高中數(shù)學(xué)-探尋解三角形的入手策略

...wd......wd......wd...探尋解三角形的入手策略解三角形知識一直是高考常考考點(diǎn)，雖然這一塊兒只要運(yùn)用公式、正弦定理與余弦定理便能解決很多問題，但是若何針對試題，靈活、準(zhǔn)確、快速地選定相關(guān)定理去入手解題，那么是同學(xué)們很難把握的。本文結(jié)合具體題目，初步探尋一些入手策略，期望對同學(xué)們有所幫助。【正弦定理公式】；【余弦定理公式】；；如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個“方程〞的話，那么解三角形的實(shí)質(zhì)就是把題目中所給的條件按方程的思想進(jìn)展處理，解題時根據(jù)量與所求量，合理選擇一個對比容易解的方程〔公式、正弦定理、余弦定理〕，從而使同學(xué)們?nèi)胧秩菀?，解題簡潔。一、直接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理〔1〕三角公式①在中，兩角的三角函數(shù)值，求第三個角；存在。證明：有解有解即，要判斷是否有解，只需。〔2〕正弦定理①在中，兩角和任意一邊，解三角形；②在中，兩邊和其中一邊對角，解三角形；〔3〕余弦定理①在中，三邊，解三角形；②在中，兩邊和他們的夾角，解三角形。直接運(yùn)用正弦定理、余弦定理的上述情況，是我們常見、常講、常練的，因此，在這里就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看！二、間接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦定理〔1〕齊次式條件〔邊或角的正弦〕假設(shè)題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化；有些題中沒有明顯的齊次式，但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適用。1.一樣角齊次式條件的弦切互化【例】在中，假設(shè)，，求。【解析】無論是條件中的，還是都是關(guān)于一個角的齊次式。是關(guān)于的一次齊次式；是關(guān)于的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。由；由或；在中，，且。代值可得：①當(dāng)，時，；②當(dāng)，時，〔舍去〕。2.不同角〔正弦〕齊次式條件的邊角互化【例】在中，假設(shè)，且，求的面積。【解析】條件是關(guān)于不同角正弦的二次齊次式。因此，我們利用正弦定理將角化為邊，然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。由；顯然這個形式符合余弦定理的公式，因此，可得。又因?yàn)?，所以?.不同邊齊次式條件的邊角互化【例】的內(nèi)角的對邊分別為。，，求?！窘馕觥織l件是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角，然后由將不同角轉(zhuǎn)化為同角,利用化一公式求解。由，又，，可得：，運(yùn)用化一公式得。4.邊角混合齊次式條件的邊角互化①邊角混合——邊為齊次式【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求?！窘馕觥織l件是邊角混合——關(guān)于不同邊的一次齊次式，由于所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化為切求解。由，又，那么。②邊角混合——角〔正弦〕為齊次式【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，，求?！窘馕觥織l件是邊角混合——角〔正弦〕為不同角的一次齊次式。因此，我們將角的正弦化為邊，然后根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。由，由于，我們可以得到：，顯然這個形式符合余弦定理公式，因此，可得。從而得出。③邊角混合——邊、角〔正弦〕都為齊次式【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求。【解析】條件是邊角混合——邊、角〔正弦〕各為一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。由，顯然這個形式符合余弦定理公式，因此，可得。從而得出。5.非三角形內(nèi)角正弦但可化為角〔正弦〕齊次式【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求證：的三邊成等比數(shù)列。【解析】條件顯然不是齊次式，并且角也不全是三角形的內(nèi)角。因此，首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角，然后再往齊次式化利用正弦定理求解。由，只要將變換為，題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦的二次齊次式：?！?〕不同邊的平方關(guān)系〔余弦定理〕假設(shè)題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可以選用余弦定理邊角互化，在上面的一些情況中，有利用正弦定理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題。【例】的內(nèi)角的對邊分別為，且，求?！窘馕觥織l件含有不同邊的平方關(guān)系，形式顯然符合余弦定理公式。由。〔3〕存在消不掉的正弦、余弦值〔兩定理同時使用，邊角互化〕假設(shè)題目條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi)角正弦、余弦，可以同時使用正弦、余弦定理邊角互化，要么都化為角〔正弦、余弦〕，要么都化為邊?！纠吭谥校?，且，求?！窘馕觥坑深}目中條件可得，接下來再利用余弦定理可得，又，，所以或。因?yàn)?。解三角形運(yùn)用的原