2020-2021學年廣西防城港市九年級（上）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年廣西防城港市九年級第一學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題（共12小題，每小題3分，共36分）.

1.方程好=1的解是（）

A.制=0,及=1B.M=0,X2—-1C.，X2=-D.X1=X2=1

2.下列垃圾分類的圖標是中心對稱圖形的是()

A.]]廚余垃圾（綠色）

其他垃圾（黑色）

c.￡A<可回收物（藍色）D.有害垃圾（紅色）

XMM4Mll7\

3.拋物線y=（x-1）2+3的頂點坐標是（)

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(3,-1)

4.一個圓錐的底面半徑長為母線長為5cm,則圓錐的側面積為（）

A.20cm2B.40cm2C.20ncm2D.40TCC加

5.如圖，四邊形A8CD是O。的內(nèi)接四邊形，若/8。。=80°，則NBC。的度數(shù)是（）

A.80°B.120°C.130°D.140°

6.不透明袋子中有除顏色外完全相同的3個黑球和2個白球，從袋子中隨機摸出3個球,

下列事件中是必然發(fā)生的事件是（）

A.2個白球1個黑球B.2個黑球1個白球

C.至少有1個黑球D.3個都是黑球

7.拋物線y=or2+bx+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=T,則當y<0,x的取值

范圍是（)

x>-1C.-3<x<lD.-4WxWl

8.已知。。的半徑是2,一個正方形內(nèi)接于。0,則這個正方形的邊長是（）

A.2&B.2C.&D.4

9.我國南宋數(shù)學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》有題目：直田積（矩形面積）八百六十

四步（平方步），只云闊（寬）與長共六十步，問闊（寬）及長各幾步.設闊（寬）有x

步，那么下面所列方程正確的是（）

A.x(x+60)=864B.x(60-x)=864

C.x(工-60)=864D.%2-60^-864=0

10.如圖，△ABC中，ZACB=90°,ZABC=40°.將△ABC繞點B逆時針旋轉得到AA'

BC,使點C的對應點C'恰好落在邊A8上,則NC4T的度數(shù)是（）

70°C.110°D.120°

11.如圖，正方形A5CQ中，分別以A、。為圓心,以正方形的邊長2為半徑畫弧，形成樹

葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積是()

D

A.2n-4B.4-ITC.ir+4D.4-2IT

12.如圖，拋物線yna^+bx+c的對稱軸是直線x=l,下列結論:

①時c>0；②。2-4“C>0；③8A+CV0；?5a+b+2c>0,

A.①②③B.②③④C.①②@D.②③

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

13.二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與y軸的交點坐標是.

14.將一元二次方程2^=x-1化成一般形式是.

15.將拋物線y="向左平移2個單位，所得拋物線的對稱軸是直線.

16.如圖，圓0的直徑AB垂直于弦CD,垂足是E,ZA=22.5°,0C=4,CD的長

17.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳

染給個人.

18.如圖，點E在正方形48CD的邊CO上，將△ADE繞點A順時針旋轉90°到△回尸的

位置，連接EE過點4作E尸的垂線，垂足為點”，與8c交于點G.若BG=5,CG=

三、解答題（本大題共8小題，共66分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

19.解方程：x1-\—3（x+1）.

20.在圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖.截面圓的直徑為2000",若油面的寬AB

=160OT,求油槽中油的最大深度.

21.如圖，在平面直角坐標系中，Z\ABC的三個頂點分別是A(-2,-4),

C(-1,-3).

(1)把△ABC向右平移4個單位后得到對應的△ASG,請畫出平移后的△A8G；

(2)把AABC繞原點0旋轉180°后得到對應的△A2B2C2,請畫出旋轉后的△4B2C2；

(3)觀察圖形可知，與282c2關于點(,)成中心對稱.

22.已知關于x方程；!?+"+4-5=0.

(1)若該方程的一個根為3,求。的值及該方程的另一根；

(2)求證：不論。取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

23.某市合唱團為開展“百人合唱愛國歌”網(wǎng)絡“線上云演出”活動，需招收新成員、小霞、

小健、小婷、小宇四名學生報名參加了應聘活動，其中小霞、小健來自七年級，小婷、

小宇來自八年級.現(xiàn)對這四名學生采取隨機抽取的方式進行網(wǎng)絡線上面試.

(1)若隨機抽取一名學生，恰好抽到學生小霞的概率為;

(2)若隨機抽取兩名學生，請用列表法或樹狀圖法求抽中兩名學生均來自七年級的概率.

24.某商店將標價為100元/臺的品牌學習機在網(wǎng)上直播間銷售，兩次降價后，價格為81元

/臺，并且兩次降價的百分率相同.

(1)求該品牌學習機每次降價的百分率；

(2)從第二次降價后的第1天算起，第x天的銷量及網(wǎng)上直播間銷售支出勞務費用的相

關信息如表所示:

時間（天）X

銷量（臺）\50-x

網(wǎng)上直播間售支出勞務費用3/_50A-+600

（元）

已知該品牌學習機的進價為61元/臺，設銷售該品牌學習機第x（天）的利潤為y（元），

求》與x之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少？

25.如圖，。為正方形ABC。對角線上一點，以。為圓心，0A的長為半徑的與相

切于點M,

（1）求證：8C與。。相切；

（2）若正方形的邊長為1,求。。的半徑.

26.如圖，拋物線y=/+6x+c經(jīng)過點（-2,5）和（2,-3）,與兩坐標軸的交點分別為A,

B,C,它的對稱軸為直線/.

（1）求該拋物線的表達式；

（2）求出點A,B,C的坐標；

（3）P是該拋物線上的點，過點尸作/的垂線，垂足為。，E是/上的點.要使以P,D,

E為頂點的三角形與△BOC全等，求滿足條件的點P,點E的坐標.

參考答案

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中只有一

項是符合要求的，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.）

1.方程f=l的解是（）

A.xi=O,X2=lB.xi=O,X2=-1C.X1=LX2=-D.X1=X2=1

【分析】方程兩邊開方，即可得出答案.

解：x2=l,

開方得：X=±1,

即汨=1,X2=-1,

故選：C.

2.下列垃圾分類的圖標是中心對稱圖形的是()

A▽.（［廚余垃圾（綠色）其他垃圾（黑色）

C.A可回收物（藍色）D.有害垃圾（紅色）

【分析】一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么

這個圖形就叫做中心對稱圖形.根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

解：4、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

8、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、是中心對稱圖形，故本選項符合題意.

故選：D.

3.拋物線y=（x-1）2+3的頂點坐標是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（3,-1）

【分析】根據(jù)頂點式解析式寫出頂點坐標即可.

解：拋物線y=（x-1）2+3的頂點坐標是（1,3）.

故選：A.

4.一個圓錐的底面半徑長為4cm,母線長為5a”，則圓錐的側面積為（）

A.20cm2B.40cm2C.20ncm2D.40TTCTO2

【分析】圓錐的側面積=nX底面半徑X母線長，把相應數(shù)值代入即可求解.

解：?.?圓錐的底面半徑長為4cm,母線長為

圓錐的側面積=7iX4X5=20TTa"2,

故選：C.

5.如圖，四邊形ABC。是的內(nèi)接四邊形，若/8。。=80°,則N8C。的度數(shù)是（）

A.80°B.120°C.130°D.140°

【分析】根據(jù)圓周角定理和已知條件求出/A,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質得出N8Q9+N

A=180°,再求出答案即可.

解：；NBOO=80°,

???NA=/N800=40°（圓周角定理），

,/四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZBCD+ZA=]S00,

AZBC￡）=180°-40°=140°,

故選：D.

6.不透明袋子中有除顏色外完全相同的3個黑球和2個白球，從袋子中隨機摸出3個球,

下列事件中是必然發(fā)生的事件是（）

A.2個白球1個黑球B.2個黑球1個白球

C.至少有1個黑球D.3個都是黑球

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應事件的類型即可.

解：4、2個白球1個黑球，是隨機事件；

B、2個黑球1個白球，是隨機事件；

C、至少有1個黑球，是必然事件:

D、3個都是黑球，是隨機事件；

故選：C.

7.拋物線y=ax2+"+c的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-l,則當），<0,x的取值

范圍是（）

A.x<\B.x>-1C.-3<x<lD.-4WxWl

【分析】則根據(jù)函數(shù)的對稱性，另外一個交點坐標為（-3,0）,進而求解.

解：?.?拋物線與x軸的一個交點為（1,0）,函數(shù)的對稱軸為x=-l,

則根據(jù)函數(shù)的對稱性，函數(shù)與x軸另外一個交點坐標為（-3,0）,

故當y<0,x的取值范圍是-3Vx<l,

故選：C.

8.已知。。的半徑是2,一個正方形內(nèi)接于。O,則這個正方形的邊長是（）

A.2&B.2C.&D.4

【分析】由正方形的性質得NB=90°,AB=BC,再由圓周角定理得AC是。。的直徑,

則△ABC是等腰直角三角形，即可解決問題.

解：如圖所示：

?.?四邊形ABC。是正方形，

AZB=90°,AB=BC,

是OO的直徑，是等腰直角三角形，

，AC=4,AB=BC=與AC=2&,

故選：A.

9.我國南宋數(shù)學家楊輝所著《田畝比類乘除算法》有題目：直田積（矩形面積）八百六十

四步（平方步），只云闊（寬）與長共六十步，問闊（寬）及長各幾步.設闊（寬）有x

步，那么下面所列方程正確的是（）

A.x（x+60）=864B.x（60-x）=864

C.x（x-60）=864D.%2-60x-864=0

【分析】設闊（寬）有x步，則長有（60-x）步，利用矩形的面積計算公式，結合直田

積（矩形面積）八百六十四步（平方步），即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

解：設闊（寬）有x步，則長有（60-%）步，

依題意得：x（60-x）=864.

故選：B.

10.如圖，△ABC中，/ACB=90°,/A8C=40。.將△ABC繞點8逆時針旋轉得到

BC,使點C的對應點C'恰好落在邊AB上，則/CA4'的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)旋轉可得/A，8A=NABC=40°,A，B=AB,得NBA4'=70°,根據(jù)

ZCAA'^ZCAB+ZBAA',進而可得NCA4'的度數(shù).

解：VZACB=90°,/ABC=40°,

ZCAB=90°-NABC=90°-40°=50°,

?.?將△ABC繞點8逆時針旋轉得到8C',使點C的對應點C'恰好落在邊A8上,

ZA'BA=ZABC=40°,A'B=AB,

：.ZBAA'=/R4'A=2(180°-40°)=70°,

2

ZCAA'=ZCAB+ZBAA1=50°+70°=120°.

故選：D.

11.如圖，正方形ABC。中，分別以A、C為圓心，以正方形的邊長2為半徑畫弧，形成樹

葉形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的面積是（）

A.2n-4B.4-ITC.TT+4D.4-2IT

【分析】由圖可知，陰影部分的面積是兩個圓心角為90°,且半徑為2的扇形的面積與

正方形的面積的差，可據(jù)此求出陰影部分的面積.

解：由題意可得出：5瞰=25睇-S正硼=2X四2I2L/-22=2TT-4.

360

故選：A.

12.如圖，拋物線y="+fei+c的對稱軸是直線x=l,下列結論：

①abc>0；②。2-4ac>0；③8a+c<0；④5a+/>+2c>0,

正確的是（）

C.①②④D.②③

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分別判斷“，b,c的符號即可判斷結論①；利用圖象與x軸交點

的個數(shù)即可判斷結論②；利用對稱軸及當x=-2時函數(shù)值的正負即可判斷結論③；利用

x=-1和x=2時的函數(shù)值的正負即可判斷結論④.

解：；拋物線開口方向向下,

?.?對稱軸在y軸的右側,

.,.a,b異號，即b>0,

???函數(shù)圖像與y軸交于正半軸,

.,.c>0,

.\abc<0,故①錯誤；

?.?拋物線與x軸有兩個交點，

：.b2-4ac>0,故②正確;

：拋物線對稱軸是直線x=-1,

:.b=-2a,

?.?當x=-2時，4a-2b+c<0,

...4a+4a+c<0,即8a+c<0,故③正確；

:當x=2時，4a+2b+c>0,當x=-l時，a-b+c>0,

（4a+26+c）+（.a-b+c）>0,HP5a+b+2c>0,故④正確；

故選：B.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.）

13.二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象與y軸的交點坐標是（0,-3）.

【分析】把x=0代入求出力即可得出答案.

解：當x=0時，y=x2+2x-3=-3,則拋物線與y軸的交點坐標為（0,-3）.

故答案為：（0,-3）.

14.將一元二次方程2^=x-1化成一般形式是2^-"1=0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：a^+bx+c=Q（a,b,c是常數(shù)且aNO）.

解：由2x2=x-l,得源-彳+匚。，

即方程2x2=x-1化為一元二次方程的一般形式是2X2-x+1=0.

故答案為：2X2-x+l=0.

15.將拋物線丫=正向左平移2個單位，所得拋物線的對稱軸是直線x=-2.

【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律寫出平移后拋物線解析式，易得拋物線對

稱軸方程.

解：拋物線>=正向左平移2個單位，所得拋物線解析式為：y=2（x+2）2,則其對稱

軸是直線x=-2.

故答案是：X--2.

16.如圖，圓O的直徑AB垂直于弦CD,垂足是E,/A=22.5°,0C=4,CD的長為」

【分析】根據(jù)圓周角定理得NBOC=2NA=45°,由于的直徑4B垂直于弦C。，根

據(jù)垂徑定理得CE=OE,且可判斷△OCE為等腰直角三角形，所以CE=^0C=2M，

然后利用CD=2CE進行計算.

解：VZA=22.5°,

，NBOC=2/A=45°,

：。。的直徑AB垂直于弦C￡),

：.CE=DE,ZSOCE為等腰直角三角形，

...CE=^0c=2&,

:.CD=2CE=4夜.

故答案為4&.

17.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人患了流感，那么每輪傳染中平均一個人傳

染給9個人.

【分析】設每輪傳染中平均每個人傳染了x人，第一輪后有(1+x)人患了流感，第二輪

后會傳染給x(1+x)人，則兩輪以后共有1+x+x(1+x)人得病，然后根據(jù)共有100人患

了流感就可以列出方程求解.

解：設每輪傳染中平均每個人傳染了x人.

依題意得1+x+x(1+x)=100,

.,.f+2t-99=0,

；.x=9或x=-11(不合題意，舍去).

所以，每輪傳染中平均一個人傳染給9個人.

故填空答案：9.

18.如圖，點E在正方形ABCC的邊CQ上，將△ACE繞點A順時針旋轉90°至尸的

位置，連接EF,過點A作EF的垂線，垂足為點H,與BC交于點G.若BG=5,CG=

3,則CE的長為_黑_.

【分析】連接EG,根據(jù)AG垂直平分E凡即可得出EG=/G,設CE=x,則。E=8-x

=BF,FG=EG=\3-x,再根據(jù)Rt^CEG中，C￡2+CG2=EG2,即可得到CE的長.

由旋轉可得，△AOE絲ZiABF,

：.AE=AF,DE=BF,

XVAG±￡F,

為EF的中點，

：.AG垂直平分EF,

：.EG=FG,

'：BG=5,CG=3,

：.BC=CD=S,

設CE=x,則DE=8-x=BF,FG=CF-CG=13-x,

：.EG=l3-x,

VZC=90°,

.?.RtZ\CEG中，CEXCG=EG,即必+32=(13-x)2,

解得：x=祟

13

故答案為相.

11J

三、解答題(本大題共8小題，共66分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

19.解方程：3-1=3(x+1).

【分析】利用因式分解法求解即可.

解：x2-1=3(x+1),

(x+1)(x-1)=3(x+1),

(x+1)(x-1)-3(x+1)=0,

(x+1)(x-1-3)=0,

???尢+1=0或x-4=0

20.在圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油以后，截面如圖.截面圓的直徑為200cm,若油面的寬AB

=160OT,求油槽中油的最大深度.

【分析】連接OA，過點。作OCAB交AB于點C交。。于。，由垂徑定理求出AC的

長，再根據(jù)勾股定理求出OC的長，進而可得出C。的長.

解：過點。作OO_LA8于點C,交。。于點。，連接AO.

RtZ\ACO中，AO=/X200=100(cm),

AC-yXAB=yX160=80(的)，

0C=VAO2-AC2=V1002-802=60(的)，

...油槽中油的最大深度C￡>=。。-OC=,X200-60=100-60=4((cm).

21.如圖，在平面直角坐標系中，ZVIBC的三個頂點分別是A(-2,-1),B(-4,-4),

C(-1,-3).

(1)把AABC向右平移4個單位后得到對應的△AiBG,請畫出平移后的△A181G：

(2)把AABC繞原點。旋轉180。后得到對應的△4&C2,請畫出旋轉后的△4B2C2；

(3)觀察圖形可知，△AIBCI與282c2關于點(2,0)成中心對稱.

【分析】(1)分別作出A,B,C的對應點Ai,Bi,G即可.

(2)分別作出A,B,C的對應點A2,B2,C2即可.

(3)對應點連線的交點即為對稱中心.

解：(1)如圖，△Ai81G即為所求作.

(2)如圖，AA282c2即為所求作.

(3)△AiBiCi與N\A252c2關于點(2,0),

故答案為：2,0.

22.已知關于x方程j^+ar+a-5=0.

(1)若該方程的一個根為3,求。的值及該方程的另一根；

(2)求證：不論。取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

【分析】(1)根據(jù)方程有一根為3,將x=3代入方程求出〃的值，確定出方程，即可求

出另一根；

(2)根據(jù)根的判別式判斷可得結論.

解：（1）把x=3代入方程得32+3a+a-5=0,

.'.a=-1,

...方程為x2-x-6=0,

：.xi=3,X2—-2,即方程另一個根是-2；

（2）證明：A=a2-4（a-5）=cr-4a+20=a2-4a+4+16=（a-2）2+16>0

...不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根.

23.某市合唱團為開展“百人合唱愛國歌”網(wǎng)絡“線上云演出”活動，需招收新成員、小霞、

小健、小婷、小宇四名學生報名參加了應聘活動，其中小霞、小健來自七年級，小婷、

小宇來自八年級.現(xiàn)對這四名學生采取隨機抽取的方式進行網(wǎng)絡線上面試.

（1）若隨機抽取一名學生，恰好抽到學生小霞的概率為4；

一4-

（2）若隨機抽取兩名學生，請用列表法或樹狀圖法求抽中兩名學生均來自七年級的概率.

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）將小霞、小健、小婷、小宇四名學生分別記為A、B、C、D,列表得出所有等可能

結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

解：（1）隨機抽取一名學生，恰好抽到學生小霞的概率為二，

故答案為：-y;

4

（2）將小霞、小健、小婷、小宇四名學生分別記為A、B、C、D,

用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果如下：

ABCD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)(C,B)(￡>,B)

C(A,C)QB,C)(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)

由表格知，共有12種等可能結果，其中抽中兩名學生均來自七年級的有2種結果，

所以抽中兩名學生均來自七年級的概率為

126

24.某商店將標價為100元/臺的品牌學習機在網(wǎng)上直播間銷售，兩次降價后，價格為81元

/臺，并且兩次降價的百分率相同.

（1）求該品牌學習機每次降價的百分率;

（2）從第二次降價后的第1天算起，第x天的銷量及網(wǎng)上直播間銷售支出勞務費用的相

關信息如表所示：

時間（天）X

銷量（臺）150-x

網(wǎng)上直播間售支出勞務費用3'-501+600

（元）

已知該品牌學習機的進價為61元/臺，設銷售該品牌學習機第無（天）的利潤為了（元），

求y與x之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大，最大利潤是多少？

【分析】（1）該學習機每次降價的百分率為機，根據(jù)該學習機的原價及經(jīng)過兩次降價后

的價格，即可得出關于，”的一元二次方程，解方程即可得出結論；

（2）根據(jù)一臺學習機的利潤X第x天的銷售量-網(wǎng)上直播間售支出勞務費用=利潤列出

函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質求最值即可.

解：（1）設該品牌學習機每次降價的百分率為，*，

依題意,得：100（1-m）2=81,

解得：g=0.1=10%,m2—1.9（舍去），

答：該品牌學習機每次降價的百分率是10%；

（2）由題意可得，

y=（81-61）（150-A:）-（3x2-50x+600）

=-31+30田+2400

=-3（x-5）2+2475,

.,.當x=5時，y取得最大值，此時y=2475.

即第二次降價后的第5天銷售利潤最大，最大利潤是2475元.

25.如圖，。為正方形A8CZ）對角線上一點，以。為圓心，OA的長為半徑的。。與C￡）相

切于點M,

（1）求證：BC與。0相切；

（2）若正方形的邊長為1,求。。的半徑.

【分析】（1）過。作0N_L8C于N,由垂直的定義得到/CWC=90°,根據(jù)正方形的

性質得到NOCN=NOCM=45°,根據(jù)切線的性質得到NOM