【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考）解析版第34講空間直線、平面的垂直

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

第34講空間直線、平面的垂直（精講）

題型目錄一覽

①垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判

定

②線面垂直的判定-

③線線垂直的判定-

④面面垂直的判定

、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂直.

二、判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與一個(gè)平1

a,bua

面內(nèi)的兩條相交直a.LI

判斷定理n/J_a

線都垂直，則該直7bll

acb=P

線與此平面垂直

兩個(gè)平面垂直，則

a10

在一個(gè)平面內(nèi)垂直Lac0=a

面，面n線_1面>=>bJ_a

Jbu(3

于交線的直線與另*

b.La

一個(gè)平面垂直

一條直線與兩平行

7

平面中的一個(gè)平面ZLZa11(3}

平行與垂直的關(guān)系二n

a-La]

垂直，則該直線與二7

另一個(gè)平面也垂直

兩平行直線中有一ab

一

條與平面垂直，則allb\

平行與垂直的關(guān)系

/a

另一條直線與該平a-La]

面也垂直

三、性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

ab

垂直于同一平面的兩alia

性質(zhì)定理au0'=a1電

條直線平行ac0=b

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一直線a-La]

垂直與平行的關(guān)系ZZ〃_L尸J\na1113

的兩個(gè)平面平行二

如果一條直線垂

直于一個(gè)平面，則

線垂直于面的性質(zhì)/_La,aua=/_La

該直線與平面內(nèi)

所有直線都垂直

四'平面與平面垂直

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂

直.（如圖所示，若ac^=C￡>,Cr>_L/,且&八/=45,4門/=3瓦則［，￡）

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

五、判定定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面過(guò)另一b-La]

卜=a-L尸

小bu°\

個(gè)平面的垂線，則

二7

這兩個(gè)平面垂直

六、性質(zhì)定理

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

兩個(gè)平面垂直，則一aP

ac。=a

個(gè)平面內(nèi)垂直于交>=>Z?±cr

bu0

性質(zhì)定理線的直線與另一個(gè)J<1/bLaJ

平面垂直

【常用結(jié)論】

1.證明線線垂直的方法

①等腰三角形底邊上的中線是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形對(duì)角線互相垂直；

④直徑所對(duì)的圓周角是直角；

⑤向量的數(shù)量積為零；

⑥線面垂直的性質(zhì)(aJ_Z?)；

⑦平行線垂直直線的傳遞性ka1c,alIbnblc).

2.證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義；

②線面垂直的判定(a_L6,aJ_c,cutz,6ua6cc=P=>a_l_a)；

③面面垂直的性質(zhì)(aL/3,ac/3=b,aLb,aua=a，/3)；

平行線垂直平面的傳遞性(a_La,6//anb_L(z);

⑤面面垂直的性質(zhì)(e_L7,分_L7,ec￡=/=>/_!_/).

3.證明面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(o_L￡,auane_1_尸).

二、題型分類精講

題型二垂直性質(zhì)的簡(jiǎn)單判定

策略方法

此類問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)正方體的棱、面等，進(jìn)而進(jìn)行排除.

【典例1】（單選題）若/為一條直線，為三個(gè)互不重合的平面，則下列命題正確的是（）

A.a±y,p±/=>a±B.若〃/a,a_!_￡=>/u/

C.a±/,pily=>aLpD.若〃/a,tz_1_萬(wàn)=>/_1_尸

【答案】C

【分析】根據(jù)線面，面面，平行，垂直的性質(zhì)與判定判斷即可.

【詳解】對(duì)A,若￡，/,/?，/,名口可能相交也可能平行，故A項(xiàng)不正確；

對(duì)BD,〃/則可能有〃//?,故B,D項(xiàng)不正確；

對(duì)C,a_!_7,￡///則必有a_L6，故C項(xiàng)正確.

故選：C

【題型訓(xùn)練】

一、單選題

1.若a、夕是兩個(gè)不重合的平面，

①若a內(nèi)的兩條相交直線分別平行于夕內(nèi)的兩條直線，則c〃4；

②設(shè)a、夕相交于直線/,若。內(nèi)有一條直線垂直于/,則&，夕；

③若a外一條直線/與a內(nèi)的一條直線平行，貝U〃a；

以上說(shuō)法中成立的有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】利用直線與平面平行的判定定理，平面與平面平行的判定定理，平面與平面垂直的判定定理判定

即可.

【詳解】對(duì)于①，設(shè)4/<=平面a,且4c4=A,

由直線與平面平行的判定定理可知4〃夕，4〃夕，

再由平面與平面平行的判定定理可知a〃/，則①正確；

對(duì)于②，設(shè)。、夕交于直線/,若a內(nèi)有一條直線垂直于/,

則a、夕可能垂直也可能不垂直，則②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由直線與平面平行的判定定理可知〃/a,則③正確,

故選：C.

2.已知加，”是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，有以下四個(gè)命題：

①若m//n,"ua,則加〃a,②若加ua,mV[3,則a_L#,

③若m±a,則a〃夕，④若a-L,mua,"ua,則力z〃

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D,①②

【答案】A

【分析】對(duì)于①，由線面平行的判定定理分析判斷，對(duì)于②，由面面垂直的判定定理分析判斷，對(duì)于③,

由線面垂直的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于④，舉例判斷

【詳解】對(duì)于①，當(dāng)機(jī)〃"，"ua時(shí)，”?〃a或垃ua,所以①錯(cuò)誤，

對(duì)于②，當(dāng)加ua,時(shí)，由面面垂直的判定定理可得al■月，所以②正確，

對(duì)于③，當(dāng)相，/，加，尸時(shí)，有a〃夕，所以③正確，

對(duì)于④，當(dāng)。，/?,"2ua,"ua時(shí)，如圖所示，加〃"，所以④錯(cuò)誤，

故選：A

3.已知加，"，/是3條不同的直線，a,B,7是3個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.若相,nl.1,則根〃〃

B.若a_L/?,aP=m,I_Lm,則/_Ltz

C.若〃m///3,則

D.若a_L/,/?!/,則a〃6

【答案】C

【分析】利用垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系可判斷A；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷B；利用面面

垂直的判定可判斷C；利用垂直于同一平面的兩個(gè)平面的位置關(guān)系可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由加J_/,"J_/,在同一個(gè)平面可得相〃”，在空間不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由面面垂直的性質(zhì)定理知缺少“/u。”，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若mla,m〃。,則。_1_力，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)三個(gè)平面。，/3,/兩兩垂直時(shí)，結(jié)論錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.設(shè)加，n,/是三條不同的直線，a,口，/是三個(gè)不同的平面，有下列命題中，真命題為（）

A.若〃2_1_〃，則相_!_/

B.若<z_L耳，。上丫,則aJ-7

C.若〃?_La,根〃"，n//P,則a_L尸

D.若〃〃，m//a,則〃〃a

【答案】C

【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理一一判定即可.

【詳解】對(duì)于A,若機(jī)J_〃，”_1_/,則相〃/或機(jī),/相交或"2,/異面，錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若。，力，2,則C〃7或“7相交，錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若根J_<z,m//n,則〃_La,又〃〃尸，則a，/?,正確；

對(duì)于D,若m〃n,m//a,貝!J"ua或〃〃a,錯(cuò)誤.

故選：C.

5.設(shè)〃?，/，/是三條不同的直線，a,P，/是三個(gè)不同的平面，有下列命題中，真命題為（）

A.若機(jī)_1_〃，則機(jī)_L/B.若a，。,/7_!_/,則a_Ly

C.若〃?_Ltz,m//n,則〃J_（zD.若mHn,ml/a,則“//or

【答案】C

【分析】由線線垂直、線面平行、線面垂直、面面垂直的理論逐一判斷即可求解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：不妨設(shè)〃，平面萬(wàn)，Im,/u平面乃，加u平面萬(wàn)，則有〃z_L〃，?±/,但機(jī)與/

不垂直，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)：若2,則a〃7或a與/相交，即a與/不一定垂直，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)：設(shè)44u平面a且/1'4=P,若〃7_1_0，則有利J_4，

又機(jī)//〃，所以"」/”〃_!_4，結(jié)合4「"2=P、平面a,所以有〃_La,故C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)：若加//〃，mlla,則"http://a:或“ua,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

6.設(shè)外”是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若能_L",力〃e,則m_L（z

B.若m〃/3,/3La,則

C.若機(jī)_L〃,〃_L￡,￡_La,則機(jī)_!_&

D.若機(jī)_L￡,〃_L￡,〃_La,則機(jī)_L（z

【答案】D

【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運(yùn)用有關(guān)的定理逐項(xiàng)分析.

【詳解】當(dāng)機(jī)_L〃，"〃口時(shí)，可能有m_1_打，但也有可能〃z//a或〃2uc,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)機(jī)///?,/J_。時(shí)，可能有〃z_L（z,但也有可能加〃&或mua,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

在如圖所示的正方體ABC。-4qCR中,

取m為Bg,n為cq,夕為平面A3CD,。為平面ADRA，這時(shí)滿足加工力，B，a,但機(jī)_La不

成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)〃z_L￡,,H_LQ;?時(shí)，必有c〃尸，從而〃7_l_or,故選項(xiàng)D正確；

故選：D.

7.下列命題中，不正確的是（）

A.夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等

B.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直

C.若直線“〃平面a,Pea,則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線。的直線有無(wú)數(shù)條，且一定在a內(nèi)

D.已知機(jī)，w為異面直線，平面a,〃_L平面用，若直線/滿足/_!_%，ILn,IUa,IB0,則。

與夕相交，且交線平行于/

【答案】C

【分析】利用面面平行的性質(zhì)推理判斷A；利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定推理判斷B；利用線面

平行的性質(zhì)判斷C；利用反證法結(jié)合線面平行的性質(zhì)推理判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,平面S//平面？，點(diǎn)A,Oe平面5,民Cw平面7,且AB//CD,

D

/T_______/

由AB//CD,得點(diǎn)A,8,C,D共面，平面人以力—平面萬(wàn)二仞，平面ABCDc平面T=3C,

而平面5//平面「，于是AP//8C,因此四邊形ABCD是平行四邊形，所以A3=CD,A正確;

對(duì)于B,設(shè)平面X、/、K兩兩垂直，它們的交線分別為b、c、d,

過(guò)平面2內(nèi)點(diǎn)。的直線e、f分別滿足f±c,如圖，

由/L_L7,2y=b,eu/l,得e_L7，而廣K=d,則e_Ld,同理/_Ld,

因此d_L2,又b,cu九,從而d_L6,1_Lc,同理匕_Lc,

所以三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直，B正確；

對(duì)于C,由直線。//平面。，Pe?,得直線。與點(diǎn)尸確定一個(gè)平面b,令平面b與平面a的交線為"，

顯然a〃a,且"u平面a,直線"唯一，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,假定a與夕平行，由7〃_L平面。，得平面夕，又w_L平面夕，于是血/〃，

這與m,n為異面直線矛盾，即假設(shè)不成立，因此a與夕相交，

由〃，平面/、口〃及/0尸，得/〃口，同理〃/a,在平面a內(nèi)存在直線，〃/,

在平面耳內(nèi)存在直線/"http:///（/'/均不為平面a與夕的交線），

即有/'///〃，于是/"/￡,直線/‘平行于平面a與夕的交線，所以直線/平行于平面a與夕的交線，D正確.

故選：C

8.己知加，"，/是三條不同的直線，?,用是兩個(gè)不同的平面，且加」/,nil,nL/3,則下

列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若機(jī)_L〃，則B.若〃2〃“，則tz〃?

C.若加//￡,則a///?D.若〃則"J_a

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)，分%u￡與mcz#兩種情況，由線面垂直得到面面垂直；B選項(xiàng)，得到結(jié)合〃，，，

可得e//〃；C選項(xiàng)，先得到小，結(jié)合A選項(xiàng)可得1上尸，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，可得到mHn,進(jìn)而得到〃_La.

【詳解】A選項(xiàng)，若mu/3,如圖1,因?yàn)闄C(jī)，所以a_L￡,

圖I

若加0尸，如圖2,因?yàn)閙_L〃，77」。，則加〃刀，過(guò)直線m的平面7交平面夕于直線a,

則加〃a,故a_La,因?yàn)閍u/7,所以a_L,,

圖2

綜上，若加工“，則。，力，A正確；

B選項(xiàng)，因?yàn)椤?〃“，〃?J_a,所以〃JLar,

因?yàn)?，/，可得a//￡,B正確；

C選項(xiàng)，因?yàn)闄C(jī)//6，nVp,所以m_L〃，

由A選項(xiàng)可知C6,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)閙_L/?,則相〃"，因?yàn)樗浴╛La,D正確.

故選：C

二、多選題

9.已知加，”為不同的直線，?,夕為不同的平面，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若〃2〃￡，n//(3,aV[3,則如J_"B.若〃z_l_a,n±J3,aY(3,則？九〃〃

C.若加〃a,nVP,mVn,則a〃6D.若m〃a,nVj3,m//n,則cz_L6

【答案】ABC

【分析】通過(guò)分析不同情況下直線和平面的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，

人項(xiàng)，設(shè)加，〃,機(jī),〃所在平面7,76=4,7&=只需44,根”即滿足題設(shè)，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，設(shè)〃z_L#且相u（z,〃_La且〃u尸，此時(shí)機(jī)_|_〃，B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，當(dāng)加〃蟆，〃z_L〃時(shí)，a可能垂直于4，C錯(cuò)誤；

D項(xiàng)，當(dāng)相〃tz,nl/3,m//n,則々_1_2，故D正確.

故選：ABC.

10.設(shè)加，”是兩條不同的直線，。，尸是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若相u?,cz_l_p,則〃?J_aB.若ar〃/?,mu/3,則根〃（z

C.若〃_La,nV[5,則a〃"D.若inUa,加〃夕，則￡〃尸

【答案】BC

【分析】根據(jù)空間中線面、面面位置關(guān)系判斷即可.

【詳解】因?yàn)榧?，”是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A：若mu。,a1/3,則m_La或加//cr或"ua或m與a相交（不垂直），故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若￡〃/?,機(jī)u￡,則相〃a,故B正確；

對(duì)于C：若"_La,則a〃尸，故C正確；

對(duì)于D：若加〃￡，加〃尸，則3勿或a與夕相交，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

11.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，。，￡是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題，其中正確的命題為（）

A.若nlla,則〃2_L〃B.若/”〃〃，m<Zor,"ua,則根//C

C.若mlla,則〃?_L力D.若機(jī)_La,mu/7,則a_L分

【答案】ABD

【分析】利用線面平行性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理判斷A；利用線面垂直的判定判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；

利用面面垂直的判定判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,由“〃e,得存在過(guò)直線”的平面7與平面。相交，令交線為c,貝Ue//”，

由〃z_L（z,cua內(nèi)，得因此A正確；

對(duì)于B,由〃2〃“，my〃ua,%mlla,B正確；

對(duì)于C,由于<z_L尸，令a/3=l,當(dāng)時(shí)，有機(jī)〃c,此時(shí)相u尸或根//6，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由mu0,得c_L#,D正確.

故選：ABD

12.已知八”是兩條不重合的直線，d〃是兩個(gè)不重合的平面，下列命題不正確的是（）

A.若mlla,mlIp,nila,nll/3,則a//"

B.若根_L〃，mlla,n±/3,則（z_L?

C.若根_L〃，“zua,nu/3,則

D.若相〃"，mVa,H-LJ3,則tz〃/?

【答案】ABC

【分析】由空間中線面位置關(guān)系可判斷.

【詳解】由加，”是兩條不重合的直線，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，知：

在A中，若mlla,m//,nila,nlip,則a與4相交或平行，故A錯(cuò)誤；

在B中，若加_L〃，ml/a,n，B,則a與4相交或平行，故B錯(cuò)誤；

在C中，若〃z，〃，mua,nu/3,則a與4相交或平行，故C錯(cuò)誤；

在D中，若加/〃，mla,八/3,則由線面垂直，線線平行的性質(zhì)可得故D正確.

故選：ABC.

三、填空題

13.給出下列四個(gè)命題：

①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；

②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；

③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；

④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線.

其中正確的命題共有個(gè).

【答案】2

【分析】根據(jù)線面垂直的定義，以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】①中，根據(jù)線面垂直的判定定理，直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則這條直線與平面垂直,

所以①不正確；

②中，根據(jù)直線與平面垂直的定義知，若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直,

所以②正確；

③中，因?yàn)樘菪蔚膬裳谕黄矫鎯?nèi)，且不平行，所以兩腰時(shí)相交直線，若直線垂直于梯形的兩腰所在的

直線，可得直線垂直梯形底面所在的平面，所以這條直線垂直于兩底邊所在的直線，所以③正確；

④中，因?yàn)樘菪蔚膬傻姿诘闹本€相互平行，根據(jù)線面垂直判定定理，直線與這個(gè)平面不一定垂直，這條

直線不一定垂直于兩腰所在的直線，所以④不正確.

故答案為：2.

14.已知名"是兩個(gè)不同的平面，%〃是平面&及4之外的兩條不同的直線，給出下列四個(gè)論斷：

①②cz_L￡；③〃_!_￡；@mLa.

以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：.（用序號(hào)表示）

【答案】①③④n②（或②③④n①）

【分析】已知①③④時(shí)，將利,“平移到相交位置，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)以及直二面角的定義可推出

②；已知②③④時(shí)，根據(jù)直二面角的定義可推出①.

【詳解】若根ml.a,則

證明：過(guò)平面a和平面尸外一點(diǎn)尸，悴R4交a于A,作尸B〃“，PB交B于B，

則PA_La,PB1/3,PA±PB,

顯然a與夕不平行，設(shè)aB=l,則PA_U,PBLI,

因?yàn)镻APB=P,PAPBu平面所以//平面P4B,

延展平面RW交/于點(diǎn)連貝!/IBM,

則ZAMB是二面角a-1-p的一個(gè)平面角，

因?yàn)樯?_La,AM^a,所以同理有尸

又PA工PB,所以四邊形為矩形，則

則平面a和平面夕形成的二面角的平面角直二面角，故a1（3,

若a_L，,n，［3,m.La,則〃_zL〃.

證明：因?yàn)槭?，所以a與夕所成的二面角為90,

因?yàn)閙La,所以直線〃〃所成的角也為90,即%_L〃.

若〃z_L〃，al/3,nL/3,則加與a相交或m//a或機(jī)u（z.

若根J_九，a.L/3,m-La,則〃與a相交或〃//a或〃ua.

故答案為：①③④n②（或②③④n①）.

題型二線面垂直的判定

【答案】見(jiàn)解析

【分析】通過(guò)證明CFL8E和ABLCF,進(jìn)而可得證.

【詳解】

E,F分別是棱與G,好8的中點(diǎn)，

在RtABB、E和RtACBF中，BBt=BC,BlE=BF,

所以RtABBtE=RtACBF,所以△ZBtBE=ZBCF,

因?yàn)镹B]BE+NEBC=90,所以ZBCF+N￡BC=90,

所以N3OC=90,即Cb_L3E,

又因?yàn)檎襟wABCD-中，AB1平面BCC^,CFu平面BCQB,,

所以ABLC尸，A3和BE平面EAB內(nèi)的兩條相交直線，

所以CF_L平面EAB.

【題型訓(xùn)練】

一、解答題

1.如圖所示，在四棱錐產(chǎn)一A2CD中，底面A8CD為矩形，如，平面ABC。，點(diǎn)E在線段PC上，PC,平

面BDE.證明：平面PAC

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明即可.

【詳解】證明：平面ABC。，BOu平面ABC。

：.PA±BD.同理由PCJ_平面30E,可證得PC_L5D

XPAHPC=P,平面RIC.

2.如圖，在四棱錐P—MCD中，底面ABC。是梯形，AD//BC,且AD=2BC,PALPD,AB^PB.

⑴若廠為融的中點(diǎn)，求證的〃平面尸。

(2)求證平面PCD.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）取PD中點(diǎn)E,連接EF、EC,可得EF//BC且EF=BC,則四邊形EFBC為平行四邊形,

則BB//EC,根據(jù)線面平行的判定定理，即可得證

（2）根據(jù)三角形性質(zhì)，可證班'LAP,結(jié)合（1）可得ECLAP,根據(jù)線面垂直的判定定理，即可得證

【詳解】（1）取PD中點(diǎn)E,連接EF、EC,如圖所示

因?yàn)镋、F分別為PD、PA中點(diǎn)，

所以E尸//AD，且EF=JAD,

又因?yàn)镽AD=2BC,

所以EF//BC且EF=BC,

所以四邊形EFBC為平行四邊形，

所以BF//EC,

因?yàn)槠矫鍼CD,ECu平面PCD,

所以所〃平面PCD

（2）因?yàn)?F為PA中點(diǎn)，

所以加'_LAP,則EC_LAP,

因?yàn)樯?_LP￡）,ECPOu平面PCD,

所以PA_L平面PCD.

3.如圖，在四棱錐P-MCD中，上4,平面A3CD,底面ABCD為菱形，E為CO的中點(diǎn).

p

(1)求證：加上平面PAC；

(2)若點(diǎn)P是棱AB的中點(diǎn)，求證：C尸［平面R4E.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】由24,平面A3CD,且底面ABCD為菱形，即可得到①51平面PAC內(nèi)的兩條相交直線，則可證

得比)1平面PAC.

(2)由瓦尸分別為中點(diǎn)，可得到Cf7/AE,則問(wèn)題即可得以證明.

【詳解】(1)因?yàn)镻A_L平面ABCD,3￡>u平面ABCD,所以B4_LBD,又因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，貝!|

BD1AC,PAAC=A,P4,ACu平面PAC,所以即工平面PAC.

(2)連接CP,AE如圖所示:

因?yàn)橥邚S分別為CD,A3的中點(diǎn)，貝!|A尸〃CE且A/^=CE,所以四邊形AFCE為平行四邊形，所以AE〃b,

AEu平面R4E,CF<z平面E4E,所以CF〃平面B4E.

4.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CQ為正方形，上4,底面ABCZ),B4=AB=2,E為線段尸3的中點(diǎn)產(chǎn)為

線段8c的中點(diǎn).

⑴證明:平面PBC;

（2）求點(diǎn)P到平面AEF的距離.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵坐.

3

【分析】⑴先根據(jù)PA，底面ABCD,得至!）PA±3C,再根據(jù)AB13C,利用線面垂直的判定定理證明3C1平

面PAB,即再根據(jù)一次線面垂直的判定定理證明平面PBC;

（2）先根據(jù)長(zhǎng)度及垂直關(guān)系得到AF,AE,EF,進(jìn)而得到△AEF的面積，再計(jì)算出VF_PAE，根據(jù)等體積法即可求得

點(diǎn)P到平面AEF的距離.

【詳解】（1）證明:因?yàn)镻A_L底面ABCD,3Cu平面ABCD,所以3c.

因?yàn)锳BCD為正方形，所以AB±BC,

因?yàn)镻AAB=A,PAu平面PAB,ABu平面PAB,所以BC1平面PAB,

因?yàn)锳Eu平面PAB,所以AE_L8C,

因?yàn)樯?=AS,E為線段PB的中點(diǎn)，所以

又因?yàn)锽Bc5C=3,P3u平面PBC,3Cu平面PBC,所以AE_L平面PBC.

（2）由F是BC的中點(diǎn).所以=產(chǎn)=有,

因?yàn)镻A_L底面ABCD,ABu平面ABCD,

所以R4_LAB,因?yàn)镋為線段PB的中點(diǎn)，

所以AE=gpB=0,

由⑴知AE_L平面PBC,跖u平面PBC,

所以，所以所=JARZ—AE?=6,

所以5.=以石?所="，

A"22

因?yàn)?^4=AB=2,所以SPAE=—SPAB=—PA-AB=1,

由⑴知BC1平面PAB,所以FB，平面PAB,

設(shè)點(diǎn)P到平面AEF的距離為h,

則有*￡尸=15AEF-h=^-h=VF_PAE=|SPAE-BF=^~,

3o33

解得〃=逅，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為逅.

33

5.如圖，在四棱錐尸一AfiCD中，AB=BC=1,DC=2,PD=PC,NDPC=90。，ZDCB=NCBA=90°,

平面PDC_L平面ABCD.證明：PD_L平面BBC

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】由面面、線面垂直的性質(zhì)可得且3CLCD,根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論；

【詳解】證明：由題設(shè)，BCLCD,又面面PDC面ABCD=CD,BCu面ABCD,

所以3C1面PDC,而尸￡>u面尸DC,則3CL尸。，

由/DPC=90。得：PC1PD,

又BCcPC=C,則PD_L平面PBC.

6.如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，底面ABC。，E,尸分別是PC,尸D的中點(diǎn).

(1)若PA=AB=1,BC=2,求四棱錐尸―ABCD的體積;

(2)求證：平面上4D.

【答案】⑴]

(2)證明詳見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)錐體的體積公式，即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明CD，面PAD,又由中位線定理，可得EF//CD,進(jìn)而證明出結(jié)

果.

【詳解】（1）解：,??在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，24,底面ABCD,PA=AB=1,BC=2,

112

^P-ABCD='^=JX1X2X1=J；

（2）證明：I?四邊形A3CD為矩形，

...CD1AD,

PAJ_底面ABCD,CDu面ABCD,

/.PA±CD,

又ADcR4=A,二。￡>_1面24。，

又E,尸分別是PC,PD的中點(diǎn)，

,EF//CD,

：.EF2平面PAD.

7.如圖，B4是圓柱的母線，48是底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A.8的一點(diǎn)，S.PA=AC=BC=2.

⑴求證：平面B4C

（2）若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐3-ACM的體積.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）t

【分析】（1）通過(guò)證明網(wǎng)，8。,8。，4。來(lái)證得86：1平面必。.

（2）先求得三棱錐3-ACM的高，進(jìn)而求得三棱錐3-AQW的體積.

【詳解】（D'.?PA為圓柱母線，

二尸4,平面ACB,

3Cu平面ACB,

二PA±BC,

VAB為底面圓直徑，；.BC±AC,

；ACu平面APC,PAu平面APC,ACr\PA=A,

二平面PAC.

(2),.,BC1平面APC,平面4WC=平面APC,

，3C，平面ACM,BC為三棱錐3-ACM的高，BC=2,

'：AC=PA=2,M為PC中點(diǎn)，

/.AMPC,AM=MC=BSACM='義?乂血=\，

VB-ACM=§X1X2=§.

8.已知Rtz^ABC的斜邊為AB,過(guò)點(diǎn)A作B4_L平面ABC,于M,AN_LPC于N.求證:

(1)BC_L平面B4C；

(2)尸3_L平面AMN.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由題意可證得PA_LBC,BC1AC,再由線面垂直的判定定理即可證明.

(2)由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明.

【詳解】⑴；PA_L平面ABC,BCu平面ABC,/.PA±BC.

,/ABC是直角三角形，AB為斜邊，.,.BC1AC,

XACnPA=A,AC,PAu平面PAC,.\BCJ_平面PAC.

(2)由(1)知BC_L平面PAC,

；ANu平面PAC,/.BC±AN,

又；AN_LPC,BCAPC=C,BC,PCu平面PBC,

.?.AN_L平面PBC,又PBu平面PBC,AAN1PB,

又；PB_LAM,AMAAN=A,AM,ANu平面AMN,

平面AMN.

9.如圖，在三棱柱ABC-44G中，A4,，平面分別為AC,AG的中點(diǎn)，AB=BC=45,AC=AA,=2.

(1)求證：AC_L平面BDE;

(2)求點(diǎn)D到平面ABE的距離.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

⑵當(dāng)

【分析】(1)通過(guò)證明ACLDB，AC±DE,得證AC_L平面BDE.

(2)由/_槐=%一"。，利用體積法求點(diǎn)D到平面ABE的距離.

【詳解】(1)證明：?；=D,E分別為AC,的中點(diǎn)，

/.ACA.DB,且DE〃叫，

又A4,_L平面ABC工平面ABC,

又ACu平面ABC,/.ACLDE,

又AC_L￡>3,且DEcDB=D,￡>E,u平面瓦)￡,

AC_L平面3￡>E.

(2)VAC±DB,AB<,AC=2AD=2,

BD=\lAB2-AD2=2>

2222xx2

BE=yjDE+BD=242>AE=y/DE+AD=45>5AABD=|l=l?

在..ABE中，AB=AE=垂,BE=2近,

...BE邊上的高為小同=V3.

.*.SAAfi￡=|x2V2xV3=V6.

設(shè)點(diǎn)D到平面ABE的距離為d,

根據(jù)％-ABE=%TBD，得卜#X4=1X1X2,解得d="，

333

所以點(diǎn)D到平面ABE的距離為逅.

3

10.如圖四棱錐尸-ABCD中，四邊形45CD為等腰梯形，AB//CD,平面ABS人平面PCD,

ZADC=NCDP=45°,CD=2AB=4,PO=30，BEVCD.

(1)證明：CD_L平面尸EB；

(2)若。在線段尸C上，且PQ=2CQ,求三棱錐Q-PEB的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

⑵！

3

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可求得PE=3,由勾股定理可證尸ELCD,結(jié)合線面垂直的判定定理

可證；

(2)根據(jù)題意結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得PEL平面ABCD,利用錐體的體積公式運(yùn)算求解.

【詳解】(1)???四邊形ABC。為等腰梯形，且

/.CE=-AB=1,DE=3,

2

萬(wàn)

又；ZCDP=45°,貝！J尸爐=。爐+PO2-2OEJ￡)?COSNC￡>P=9+18-2X3X3A/^X—=9,即PE=3,

2

PD2=DE2+PE2，則尸E_LDE,即PE_LCD,

又：BELCD,PEcBE=E,PE,8Eu平面尸

二CD_L平面尸EB.

(2)VPELCD,平面ABCD，平面尸CD,平面ABCDc平面PCD=CD,PEu平面尸CD,

/.PE_L平面ABC。，

由題意可得：一3CE為等腰直角三角形，則3E=CE=1,

又；PQ=2CQ,

22111

二三棱錐。的體積%-的=1L-CEB=]X]X/xlxlx3='.

11.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A4GR中,AB=2,BC=2,CG=4,M為棱CQ上一點(diǎn).

⑴若CtM=1，求異面直線和CR所成角的正切值；

⑵若QM=2,求證_L平面AXB{M.

【答案】⑴更

2

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由G2〃耳4,則異面直線AM和G2所成角即為,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得

A片1月M,再根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系求得VA4M中的各個(gè)長(zhǎng)度，進(jìn)而求得正切值即可；

(2)根據(jù)GM=2,可得M為CG中點(diǎn)，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可知BIM±BM，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得

\B^BM，根據(jù)線面垂直判定定理即可證得結(jié)論.

【詳解】(1)解:因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABC。-AqGA,所以CQ〃取1H

所以n耳AM是異面直線AM和G2所成的角，

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體A3。-A耳￡A中,A內(nèi)_L平面BCGA,所以A片，耳加，

因?yàn)殁}=2,3。=2,"1=4,”為棱陽(yáng)上一點(diǎn),。掰=1,

所以gM=JBC：+MC；=A/4+I=下,

所以在直角三角形AB眼中,tan/即BM=—亞,

2

即異面直線和GQ所成角的正切值為趙;

2

(2)證蜂當(dāng)GM=2時(shí),M為CG中場(chǎng)，所以B[M=BM=&產(chǎn)=2垃,

即有BXM-+BM-=BB；，所以B,M1BM,

因?yàn)?月，平面BCGB-BMu平面BCC4,

所以44,8M.又A4與M=4,

AtBtu平面A[B[M,B[Mu平面AtBtM,

所以3Ml平面AB陽(yáng).

12.如圖，在三棱錐P—ABC中，D,E分別為AB,尸3的中點(diǎn)，EB=EA,且R4LAC,PC±BC.求證:

平面PAC.

B

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】由題可得利用線面垂直的判定定理可得24,平面ABC,進(jìn)而可得24,3C,然后利用

線面垂直的判定定理即得.

【詳解】I?在△A￡B中，D是AB的中點(diǎn)，EB=EA,

：.ED±AB,

；E是PB的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，

:.ED//PA,

J.PA±AB,

又B4_LAC,ABr>AC=A,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

PA_L平面ABC,

:3Cu平面ABC,

/.PALBC,

又PCLBC,PAPC=P,上4u平面PAC,PCu平面PAC,

二平面PAC.

13.如圖，在四棱柱A8CD-A4C1D中，底面A8CD為平行四邊形，M=2AB=2,ZBAD=60°,平面

_L平面ABC。，BC1BD,,DD11BD,E為C。上的一點(diǎn).

(1)求證：AD,平面8BQQ；

⑵若AQ〃平面BDE,求三棱錐E-ABD,的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵如

24

【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)，可得平面A3CD,從而DRLAD,結(jié)合ADLB，，即可證明

平面班QD；

(2)利用等體積法，求三棱錐E-A2A的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐.-ACD體積的一半，即可求得本題答案.

【詳解】(1)因?yàn)槠矫嫫矫鍭3CD,平面BBNQc平面ABCD=3D,

又DD,1BD,DD、u平面BB,D、D,所以_L平面ABCD,

又因?yàn)锳Du平面ABCD,所以DD|_LA。；

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以3C〃AD,

又因?yàn)锽CLBR,所以ADLBR,

因?yàn)锽^u平面BBQ。，ORu平面B8QD,且BRDD}=D},

所以AC平面B3QQ.

(2)如圖，連接AC交于點(diǎn)。，連接OE,

因?yàn)锳D1〃平面B￡)E,平面ACQc平面BDE=OE,ADq平面AC2，

所以AR〃OE,

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn)，所以E為Cj的中點(diǎn)，

因?yàn)锳￡)_L平面BDu平面B8Q。，所以AD18￡),

因?yàn)?54。=60。，所以乙血)=30。，

因?yàn)锳B=1,所以在Rt&WD中，A￡)=ABsin30°=-,

2

所以SAAe=LADC?sinl20o=L*LxlxE=@，

AACD22228

y=Ay=1-V