2024年山西省呂梁市交口縣中考一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024年山西省呂梁市交口縣中考一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列各數(shù)中，比-2小的數(shù)是()

A.-3B.-1C.0D.1

【答案】A

【分析】

根據(jù)有理數(shù)比較大小的方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：??,|—1|=1<卜2|=2<卜3|=3,

/.-3<-2<-1<0<1,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，熟知正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比

較大小，絕對(duì)值越大其值越小是解題的關(guān)鍵.

2.下列運(yùn)算正確的是()

A.3a—a=3B.a2-a3=a6C.a1-i-a1=aD.(—2a)"4a2

【答案】D

【分析】

本題主要考查整式加減，同底數(shù)塞的乘法，同底數(shù)塞的除法，募的乘方，解答的關(guān)鍵是

對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握.利用同底數(shù)幕的除法的法則，同底數(shù)塞的乘法的法則，單項(xiàng)

式減單項(xiàng)式的法則，幕的乘方法則，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】

解：A.3a-a=2a,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.a2-a3=a2+3=a5,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.a2^a2=a2-2=a°=l,故本選項(xiàng)不符合題意；

D.(-2^)2=4/,故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.悠悠萬(wàn)事，吃飯為大，糧食安全是“國(guó)之大者”.2023年我省糧食總產(chǎn)量295.62億斤，

創(chuàng)歷史新高，同比增加2.76億斤，增幅0.94%,則數(shù)據(jù)295.62億用科學(xué)記數(shù)法表示為

A.295.62xlO8B.2.9562xlO9C.2.9562xlO10D.0.29562xlO11

【答案】C

【分析】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法，把一個(gè)數(shù)表示成。與10的w次塞相乘的形式

（14a<10,a不為分?jǐn)?shù)形式，〃為整數(shù)），這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：295.62億=29562000000=2.9562xlO］。.

故選：C.

4.下列圖形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是正方體的平面展開(kāi)圖的是（）

B

【答案】B

【分析】

本題考查了幾何體的展開(kāi)圖和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，由正方體的展開(kāi)圖和軸對(duì)稱(chēng)的性

質(zhì)的特征解題即可，熟練掌握幾何體的展開(kāi)圖和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

【詳解】

A、是正方體的展開(kāi)圖但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

B、是正方體的展開(kāi)圖也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；

C、是軸對(duì)稱(chēng)圖形但不是正方體的展開(kāi)圖，不符合題意；

D、是正方體的展開(kāi)圖但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；

故選：B.

1X—y

5.化簡(jiǎn)一+—^的結(jié)果是（）

xxy

11x-2y2x-y

A.----B.—C.——-D.-------

y）孫孫

【答案】B

【分析】

本題主要考查異分母分式的加法，原式先通分，變成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式

的加法法則進(jìn)行計(jì)算即可

試卷第2頁(yè)，共24頁(yè)

1x-V

【詳解】解：-+一」

xxy

xyxy

=x-y+y

孫

孫

一,

y

故選：B.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,2)處有一激光發(fā)射器，激光照射到點(diǎn)3(1,0)處

傾斜的平面鏡上發(fā)生反射，使得反射光線照射到點(diǎn)C處的接收器上，若入射角嫁=45。，

AB=BC,貝ij點(diǎn)C處的接收器到V軸的距離為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

本題主要考查坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定與性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)C作CAfLx軸于點(diǎn)證

明VABONBCM得出3M=OA=2,進(jìn)一步得出。M=3即可

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CMU軸于點(diǎn)M,如圖，

則NCBM+ZBCM=90°,

根據(jù)題意得NA3C=90。,

/.ZABO+ZCBM=90°,

：.ZABO=ZBCM,

又AB=BC,ZAOB=ZBMC=90°,

NAOBKBMC,

/.BVM=AB=2,

：.OM=OB+BM=l+2=3,

即點(diǎn)c處的接收器到y(tǒng)軸的距離為3,

故選：C

7.如圖，已知矩形紙片ABC。，AD=2CD,點(diǎn)E在CD上,把紙片沿4E折疊，點(diǎn)。的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在BC上，則的度數(shù)為（）

A.10°B.15°C.20°D.30°

【答案】B

【分析】

本題主要考查矩形的性質(zhì)，由三角函數(shù)值確定角的度數(shù)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)

4R1

sinZADrB=—=一得NAZ陽(yáng)=30。，由AD〃5C得/"4。'=30。，根據(jù)折疊得

AD2

ADAE=-ZDAD'=15°.

2

【詳解】解：四邊形A3CO是矩形，

ZB=90°,ADBC,AB=CD,

由折疊得，AD'=AD,ZDAE=ZEAD'=|ZDAD',

AD^2CD,

:.Aiy=2AB,

smZAD'B=-=-,

AD'2

:.ZAD'B=30°,

ADBC,

ZDAD'=ZAD'B=30°,

ZDAE=-/DAD'=15°,

2

故選：B.

8.已知點(diǎn)A8（%,%）在反比例函數(shù)＞=:的圖象上，且玉＜。＜無(wú)2，則下列結(jié)

論一定正確的是（）

試卷第4頁(yè)，共24頁(yè)

A.%+%<。B.%+%>。c.%-%<。D.y1-y2>0

【答案】c

【分析】

4

本題考查反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)知反比例函數(shù)y=?的圖

X

象在一、三象限，結(jié)合石<0</即可得到答案.

4

【詳解】解：y=—的左=4>0,

x

4

???反比例函數(shù)y=—的圖象在第一、三象限，

X

..,點(diǎn)A(%,%),3(9,%)在反比例函數(shù)y=B的圖象上，且玉<°<%，

M<%，

%-%<0?

故選：C.

9.A(3,l)和3(私1)是拋物線y=a(x+iy+左上的點(diǎn)，則A、3兩點(diǎn)之間的距離是()

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】

本題考查二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-l,A,B兩

點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，即可得出A,8兩點(diǎn)之間的距離.

【詳解】解：,.,y=a(x+l)2+3

對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-l,

：4(3,1)和B(〃G)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，

/.A,B兩點(diǎn)之間的距離=2*[3-(-1)]=8；

故選：D.

10.如圖，點(diǎn)A、B為。上的點(diǎn)，。的半徑為2,NAO3=128。，點(diǎn)C在外，連

接AC、BC與。分別交于點(diǎn)。、E,若NC=34。，則陰影部分的面積為()

E

B

A.-7i-yf3B.—7r-y/3C.—7i-2y/3D.—^-2A/3

3333

【答案】A

【分析】本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)以及扇形面積計(jì)算,

連接8,。及CO,延長(zhǎng)CO交（:O于點(diǎn)R作。于點(diǎn)求出NDOE=60。，得出

^DOE是等邊二角形,計(jì)算出S^DOE=^3,S扇形。OE=-71,根據(jù)S陰影=S扇形DOE—DOE可得結(jié)

論

【詳解】解：連接8,0瓦CO,延長(zhǎng)co交（O于點(diǎn)尸，作DM，。石于點(diǎn)

B

?：ZAOF=ZACO+ZA,ZFOB=ZBCO+ZB,

：.ZAOF+ZBOF=ZACO+ZBCO+ZA+ZB,

.?.ZA+ZB=ZAOB-ZCB=128。-34°=94°,

,.?OA=OB=OD=OE,

：.ZA=ZADO,ZB=ZBEO,

.??ZAOD=180°-2ZA,ZBOE=180°-2ZB,

???ZDOE=360°-ZAOD-ZAOB-ZBOE

=360°-(180°-2ZA)-128°-(128°-2/8)

=2NA+2NB—128。

=2(ZA+ZB)-128°

=2x94?！?28。

=60。，

???二。。石是等邊三角形，

DM=—OD=—x2=y/3,

22

SNDOE=gOExDM=—x2x#>=y/3,

_607rx22_2

扇形0°七360~3^9

,,S陰影=S扇形DOE_SyDOE=§%-6

故選：A

試卷第6頁(yè)，共24頁(yè)

二、填空題

11.計(jì)算(3-1)2+瓜=_.

【答案】3

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及完全平方公式計(jì)算得出答案.

【詳解】解：原式=2+1-2夜+2?

=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)和完全平方公式是

解題關(guān)鍵.

12.如圖1,飛虹塔位于山西省洪洞縣的廣勝寺景區(qū)內(nèi)，是第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單

位,呈三角形共十三層，圖2所示的正八邊形是其中一層的平面示意圖，則.

圖I圖2

【答案】45。/45度

【分析】

本題主要考查正多邊形的外角，根據(jù)360。除以正多邊形的邊數(shù)即可救出結(jié)果.

【詳解】解：因?yàn)槎噙呅问钦诉呅危?/p>

360°

所以，Za=^=45°,

8

故答案為：45°.

13.如圖，這是一組有規(guī)律的圖案，它們是由相同的五角星組合而成的，第1個(gè)圖案有

4個(gè)五角星，第2個(gè)圖案有7個(gè)五角星，第3個(gè)圖案有10個(gè)五角星,…按此規(guī)律擺下

去，第〃個(gè)圖案有個(gè)五角星.(用含"的代數(shù)式表示)

***★",

★★*★★*★*★

★★★★★★★*★

★★★★

第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形

【答案】（3"+1）

【分析】

本題考查圖形的變化規(guī)律，由圖形可知第1個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，第2個(gè)圖案有

3x2+l=7個(gè)三角形，第3個(gè)圖案有3x3+1=10個(gè)三角形……依此類(lèi)推即可解答.

【詳解】解：由圖形可知：

第1個(gè)圖案有3+1=4個(gè)三角形，

第2個(gè)圖案有3x2+l=7個(gè)三角形，

第3個(gè)圖案有3x3+1=10個(gè)三角形，

第〃個(gè)圖案有3X〃+1=（3〃+1）個(gè)三角形.

故答案為：（3"+1）.

14.根據(jù)下列對(duì)話可知”的值為

今年我的年齡

小新媽媽

【答案】4

【分析】

本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得今年媽媽的年齡是32歲，〃年后，媽

媽的年齡是（32+同歲，小新的年齡是（8+冷歲，根據(jù)〃年后媽媽的年齡是小新年齡的3

倍列方程求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，8x4+n=（8+w）x3

32+幾=24+3〃，

解得，〃=4,

即4后媽媽的年齡是小新年齡的3倍，

故答案為：4.

15.如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形的外側(cè)，作等腰三角形CDE,DE=CE=^,

連接AE,尸為AE的中點(diǎn)，連接。尸并延長(zhǎng)，與3c相交于點(diǎn)尸，則。尸的長(zhǎng)為.

試卷第8頁(yè)，共24頁(yè)

【答案】也2

3

【分析】

Q

過(guò)點(diǎn)E作￡7?，CDGP于點(diǎn)R,作交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,由勾股定理求出ER=^,

4石=冬叵，再過(guò)點(diǎn)F作尸AO于點(diǎn)G,延長(zhǎng)Gb交8。于點(diǎn)T,則QT=CD=4,

3

102

證明尸。是aAE尸的中位線，求出&2=1,由勾股定理得4Q=1,FC=DQ=-,證

明DQFs、PTF,求出尸T=2,最后根據(jù)勾股定理求出。P的長(zhǎng)

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作ERLCD于點(diǎn)R,作現(xiàn)/LAD交4）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由、如

圖，

AGDH

BPTC

NERD=ZEHD=NRDH=90°,

，四邊形是矩形，

:.EH=RD,ER=DH,

?/ACED是等腰三角形，且ED=EC,

：.DR=CR=-CD=2,

2

EH=2,

在RtEDR中,ED=y,DR=2,

：.ER=JED2—DR2=§,

3

Q

DH=—,

3

Qof)

在RtZXA/ffi中，AP=AD+DH=4+-=—,

33

AE=^AH~+HE2=,

3

過(guò)點(diǎn)F作尸于點(diǎn)G,延長(zhǎng)G歹交BC于點(diǎn)T,則有：FT±BC,TQ//CD,

：.ZQTC=Z.TCD=ZCDQ=90°

四邊形QTC。是矩形，

QT=CD=4,

:點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，

?y/109

??AF=EF=------,

3

FQ//HE,

.竺=超=1

"EFHQ'

AQ=HQ,

點(diǎn)是AH的中點(diǎn)，

FQ是的中位線，

FQ=^HE=1

：.AQ=^AF--FQ1=y,FT^QT-QF=4-1^3,

：.TC=QD=AD-AQ=^,

'：AD//BC,

:.DFQs-PFT,

2

.?.絲=絲即13,

TppT—=上一

3PT

：.PT=2,

2Q

PC=PT+TC=2+—=—,

33

在RtADCP中，DP=y/CD2+PC2=,

3

故答案為：巫

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理，矩形的判定與性

質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵

三、解答題

16.(1)計(jì)算：|X|-4|-(-2)2X2-3.

3x-4y=2

(2)解方程組:

5x—2y=S

x=2

【答案】(1)I；(2)

J=1

【分析】

試卷第10頁(yè)，共24頁(yè)

本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練

掌負(fù)整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算法則，解二元一次方程組的解法；

(1)根據(jù)絕對(duì)值，乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則，求解即可；

(2)根據(jù)解二元一次方程組的解法求解即可；

【詳解】

解：(1)1X|-4|-(-2)2X2-3

=—1x4,-4，x—1

48

=1--

2

_j_

=2；

0)J3x-4y=2①

2y=8②

由②x2-①得7x=14,

解得x=2,

把x=2代入①得y=l,

f%=2

方程組的解為,.

17.如圖，在中，ABAC=90°.

(1)實(shí)踐與操作：過(guò)點(diǎn)A作三角形3c邊上的高AD(要求：尺規(guī)作圖并保留痕跡，不寫(xiě)

作法，標(biāo)明字母).

(2)計(jì)算：在(1)的條件下，若AB=2,ZC=30°,求的長(zhǎng)

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵6

【分析】

本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握30。對(duì)的直角邊是

斜邊的一半是解題的關(guān)鍵；

(1)根據(jù)尺規(guī)作圖作垂線的方法作圖即可；

(2)由含30。的直角三角形的性質(zhì)，可求出BC=2AB=4,再由勾股定理求出AC=26,

再由含30。的直角三角形的性質(zhì)求解即可；

【詳解】(1)

如圖所示，AO即為所求，

(2)

ABAC=9Q°,ZC=30°,AB=2,

BC=2AB=4,

在RtZkABC中,AC=yjBC2-AB2=A/42-22=2^-

AD是BC邊上的IWJ,

/ADC=90°,

:.AD=-AC=y/3,

2

18.電網(wǎng)的發(fā)展實(shí)現(xiàn)了我國(guó)電力能源的均衡化分配，電網(wǎng)是國(guó)家大力支持的重點(diǎn)行業(yè),

而智能化是順應(yīng)當(dāng)下綠色發(fā)展和數(shù)字化轉(zhuǎn)型趨勢(shì)的最優(yōu)選擇，山西省近年來(lái)在電網(wǎng)智能

化發(fā)展上取得了可喜的成績(jī).某市計(jì)劃在未來(lái)一段時(shí)間鋪設(shè)完成兩條電網(wǎng)線路，其中一

條線路由甲工程隊(duì)負(fù)責(zé)，甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)L2km的電網(wǎng)線路，另一條線路由乙工程

隊(duì)負(fù)責(zé)，乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)1.6km的電網(wǎng)線路.已知甲工程隊(duì)先鋪設(shè)了10km.乙工

程隊(duì)才開(kāi)始鋪設(shè)(乙工程隊(duì)工作的同時(shí)甲工程隊(duì)繼續(xù)鋪設(shè)自己的線路).設(shè)乙工程隊(duì)工

作時(shí)間為x天，甲工程隊(duì)鋪設(shè)線路總長(zhǎng)度為％km,乙工程隊(duì)鋪設(shè)線路總長(zhǎng)度為

%km.根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題：

試卷第12頁(yè)，共24頁(yè)

⑴請(qǐng)寫(xiě)出外、%與X之間的函數(shù)表達(dá)式.

⑵當(dāng)％4%時(shí)，求X的取值范圍.

【答案】（1）X=L2X+10,%=L6X

（2）x>25

【分析】

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問(wèn)題需要的條件.（1）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)

系式列不等式即可求解.

【詳解】（1）解：由題意得，yi=1.2x+10,y2=l.6x.

（2）由題意得BP1.2x+10<1.6%,

解得：x>25,

；?x的取值范圍為仝25.

19.某校舉辦開(kāi)學(xué)迎新晚會(huì)，準(zhǔn)備從學(xué)生中遴選主持人，小強(qiáng)和小剛?cè)脒x男主持人的最

終評(píng)選環(huán)節(jié)，評(píng)選由舞臺(tái)形象、語(yǔ)言功底、應(yīng)變能力三項(xiàng)測(cè)試組成，每項(xiàng)測(cè)試均由七位

評(píng)委打分（滿分100分），取平均分作為該項(xiàng)的測(cè)試成績(jī)，再將舞臺(tái)形象、語(yǔ)言功底、

應(yīng)變能力三項(xiàng)的測(cè)試成績(jī)按1：1：3的比例計(jì)算出每人的總評(píng)成績(jī).

小強(qiáng)、小剛的三項(xiàng)測(cè)試成績(jī)和總評(píng)成績(jī)?nèi)绫硭荆?/p>

選手測(cè)試成績(jī)/分總評(píng)成績(jī)/分

舞臺(tái)形象語(yǔ)言功底應(yīng)變能力

小強(qiáng)85928687

小剛84▲90▲

在語(yǔ)言功底測(cè)試中，評(píng)委給小剛打分情況表:

(2)請(qǐng)你計(jì)算小剛的總評(píng)成績(jī)，并判斷男主持人的最終人選.

(3)最終當(dāng)選的男主持人需從寫(xiě)歌曲、魔術(shù)、朗誦、舞蹈的四張卡片中隨機(jī)抽取一張(放

回)，再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，抽取的結(jié)果作為他主持的節(jié)目，請(qǐng)你用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的

方法求抽到的兩張卡片恰好是魔術(shù)和舞蹈的概率.

【答案】(1)87,87,85

(2)小剛的總評(píng)成績(jī)是87.8，小剛是男主持人的最終人選

【分析】

本題考查了頻數(shù)(率)分布直方圖，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)以及用樹(shù)狀圖法求概率：

(1)根據(jù)中位數(shù)，眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解既可

(2)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算即可；

(3)畫(huà)出樹(shù)狀圖，得到所有等可能的結(jié)果數(shù)和恰好是魔術(shù)和舞蹈的情況數(shù)，再運(yùn)用概

率公式進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】(1)解：七位評(píng)委給小剛打出的分?jǐn)?shù)從小到大排列為：80,80,86,87,87,

87,88,

所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是87(分)，眾數(shù)是87(分)，平均數(shù)是

80+80+86+87+87+87+88_/八、

-------------------------------------=85(分)；

故答案為：87,87,85；

113

(2)解：小剛的總評(píng)成績(jī)=84x--------+85x----------+90x----------=87.8(分)

1+1+31+1+31+1+3

小剛的總評(píng)成績(jī)好于小強(qiáng)的總評(píng)成績(jī)，

所以，男主持人的最終人選應(yīng)為小強(qiáng)；

(3)解：分別用A,B,C,。表示歌曲、魔術(shù)、朗誦、舞蹈，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：

試卷第14頁(yè)，共24頁(yè)

開(kāi)始

ABCD

z/\/A\/A\/A\

ABCDABCDABCDABCD

共有16種等可能的情況，抽到魔術(shù)和舞蹈的有2種情況,

所以，抽到的兩張卡片恰好是魔術(shù)和舞蹈的概率為工=：

1Oo

20.為方便同學(xué)們更好的放置自己的物品，某校新購(gòu)進(jìn)一批課桌便攜式掛鉤（圖1）實(shí)

踐小組的同學(xué)把“掛鉤到地面的距離的計(jì)算，，作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，利用課余時(shí)間完成了實(shí)

踐研究，并形成了如下活動(dòng)報(bào)告.請(qǐng)根據(jù)報(bào)告計(jì)算掛鉤到地面的距離（即8的長(zhǎng)）.（結(jié)

果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：72?1.4B道々1.73）

課

掛鉤到地面的距離的計(jì)算

題

調(diào)

查

測(cè)量，查看說(shuō)明書(shū)

方

式

測(cè)

量

測(cè)量角度的儀器，皮尺等

工

具

調(diào)研內(nèi)容及圖示

測(cè)

過(guò)

程

及

計(jì)

相關(guān)數(shù)據(jù)及說(shuō)如圖2,課桌高度為76cm.如圖3,AB=BC=10cm,

算

明445=30。，ZABC=105°

計(jì)算結(jié)果

【答案】掛鉤到地面的距離約為60.3cm

【分析】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，含30。的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，

靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題；

由含30。的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得AFa8.65cm,再由三角函數(shù)求出

GC77.05cm,根據(jù)課桌的高度即可求解.

【詳解】

如圖，過(guò)8作1于R延長(zhǎng)DC交BF的延長(zhǎng)線于G,則ZAFB=NG=90。，

ZBAE=30,

:.ZABF=60,BF=-AB=-xl0=5cm,

22

在RtAEB中，AF=y/AB2-BF2=7102-52=5A/3~8.65cm,

ZABC=105,

:.NCBP=105-60=45,

在RtBCG中，sin/CBF=-----,

BC

GC=BC-sinZCBF=10x—=50?7.05cm.

2

課桌高度為76cm,

/.AF+CG+CD=76cm,

CD=76-AF—CG=76—8.65-7.05=60.3cm,

答：掛鉤到地面的距離約為60.3cm.

21.閱讀與思考

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

試卷第16頁(yè)，共24頁(yè)

“倍長(zhǎng)中線法”

中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常采用“倍長(zhǎng)中線法”

加輔助線.

如圖1.在ABC中，AD平分/&LC,且。恰好是邊3c的中點(diǎn).求證：AB^AC.

圖1圖2圖3

證明：如圖2,延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使r)E=A。.

,/。是邊3c的中點(diǎn)

BD=CD.

；ZADB=/EDC,DE=AD,

：.AABD-ECD(依據(jù)).

A,ZBAD=ZE.

：A。平分/B4C,

ABAD=ACAD,

：.NCAD=NE,

：.AC^CE,

：.AB=AC.

任務(wù)：

⑴材料中的“依據(jù)”是.(填選項(xiàng))

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

(2)在ABC中，AB=6cm,AC=4cm,則3C邊上的中線AD長(zhǎng)度的取值范圍是

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，ABCD,AM平分且M是BC的中點(diǎn)，AB=2,

AD=3,求。C的長(zhǎng).

【答案】⑴A

(2)1<AD<5

(3)1

【分析】

本題主要考查運(yùn)用“倍長(zhǎng)中線法”證明三角形全等，三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的判

定與性質(zhì)等知識(shí)：

(1)根據(jù)證明過(guò)程可得出△ABD至ECD的依據(jù)；

(2)運(yùn)用倍長(zhǎng)中線法求出CE=鉆=6cm,再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出AE的取值范圍,

從而可得結(jié)論；

(3)延長(zhǎng)AM,DC交于點(diǎn)N,證明YABM印NCM，得NC=AB=2,ZCNM=ZBAM,

結(jié)合角平分線定義得=得出。N=ZM=3,可求出￡>C=1

【詳解】(1)解：根據(jù)證明過(guò)程可得ECD的依據(jù)是SAS,

故選：A；

(2)解：如圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使DE=AD.連接BE,

是邊BC的中點(diǎn)

:.BD=CD.

VZADC=ZEDB,DE=AD,

：..ADCAEDB.

BE=AC=4cm.

又AB=6cm,

/.6-4<AE<6+4,即2<AE<10,

.?.1<AD<5.

(3)解：如圖，延長(zhǎng)40,DC交于點(diǎn)、N,

'：CD//AB,即DN〃AB,

試卷第18頁(yè)，共24頁(yè)

NBAN=ZDNA,

:點(diǎn)又是3C的中點(diǎn)，

BM=CM,

又ZAMB=NNMC,

：.CMN^BMA,

：.CN=AB=2,ZCNM=ZBAM

：A"平分/BAD,

ZBAM=ADAM,

：.ZDAN=ZDNA,

：.DA=DN=3

：.CD=DN-CN=3-2=1

22.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

在“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將正方形ABCD與正方形3G按圖1所示

圖1圖2圖3

數(shù)學(xué)思考：

（1）請(qǐng)你解答老師提出的問(wèn)題.

深入探究：

（2）老師將圖1中的正方形A￡FG繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題.

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖2,當(dāng)點(diǎn)E落在邊AD上時(shí)，連接DG、BE,延長(zhǎng)8E與。G

交于點(diǎn)H,求D”的長(zhǎng).請(qǐng)你解答此問(wèn)題.

②“智慧小組''提出問(wèn)題：如圖3,連接。G、BE,線段BE與DG交于點(diǎn)H,當(dāng)點(diǎn)H在

直線AD左側(cè)時(shí)，連接,若存在實(shí)數(shù)加滿足等式次4/+加=皿，求出機(jī)的值.請(qǐng)

你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果.

【答案】（1）V2（2）DH=|V5（3）行

【分析】

（1）由勾股定理求出AP,AC的長(zhǎng)即可求出B；

(2)由勾股定理求出=再證明tanNM)G=tanNABE,得/AZ)G=/ABE,證

明一?？汕蟪鯠”；

(3)在GH上取點(diǎn)M,使。M=連接AM,求出=分別證明

GAD^EAB,AMD^AHB,得出AM=A?/,/M4H=90。，由勾股定理得出

HM=y/2AH)從而得利=也

【詳解】解：(1):四邊形ABCD,AEFG是正方形，

/.AE=EF,AB=BC,ZAEF=90°,ZABC=90°,

AB=2AE=2,

AE=1,

在Rt^ABC中，AC=ylAB2+BC2=2>/2,

在RtAEF中，AF=yjAE2+EF2=y[1,

CF=AC-AF=2y/2-^2=y/2;

(2)在RtAABE中，AB=2,AE=1,

________AE]

BE=^]AE2+AB2=技tanZABE=

AB2

在RtADG中，AG=1,AD=2

4G1

???tanZAOG=——=-,DE=AD-AE=2-i=l,

AD2

tanZADG=tanZABE,

:.ZADG=ZABE,

又NDEH=NBEA,

:?一DEH-BEA,

.DEDHm1_DH

BEABV52

DH=1V5；

(3)在GH上取點(diǎn)M,使,DM=BH,連接AM,

HM+DH=DM=BH,m-AH+DH=BH,

：.m-AH=HM,

試卷第20頁(yè)，共24頁(yè)

在正方形ABC。中，ZDAB=90°,AD=AB；

在正方形AEFG中，ZGAE=90\AE=AG9

?.,ZEAB=ZEAD+/DAB,/DAG=ZDAE+/EAG,

：.NGAD=NEAB,

在G4D和一中，

AG=AE

<ZGAD=ZEAB,

AD=AB

：.GAD￡EAB,

：./GDA=NEBA,

在和一A/ffi中，

AD=AB

<ZGDA=ZEBA,

DM=DH

：.^AMD^,AHB,

：.AM=AH,ADAM=NBAH,

?.?/DAM=ADAH+/MAH,/BAH=ADAH+ZDAB=ADAH+90°,

NM4H=90。,

HM=ylAM2+AH2=ylAH2+AH2=y/2AH,

??m=\[2

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角

三角形的相關(guān)計(jì)算，勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)

造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵

23.綜合與探究

如圖，平面直角坐標(biāo)系％。V中，二次函數(shù)y=Q/+2x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C

三點(diǎn)，其中點(diǎn)A（-3,0）,OA=OC,P是第三象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作

/^，回于點(diǎn)6,交AC于點(diǎn)

圖1圖2

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式.

⑵求PH的最大值.

(3)如圖2