總體百分位數(shù)的估計課件-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步課件(人教A版2019必修第二冊)

第九章

統(tǒng)計9.2用樣本估計總體

9.2.2

總體百分位數(shù)的估計一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)理解百分位數(shù)的概念及其簡單應(yīng)用掌握求一組數(shù)據(jù)的百分位的基本步驟通過學(xué)習(xí)和應(yīng)用百分位數(shù)，重點培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)習(xí)回顧前面我們用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)，通過對圖表的觀察與分析，得出了一些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布規(guī)律，由此推測了該市全體居民用戶月均用水量的分布情況，得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”等推斷.接下來的問題是，如何利用這些信息，為政府決策服務(wù)呢？下面我們對此進(jìn)行討論.新課導(dǎo)入問題2

如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)的建議嗎？

根據(jù)市政府的要求：確定居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)，要尋找一個數(shù)a，使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%，大于a的占20%.

下面我們通過樣本數(shù)據(jù)對a的值進(jìn)行估計.（1）我們首先把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序.1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.42.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.719.416.817.017.918.320.521.622.224.322.424.525.628.0可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間(13.6,13.8)內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.（2）由數(shù)據(jù)可得，第80個和第81個數(shù)據(jù)分別為13.6和13.8.新知探究稱此數(shù)13.7為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)或80%分位數(shù)（3）一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為13.7左右.由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策何題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為14t，或者把年用水量標(biāo)準(zhǔn)定為168t概念生成百分位數(shù)

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.注意：求百分位數(shù)時，一定要將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列．可以通過下面的步驟計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)：第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步：計算i＝n×p%.第3步：若i不是整數(shù),而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)

若i是整數(shù),則第p百分位數(shù)是第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．我們在初中學(xué)過的中位數(shù)，相當(dāng)于是第50百分位數(shù).跟蹤練習(xí)1.判斷正誤：（1）若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.（）（2）若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.（）（3）若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù).（）×√√2.一個容量為20的樣本,其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為:1,2,2,2,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,14,17,17,18,18,則（1）該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_______,（2）該組數(shù)據(jù)的第86百分位數(shù)為_______.概念生成四分位數(shù)常見的分位數(shù)：第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)（中位數(shù)），第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份,因此稱為四分位數(shù).25%第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)50%75%中位數(shù)第三四分位數(shù)或上四分位數(shù)第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù).第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù)也常用鞏固練習(xí)課本P204解：將100戶居民的月均用水量按小到大的順序排列如下：1.31.31.82.02.02.02.02.12.22.32.32.42.42.63.03.23.23.63.63.73.84.04.14.34.44.64.74.94.94.95.15.15.15.25.35.45.45.55.55.55.55.65.75.75.96.06.06.46.46.86.87.07.17.17.17.57.77.87.87.98.18.68.89.09.59.910.010.110.210.210.510.811.111.212.012.012.413.313.613.613.813.814.014.915.716.016.716.817.017.918.319.420.521.622.222.424.324.525.628.0由于100×60％=60.∴第60百分位數(shù)為第60個和第61個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即因此居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)定為8.0合適.1.在居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)制定的問題中，根據(jù)教科書中的調(diào)查數(shù)據(jù)，如果要讓60%的居民不超出標(biāo)準(zhǔn)，居民用戶月均用水量標(biāo)準(zhǔn)定為多少合適?典例解析例2

根據(jù)9.1.2節(jié)問題3中27名女生的樣本數(shù)據(jù),估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25,50,75百分位數(shù).

163.0164.0161.0157.0162.0165.0158.0155.0164.0162.5154.0154.0164.0149.0159.0161.0170.0171.0155.0148.0172.0162.5158.0155.5157.0163.0172.0解:把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得148.0149.0154.0154.0155.0155.0155.5157.0157.0158.0158.0159.0161.0161.0162.0162.5162.5163.0163.0164.0164.0165.0170.0171.0172.0172.0172.0

由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第7，14，21項數(shù)據(jù)，分別為155.5，161，164.據(jù)此估計樹人中學(xué)高一年級女生的第25，50，75百分位數(shù)分別約為155.5，161和164.解：把23名男生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，結(jié)果如下：164.0165.0165.0166.0167.0168.0168.0168.0170.0170.0170.0172.0172.0172.0173.0173.0173.0173.0174.0175.0175.0175.0176.0由23×25%=5.75，23×50%=11.5，23×75%=17.25，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第6，12，18項數(shù)據(jù)，分別為168.0，172.0，173.0.據(jù)此可以估計樹人中學(xué)高一年級男生的第25，50，75百分位數(shù)分別約為168.0，172.0，173.0.

通過增加樣本量，可以減少估計的誤差.2.根據(jù)9.1.2節(jié)問題3中男生的樣本數(shù)據(jù)，請你估計樹人中學(xué)高一年級男生的第25，50，75百分位數(shù).如果要減少估計的誤差，你覺得應(yīng)該怎么做?鞏固練習(xí)課本P204典例解析例3

根據(jù)下列圖表，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù).分析：有些情況下，我們只能獲得整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖與原始數(shù)據(jù)相比，它們損失了一些信息。例如由上表中可以知道在[16.2,19.2)內(nèi)有5個數(shù)據(jù)，但不知道這5個數(shù)據(jù)具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區(qū)間上.解:由頻率分布表可知,月均用水量在13.2t以下的居民用戶所占比例為在16.2t以下的居民用戶所占比例為∴80%分位數(shù)一定位于[13.2,16.2)內(nèi).由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2分組頻數(shù)頻率[1.2，4.2)230.23[4.2，7.2)320.32[7.2，10.2)130.13[10.2，13.2)90.09[13.2，16.2)90.09[16.2，19.2)50.05[19.2，22.2)30.03[22.2，25.2)40.04[25.2，28.2]20.02合計1001.00類似地，由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95典例解析典例解析變式

根據(jù)下圖估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù).先算各組的頻率，解題步驟如上月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077頻率/組距設(shè)80%分位數(shù)為m，則0.77+(m-13.2)×0.030=0.