第四章 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)特征的描述

第四章統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)特征的描述平均值計(jì)算平均數(shù)位置平均數(shù)算數(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)

眾數(shù)

第一節(jié)、數(shù)據(jù)分布集中趨勢的描述一、算術(shù)平均數(shù)(一)簡單算術(shù)平均數(shù)

例1、某小組8個(gè)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績分別為80、72、84、88、75、73、90、78分。則該小組成績的均值為：(二)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)某地大學(xué)生消費(fèi)支出調(diào)查資料月消費(fèi)額(元)組中值(元)調(diào)查人數(shù)(人)向上累計(jì)人數(shù)(人)300以下300～400400～500500～600600～700700以上250350450550650750801804302207020802606909109801000合計(jì)—1000—例2、假設(shè)某地大學(xué)生消費(fèi)支出調(diào)查資料如下表，根據(jù)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算1000個(gè)大學(xué)生每人每月消費(fèi)額均值。根據(jù)公式：或算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)性質(zhì)：1、各數(shù)值與其均值的離差和為零，即2、各數(shù)值與其均值的離差平方和最小，即案例：某私人公司老板雇傭了8個(gè)雇員，每人每周掙300元到350元之間。公司老板每周付給自己1250元。他報(bào)告政府勞動(dòng)部門說他的公司付給雇員的平均工資是每周430元。結(jié)論算術(shù)平均值受極大值的影響要大過受極小值的影響。二、調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)也稱為倒數(shù)平均數(shù)。(一)簡單調(diào)和平均數(shù)例3、某農(nóng)產(chǎn)品收購資料如下表所示，求平均收購單價(jià)。收購單價(jià)（元/公斤）組中值（元）（X）收購天數(shù)（天）收購額（元）（M）18～2019576000020～22213147000022～242321840000

本例缺少分母資料，可用加權(quán)調(diào)和平均法計(jì)算平均收購單價(jià)，故：解：(二)加權(quán)調(diào)和平均數(shù)例5、根據(jù)下表的數(shù)據(jù)計(jì)算18個(gè)連鎖商店平均銷售額計(jì)劃完成程度。某年度某公司18個(gè)連銷商店銷售額計(jì)劃完成程度分組資料銷售額計(jì)劃完成程度(％)組中值(％)企業(yè)數(shù)(個(gè))實(shí)際銷售額(萬元)計(jì)劃銷售額(萬元)80～9090～100100—110110—12085951051157310368023751806050608002500172004400合計(jì)—182617524900(1)已知各個(gè)連銷商店的計(jì)劃銷售額和實(shí)際銷售額。則：(2)已知各個(gè)商店的計(jì)劃銷售額和計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)，而假設(shè)未知實(shí)際銷售額。則：(3)已知各個(gè)商店的實(shí)際銷售額和計(jì)劃完成百分?jǐn)?shù)，而假設(shè)未知計(jì)劃銷售額。則：三、幾何平均數(shù)

(一)簡單幾何平均數(shù)例6、某機(jī)械廠有4個(gè)連續(xù)作業(yè)的車間：毛坯車間（一車間）、粗加工車間（二車間）、精加工車間（三車間）和裝配車間（四車間）。本月份，各個(gè)車間的產(chǎn)品合格率分別為：一車間95%，二車間90%，三車間92%，四車間85%。求4個(gè)車間的平均合格率。解：總合格率=95%×90%×92%×85%=66.86%。若用算術(shù)平均法計(jì)算，則有：但正確方法是：(二)加權(quán)幾何平均數(shù)四、中位數(shù)(Median)(一)由未分組資料確定中位數(shù)中位數(shù)=n為奇數(shù)n為偶數(shù)例7、1990年我國飲料制造行業(yè)按利稅總額排序，前10名企業(yè)的利稅總額資料如下：序號企業(yè)名稱利稅總額（百萬元）

1山西杏花村汾酒廠2002四川宜賓五糧液酒廠813貴州茅臺(tái)酒長804上海中美飲料食品有限公司775沈陽啤酒廠666青島啤酒廠657陜西省西風(fēng)酒廠618廣東山水健力寶飲料廠549安徽毫州市古井酒廠5110四川瀘州老窖酒廠49

根據(jù)上述資料，確定這10名企業(yè)利稅總額的中位數(shù)。因?yàn)楫?dāng)n=偶數(shù)，所以(二)由組距數(shù)列確定中位數(shù)組別組限次數(shù)累計(jì)次數(shù)1～2～i-1～i～i+1～k～其中累計(jì)次數(shù)為向上累計(jì)。（下限公式）（上限公式）設(shè)n/2位置上的數(shù)在第i組，則計(jì)算中位數(shù)的近似公式為：人均月收入（元）家庭數(shù)（戶）組距次數(shù)密度累計(jì)次數(shù)（戶）300以下300～400400～600600～10001000～15001500以上2726643002347219456451001002004005005002.726.6415.018.683.891.2927293639387410935510000合計(jì)10000---例8、某地區(qū)職工家庭人均月收入資料如下表，求職工家庭人均月收入的中位數(shù)。職工家庭人均月收入表解：中點(diǎn)位置=所以中位數(shù)組在600～1000元組。用上限公式計(jì)算：看管機(jī)器臺(tái)數(shù)（臺(tái)）工人數(shù)（人）累計(jì)次數(shù)（人）4567858761513202627合計(jì)2727例9、某車間工人看管機(jī)器臺(tái)數(shù)資料如下表，求工人看管機(jī)器臺(tái)數(shù)的中位數(shù)。某車間工人看管機(jī)器臺(tái)數(shù)表解：因?yàn)樗?/p>

中位數(shù)具有的數(shù)學(xué)性質(zhì)：各數(shù)據(jù)與中位數(shù)之差的絕對值之和最小，即：或五、眾數(shù)(Mode)眾數(shù)用表示。

對于組距分組數(shù)據(jù)，眾數(shù)的近似計(jì)算公式為：下限公式：上限公式：人均月收入（元）家庭數(shù)（戶）組距次數(shù)密度累計(jì)次數(shù)（戶）300以下300～400400～600600～10001000～15001500以上2726643002347219456451001002004005005002.726.6415.018.683.891.2927293639387410935510000合計(jì)10000———例10、某地區(qū)職工家庭人均月收入資料如下表，求職工家庭人均月收入的眾數(shù)。職工家庭人均月收入表解：400～600元這一組次數(shù)密度最大，故眾數(shù)組為400～600元這一組。用下限公式求眾數(shù)。六、分位數(shù)第一四分位數(shù)：第二四分位數(shù)：第三四分位數(shù)：25%25%25%25%maxmin排序數(shù)據(jù)，按遞增次序

3、若為整數(shù)，則所求四分位數(shù)為該位置上的數(shù)值；若不是整數(shù)，就取第[]與第[]+1位置上的兩個(gè)數(shù)值的平均數(shù)為所求分位數(shù)（這里[]表示不大于的最大整數(shù)，如[3.25]=3）。（一）計(jì)算未分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)（假設(shè)有N個(gè)數(shù)據(jù)）其步驟如下：1、將數(shù)據(jù)按大小順序排列；2、計(jì)算第i個(gè)四分位數(shù)的位置；（二）計(jì)算分組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)

對于分組數(shù)據(jù)，四分位數(shù)的近似計(jì)算公式為：七、算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的特點(diǎn)及三者之間的關(guān)系(一)眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系

在數(shù)據(jù)分布呈輕微偏態(tài)的情況下，三者在數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一定的數(shù)量關(guān)系：均值與眾數(shù)的距離約為均值與中位數(shù)的距離的三倍，即

。

(二)眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點(diǎn)和應(yīng)用場合

1、眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，是一種位置代表值，不受極端數(shù)值的影響。當(dāng)數(shù)據(jù)的分布具有明顯的集中趨勢時(shí)，尤其是對于偏態(tài)分布，眾數(shù)的代表性比均值好。其缺點(diǎn)是不具有唯一性，一組數(shù)據(jù)可能有一個(gè)眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)，也可能有多個(gè)眾數(shù)。

2、中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，其特點(diǎn)是不受數(shù)據(jù)極端值的影響，對于具有偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，中位數(shù)的代表性比均值好。其缺點(diǎn)是不宜作進(jìn)一步的數(shù)學(xué)計(jì)算。

3、均值是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計(jì)算的，它具有優(yōu)良的數(shù)學(xué)性質(zhì)，是實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的集中趨勢測度值。其主要缺點(diǎn)是易受數(shù)據(jù)中極端值的影響，對于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，均值的代表性較差第二節(jié)、離中趨勢的描述一、極差極差（全距）以R表示：

對于組距分組數(shù)據(jù)，極差的近似值為：R=最高組上限－最低組下限二、方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差：標(biāo)準(zhǔn)差：月消費(fèi)額(元)組中值(元)調(diào)查人數(shù)(人)向上累計(jì)人數(shù)(人)300以下300～400400～500500～600600～700700以上250350450550650750801804302207020802606909109801000合計(jì)—1000—例11、根據(jù)下表資料，計(jì)算每個(gè)大學(xué)生每月消費(fèi)額的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算過程見后表。某地大學(xué)生消費(fèi)支出調(diào)查資料月消費(fèi)額(元)組中值(元)人數(shù)(人)300以下25080—20843264300～400350180—10811664400～500450430—864500～600550220928464600～7006507019236864700以上7502029285264合計(jì)—1000——某地大學(xué)生每人月消費(fèi)額標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表由上表可得：總體單位的標(biāo)志值=1，具有某種性質(zhì)=0，不具有某種性質(zhì)三、是非標(biāo)志的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差是非標(biāo)志的平均數(shù)——成數(shù)：全部總體單位數(shù)=N，成數(shù)P為：是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差為：四、相對離中系數(shù)(一)極差系數(shù)(二)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)例12、某公司下屬18個(gè)連鎖商店某年度平均銷售額為727.0