2023-2024學年內蒙古部分名校高二（上）聯考數學試卷（10月份）

2023-2024學年內蒙古部分名校高二（上）聯考數學試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（5分）在空間直角坐標系中，點A（7，9，5）關于xOy平面對稱的點的坐標為（）A．（7，9，﹣5） B．（7，﹣9，5） C．（﹣7，9，5） D．（﹣7，﹣9，﹣5）2．（5分）圓O：x2+y2＝1與圓的位置關系為（）A．內切 B．相交 C．外切 D．相離3．（5分）已知點A（3，2，3），B（1，1，4），C（2，0，1），則＝（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）經過A（﹣1，3），B（1，9）兩點的直線的一個方向向量為（1，k），則k＝（）A． B． C．﹣3 D．35．（5分）在空間直角坐標系O﹣xyz中，是直線l的方向向量，是平面α的一個法向量，若l⊥α，則（）A．3a+2b＝0 B．2a+3b＝0 C．ab＝﹣6 D．ab＝66．（5分）若直線l：Ax+By+C＝0的傾斜角為α，則“A?B＜0”是“α不是鈍角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（5分）已知點A（1，2），B（a，b），C（c，d），若A是直線l1：ax+by+1＝0和l2：cx+dy+1＝0的公共點，則直線BC的方程為（）A．x+2y﹣1＝0 B．x+2y+1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．2x+y+1＝08．（5分）已知直線l：（m﹣1）x+（m+1）y﹣3m+1＝0與圓O：x2+y2＝30交于A，B兩點，當|AB|最小時，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點，則|CD|＝（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（多選）9．（5分）已知直線l1：x+y+2＝0，l2：x﹣y﹣6＝0，l3：x+y﹣2＝0，則（）A．l1在x軸上的截距為2 B．l1⊥l2 C．l1，l2的交點坐標為（2，﹣4） D．l1，l3之間的距離為（多選）10．（5分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，E，F分別為PB，PD的中點，則（）A．在方向上的投影向量為 B．在方向上的投影向量為 C．在方向上的投影向量為 D．在方向上的投影向量為（多選）11．（5分）直線l1：y＝ax+b與l2：y＝bx+a在同一平面直角坐標系內的位置可能是（）A． B． C． D．（多選）12．（5分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20km的圓形區(qū)域內．已知小島中心位于輪船正西25km處，為確保輪船沒有觸礁危險，則該輪船的行駛路線可以是（）A．南偏西45°方向 B．南偏西30°方向 C．北偏西30°方向 D．北偏西25°方向三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）已知直線l：3x+y﹣1＝0的傾斜角為α，則cosα＝．14．（5分）在空間直角坐標系Oxyz中，，則點B到直線AC的距離為．15．（5分）已知（m，n）為直線x+y﹣1＝0上的一點，則的最小值為．16．（5分）如圖，已知二面角A﹣EF﹣D的平面角大小為，四邊形ABFE，EDCF均是邊長為4的正方形，則||＝．?四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知直線l：ax﹣y+2a+1＝0經過第一、二、四象限．（1）求a的取值范圍；（2）若直線l1：（3a+7）x﹣2y+3＝0與直線l垂直，求a的值．18．（12分）已知P為圓M：x2+y2﹣2x﹣2y＝0上一動點，Q為直線l：x+y+2＝0上一個動點．（1）求圓心M的坐標和圓M的半徑；（2）求|PQ|的最小值．19．（12分）《九章算術》中將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑P﹣ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D為PC的中點，．（1）設，，，用a，b，c表示；（2）若，求．20．（12分）如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且∠BAD＝60°，E，F，G分別為B1C1，AC，A1C的中點，AA1＝AB＝2．（1）求直線D1F與EG所成角的余弦值；（2）求點D1到平面EFG的距離．?21．（12分）如圖，在多面體ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是邊長為2的正三角形，△BCD是以∠BDC為直角的等腰三角形，．（1）證明：AE∥平面BCD．（2）求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值．22．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓M經過A（1，2），B（5，6）兩點．（1）求圓M的標準方程．（2）若點T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點P，Q，使得．求t的取值范圍．

2023-2024學年內蒙古部分名校高二（上）聯考數學試卷（10月份）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．【分析】根據空間中點的坐標定義求解．【解答】解：由空間坐標系中點的坐標特征可知，點A（7，9，5）關于xOy平面對稱的點的坐標為（7，9，﹣5）．故選：A．【點評】本題主要考查了空間中點的坐標，屬于基礎題．2．【分析】分別求出圓心坐標和半徑，再求出兩圓的圓心距，根據圓心距與兩圓半徑之間的關系即可得出兩圓的位置關系．【解答】解：由題意得，圓O與圓M的半徑之和為1+1＝2，所以圓O與圓M的位置關系為外切．故選：C．【點評】本題主要考查了圓與圓的位置關系，屬于基礎題．3．【分析】直接利用空間向量的坐標表示計算數量積即可．【解答】解：因為A（3，2，3），B（1，1，4），C（2，0，1），所以，即．故選：B．【點評】本題主要考查空間向量的數量積，屬于基礎題．4．【分析】根據斜率公式求得kAB＝3，結合直線的方向向量的定義，即可求解．【解答】解：由點A（﹣1，3），B（1，9），可得直線AB的斜率為，因為經過A，B兩點的直線的一個方向向量為（1，k），所以k＝3．故選：D．【點評】本題考查直線的斜率的求法及方向向量的求法，屬于基礎題．5．【分析】根據題意，得到，結合空間向量共線的坐標運算，即可求解．【解答】解：由題意，是直線l的方向向量，是平面α的一個法向量，因為l⊥α，可得，則存在唯一實數k，使得，即（﹣2，0，a）＝（kb，0，3k），所以，消去k得：ab＝﹣6．故選：C．【點評】本題主要考查利用空間向量求出ab值，屬于基礎題．6．【分析】根據一般方程的斜率公式，結合特殊傾斜角情況和充分與必要條件的定義判斷即可．【解答】解：若A?B＜0，則l的斜率，則α不是鈍角．若α＝0°或α＝90°，則A?B＝0．故“A?B＜0”是“α不是鈍角”的充分不必要條件．故選：A．【點評】本題主要考查了直線的傾斜角與斜率關系的應用，屬于基礎題．7．【分析】將A點代入兩直線方程，可得a+2b+1＝0和c+2d+1＝0，即可知直線BC的方程．【解答】解：由點A（1，2）在l1：ax+by+1＝0和l2：cx+dy+1＝0上，可得a+2b+1＝0和c+2d+1＝0，故點B（a，b）與C（c，d）均滿足方程x+2y+1＝0，因此可知直線BC的方程為x+2y+1＝0．故選：B．【點評】本題考查了直線的方程的求法，是基礎題．8．【分析】由題意可得直線l過定點P（2，1），進而可得kAB＝﹣2，可得|AB|＝10，利用|CD|＝|CE|+|DE|＝+可求結論．【解答】解：如圖，由題意得l：（x+y﹣3）m﹣x+y+1＝0，由，得，所以l過定點P（2，1）．設l與x軸交于點E，當|AB|最小時，則OP⊥AB，可得kOP＝＝，所以kAB＝﹣2，則tan∠AEO＝2，，因為|OP|＝，所以．在△ACE中，|CE|＝，在△BDE中，＝，所以|CD|＝|CE|+|DE|＝+＝＝10．故選：C．【點評】本題考查直線過定點問題，考查直線與圓的位置關系，考查數形結合思想，屬中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．【分析】選項A：令y＝0，求l1在x軸上的截距；選項B：根據直線垂直對應系數關系求解；選項C：解方程組求解；選項D：根據兩平行線間距離求解．【解答】解：令y＝0，易得l1在x軸上的截距為﹣2，A錯誤．由1×1+1×（﹣1）＝0，得l1⊥l2，B正確．由得所以l1，l2的交點坐標為（2，﹣4），C正確．易得l1∥l3，則l1，l3之間的距離為，D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查直線的截距、平行等相關知識，屬于基礎題．10．【分析】根據題設條件及投影向量的概念，觀察可得．【解答】解：由題意，PA⊥平面ABCD，則平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，又底面ABCD為矩形，E，F分別為PB，PD的中點，由圖及投影向量的定義可知，在方向上的投影向量為，故A正確；在方向上的投影向量為，故B錯誤；在方向上的投影向量為，故C正確；在方向上的投影向量為，故D正確．故選：ACD．【點評】本題考查投影向量的概念，屬基礎題．11．【分析】由題意，根據確定直線位置的幾何要素，逐一判定各個選項能否成立，從而得出結論．【解答】解：對于A，由兩條直線都可得a＞0，b＞0，故可能成立．對于B，由一條直線可得a＜0，b＞0，由另一條直線可得b＞0，a＜0，故可能成立．對于C，由一條直線可得a＜0，b＝0，由另一條直線可得b＝0，a＜0，故可能成立．對于D，由一條直線可得a＞0，b＝0或b＞0，a＝0，而另一條直線不符合要求，故不可能成立．故答案為：ABC．【點評】本題主要考查確定直線位置的幾何要素，屬于基礎題．12．【分析】以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，1km為單位長度，建立直角坐標系，再數形結合求解輪船航線所在直線的方程與受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程相切的臨界條件，再逐個選項判斷即可．【解答】解：如圖，以小島的中心為原點O，東西方向為x軸，1km為單位長度，建立如圖所示的直角坐標系，則輪船所在的位置為A（25，0），受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為x2+y2＝400，設輪船航線所在直線的方程為y＝k（x﹣25），即kx﹣y﹣25k＝0，由，得或．因為，所以該輪船的行駛路線可以是南偏西30°方向，北偏西30°方向，北偏西25°方向．故選：BCD．【點評】本題考查三角函數的運用，考查學生歸納推理與數學運算的能力，屬于較難題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．【分析】由直線方程求直線的斜率，即可得傾斜角α的正切，進而求出cosα的值．【解答】解：由題可知直線l：3x+y﹣1＝0的斜率為﹣3，即tanα＝﹣3，因為α∈[0，π），所以．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎題．14．【分析】先求出直線AC的單位方向向量，然后利用點到直線距離的向量公式求解即可．【解答】解：取，，則，，所以點B到直線AC的距離為．故答案為：．【點評】本題考查點到直線的距離求法，注意運用向量法，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題．15．【分析】根據兩點間的距離公式以及點關于直線的對稱性求出代數式的最小值即可．【解答】解：如圖示：為點P（m，n）到原點O和到點A（﹣2，0）的距離之和，即|PO|+|PA|；設O（0，0）關于直線x+y﹣1＝0對稱的點為B（a，b），，解得：a＝b＝1，故B（1，1），易得|PO|＝|PB|，當A，P，B三點共線時，|PO|+|PA|取到最小值，且最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了兩點間的距離公式以及點關于直線的對稱性，是基礎題．16．【分析】連接AD，推導出AE⊥EF，DE⊥EF，AB⊥AD，∠AED是二面角A﹣EF﹣D的平面角，AE＝DE＝AB＝4，∠AED＝，AD＝4，由此能求出||．【解答】解：連接AD，∵二面角A﹣EF﹣D的平面角大小為，四邊形ABFE，EDCF均是邊長為4的正方形，∴AE⊥EF，DE⊥EF，AB⊥AD，∴∠AED是二面角A﹣EF﹣D的平面角，AE＝DE＝AB＝4，∴∠AED＝，∴AD＝4，∴||＝＝4．故答案為：4．【點評】本題考查二面角的定義、勾股定理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．【分析】（1）由題意y＝ax+2a+1，再根據斜率與截距列式求解即可；（2）根據直線垂直斜率的關系求解即可．【解答】解：（1）將直線l的方程轉化為y＝ax+2a+1，因為l經過第一、二、四象限，所以，解得，即a的取值范圍為；（2）將直線l1的方程轉化為，因為l1⊥l，所以，解得a＝﹣2或，又，所以．【點評】本題主要考查直線垂直的性質，屬于基礎題．18．【分析】（1）化簡圓的方程為標準方程，進而求得圓的圓心坐標和半徑；（2）求得圓心M到直線l的距離，結合圓的性質，即可求解．【解答】解：（1）由題意，圓M：x2+y2﹣2x﹣2y＝0的方程可化為（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，所以圓心M的坐標為（1，1），圓M的半徑為；（2）由題意，圓心M（1，1）到直線l：x+y+2＝0的距離為，所以，即|PQ|的最小值為．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．19．【分析】（1由空間向量的線性運算直接計算即可；（2）由空間向量的線性運算和數量積運算計算即可．【解答】解：（1）連接BD，PE，如圖，，因為D為PC的中點，，所以，，所以＝＝＝；（2）因為，所以＝，因為PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB，BC?平面PBC，PB?平面PAB，所以PA⊥PB，PA⊥BC，PB⊥BC，又因為，所以＝＝，即．【點評】本題考查空間向量的線性運算和數量積，屬于中檔題．20．【分析】（1）連接BD，由題意可求FG⊥平面ABCD，以F為坐標原點，FA，FB，FG所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，可求，，利用向量夾角公式能求出直線D1F與EG所成角的余弦值；（2）由（1）知，設平面EFG的法向量為，則令x0＝1，得，進而可求點D1到平面EFG的距離．【解答】解：（1）連接BD，因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因為F，G分別為AC，A1C的中點，所以FG∥AA1，則FG⊥平面ABCD，以F為坐標原點，FA，FB，FG所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由∠BAD＝60°，AA1＝AB＝2，得F（0，0，0），D1（0．﹣1，2），G（0，0，1），，則，，可得cos＜，＞＝＝＝﹣，故直線D1F與EG所成角的余弦值為；（2）由（1）知，設平面EFG的法向量為，則令x0＝1，得，所以點D1到平面EFG的距離為＝．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查點、線、面間的距離計算，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題．21．【分析】（1）先證明線面垂直，再由線面垂直的性質得線線平行，利用線面平行判定定理求證即可；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解．【解答】解：（1）取CD的中點F，連接EF，BF．因為△ECD是邊長為2的正三角形，所以EF⊥CD，且．因為平面ECD