《理論力學(xué)教案》

理論力學(xué)

教案

《理論力學(xué)》課程基本信息

（一）課程名稱：理論力學(xué)

（二）學(xué)時(shí)學(xué)分：每周4學(xué)時(shí)，學(xué)分4

（三）予修課程：力學(xué)、高等數(shù)學(xué)

（四）使用教材：金尚年、馬永力編著《理論力學(xué)》，第二版.，北京：高等教育出版社，

2002年7月，面向21世紀(jì)課程教材。

（五）教學(xué)參考書：

1.周衍柏《理論力學(xué)教程》（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。

2淳B士望《理論力學(xué)》上、下冊(cè)，北京：高等教育出版社，1982。

3.梁昆森《力學(xué)》上、下冊(cè)，北京：人民教育出版社，1979。

（六）教學(xué)方法：課堂講授，啟發(fā)式教學(xué)

（七）教學(xué)手段：傳統(tǒng)講授與多媒體教學(xué)相結(jié)合

（八）考核方式：閉卷考試占總成績(jī)70%,平時(shí)作業(yè)成績(jī)占30%

（九）學(xué)生創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力的培養(yǎng)方法：在課程講授過程中注意采用啟發(fā)式教學(xué)手段,

將基本的概念和規(guī)律講清、講透，而將一些具有推廣性的問題留給學(xué)生思考，以此來(lái)提高

學(xué)生分析問題、解決問題的能力。并且在課堂講授時(shí)多聯(lián)系實(shí)際的力學(xué)問題，以此來(lái)提高

學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

（十）其他要求：每堂課后布置適量的課后作業(yè)并定期批改、檢查和給出成績(jī)，這部分成

績(jī)將占期末總成績(jī)的30%o

緒論

一：《理論力學(xué)》課程的內(nèi)容：該課程是以牛頓力學(xué)和分析力學(xué)為主要內(nèi)容的力學(xué)理論，

是理論物理的第一門課程。是從物理學(xué)的基本經(jīng)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，借助于微積分等數(shù)學(xué)工具，

推導(dǎo)出關(guān)于物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的整體規(guī)律的一門課程。

二：《理論力學(xué)》與《力學(xué)》的區(qū)別和聯(lián)系

1.內(nèi)容：《理論力學(xué)》包括牛頓力學(xué)和分析力學(xué)，是《力學(xué)》課程的深入和提高；而《力

學(xué)》課程僅講授牛頓力學(xué)，且研究的深度不及《理論力學(xué)》。

2.研究手段：《力學(xué)》是從物理現(xiàn)象出發(fā)，通過歸納總結(jié)出物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

《理論力學(xué)》是從經(jīng)驗(yàn)規(guī)律出發(fā)，借助于數(shù)學(xué)工具，推導(dǎo)出物質(zhì)運(yùn)動(dòng)所滿足的規(guī)律，并通

過實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)該規(guī)律的真?zhèn)危嘏囵B(yǎng)學(xué)生理性思維的能力。

三：本教材的特點(diǎn)：將牛頓力學(xué)和分析力學(xué)穿插在一起講解，可對(duì)比二者在處理力學(xué)問題

時(shí)各自的優(yōu)缺點(diǎn)，并適當(dāng)增加了分析力學(xué)在這門課中的比重。

第一章牛頓動(dòng)力學(xué)方程

教學(xué)目的和基本要求：要求學(xué)生了解牛頓運(yùn)動(dòng)定律的歷史地位，掌握牛頓第二定律在常用

坐標(biāo)系中的表達(dá)式和使用方法；熟練掌握運(yùn)用運(yùn)動(dòng)微分方程求解并討論力學(xué)問題的方法；

理解質(zhì)點(diǎn)系、質(zhì)心、動(dòng)量、角動(dòng)量和能量的概念；熟練掌握三個(gè)基本定理、三個(gè)守恒定律

的內(nèi)容和它們的適用條件，以及應(yīng)用它們求解問題的方法步驟；了解研究變質(zhì)量物體運(yùn)動(dòng)

的指導(dǎo)思想和處理方法。

教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握牛頓運(yùn)動(dòng)定律，動(dòng)量、角動(dòng)量、能量定理以及運(yùn)用這些定理解決力學(xué)

問題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：如何講清牛頓第二定律、三個(gè)守恒定律在具體力學(xué)問題中的應(yīng)用方法。

§1.1牛頓的《原理》奠定了經(jīng)典力學(xué)的理論基礎(chǔ)

一：經(jīng)典力學(xué)的理論基礎(chǔ)一一牛頓于1687年發(fā)表的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，簡(jiǎn)稱《原理》,

是牛頓在總結(jié)伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛頓提

出了著名的力學(xué)三定律和萬(wàn)有引力定律，并闡述了關(guān)于時(shí)間、空間的基本概念和區(qū)別相對(duì)

運(yùn)動(dòng)和絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的思想。

在物理學(xué)中將以《原理》為依據(jù)的力學(xué)稱為經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)。

-：經(jīng)典力學(xué)的物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀。

1.物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀在力學(xué)中的重要性。

力學(xué)研究的是物體的空間位形隨時(shí)間的變化規(guī)律，因此要建立力學(xué)的理論體系首先就要

對(duì)什么是物質(zhì)、時(shí)間、空間和運(yùn)動(dòng)有科學(xué)的認(rèn)識(shí)和明確的規(guī)定。

2.物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀的發(fā)展歷史：亞里士多德，笛卡爾等。

3.牛頓力學(xué)的物質(zhì)觀、時(shí)空觀及運(yùn)動(dòng)觀。

（1）物質(zhì)觀：以古希臘原子論為基礎(chǔ)，認(rèn)為世界是由原子構(gòu)成，原子間的作用力構(gòu)成萬(wàn)

物的運(yùn)動(dòng)。

（2）時(shí)空觀：“絕對(duì)的、真正的、數(shù)學(xué)的時(shí)間自身在流逝著，而且由于其本性而在均勻地,

與其他任何事物無(wú)關(guān)地流逝著”，即時(shí)間是一維的、均勻的、無(wú)限的，與空間和物質(zhì)無(wú)關(guān)。

牛頓還認(rèn)為在宇宙中存在著絕對(duì)的、三維的、均勻的和各向同性的絕對(duì)空間。在絕對(duì)空間

中可取這樣的坐標(biāo)系：原點(diǎn)靜止于絕對(duì)空間中，坐標(biāo)軸的方向一經(jīng)選定就不再改變，那么

這個(gè)坐標(biāo)系就代表了絕對(duì)空間。物體相對(duì)于該坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)即為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)。一切相對(duì)于絕

對(duì)空間做勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系慣性參考系。

（3）運(yùn)動(dòng)觀：牛頓第三定律和力學(xué)相對(duì)性原理，它們可以看成是力學(xué)的最高原理。另外

還包括萬(wàn)有引力定律。

此外在《原理》一書中牛頓還明確定義了動(dòng)力學(xué)理論所必需的一系列完整的輔助概念，

發(fā)明了微積分，將力學(xué)原理與數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)，使力學(xué)成為了嚴(yán)密的科學(xué)理論。

三：牛頓運(yùn)動(dòng)三定律

1：運(yùn)動(dòng)三定律：

第一定律：一個(gè)物體，若沒有外力影響使其改變狀態(tài)，則該物體仍保持其原來(lái)靜止的或勻

速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。

第二定律：運(yùn)動(dòng)的變化，與所加的力成正比，其方向?yàn)榱ψ饔玫姆较颉?/p>

第三定律：作用恒與其反作用相等，方向則相反。

其中最重要的是第二定律，其原始的數(shù)學(xué)表達(dá)式為a里=戶（1.1）

dt

如果將物體質(zhì)量m看成常量，上式可改寫為〃?更=戶或加以=戶（1.2）

dtdr

2：力學(xué)相對(duì)性原理：在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)，都不能決定這一系統(tǒng)是靜止的還

是在作勻速直線運(yùn)動(dòng)。

意義：根據(jù)這一原理，相對(duì)于絕對(duì)空間做勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止的參考系力學(xué)規(guī)律完全相同,

這樣將牛頓定律的適用范圍從絕對(duì)空間推廣到慣性系。因牛頓設(shè)想的絕對(duì)空間實(shí)際上是不

存在的，這樣就為牛頓力學(xué)的使用找到了一個(gè)理論依據(jù)。

3：伽利略變換。設(shè)參考系S和S，均為慣性系且S，相對(duì)于S以勻速u運(yùn)動(dòng)，那么這兩個(gè)參

r=7'+ilt

考系之間的時(shí)空坐標(biāo)的變換關(guān)系為：，（1.3）

t=t

將上式代入（1.2）式可見牛頓第二定律在伽利略變換下保持不變，因此力學(xué)相對(duì)性原理又

可表述為：力學(xué)定律對(duì)于伽利略變換保持不變。

四：牛頓運(yùn)動(dòng)三定律的局限性：適用于低速宏觀物體。

五：牛頓的認(rèn)識(shí)論、方法論簡(jiǎn)介：簡(jiǎn)單性，因果性，同一性和真理性。

簡(jiǎn)單性：科學(xué)上正確的東西都是簡(jiǎn)單的，如果同一個(gè)問題可用簡(jiǎn)繁不同的方法得到相同的

結(jié)論，應(yīng)該選用簡(jiǎn)單的方法。

因果性(決定論)：就是由一定的前因按照自然規(guī)律必然可確定唯一的結(jié)果，反之由一定

結(jié)果必然可確定唯一的原因。這在量子力學(xué)出現(xiàn)之前一直是物理學(xué)最牢固的一個(gè)信條。

統(tǒng)一性：指《原理》中所闡述的定律和物質(zhì)觀等在沒有證明它的局限性和錯(cuò)誤性之前應(yīng)該

認(rèn)為它對(duì)整個(gè)自然界都是普遍適用的。

真理性：就是承認(rèn)的相對(duì)性和絕對(duì)性。

六：本節(jié)重點(diǎn)：了解力學(xué)的發(fā)展歷史，掌握牛頓運(yùn)動(dòng)三定律。

§1.2牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達(dá)式

牛頓運(yùn)動(dòng)定律的核心是第二定律，本節(jié)將就其數(shù)學(xué)表達(dá)式做深入探討。

一：牛頓第二定律：“1竺：2=尸(2.1)

dt

在經(jīng)典力學(xué)中物體的m為常數(shù)，牛頓定律變?yōu)椋簷C(jī)更=元或機(jī)盤=戶。

dtdr

一般情況下F為坐標(biāo)、速度和時(shí)間的函數(shù)，即戶=戶優(yōu)元a(2.2),所以牛頓第二定律可

進(jìn)一步表示為：rnr==F(r,r,t)(2.3)

dt

此式為二階微分方程，在具體求解力學(xué)問題時(shí)，需要將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)量方程。根據(jù)坐標(biāo)系的

不同，牛頓第二定律有以下表達(dá)式。

二：牛頓第二定律在常用坐標(biāo)系中的表達(dá)式：

1.直角坐標(biāo)系：空間任一點(diǎn)P位置可用x、y、z三個(gè)參數(shù)來(lái)表示，用i、j、k分別表示沿x

軸、y軸、z軸的單位矢量，則空間任一點(diǎn)P的位置矢量可表示為：7=xi+yj+zk(2.4)

進(jìn)一步可得v=r=xi+討+決及/=>=京+yj+zk(2.5)

mx=Fx(x,y,z;x,y,z,t)

牛頓第二定律的可表示為：，my=Fv(x,y,z;x,y,z,t)(2.6)

mi=Fz(x,y,z;x,y,z,t)

2.平面極坐標(biāo)系：平面上任一點(diǎn)P的位置可用參數(shù)人0來(lái)表示。和e,分別表示矢徑r

增加方向和極角。增加方向的單位矢量(如圖1.1),它們的方向隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而改變，則

位矢尸=.,.(2.9)。由圖1.1可將和e?化為i、jy|

的函數(shù)：5=cos應(yīng)+sin&,a=-sin優(yōu)'+cos。，

二de,.dO*‘

進(jìn)一步得4=而==&。(2.7),-，pB

d6atr、/

e

ded60篙11

g=一電(2.8)圖I.I

duat

2

接著可求出0=7=歸+廣企a(2.10),a=r=(r-r0)er+(r0+2r<9)^

1

m(r-rd)=Fr

牛頓第二定律的可表示為：/方c.力、「

m(r6+2rt))-Fg

3.球坐標(biāo)：空間任一點(diǎn)P的位置可用參數(shù)r、0、小來(lái)表

示，er、e9>eo分別表示r、0、4)三個(gè)參數(shù)增加方

向的單位矢量(如圖1.2),它們的方向隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)-0P

而改變。將e「、ee和e0化為i、j、k的函數(shù)，如0,6

er=sinSeos夕+sin8sin夕+cos戌，

訪=cos￡cos夕+cossin——sin旅

馬=可、防=—sin向+cos.),進(jìn)一步可求出

er=0eo+sin。痛1tl

部=-甌+cos6局，結(jié)合了=反萬(wàn)=>=國(guó)+廠企。+4$加密可得

司=-sin。地「一cos。胸9

22

m(r-r鏟-r^sin0)=Fr

2

牛頓第二定律的可表示為:<m(rd+2i-3-r0sinOcosO)-Fo(2.21)

m(ripsin0+Ir^sinO+cosO)=F0

4.柱坐標(biāo)：空間任一點(diǎn)P的位置可用參數(shù)R、4>、z來(lái)表示,en、e。、k分別表示相

應(yīng)的單位矢量(如圖1.3)oeR、e。的方向隨著P點(diǎn)

的運(yùn)動(dòng)而改變，而k的大小方向均不變，參考平面極

坐標(biāo)可得：r=ReR+zk(2.23)

v=r=+1痣+zk(2.24)

牛頓第二定律的表達(dá)式為：《

m(R-R^)=FR圖1.3

-m(R^+2R^>)=(2.25)

mz-F,

5.自然坐標(biāo)和內(nèi)稟方程：以上坐標(biāo)系中其單位矢量或者與運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，或者僅與質(zhì)點(diǎn)的位置

有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)的速度(方向)均無(wú)關(guān)。還有一種自然坐標(biāo)，其單位矢量的方向由任一時(shí)

刻速度的方向決定，相應(yīng)的牛頓動(dòng)力學(xué)方程被稱為本性方程或內(nèi)稟方程。

(1)平面自然坐標(biāo)：用已、當(dāng)分別表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的切線和法線方向的單位矢量(如圖

1.4)即與任一時(shí)刻速度V同向，顯然et、e?二者jyp，\e'

cnt

為變失塞1,有/=府(2.26)八

、△,6嗚

囪可得與、小一6+A6

de,_ds_v及口耳

另由

dtdtdsdtp\dt

01一

一G/口一v2_(2.27)圖L4

a=-—et+-C”

It1p

dv

m—=Ft

d

進(jìn)一步亙「得牛頓第二定律的表達(dá)5弋為：\i(2.28)

J=F.

P

(2)空間自然坐標(biāo)：

z]

①基本概念：密切面：PPi與PP2所構(gòu)成的極限平面。

et：在密切面內(nèi)沿軌道曲線切線方向的單位矢量，其方向，

_PiP

沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向。o

en：在密切面內(nèi)與伍垂直的單位矢量，其方向指向曲線

的凹側(cè)。

圖1.5

主法線：與en同向的法線。eb：由et義當(dāng)決定的單法平面

位矢量。次法線：與et,同向的法線。法平面：由當(dāng)、

主法線次法線

伍構(gòu)成的平面。直切平面：由e,、e”構(gòu)成的平面。密0切弘平面I皿古直句切擊平右面

②用仇、備、氏分別表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的切線、主法l

ep

en\b

線和次法線方向的單位矢量，et與任一時(shí)刻速度V同——本切線

向，顯然仇、當(dāng)、a三者均為變矢量。圖L6

類似于平面自然坐標(biāo)，利用0=應(yīng)，孚=上瓦,五=包耳+上/得牛頓第二定律的表達(dá)式

atpatp

“?

一-

2刈

L-

(2.29)

夕

乙-

(3)適用范圍：適用于運(yùn)動(dòng)軌道已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，或用于介質(zhì)阻力不能忽略的運(yùn)動(dòng)。

三：本節(jié)重點(diǎn)：掌握直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、平面曲線自然坐標(biāo)系中牛頓

第二定律的分量表達(dá)式。

§1.3質(zhì)點(diǎn)系

牛頓運(yùn)動(dòng)定律是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)提出的，對(duì)于不能看成質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)體系，則必須重新分析討論。

-：質(zhì)點(diǎn)系：(1)定義：由兩個(gè)或兩個(gè)以上相互聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)所組成的力學(xué)體系為質(zhì)點(diǎn)系，

質(zhì)點(diǎn)間的聯(lián)系體現(xiàn)在質(zhì)點(diǎn)間的相互作用對(duì)發(fā)生作用的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均有影響。

(2)實(shí)例：A：太陽(yáng)---九大行星

]z

B：m、m'通過輕繩聯(lián)系在一起，如圖1.5。

前者是九個(gè)單質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)問題，后者是兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系。、%

<b

o1

(3)結(jié)論：A：不能以質(zhì)點(diǎn)個(gè)數(shù)的多少來(lái)推斷是否為質(zhì)點(diǎn)系，

而應(yīng)該看質(zhì)點(diǎn)之間的作用力是否對(duì)發(fā)生作用的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均有，

.小

影響。B:內(nèi)力和外力的區(qū)分。圖1”

二：質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)方程

1.一般方法：設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成一質(zhì)點(diǎn)系，由牛頓第二定律可得：

加弓=E(片/J),i=l，2...n(3.1)?共3n個(gè)標(biāo)量方程。

若質(zhì)點(diǎn)系受內(nèi)部或外界的約束共k個(gè)，則Fj中會(huì)含由k個(gè)未知的約束力Fn”則可得k個(gè)

約束方程：〃Q,f)=O,j=l,2…k(3.2)

聯(lián)立以上共3n+k個(gè)方程可求出3n+k個(gè)未知數(shù)。

2.一般方法的困難性和解決方法：以上方法需求解的方程個(gè)數(shù)太多，可借助于動(dòng)量、角動(dòng)

量、能量定理簡(jiǎn)化求解過程。

三：本節(jié)重點(diǎn)：正確理解質(zhì)點(diǎn)系的概念和力學(xué)問題的處理方法。

§1.4動(dòng)量定理

一：動(dòng)量及動(dòng)量定理

1.質(zhì)點(diǎn)：定義動(dòng)量為P=mv,由牛頓第二定律可得動(dòng)量定理為4=R，若F=0,則質(zhì)點(diǎn)

dt

的動(dòng)量P=C,即動(dòng)量守恒。

注：雖然這里由牛頓第二定律推出動(dòng)量定理，但后者的適用范圍超過前者，所以有些場(chǎng)合

將牛頓第二定律看成動(dòng)量定理的推論。

2.質(zhì)點(diǎn)系：

(1)動(dòng)量：定義質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為區(qū)=Za=￡加，

(2)動(dòng)量定理：對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)量定理可得：

也=耳“)+邛)，i=l,2...n.(4.3)

dt

其中E")表示質(zhì)點(diǎn)所受的合外力，E")表示質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)力的合力，且用”=反耳，將(4.3)

式共n個(gè)方程相加在一起，可得：

工彗=￡臚評(píng)'(44)

考慮到片=舄，所以上式中工型）=￡力弓=0,這樣（4.4）可簡(jiǎn)化為

i博

而s(4.6)

dt

上式即為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理，它表示質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的變化率等于體系所受的的合外力，與內(nèi)

力無(wú)關(guān)。

—：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量守恒：

在動(dòng)量定理（4.6）式中如果戶⑷=0,則可得8=亍，即質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量守恒。

當(dāng)足4=0得乙=C,即動(dòng)量在某一方向上（如x方向）的分量守恒，如發(fā)射炮彈的問題。

當(dāng)即―0時(shí)，則可得月。如碰撞問題。

三：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:

1.質(zhì)心：定義質(zhì)心的位矢底為干=①〃，力=匯一力（4.9）

則有R=￡喀="￡什％="C（4.10）

即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量可看成將質(zhì)量集中在質(zhì)心上并以質(zhì)心的速度運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所具有的動(dòng)量。

2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：

M

將R=myc代入動(dòng)量定理至=即）可得ms以=即'或aa,=F（4.11）

5cdtdt

上式即為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，它說明質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)就象一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)一樣，此質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于

質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，作用在此質(zhì)點(diǎn)上的力等于質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力。

四：本節(jié)重點(diǎn)：掌握質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。

§1.5角動(dòng)量定理

一：.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理

1.角動(dòng)量

定義質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）L為位矢r與動(dòng)量萬(wàn)=加的矢量積，即￡=尸、加（5.1）

2.角動(dòng)量定理：^=rxF=M,即質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)所受的力矩。

dt

推導(dǎo)：由角動(dòng)量的定義式L=rXp,兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：

—--xp+rx—-rxmv+rxF,因Fxw0=O,又定義力矩=最終可得角動(dòng)

dtdtdt

量定理穿=尸xR=X?（5.2）

3.角動(dòng)量守恒：如果質(zhì)點(diǎn)所受的力矩M=0,則可得L=C,即如果質(zhì)點(diǎn)所受的力矩為零，

則其角動(dòng)量守恒。

注：M、L必須是針對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)或慣性系的同一點(diǎn)而言。

4.應(yīng)用：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)，易得戶=房.，M^rxF^O,則有

L=rerx（mret.+m疾=mr0k=C

二：.質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量和角動(dòng)量定理

1.角動(dòng)量：定義質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量L為各質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量Lj的矢量和，即￡=汀江o

2.角動(dòng)量定理：

穿=X斤x=Z而f=〃⑻，即質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受的外

力矩之和，與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)。

推導(dǎo)：由動(dòng)量的定義式Z=ZF乙M4目，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得：

4=E穿xmy+Z斤*包浮=ZFx響=E>+工不可），

考慮到上式中￡不?。┑?ZZ訃廉=。,

評(píng)i=l戶i

最終可得角動(dòng)量定理籌=Z斤Xf=Z/⑷（5.5）

3.角動(dòng)量守恒：同質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒一致，當(dāng)￡而『=0時(shí)，有￡=?,即角動(dòng)量守恒。

以上討論的均是相對(duì)于慣性系的坐標(biāo)原點(diǎn)而言，但在處理實(shí)際的力學(xué)問題時(shí)，往往選取

相對(duì)于某一點(diǎn)P的L、M比選取相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的更方便，下面我們就專門討論這種情況。

4.相對(duì)于慣性系中任一點(diǎn)P的角動(dòng)量定理

定義Zp=Z辦/嘲，而「=￡邛x中），

參考圖1.6利用片=可+萬(wàn)，，E===

Z=%xZsE+Z型肛E=7xR+LPZ|

mi

A

同理可得而⑷=而「+辦X戶。），將代入角動(dòng)量定理fi

fi

巫=必（。）可得：-P

fp

dt0

zj/i7—?di,—*.、—*—?

乙X機(jī),"+E〃x*+1=M^rXF(e)=>

psdtpsdtPPp

圖1.9

dL--dL-

--=-v+Mp或一L=-vxmv+M(5.6)

dtPSPdt"''pP

dL-

討論：A：當(dāng)Vp=O時(shí)，P為慣性系中的定點(diǎn)，角動(dòng)量的形式不變,----n=Mo

dtp「

B：VpWO,但Vp與Vc同向，角動(dòng)量的形式不變，—^=Mo

dtP

c：rp=rc,角動(dòng)量的形式不變，牛=而廠

三：質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理

1.質(zhì)心系：以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)且相對(duì)于慣性系做平z'|

動(dòng)的參考系為質(zhì)心系，其坐標(biāo)軸始終平行與慣性系ji

ml-E

中相應(yīng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，多為理論工作者使用。_「VVJ，

h\Fj'1

2.實(shí)驗(yàn)室系：以慣性系為運(yùn)動(dòng)參考的參考系，以前o.y

我們所討論的問題均是在實(shí)驗(yàn)室系中討論的，多為彳’

實(shí)驗(yàn)工作者使用。彳圖1io

3.質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理：

首先定義尸尸，比雙'分別代表質(zhì)心系中的位置矢量，速度，角動(dòng)量，力矩，且有聲=與

dt

（嚴(yán)格來(lái)說應(yīng)為八%詳見第五章），。"以

，而'=Z辦E"）=必。

注：Z'與乙是不同的兩概念，〃=產(chǎn)戶町河，區(qū)與是不同的速度，前者是質(zhì)點(diǎn)在慣性系

中的速度，而后者是質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系中的速度。但是可以證明L'、Lc二者相等。

證明：因生=或+玄，所以有(5.10)

dtdtdt

rr

.\Lc=^rjxmivi=^r\.xm/.v/+^r'/.x/n/.vc.=Z+^mz.r\.xvc(5.11)

?.?ZR甲=0，所以.?.Zc=Z'，接著將q=區(qū).中的乙、”,用『，而替換掉，

dL,

最終可得=/。

~di

四本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握慣性系中的角動(dòng)量定理。

§1.6能量定理

一：質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：T=-mv2^T=-mv2(6.1)

22

2.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：

dT=dW=Fdr(6.2),即作用在質(zhì)點(diǎn)上的力方所做的元功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。

證明：由T=L加鏟等式兩邊求微分可得dT=mvdv=m—dv=m—dr=madf

2dtdt

=dT=戶?df

一段過程：T=J：dT=W=J：后方

二：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

1.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能：

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能為所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和，即T=z?；=zj叱2=zJ河2,(63)

2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理：dT=￡E")?充+Z甘”■在

將動(dòng)能表達(dá)式7=工1加；兩邊取微分"=￡打=y也而］=m變~近=y〃疝斫

dtdt

ndT=Z弓嘰潦+ZE")?斫(6.4)即

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于外力和內(nèi)力所做的元功之和，

注：動(dòng)能的增量與體系的內(nèi)力有關(guān)，這一點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量、角動(dòng)量定理有明顯的區(qū)別。

以上我們只證明了動(dòng)能定理對(duì)慣性系成立，對(duì)于質(zhì)心系是否成立需證明。

3.寇尼希定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能等于質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量集中在質(zhì)心并以質(zhì)心的速度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，再加上各質(zhì)

點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，即T=g加豆%廠(6.5),其中(66)

證明：由T=Zg加：及0=可+%,可得T=g?〃22+gZ叫可2+Z叫啊=

T=~msv；+T',其中用到￡m評(píng)=%￡師;=0。

4.質(zhì)心系中的動(dòng)能定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心系的動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和內(nèi)

力在質(zhì)心系中所做的元功之和，即獷=￡戶詈.d邛+EE⑴?醞'(6.7)

由T=—mv2+T'兩邊取微分可得dT-mvdv+dT'-m^adr+dT①

另由4=ZE")?礪+Z甲?斫=x那?(雹+國(guó)+E型?(戊+用)

聯(lián)立①②且由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理叫q=￡即，,可得dT=ZE(嘰起+z可)■行

三：保守力和勢(shì)能

在動(dòng)能定理中有w=j：戶.力，因戶=同已3。，因此w一般很難直接求出，但可以證

明當(dāng)戶為某一類特殊的力時(shí)，w可方便的求出。

1.保守力:當(dāng)月為某一位置函數(shù)v⑺的梯度即戶(a=-vv⑺時(shí)，該戶⑺被稱為保守力，

此時(shí)戶行)做功與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。

證明：由戶⑺=-VV(7)=-(^：+2^+2^),將上式代入〃卬=廣成可得

dxdydz

avavavdvdv

dW=-(—"一i+—j一+—k一)-(dx一i+一+dz一k)=-(—6/x+—Jy+—Jz)=-JV(r),

dxdydzdxdydz

即4/=-5妤），兩邊積分可得W=「廣成=V（%）-V㈢（6.11）

說明：①可見保守力做功只與始末位置尸0、F有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)的具體路徑無(wú)關(guān)。

②可證明保守力片滿足▽x&7）=0。

③常見的保守力：重力、彈力、萬(wàn)有引力、庫(kù)侖力等。

2.勢(shì)能：當(dāng)某位置函數(shù)V任）滿足同尸）=-VV（不）（6.9）,該函數(shù)V行）被稱為勢(shì)能。它由發(fā)生

相互作用的物體共有，且勢(shì)能為相對(duì)量，當(dāng)給出它的具體數(shù)值時(shí)必須指出勢(shì)能的參考零點(diǎn)。

由1皿="=—4叭尸），可得V行）=—/方?#+V行0）,

3.機(jī)械能守恒：定義動(dòng)能T與勢(shì)能V之和為機(jī)械能E,當(dāng)體系僅受保守力作用時(shí)，可證明

此時(shí)機(jī)械能守恒。

證明：由dT=/?#=—dV=d（T+V）=0=T+V=E=C（6.13）,即機(jī)械能守恒。

4.質(zhì)點(diǎn)系勢(shì)能：因勢(shì)能為標(biāo)量，所以質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能為所有質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能之和，即丫=2匕9），

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受內(nèi)、外力均為保守力時(shí)，V=-J：Z（E"）+E”不+%（6.14）

5.例：計(jì)算受中心力的兩質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能（從略）

四：本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握慣性系中質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理和寇尼希定理以及保守力、勢(shì)能的概念。

§1.7變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程

一：變質(zhì)量力學(xué)問題分類

1.質(zhì)量隨t增加而增加:—>0,例：雨滴

dt

2.質(zhì)量隨t增加而減?。骸?lt;0,例：火箭

dt

以上兩類問題均可用動(dòng)量定理推導(dǎo)出的變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程求解。

二：變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程

1.運(yùn)動(dòng)方程：m-+—（v-u）=F

dtdt

2.推導(dǎo)：t時(shí)刻：m,v,=mv

t+At：m-Am>v+Av；Am、u；=(m-Am)(y+Av)+Amu

醞="2—萬(wàn)i=(m-Am)(v+Av)+Amu-mv=mAv-△m&-u)-AmAv?mAv-Am(y-u)

型=而生=而且+/加*5-口=加變+也行-辦由牛頓第二定律亞=洛

dt'f。\tdt加TOArdtdtdt

最終可得相直+也行一刈=R(7.1)即變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程。

dtdt

注：均是相對(duì)于慣性系的速度，即絕對(duì)速度。

3.密斯?fàn)査够匠蹋杭影?戶+用(7.3)

dt

在上述方程的基礎(chǔ)上，令耳=丘-E為廢氣相對(duì)于火箭的速度，它與/反向。設(shè)以為火箭

前進(jìn)方向上的單位矢量，即可與/同向，則有：vr=u-v=-ver,將上式代入變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)

方程可得：加半+”/,=戶或加”=戶+耳，其中艮=-匕羋叁，為推進(jìn)力。

dtdtdtdt

結(jié)論：要提高火箭的。，需設(shè)法提高及，即提高匕和坐。

三：實(shí)例：設(shè)尸=0,火箭做直線運(yùn)動(dòng)且匕=C,則有加電=-也匕=包=-也,

dtdtvrm

設(shè)機(jī)=/)⑺且"。)=1,則有變=一過=>口=一1/〃/+C,令t=0時(shí)，u=%，可得：

匕f

v=-vInf-\-v^>v=vIn—+%。

r0rm

如令為=0,況為空火箭的質(zhì)量，H為燃料的質(zhì)量，則有v=q打咄尹=2.3v,/〃(/+?J。

結(jié)論：(1)v與匕成正比(2)v與4成正變關(guān)系，且增大匕比增大工的效果好。

機(jī)o叫

四：本節(jié)重點(diǎn)：了解變質(zhì)量運(yùn)動(dòng)方程，掌握「、二對(duì)提高火箭v的影響。

mo

§1.8綜合例題(從略)

掌握例1、例2、例4,了解例3。

本章習(xí)題:1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24>1.29、1.35、1.37。

第二章拉格朗日方程

教學(xué)目的和基本要求：正確理解各種約束的物理意義，掌握判斷力學(xué)體系自由度的方

法和選擇廣義坐標(biāo)的基本原則；能應(yīng)用虛功原理求解處于靜平衡的力學(xué)體系的各類問題；

掌握運(yùn)用廣義坐標(biāo)、廣義速度和時(shí)間來(lái)表示拉格朗日函數(shù)的方法；能熟練地用理想、完整

體系拉格朗日方程建立力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程。

教學(xué)重點(diǎn)：在理解各種約束、自由度的物理意義的基礎(chǔ)上，熟練掌握應(yīng)用拉格朗日方

程求解力學(xué)問題的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：約束、自由度的物理意義及拉格朗日方程在力學(xué)問題中的應(yīng)用。

§2.1理想約束、達(dá)朗貝爾方程

-：牛頓動(dòng)力學(xué)方程的一般解法

1.一般解法：設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受到k個(gè)約束的質(zhì)點(diǎn)系，則有3n個(gè)未知的坐標(biāo)（七,）

和k個(gè)未知約束力，為求解這3n個(gè)未知的坐標(biāo)，解方程的一般步驟如下:

消去上個(gè)未矯，、

牛頓第二定律一＞3n個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程+k個(gè)約束方程---------------3n個(gè)微分方

利脈個(gè)約束方程消去個(gè)不獨(dú)立的坐標(biāo)、

程------------------------------------------------------＞（3n-k）個(gè)微分方程?解出個(gè)未知

利用k個(gè)約束方程

的（3n-k）獨(dú)立坐標(biāo)＞解出全部3n個(gè)未知坐標(biāo)和k個(gè)未知約束力。

2.實(shí)例：以圖1.7的力學(xué)問題為例（從略）

3.局限性：當(dāng)n、k的個(gè)數(shù)較大時(shí)，求解方程將十分困難甚至無(wú)法完成。因此當(dāng)n較大時(shí)

如果我們能直接寫出（3n+k）個(gè)不含未知約束力和非獨(dú)立坐標(biāo)的方程，求解方程的過程將

大大簡(jiǎn)化，。這種方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意義還

超出了力學(xué)的范疇而擴(kuò)展到物理學(xué)別的領(lǐng)域。

二：虛位移、約束和虛功

1.實(shí)位移和虛位移

實(shí)位移：質(zhì)點(diǎn)按不=4”力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，在沒時(shí)間內(nèi)實(shí)際所發(fā)生的位移，用方表示。

以前我們所討論的位移均為實(shí)位移。

虛位移：想象在某一時(shí)刻t,質(zhì)點(diǎn)所發(fā)生的約束所允許的無(wú)限小的位移為虛位移，用人

表示。它不是質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的位移，因而不需要時(shí)間，只要滿足約束條件即可。

6的運(yùn)算法則：6被稱為變分符號(hào)，它作用在坐標(biāo)和函數(shù)上時(shí)與微分符號(hào)d完全相同，

如：3(xy)-&c+Sy,S(x2)=2x&<>但作用于時(shí)間時(shí)為零即"=0,這一點(diǎn)與d不同。

2.約束：力學(xué)體系在運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的某些規(guī)律，約束在物理上均可用約束方程的形式確

切地表達(dá)出來(lái)。

例：z=0,限制質(zhì)點(diǎn)在xy平面上運(yùn)動(dòng)；z=0且x'+yJ。，限制質(zhì)點(diǎn)在xy平面上做圓周運(yùn)動(dòng)。

3.實(shí)位移和虛位移地關(guān)系

體系受穩(wěn)定約束(約束條件不隨時(shí)間而變化，約束方程中不含時(shí)間t)時(shí)，實(shí)位移是眾

多虛位移中的一個(gè)。

體系受不穩(wěn)定約束(約束方程中含時(shí)間t)時(shí)，實(shí)位移與虛位移無(wú)直接關(guān)系。

三：虛功：(想象的)力戶在質(zhì)點(diǎn)的虛位移討上所做的功為虛功，SW^F-8r(1.1)

四：理想約束：

1.定義：所有約束力(內(nèi)，外約束力)在體系的任意虛位移上所做的虛功之和為零，則

這種約束為理想約束。可用下式表達(dá)該約束的特點(diǎn)：￡及廠斫=0(1.2)

瓦表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的內(nèi)、外約束力之和。

2.常見的理想約束：

(1)質(zhì)點(diǎn)沿光滑曲面(曲線)運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的約束。

因艮沿曲面法線方向而加沿曲面切線方向即有艮，加，所以NV=A?涼=()。

(2)質(zhì)量可忽略的剛性桿所連接的兩質(zhì)點(diǎn)。P]

如圖2.3所示，以，屏2為作用在R、P?上的約束力，其方向"rP2

在PR的連線方向上，由牛頓第三定律可得用vi=-及2,因此

硬=及「折+及2,%=及「蘇，8=訓(xùn)—西=蔗。對(duì)于剛

圖2.3

性桿因r為常數(shù)，所以疔_LF=>蘇，耳，最終可得3卬=及「蘇=0

（3）兩個(gè)剛體以光滑表面相接觸。

埸，

用胤，用2表示兩個(gè)剛體相互之間的作用力和反作

PP3r1-6⑸

用力，則凰+及2=0。由于兩個(gè)剛體之間有相對(duì)滑動(dòng)，到'

因此斫-兩工。但可以證明斫-兩在接觸點(diǎn)的公切面圖2.4

內(nèi)，而及”艮2垂直于公切面，因止匕破=瓦?（何—可）=0。

（4）兩剛體以完全粗糙的表面相接觸。

因剛體在這種約束下只能做純滾動(dòng)，即耳-q=0,約束條件為斫-離=0,因此有

刖=及「西+及2?麗=艮1?（所一決）=0

（5）兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)以柔軟不可伸長(zhǎng)的繩子相連接。

可用類似于（2）的方法證明。

實(shí)際的力學(xué)體系可看成由剛體和質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，只要相互之間的聯(lián)結(jié)是剛性的，接觸面是光

滑或絕對(duì)粗糙的，那么該體系所受的約束都可看成理想約束。如果存在摩擦力F,,可將其

看成主動(dòng)力，則力學(xué)體系所受的約束仍為理想約束。

五：達(dá)朗貝爾方程：2國(guó)-犯彳卜沅=0（1.4）

證明：設(shè)體系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成，E為主動(dòng)力，瓦為約束力。

由牛頓第二定律：=R+市即i=l，2,…，n

將n個(gè)方程分別乘以訊后相加、移項(xiàng)可得2E+屏-欣）?胡=0

=>E一班釘.胡+Z屏,比=°n2?E-就）嗡=。。最后一步用到了理想約束的

特點(diǎn)￡屏?胡=0，在該方程中約束力瓦不再出現(xiàn)。

六：例：用達(dá)朗貝爾方程寫出圖1.7所示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程（從略）

七：本節(jié)重點(diǎn)：重點(diǎn)掌握虛位移、虛功、理想約束等物理概念，掌握用達(dá)朗貝爾方程求

解簡(jiǎn)單力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程的方法。

§2.2完整約束廣義坐標(biāo)

達(dá)朗貝爾方程中雖然不含艮,，但仍有非獨(dú)立坐標(biāo)，對(duì)于一種完整約束，可在達(dá)朗貝爾

方程的基礎(chǔ)上直接寫出不含耳,、非獨(dú)立坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程。

一：完整約束

1.定義：約束條件只和體系中各質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)號(hào)有關(guān)，即約束方程中只含5和t,不含力了，

約束方程為"=0(2.1)

例：繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)管中的質(zhì)點(diǎn)，雙單擺

2.性質(zhì)：理論上可證明，凡是完整約束都可以通過約束方程用代數(shù)的方法將非獨(dú)立坐標(biāo)消

去，每一個(gè)約束方程可以消去一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)。

如果n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的力學(xué)體系受到k個(gè)完整約束，約束方程為

力/，弓.￡J)=Oj=l,2…，k,(2.2)

獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為s=3n-k(2.3)

3.自由度：力學(xué)體系中獨(dú)立坐標(biāo)的個(gè)數(shù)s被稱為體系的自由度。

二：非完整約束

1.定義：如果體系所受的約束不能由約束方程直接消去非獨(dú)立坐標(biāo)，該約束為非完整約束。

2.分類：非完整約束包括運(yùn)動(dòng)約束(微分約束)和可解約束兩類。

(1)運(yùn)動(dòng)約束：約束方程中除了含有斤和t外還含有片關(guān)于時(shí)間t的一次或高次導(dǎo)數(shù)小

.v、n/2T

00L0,0

圖2.7圖2.8

同等，約束方程為，其五年,切=0。在動(dòng)力學(xué)方程未解出之前，無(wú)法通過約束方程將非獨(dú)立

坐標(biāo)消去。

如圖2.7輪子在xy平面上做曲線純滾動(dòng)，確定輪子在空間的位置需要x、y、。和自轉(zhuǎn)角

小，但由于受到純滾動(dòng)的約束輪心的速度u=和自轉(zhuǎn)角速度j之間存在約束u=4o

另由圖2.8可得比=ycosOj=vsin0,將約束方程v=4代入以上兩式可得

dx-rsin田°=0（24）

dy+rcosGd（/）-0

上式表明4個(gè)坐標(biāo)中獨(dú)立的坐標(biāo)只有兩個(gè)，但在動(dòng)力學(xué)方程未解出之前，我們無(wú)法通過積

分的方法利用（2.4）式將不獨(dú)立的坐標(biāo)消去。但可證明如果輪子做直線滾動(dòng)即0為常數(shù)

則可以將不獨(dú)立坐標(biāo)消去。

（2）可解約束（單面約束）：約束方程中雖不含斤的微分項(xiàng)，但方程中含有不等式。顯然

由于方程中存在不等式，所以也無(wú)法用代數(shù)法通過約束方程消去非獨(dú)立坐標(biāo)，

例：用長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩子將質(zhì)點(diǎn)懸掛于固定點(diǎn)，x2+y2+z2^L%

這種約束通常將其分為兩種約束，增加一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，這樣可解約束將變?yōu)椴豢山饧s束,

也就是成為了完整約束。

綜上所述，非完整約束一般專指微分約束。

此外，約束還可根據(jù)約束方程中是否含有時(shí)間t將約束分為穩(wěn)定、不穩(wěn)定約束。

三：廣義坐標(biāo)：

1.定義：建立一個(gè)力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)方程所需要的獨(dú)立坐標(biāo)被稱為廣義坐標(biāo)。一個(gè)力學(xué)

體系的廣義坐標(biāo)一旦確定了，其在空間的位形也就確定下來(lái)。

廣義坐標(biāo)與自由度的關(guān)系：完整約束其廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)與自由度個(gè)數(shù)相等。非完整約束

其廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)可大于自由度個(gè)數(shù)。可簡(jiǎn)單地認(rèn)為自由度比廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性更強(qiáng)，獨(dú)

立的也更徹底。在本書以后的討論中均限于完整約束，所以可認(rèn)為廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)等于自

由度個(gè)數(shù)。

2.選?。簭睦碚撋现v，可選取任意能反映力學(xué)體系位形的相互獨(dú)立的s個(gè)變量作為廣義

坐標(biāo)，不僅僅局限于傳統(tǒng)意義上的反映位置的長(zhǎng)度坐標(biāo)和角度等，如能量E,動(dòng)量P等。

3.位形空間：由s個(gè)廣義坐標(biāo)所構(gòu)成的一個(gè)抽象的s維空間，此空間的任一點(diǎn)代表力學(xué)

體系的一種可能的位形。

四：總結(jié)：掌握完整約束和自由度、廣義坐標(biāo)的物理意義。

§2.3理想、完整約束體系的拉格朗日方程

對(duì)于理想、完整約束體系，在選取合適的廣義坐標(biāo)后可直接由廣義坐標(biāo)寫出體系的動(dòng)

力學(xué)方程一拉格朗日方程，該方程中是不含艮,.、非獨(dú)立坐標(biāo)的動(dòng)力學(xué)方程。

一：理想、完整約束拉格朗日方程：

1.推導(dǎo)過程：設(shè)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的受k個(gè)約束的力學(xué)體系，如所受約束為理想、完整約束,

則廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為s=3n-k。取qi，q2…qs為廣義坐標(biāo),則有斤=.久/)

=＞玩=不空-的a，將其代入達(dá)朗貝爾方程E-%其卜沅=0消去近化簡(jiǎn)后可得：

一力E-欣卜等］.況=0,因上式中的％相互獨(dú)立，要使該式恒成立必有：

a=li=I的a

之(R-m京)-四-=0,a=1,2..s或者寫成之府.紅=2,,a=l,2..s.(3.3)

仁1M3%

其中2=之后.亙_,a=l,2..s.(3.4),2被稱為廣義力，與廣義坐標(biāo)％相對(duì)應(yīng)。

號(hào)的a

方程(3.3)左邊可變成：汽欣.亙=4茂欣?匹卜之欣?包_(3.5)

J風(fēng)dt"dqadqa

另由丁=之；網(wǎng)