高考數(shù)學一輪復習 專題8 立體幾何與空間向量 第55練 向量法求解空間角和距離問題練習（含解析）-人教高三全冊數(shù)學試題

第55練向量法求解空間角和距離問題[基礎保分練]1．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))兩兩的夾角均為60°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up6(→))|＝3，則|eq\o(AC1,\s\up6(→))|等于()A．5B．6C．4D．82．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中點，則異面直線DE與AC所成的角的余弦值為()A.eq\f(1,20)B.eq\f(\r(10),10)C．－eq\f(\r(10),10)D．－eq\f(1,20)3．在空間直角坐標系O－xyz中，平面OAB的一個法向量為n＝(2，－2,1)，已知點P(－1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于()A．4B．2C．3D．14．方向向量為s＝(1,1,1)的直線l經(jīng)過點A(1,0,0)，則坐標原點O(0,0,0)到該直線的距離是()A.eq\r(3)B.eq\r(2)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(6),3)5．平面α的一個法向量為n＝(1，－eq\r(3)，0)，則y軸與平面α所成的角的大小為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(5π,6)6.如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，則異面直線OA與BC的夾角的余弦值為()A.eq\f(3－\r(2),5) B.eq\f(3＋\r(2),5)C.eq\f(3－2\r(2),5) D.eq\f(2＋\r(2),5)7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N為B1B的中點，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|為()A.eq\f(\r(21),6)aB.eq\f(\r(6),6)aC.eq\f(\r(15),6)aD.eq\f(\r(15),3)a8．P是二面角α－AB－β棱上的一點，分別在α，β平面上引射線PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小為()A．60°B．70°C．80°D．90°9．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長度分別為6,4,4，則其頂點到底面的距離為________．10.如圖所示，已知空間四邊形OABC中OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為________．[能力提升練]1．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)2．已知正四棱錐S－ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE與SD所成的角的余弦值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)3．已知空間向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且a，b的夾角為eq\f(π,3)，O為空間直角坐標系的原點，點A，B滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a＋b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a－b，則△OAB的面積為()A.eq\f(5,2)eq\r(3)B.eq\f(5,4)eq\r(3)C.eq\f(7,4)eq\r(3)D.eq\f(11,4)4．過正方形ABCD的頂點A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，則平面ABP和平面CDP所成二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°5．已知∠AOB＝90°，過O點引∠AOB所在平面的斜線OC，與OA，OB分別成45°，60°角，則以OC為棱的二面角A－OC－B的余弦值為________．6.如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(包括底面邊長)都是2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF與側(cè)棱C1C所成角的余弦值是________．答案精析基礎保分練1．A2.B3.B4.D5.B6.C7．A[以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D－xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，a，\f(a,2))).設M(x，y，z)，因為點M在AC1上，且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，則(x－a，y，z)＝eq\f(1,2)(－x，a－y，a－z)，得x＝eq\f(2,3)a，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(a,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)－\f(a,3)))2)＝eq\f(\r(21),6)a，故選A.]8．D[不妨設PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F.∵∠EPM＝∠FPN＝45°，∴PE＝eq\f(\r(2),2)a，PF＝eq\f(\r(2),2)b，∴eq\o(EM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝(eq\o(PM,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→)))·(eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PF,\s\up6(→)))＝eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))－eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝abcos60°－a×eq\f(\r(2),2)bcos45°－eq\f(\r(2),2)abcos45°＋eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)b＝eq\f(ab,2)－eq\f(ab,2)－eq\f(ab,2)＋eq\f(ab,2)＝0，∴eq\o(EM,\s\up6(→))⊥eq\o(FN,\s\up6(→))，∴二面角α－AB－β的大小為90°.]9.eq\f(6\r(22),11)解析設三棱錐為P－ABC，且PA＝6，PB＝PC＝4，以P為原點建立空間直角坐標系如圖，則P(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,4)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6,0,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－6,4,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－6,0,4)，設平面ABC的一個法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6x＋4y＝0，,－6x＋4z＝0，))即y＝z＝eq\f(3,2)x，所以可選平面ABC的一個法向量為n＝(2,3,3)，所以P到平面ABC的距離d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|cos〈eq\o(PA,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(12,\r(4＋9＋9))＝eq\f(6\r(22),11).10．0解析設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則|b|＝|c|，〈a，b〉＝〈a，c〉＝eq\f(π,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a|·|c|coseq\f(π,3)－|a|·|b|coseq\f(π,3)＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.能力提升練1．B[設A1在底面ABC內(nèi)的射影為O，過O作OH∥BC交AB于點H，以O為坐標原點，分別以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OH,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略)．設△ABC的邊長為1，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，0，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，\f(\r(6),3)))，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(3),6)，\f(1,2)，\f(\r(6),3)))，平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，則AB1與底面ABC所成角α的正弦值sinα＝|cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(\f(\r(6),3),\r(\f(75,36)＋\f(1,4)＋\f(6,9)))＝eq\f(\r(2),3).]2．C3．B[|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\r(2a＋b2)＝eq\r(4|a|2＋|b|2＋4a·b)＝eq\r(7)，同理|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，則cos∠AOB＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(6|a|2－|b|2＋a·b,7)＝eq\f(11,14)，從而有sin∠AOB＝eq\f(5\r(3),14)，∴△OAB的面積S＝eq\f(1,2)×