高考數(shù)學(xué)備考之端點(diǎn)效應(yīng)（洛必達(dá)法則）專題

第第③例如：當(dāng)時(shí)求的值.解：由洛必達(dá)法制可知1（全國(guó)新課標(biāo)理）已知函數(shù)當(dāng)且時(shí)求的取值范圍.解答：（由題設(shè)可得當(dāng)時(shí)k<恒成立。令g(x)=(),則再令()則易知在上為增函數(shù)且故當(dāng)時(shí)當(dāng)x（1+）時(shí)在上為減函數(shù)在上為增函數(shù)故>=0在上為增函數(shù)=0當(dāng)時(shí)當(dāng)x（1+）時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)x（1+）時(shí)在上為減函數(shù)在上為增函數(shù)由洛必達(dá)法則知即k的取值范圍為（-0]2（個(gè)人原創(chuàng)）已知函數(shù)當(dāng)時(shí)若都有恒成立求的取值范圍.解答：當(dāng)時(shí)恒成立等價(jià)于恒成立令則再令由得當(dāng)時(shí)<0,在單調(diào)遞減即在單調(diào)遞增即在單調(diào)遞增由洛必達(dá)法則可得==11要使恒成立只需的取值范圍是3若不等式對(duì)于恒成立求的取值范圍.【解析】當(dāng)時(shí)原不等式等價(jià)于.記則.記則.因?yàn)樗栽谏蠁握{(diào)遞減且所以在上單調(diào)遞減且.因此在上單調(diào)遞減且故因此在上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有即當(dāng)時(shí)即有.故時(shí)不等式對(duì)于恒成立.【評(píng)注】通過以上例題的分析我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足：=1\*GB3①可以分離變量用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性=3\*GB3③出現(xiàn)“”型或型式子.4設(shè)函數(shù).設(shè)當(dāng)時(shí)求的取值范圍.解：由題設(shè)此時(shí).①當(dāng)時(shí)若則不成立②當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)即若則若則等價(jià)于即.記則.記則.因此在上單調(diào)遞增且所以即在上單調(diào)遞增且所以.因此所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有即當(dāng)時(shí)即有所以.綜上所述的取值范圍是.5(2010年全國(guó)新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)若當(dāng)時(shí)求的取值范圍.解:當(dāng)時(shí)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在當(dāng)時(shí)等價(jià)于令,則令則知在上為增函數(shù)知在上為增函數(shù)g(x)在上為增函數(shù)。由洛必達(dá)法則知故綜上知a的取值范圍為。6設(shè)函數(shù)．如果對(duì)任何都有求的取值范圍．解：若則若則等價(jià)于即則.記因此當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減且故所以在上單調(diào)遞減而.另一方面當(dāng)時(shí)因此.7．設(shè)函數(shù)（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù)（Ⅱ）若對(duì)所有都有求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)．由于故．（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．（Ⅱ）令則（ⅰ）若當(dāng)時(shí)故在上為增函數(shù)所以時(shí)即．（ⅱ）若方程的正根為此時(shí)若則故在該區(qū)間為減函數(shù)．所以時(shí)即與題設(shè)相矛盾．綜上滿足條件的的取值范圍是．8．（理已知函數(shù)．求證：如果對(duì)任何都有求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）令．定義域?yàn)樵谶f增在遞增．從而可得結(jié)論．（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)對(duì)由（Ⅰ）的證明知．②當(dāng)時(shí)不合題意．③當(dāng)時(shí)今．則．?。畡t．易知當(dāng)時(shí)遞增即不合題意．綜上知：．9．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并且說明理由（Ⅱ）若對(duì)所有都有求正數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)的定義域是求導(dǎo)得所以在上為減函數(shù)在上為增函數(shù)（e）．又（1）根據(jù)在上為減函數(shù)則在上恰有一個(gè)零點(diǎn)又則（e）所以在上恰有一個(gè)零點(diǎn)再根據(jù)在上為增函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2．（Ⅱ）令求導(dǎo)再令則（ⅰ）若當(dāng)時(shí)故在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)（1）即則在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)（1）即成立（ⅱ）若方程的解為則當(dāng)時(shí)故在上為增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)（1）即則在上為增函數(shù)所以當(dāng)時(shí)（1）即成立此時(shí)不合題意．綜上滿足條件的正數(shù)的取值范圍是．10．設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)所有的均有成立求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由得的增區(qū)間為減區(qū)間為．（2）令．“不等式在時(shí)恒成立”“在時(shí)恒成立．”．當(dāng)時(shí)為減函數(shù)．當(dāng)時(shí)為增函數(shù)．“在時(shí)恒成立”“”即即即．故的取值范圍是．11．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程（Ⅱ）求的極小值（Ⅲ）若對(duì)所有的都有成立求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)橛智悬c(diǎn)為所求切線方程為．（2分）（Ⅱ）設(shè)得得得得得得則．（6分）（Ⅲ）令則．令得得得得得得（1）當(dāng)時(shí)對(duì)所有時(shí)都有于是恒成立在上是增函數(shù)．又于是對(duì)所有都有成立．故當(dāng)時(shí)對(duì)所有的都有成立．（2）當(dāng)時(shí)對(duì)所有都有恒成立在上是減函數(shù)．又于是對(duì)所有都有．故當(dāng)時(shí)只有對(duì)僅有的都有．即當(dāng)時(shí)不是對(duì)所有的都有．綜合（1）（2）可知實(shí)數(shù)的取值范圍．（12分）13．已知函數(shù)的最小值為0其中．（1）求的值（2）若對(duì)任意的有成立求實(shí)數(shù)的最小值．【解析】（1）令可得令為增函數(shù)為減函數(shù)時(shí)函數(shù)取得極小值也是最小值函數(shù)的最小值為0得（2）當(dāng)時(shí)取有（1）故不合題意當(dāng)時(shí)令即求導(dǎo)函數(shù)可得令可得當(dāng)時(shí)在上恒成立在上單調(diào)遞減對(duì)任意的有成立當(dāng)時(shí)在上為增函數(shù)在上為減函數(shù)因此存在使得可得即與題矛盾綜上：時(shí)對(duì)任意的有成立實(shí)數(shù)的最小值為：14．設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性（Ⅱ）設(shè)求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得當(dāng)時(shí)恒成立單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)恒成立單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)由得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增（Ⅱ）由得．令則當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)即當(dāng)時(shí)有①當(dāng)時(shí)所以②當(dāng)時(shí)綜上．15．已知函數(shù)．（1）當(dāng)求曲線在（1）處的切線方程（2）若時(shí)求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)（1）又（1）曲線在（1）處的切線方程為：即．（2）令則當(dāng)時(shí)恒成立即在上單調(diào)遞增（1）①當(dāng)時(shí)（1）故（a）在上單調(diào)遞增且（1）此時(shí)符合題意②當(dāng)時(shí)由（1）及在上單調(diào)遞增知使得即不符合題意綜上的取值范圍是．16．已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)求的值（2）令若對(duì)任意有恒成立求的取值范圍（3）設(shè)為實(shí)數(shù)且求證：．【解析】（1）因?yàn)樗粤睿?）所以檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)200增極大值減極小值增所以．（2）因?yàn)橐驗(yàn)橛傻昧顒t令則所以在上單調(diào)遞增①故（e）所以故在上單調(diào)遞增（e）．所以．（3）證明：當(dāng)時(shí)所以在單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)（1）即因?yàn)樗运约此杂散僦谏蠁握{(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)（1）即因?yàn)樗裕此跃C上．17．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若函數(shù)當(dāng)時(shí)恒成立求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）定義域?yàn)椋á。┊?dāng)時(shí)對(duì)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ⅱ）當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)時(shí)所以的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）函數(shù)．（ⅰ）當(dāng)時(shí)由重要不等式知在上遞增所以恒成立符合題意．（ⅱ）當(dāng)時(shí)因?yàn)楣试谏线f增．又存在使得從而函數(shù)在上遞減在上遞增又不恒成立不滿足題意．綜上（?。áⅲ┲獙?shí)數(shù)的取值范圍是．18．已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（Ⅰ）若關(guān)于的方程有唯一實(shí)根求的值（Ⅱ）若過原點(diǎn)作曲線的切線與直線垂直證明：（Ⅲ）設(shè)當(dāng)時(shí)恒成立求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）設(shè)則時(shí)在遞增在遞減則有唯一實(shí)根且故（Ⅱ）證明：過原點(diǎn)所作曲線的切線與直線垂直切線的斜率為方程是設(shè)與的切點(diǎn)為且令則在遞減在遞增若（1）而在遞減若在遞增且（e）則（舍綜上：（Ⅲ）①時(shí)在遞增在遞增恒成立符合題意②時(shí)在遞增則存在使得在遞減在遞增又時(shí)不恒成立不合題意綜上所求實(shí)數(shù)的范圍是．12．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）過原點(diǎn)分別作曲線與的切線已知兩切線的斜率互為倒數(shù)證明：或（3）設(shè)當(dāng)時(shí)求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）依題意函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)求導(dǎo)得．①若對(duì)一切有函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．②若當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）設(shè)切線的方程為切點(diǎn)為則所以則．由題意知切線的斜率為的方程為．設(shè)與曲線的切點(diǎn)為則所以．又因?yàn)橄ズ秃笳?/p>