（全國(guó)Ⅲ卷）2017-2020年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)卷3試卷試題真題含答案

絕密★啟用前6.設(shè)函數(shù)/（x）=cos（x+]J,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷m）

A./（x）的一個(gè)周期為一2兀

理科數(shù)學(xué)B./（x）的圖像關(guān)于直線產(chǎn)等對(duì)稱(chēng)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.C.〃X+7t）的一個(gè)零點(diǎn)為X=K

6

1.已知集合A=｛（%,y）|/+y2=1｝,B=1（x,y）|y=則AB中元素的個(gè)數(shù)（）

A.3B.2C.lD.OD.〃x）在（5,兀）單調(diào)遞減

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=2i,則|z|=（）

7.執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正整數(shù)N的最小值為（）

A」B.—C.eD.2

22

3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月

至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.

w

?

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

輅A.月接待游客量逐月增加

*

授B.年接待游客量逐年增加8.已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的

母

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份體積為（）

.c3兀「兀一兀

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)A.71B.—C.—D.—

424

4.（x+y）（2x-y）5的展開(kāi)式中?y3的系數(shù)為（）

9.等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,公差不為0.若生，生,4成等比數(shù)列，則｛凡｝前6項(xiàng)的和為

A.-80B.-40C.40D.80

（）

5.已知雙曲線C:二一與=1（。>0,6>0）的一條漸近線方程為y=且與橢圓A.-24B.-3C.3D.8

ab2

22

22

乙x+乙v=1有公共焦點(diǎn)，則C的方程為10.已知橢圓c：三+5=1（。>6>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,且以線段A4為

123ab

A%2丁一1B%2/-ic"2直徑的圓與直線fer-故+2必=0相切，則C的離心率為（）

D.---------=1

810455443

1分)

A后CD18.(12

A.----D.----C.----Lf.—

3333某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6

11.已知函數(shù)/(%)=%2—2%+a(ei+e-z)有唯一零點(diǎn)，貝普=()元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn),

每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為

500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25）,需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20,

.在矩形⑷中，AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心且與相切的圓上.若

125CD需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫

則;的最大值為（）

AP-AAB+//AD,1+4數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

A.3B.2&C.V5D.2

最I(lǐng)WJ

[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

氣溫

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

^-y>0,天數(shù)216362574

13.若％,）滿足約束條件〈尤+y—2<0,z=3元—4y的最小值為.以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

20,（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天

14.設(shè)等比數(shù)列｛q｝滿足4+%=-1,%-生=一3,則a4=.

的進(jìn)貨量〃（單位：瓶）為多少時(shí)，丫的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

15.設(shè)函數(shù)“%）二1+1""°'則滿足/（%）+/（%-2）>1的％的取值范圍是_____.

[2\x>0,2

16.a,方為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形45。的直角邊AC所在直線與

ab都垂直，斜邊以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

①當(dāng)直線與。成60。角時(shí)，AB與Z?成30。角；

②當(dāng)直線與。成60。角時(shí)，AB與力成60。角；

③直線與a所成角的最小值為45°；19.(12分)

④直線AB與a所成角的最大值為60°.如圖，四面體ABCD中，AABC是正三角形，AACD是直角三角形，

其中正確的是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的編號(hào)）ZABD=ZCBD,AB=BD.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（12分）

AABC的內(nèi)角A,瓦C的對(duì)邊分別為a,〃c,已知sinA+J5co乳=0,a=2幣,

b=2.（1）證明：平面ACDJ_平面ABC；

（1）求c；（2）過(guò)AC的平面交于點(diǎn)￡,若平面AEC把四面體45CD分成體積相等的兩

（2）設(shè)。為邊上一點(diǎn)，且AO_LAC,求人鉆。的面積.部分，求二面角O-AE-C的余弦值.

數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)（共76頁(yè)）數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)（共76頁(yè)）

20.(12分)

已知拋物線C：V=2x,過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線/交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線段43(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的

去為直徑的圓.第一題計(jì)分.

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)。在圓M上；

設(shè)圓過(guò)點(diǎn)求直線/與圓的方程.\x=2+Z,

(2)NP(4,-2),M在直角坐標(biāo)系尤Oy中，直線4的參數(shù)方程為,(方為參數(shù))，直線4的參數(shù)方

［y=kt,

機(jī)，

lit%=-2+

程為，m(加為參數(shù)).設(shè)4與4的交點(diǎn)為尸，當(dāng)上變化時(shí)，P的軌跡為曲線

上層

C.

n|p!(1)寫(xiě)出。的普通方程；

出X

#卷(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，％軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)4：

〃(cose+sin6)—J5=0,M為。與C的交點(diǎn)，求M的極徑.

：21.(12分)

第已知函數(shù)/(%)二%一1一〃11比.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

(1)若/(%)之0,求。的值；

已知函數(shù)/(尤)=|%+1|-|尤一2］.

⑵設(shè)加為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)"，(1+?口［1+￡|＜加，求”的最

(1)求不等式/(%)之1的解集；

圖小直(2)若不等式/'(0之Y一九+根的解集非空，求相的取值范圍.

效

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷IH)7.【答案】D

理科數(shù)學(xué)答案解析解析

5=0+1>；M0=,,90<

1.【答案】B

【解析】A表示圓x2+y2=1上的點(diǎn)的集合,B表示直線y=x上的點(diǎn)的集合，直線y=x91,輸出S,此時(shí)，力=3不滿足KN,所以輸入的正整數(shù)N的最小值為2,故選

與圓一+y=1有兩個(gè)交點(diǎn)，所以A8中元素的個(gè)數(shù)為2.D.

8.【答案】B

2.【答案】C

21X【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為廠，則/=/—[(]=；，所以，圓柱的體積

【解析】z=—=z^~\=i(l-i),所以|z|=JL

1+i(l+i)(l-i)'’11

33

V=-7txl=—7C,故選B.

3.【答案】A44

【解析】根據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都9.【答案】A

是減少，所以A錯(cuò)誤.【解析】設(shè)等差數(shù)列|?|的公差為d，因?yàn)椤?，。3，。6成等比數(shù)列，所以。2。6=。32，即

2

4.【答案】C(q+d)(G+5d)=(%+22)2,又1=1,所以d+2d=0,又dw0,則d=-2,

【解析】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取X時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含的項(xiàng)，即《已切彳->):所以4=%+5d=-9,所以的前6項(xiàng)的和邑=g^x6=-24,故選A.

當(dāng)?shù)谝粋€(gè)括號(hào)內(nèi)取y時(shí)，第二個(gè)括號(hào)內(nèi)要取含xV的項(xiàng)，即C；(2x)3(-y)2,所以

xY的系數(shù)為《x23Yx22=10x(8-4)=40.10.【答案】A

以線段44為直徑的圓的方程為％2+、2=。2,由原點(diǎn)到直線及-紗+2"=0的距離

5.【答案】B

d=.~ab=a,得/=3必，所以C的離心率e=

【解析】根據(jù)雙曲線C的漸近線方程為y=、5x,可知2="①，又橢圓工+匕=1

病+/V/3

2a2123

的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和(-3,0),所以/=9②，根據(jù)①②可知/=4萬(wàn)=5,11.【答案】C

【解析】由/(x)=d-2x+a(，T+eTM),得

所以選B.

/(2—x)=(2—x)2—2(2—x)+a[e2-"T+eY2T)+]=x2—4x+4+2x+a^e1-r+ex~')=x2—2x+a^e'~'

6.【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)解析式可知函數(shù)/(x)的最小正周期為2兀,所以函數(shù)的一個(gè)周期為,所以/(2-x)=/(x)，即x=l為〃x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸.由題意/(x)有唯一零點(diǎn)，

所以/(x)的零點(diǎn)只能為尤=1,即/(1)=12-2><1+<7卜1+6-3)=0,解得

-2.it,A正確；當(dāng)尤=—,xH—=3兀，所以cosjxH—]=—1,所以B正確；

33I3J

CL——.故選C.

r!\((4兀、、,，7t.47t3兀?2

/(X+71J—COSlx+7l+—1=COSIXH——I,當(dāng)X=q時(shí)，XH———,所以Hl

12.【答案】A

/(x+7l)=o,所以C正確；函數(shù)/(x)=cos[x+1]在(3,|-7U)上單調(diào)遞

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AO所在直線分別為x,y軸建立如圖所示的平面直角

2坐標(biāo)系，則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線的方程為

減；(一兀，兀)上單調(diào)遞增，故D不正確.所以選D.

3

數(shù)學(xué)試卷第7頁(yè)(共76頁(yè))數(shù)學(xué)試卷第8頁(yè)(共76頁(yè))

22

2x+y—2=0,點(diǎn)C到直線BD的距禺為1------=-，圓C：

VI2+22V5

14.【答案】-8

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛〃,｝的公比為q,則4+。2=4（1+4）=-1，

一。3二。1（1一/）二一3,兩式相除，得---4=-,解得g=—2,%=1,所以

1-q3

04Mg§=-8?

13.【答案】-1

/1、

【解析】作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線/:3x-4y=0,平15.［答案］

移直線/,當(dāng)直線z=3%—4y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1,1）時(shí)，z取得最小值，最小值為111」

【解析】當(dāng)x>0,/（%）=2仁1恒成立，當(dāng)x—5>0,即％>5時(shí)，/（x--）=22>1,

3-4=-1.

當(dāng)x-：40,即0<x4!時(shí)，/（x-L）=x+L>L,則不等式/（元）+/。一工）>1恒

222222

成立.當(dāng)％"0時(shí),/（%）+/（%一》=%+1+%+*=2%+1_>1,所以—.綜上所

述，元的取值范圍是（—，+°o）.

4

16.【答案】②③

【解析】由題意知，〃力,AC三條直線兩兩相互垂直，畫(huà)出圖形如圖.不妨設(shè)圖中所示

正方體的棱長(zhǎng)為1,則攵=VB=，，斜邊A5以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A

J21

點(diǎn)保持不變，8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，/為半徑的圓.所以|cosp\=-|cos6>|=—.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。。的方向?yàn)槿胼S正方向，CB方向?yàn)閥軸正方向，C4的方向?yàn)閦

因?yàn)槭辍?刈，

軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.n

所以尸二§,此時(shí)AB'與b成60。角.

則。(1,0,0),A(0,0,1),

直線4的單位方向向量Q=(0,1,0),時(shí)=1.

5點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0,1,0),

直線b的單位方向向量b=(l,0,0),網(wǎng)=1.

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)B'(cosasinaO),

其中夕為C9與的夾角，夕￡[0,24).

那么AB'在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量A6'=(cosasin]=JL

設(shè)直線AB'與a所成的夾角為aG[0,2句,

三、解答題

|(cos9,sin6,-1)?(0,1,0)|爭(zhēng)sin^GEO,^-],17.【答案】解：

cosa=

RM

(1)由已知得tarbA=-所以A二空.

3

故?！闧工,三],所以③正確，④錯(cuò)誤.

42在，A8C中，由余弦定理得28=4+c2-4ccos￡,即c?+2c-24=0.

設(shè)直線AB'與b所成的夾角為力，則/￡[0,2汨,

心夕?解得c=-6,(舍去)，c=4

cosB=-~j-----

回回(2)由題設(shè)可得NCA￡>=?,所以/BAO=/BAC-NC4Z>=工.

26

|(cossin4-1)?(1,0,0)|

1Ji

—ABADsin—

一HM26_i

故IAB￡>面積與，AC￡>面積的比值為一廠

-ACAD

2

7C

當(dāng)與a成60。角時(shí)，a二一，又|ABC的面積為|x4x2sinABAC=2^3,所以MBD的面積為耳.

3

]J2

|sin=A/2COSa=y12cos?=\/2x—=

【解析】(D)先求出角A,再根據(jù)余弦定理求出c即可；(2)根據(jù)|ABD,JACD,

因?yàn)閟in?e+cos?6=1,，A8C的面積之間的關(guān)系求解即可.

所以|cos6|=日.18.【答案】解：

(1)由題意知，X所有的可能取值為200,300,500,由表格數(shù)據(jù)知

數(shù)學(xué)試卷第11頁(yè)(共76頁(yè))數(shù)學(xué)試卷第12頁(yè)(共76頁(yè))

2+16在中，BO2+AO1=AB2.

P（X=200）=0.2MAAO3

90

又AB=BD,所以5。+。。2=502+492二^二皮孔故NDOB=90°.

P（X=300）=—=0.4,尸（X=500）=———=0.4.所以平面ACD_L平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知，Q4,OB,O￡)兩兩垂直，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，%的方向?yàn)榱溯S

因此X的分布列為

X200300500正方向，"A為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oryz，則

0.20.40.4

P/(1,0,0),6(0,扁),<7(-1,0,0),27(0,0,1)?

(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500,至少為200,因此只需考慮

由題設(shè)知，四面體A2CE的體積為四面體ABC。的體積的g,從而E到平面A8C的

200^71^500

當(dāng)300W〃W500時(shí)，

距離為。到平面ABC的距離的;，即E為D8的中點(diǎn)，得后［。等，；］，故

若最高氣溫不低于25,則丫=6〃—4〃=2n；

若最高氣溫位于區(qū)間［20,,25)，貝1)丫=6x300+2(〃-300)—4幾=1200—2〃；

AD=(-1,0,1),AC=(-2,0,0),AE=(T,手'J

若最高氣溫低于20,則丫=6x200+2(〃—200)—4〃=800—2%

因此石丫=〃2ri)(〃幾

2x0.4+(1200-x0.4+800-2)x0.2=640-0.4\nAD=0,

設(shè)憶二(x,y,z)是平面DA5的法向量，貝i"

當(dāng)200W〃v300時(shí)，［nAE=0,

若最高氣溫不低于20,則卜=6"一4幾=2"；

—x+z=O,

若最高氣溫低于20,則V=6x200+2(〃—200)-4〃=800-2〃；

即731n

-x+——y+—z-0.

因此EY=2〃x(0.4+0.4)+(800-2〃)x0.2=160+1.2幾I22

所以幾=300時(shí)，y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為52。元.可取j.

【解析】(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行分類(lèi)求解即可；(2)根據(jù)分布列得到關(guān)于利潤(rùn)的

函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解最值.

mAC=0,//-\

設(shè).是平面AEC的法向量，貝以同理可得根=0,-1,、團(tuán).

19.解：mAE=0,'7

(1)由題設(shè)可得，AABD二ACBD,從而AD=DC.

PM/\nmv7

又AACD是直角三角形，所以248=90°.''1胴7

取AC的中點(diǎn)O,連接。0,30,則。O_LACDO=AO.

所以二面角D-AE-C的余弦值為g.

又由于AABC是正三角形，故30_LAC.

所以NZX由為二面角D-AC-B的平面角.

z當(dāng)機(jī)=1時(shí)，直線1的方程為x-y-2=0,圓心M的坐標(biāo)為（3,1）,圓M的半徑為J而，

\D