，連接FC，∠B＝∠F．（1）如圖1，求證：CF∥AB；（2）如圖2，連接BE，若∠ABE＝45°，∠ACF＝65°，求∠BEC的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G是線段FC延長線上一點(diǎn)，若∠EBC：∠ECB＝3：4，BE平分∠ABG，求∠CBG的度數(shù)．24．（10分）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y＝xy，就稱這個方程組為“好友方程組”，點(diǎn)（x，y）為“好友點(diǎn)”．例如方程組的解為，滿足，則方程組為“好友方程組”，點(diǎn)為“好友點(diǎn)”．（1）下列方程組中，為“好友方程組”的是.（直接填序號）①②③④（2）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，請判斷此方程組是否為“好友方程組”，若是，請求出m的值；若不是，請說明理由．（3）已知P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個點(diǎn)，且它的橫、縱坐標(biāo)是關(guān)于x，y的二元一次方程組（Ⅰ）的解，當(dāng)點(diǎn)P（x，y）為“好友點(diǎn)”時，請求出n的值；此時，請證明關(guān)于x，y的二元一次方程組（Ⅱ）為“好友方程組”，并求出“好友點(diǎn)”．25．（10分）溪悅薈燈光秀是圭塘河的亮麗風(fēng)景，假定河兩岸EF∥GH，橋OA長20米橫跨河兩岸，為了強(qiáng)化燈光效果，在橋頭A、O安置了可旋轉(zhuǎn)探照燈．燈A射線從AF開始繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至AE后立即回轉(zhuǎn)，燈O射線從OG開始繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)至OH后立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停旋轉(zhuǎn)交叉照射．如圖1建立平面直角坐標(biāo)系，若燈A、燈O轉(zhuǎn)動的速度分別是a度/秒、b度/秒，且滿足．（1）填空：a＝，b＝，A點(diǎn)坐標(biāo)（，）；（2）為確保“探照燈”順利旋轉(zhuǎn)，檢修工人P從點(diǎn)G以每秒1米的速度向O點(diǎn)走去，到達(dá)O點(diǎn)便開始檢修設(shè)備；檢修工人Q從點(diǎn)F以每秒1.5米的速度向A點(diǎn)走去，到達(dá)F點(diǎn)便開始檢修設(shè)備．其中OG＝OA＝AF，兩人同時分別從點(diǎn)G、F出發(fā)，當(dāng)檢修工人走了多少秒時，有△AOP的面積等于△APQ的面積的2倍；（3）①若燈A射線轉(zhuǎn)動30秒后，燈O射線開始轉(zhuǎn)動，在燈A射線第一次到達(dá)AE之前，O燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？②如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈O射線第一次到達(dá)OH之前，兩燈射出的光束交于點(diǎn)C．在射線AF上取一點(diǎn)D，且∠ACD＝k?∠AOC，則在轉(zhuǎn)動過程中，是否存在實(shí)數(shù)k，使得∠OCD為定值？若存在，請求出實(shí)數(shù)k的值及∠OCD的度數(shù)；若不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題（在下列各題的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的。請?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)，本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．【解答】解：A．是無理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；B．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，是整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．2．【解答】解：∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，∴點(diǎn)P（﹣2，1）在第二象限，故選：B．3．【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，∠1＝∠2，∴∠1＝120°，∵l1∥l2，∴∠1+∠4＝180°，∴∠4＝60°，∴∠3＝∠4＝60°．故選：C．4．【解答】解：A、±＝±3，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、＝3，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、＝﹣3，本選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、＝3，本選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．5．【解答】解：A、∠1＝∠4不能判定AB∥CD，不符合題意；B、∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，符合題意；C、∵∠1＝∠5，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合題意；D、∵∠4+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合題意．故選：B．6．【解答】解：過B作BD∥b，∵a∥b，∴BD∥a，∴∠DBA＝∠1＝25°，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠DBA＝35°，∴∠2＝∠CBD＝35°．故選：B．7．【解答】解：根據(jù)題意得：m﹣2≠0且m＝1，∴m＝1，故選：C．8．【解答】解：①+②得：6x＝﹣16，此時消去未知數(shù)y；①﹣②×5得：12y＝98，此時消去未知數(shù)x；故選：A．9．【解答】解：由題意得：．故選：B．10．【解答】解：①5的平方根是±，是真命題；②負(fù)數(shù)有立方根，故本小題命題是假命題；③﹣1的相反數(shù)是﹣+1，故本小題命題是假命題；④負(fù)數(shù)沒有平方根，是真命題；⑤立方根是本身的數(shù)有﹣1，0，1，是真命題；故選：B．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．【解答】解：∵x﹣4y＝5，∴x＝5+4y，故答案為：5+4y．12．【解答】解：已知點(diǎn)P（3，﹣2），則P點(diǎn)到x軸距離是|﹣2|＝2．故答案為：2．13．【解答】解：兩式相加，得3（x+y）＝k+2，由x+y＝3，得3（x+y）＝k+2＝9，即k+2＝9，解得k＝7．故答案為：7．14．【解答】解：如圖：根據(jù)折疊以及∠1＝50°，得∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE＝180°，∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．故答案為：115°．15．【解答】解：∵3＜＜4，∴的整數(shù)部分是3，∴的小數(shù)部分為a＝﹣3，故答案為：﹣3．16．【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1）…以此類推可知，每四次移動為一個循環(huán)，每個循環(huán)橫坐標(biāo)增加2，縱坐標(biāo)為1，1，0，0依次出現(xiàn)，∵2024÷4＝506，∴A2024的坐標(biāo)為（506×2，0），即（1012，0），故答案為：（1012，0）．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．【解答】解：原式＝2﹣+3﹣4+1＝2﹣．18．【解答】解：（1），將①代入②得：3x﹣（﹣2x+1）＝4，解得：x＝1，將x＝1代入①得：y＝﹣2+1＝﹣1，故原方程組的解為；（2），①×2+②×3得：13x＝26，解得：x＝2，將x＝2代入①得：4﹣3y＝1，解得：y＝1，故原方程組的解為．19．【解答】解：∵∠1＝∠C，（已知）∴GD∥AC．（同位角相等，兩直線平行）∴∠2＝∠DAC．（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∵∠2+∠3＝180°，（已知）∴∠DAC+∠3＝180°．（等量代換）∴AD∥EF．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠ADC＝∠EFC．（兩直線平行，同位角相等）∵EF⊥BC，（已知）∴∠EFC＝90°．（垂直定義）∴∠ADC＝90°．（等量代換）故答案為：AC；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；EFC；兩直線平行，同位角相等；垂直定義．20．【解答】解：（1）∵正數(shù)x的兩個平方根分別是2a﹣1和a+7，∴2a﹣1+a+7＝0，解得a＝﹣2，當(dāng)a＝﹣2時，2a﹣1＝﹣5，a+7＝5，∴x＝（±5）2＝25，即a＝﹣2，x＝25；（2）∵負(fù)數(shù)y的立方根與它本身相同，∴y＝﹣1，∴x﹣11y＝25+11＝36，∴x﹣11y的算術(shù)平方根為＝6．21．【解答】解：（1）如圖，B（6，3），故答案為：（6，3）；（2）S△ABC＝4×6﹣×4×2﹣×4×3﹣×1×6＝11；（3）存在；理由如下：設(shè)P（0，m），由題意得：×|m﹣4|×6＝6，解得，m＝2或6，∴P（0，2）或（0，6）．22．【解答】解：（1）設(shè)A種飛船模型每件進(jìn)價x元，B種飛船模型每件進(jìn)價y元，根據(jù)題意，得：，解得，答：A種飛船模型每件進(jìn)價30元，B種飛船模型每件進(jìn)價20元；（2）設(shè)購進(jìn)a件A型飛船模型和b件B型飛船模型，根據(jù)題意，得30a+20b＝240，∴，∵a，b均為正整數(shù)，∴當(dāng)b＝3時，a＝6；當(dāng)b＝6時，a＝4；當(dāng)b＝9時，a＝2，∴所有購買方案如下：①購進(jìn)6件A型飛船模型和3件B型飛船模型；②購進(jìn)4件A型飛船模型和6件B型飛船模型；③購進(jìn)2件A型飛船模型和9件B型飛船模型．23．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠ADE＝∠F，∴CF∥AB；（2）解：如圖2，過點(diǎn)E作EK∥AB，∴∠BEK＝∠ABE＝45°，∵CF∥AB，∴CF∥EK，∴∠CEK＝∠ACF＝65°，∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝45°+65°＝110°；（3）解：∵BE平分∠ABG，∴∠EBG＝∠ABE＝45°，∵∠EBC：∠ECB＝3：4，設(shè)∠EBC＝3x°，則∠ECB＝4x°，∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC＝3x°，∠AED＝∠ECB＝4x°，∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，由（2）知：∠BEC＝110°，∴3x+4x+110＝180，解得x＝10，∴∠EBC＝3x°＝30°，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝45°﹣30°＝15°．24．【解答】解：（1）解方程組①得：．∵2+（﹣1）≠2×（﹣1），∴方程組①不是“好友方程組”；解方程組②得：．∵+3＝×3，∴方程組②是“好友方程組”；解方程組③得：．∵1+1≠1×1，∴方程組③不是“好友方程組”；解方程組④得：．∵4+＝4×，∴方程組④是“好友方程組”．故答案為：②④；（2）此方程組不是“好友方程組”，理由如下：整理原方程組得：．解得：．若原方程組為“好友方程組”，則x+y＝xy．∴1﹣m＝﹣m．此方程無解．∴此方程組不是“好友方程組”．（3）解方程組Ⅰ得：．當(dāng)點(diǎn)P（x，y）為“好友點(diǎn)”時，n2+1+5＝5（n2+1）．n2＝．∴n＝±．整理方程組Ⅱ得：．∴．∵n2＝，∴．解得：．∵2+2＝2×2，∴關(guān)于x，y的二元一次方程組（Ⅱ）為“好友方程組”，“好友點(diǎn)”為（2，2）．25．【解答】解：（1）∵＝0，（a+b﹣3）2≥0，≥0，∴a+b﹣3＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，A（0，20），∵橋OA長20米，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴A（0，20），故答案為：1；2；0；20；（2）設(shè)檢修工人走了t秒，如圖1.1，S△AOP＝PO×AO＝（200﹣10t）平方米，S△APQ＝AQ×AO＝（200﹣15t）平方米，當(dāng)S△AOP＝2S△APQ時，200﹣10t＝2（200﹣15t），解得t＝10，故答案為：t＝10；（3）存在實(shí)數(shù)k，