比例線段與相似性質(zhì)和判定

比例線段與相似性質(zhì)和判定考綱要求考綱要求內(nèi)容根本要求略高要求相似三角形了解兩個三角形相似的概念會利用相似三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行簡單的推理和計算；會利用三角形的相似解決一些實際問題知識講解知識講解一、比例的性質(zhì)1．這一性質(zhì)稱為比例的根本性質(zhì),由它可推出許多比例形式;2．(反比定理);3．(或)(更比定理);4．(合比定理);5．(分比定理);6．(合分比定理);7．(等比定理).二、成比例線段1．比例線段對于四條線段，如果其中兩條線段的比〔即它們的長度比〕與另兩條線段的比相等，如〔即〕，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．2．比例的項在比例式〔〕中，稱為比例外項，稱為比例內(nèi)項，叫做的第四比例項．三條線段〔〕中，叫做和的比例中項．3．黃金分割如圖，假設(shè)線段上一點把線段分成兩條線段和〔〕，且使是和的比例中項〔即〕那么稱線段被點黃金分割，點叫線段的黃金分割點，其中，，與的比叫做黃金比．三、平行線分線段成比例定理1．定理兩條直線被三條平行線所截，截得的對應(yīng)線段成比例．2．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長線〕，所得的對應(yīng)線段成比例．3．推論的逆定理如果一條直線截三角形的兩邊〔或兩邊的延長線〕所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．4．三角形一邊的平行線性質(zhì)平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例．如圖，，那么．假設(shè)將稱為上，稱為下，稱為全，上述比例式可以形象地表示為．當(dāng)三條平行線退化成兩條的情形時，就成了“”字型，“”字型．那么有．學(xué)案提升學(xué)案提升考點一：比例的性質(zhì)?考點說明：如果要考查多以選擇和填空為主，重點掌握等比性質(zhì)假設(shè)，那么的值為________【答案【穩(wěn)固】設(shè)，那么_______【解析】由及比例的性質(zhì)可知：．也可用“過渡量”來求！【答案【拓展】假設(shè)，那么的值為_________【答案或[提示：等比性質(zhì)，假設(shè)時，，假設(shè)，那么]，求的值【解析】解法一：設(shè)，那么．∴．解法二：由得．∴．【答案．【穩(wěn)固】：．求.【解析】設(shè)，代入中得原式【答案考點二：黃金分割?考點說明：如果要考查可能出現(xiàn)在22題之中，需要掌握黃金分割的定義如下圖，樂器上的一根弦，兩個端點固定在樂器面板上，支撐點是靠近點的黃金分割點〔即是與的比例中項〕，支撐點是靠近點的黃金分割點，那么________，________．【解析】點是靠近點的黃金分割點，∴，即，又∵點是靠近點的黃金分割點，∴，∴【答案如下圖，在黃金分割矩形中，分出一個正方形，求．【解析】∵，∴．．∵，∴．【答案．考點三：平行線分線段成比例定理?考點說明：平行線分線段成比例定理的考查多數(shù)以選擇或填空的形式展開如圖，，且，假設(shè)，求的長．【解析】【答案如圖，，，那么以下比例式中錯誤的選項是〔〕A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，故正確．由，可得，故正確．由，可得，而，∴錯誤．【拓展】如圖，中，為邊的中點，延長至，延長交的延長線于．假設(shè)，求證:．【答案】過點作的平行線，交于點．老師可引導(dǎo)學(xué)生通過作如下輔助線來證此題：，如圖邊長為的等邊，，，那么的長為_____【答案如圖，在中，、，假設(shè)，，那么的長為________【答案[提示：設(shè)，那么，，，代入即可求得]，如圖在平行四邊形，為上任一點，連接交的延長線于求證：【答案】證明過程略。[提示：，]考點四：梅涅勞斯定理?考點說明：梅涅勞斯型在選擇和填空中考察較多，需要熟練掌握該定理以提高解題速度梅涅勞斯定理：如果一條直線與的三邊、、或其延長線交于、、點，那么．這條直線叫的.梅氏線，叫梅氏三角形．證法一：如左圖，過作∵，∴．證法二：如中圖，過作交的延長線于∴，，三式相乘即得：．證法三：如右圖，分別過作的垂線，分別交于．那么有，所以．如圖，在中，是的中點，是上一點，且，連接并延長，交的延長線于，那么_______.【答案】2【解析】以上這些解法均屬于常規(guī)解法，下面介紹特殊的解法：看為直線所截，由梅涅勞斯定理可知，又，，故上述圖形是一個經(jīng)典的梅氏定理的根本圖形，解類似的題時，梅氏定理的運(yùn)用能夠帶來立竿見影的效果，很快得出答案，梅氏定理的證明見變式1，先講變式1再介紹本解法.如圖，在中，為邊的中點，為邊上的任意一點，交于點.〔1〕當(dāng)時，求的值；〔2〕當(dāng)時，求的值；〔3〕試猜測時的值，并證明你的猜測.【答案〔1〕；〔2〕當(dāng)時，；當(dāng)時，〔3〕當(dāng)時，【解析】梅氏定理，看被直線所截可知，而，，故.【穩(wěn)固】如圖，是的中線，點在上，是延長線與的交點.〔1〕如果是的中點，求證：；〔2〕由〔1〕知，當(dāng)是中點時，成立，假設(shè)是上任意一點〔與、不重合〕，上述結(jié)論是否仍然成立，假設(shè)成立請寫出證明，假設(shè)不成立，請說明理由.【答案〔1〕見解析；〔2〕結(jié)論依然成立【拓展】在中，底邊上的兩點、把三等分，是上的中線，、分別交于、兩點，求證：【解析】利用梅涅勞斯定理，得①把看成梅式三角形，看成梅氏線，故②把看成梅氏三角形，看成梅氏線，故，所以考點五：相似三角形的性質(zhì)?考點說明：利用相似三角形的性質(zhì)如對應(yīng)邊成比例，求線段的長，或者轉(zhuǎn)化角度。如圖，四邊形是平行四邊形，為上一點，交于。假設(shè)，那么()A. B.C. D.【答案】B為梯形一腰上一點，且，交于，，，那么長為() A. B. C. D.【答案】A[提示：方法一，分別取、中點，連接，那么，方法二：過點作交于，那么，，∴，∴]如圖，在梯形中，，，，為邊上的任意一點，，且交于點．⑴假設(shè)為邊上的中點，那么〔用含有，的式子表示〕；⑵假設(shè)為邊上距點最近的等分點〔，且為整數(shù)〕，那么〔用含有，，的式子表示〕．【答案，[提示：參考例7方法二]如圖，個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)的面積為，的面積為，…，的面積為，那么=_______；=____________〔用含的式子表示〕．【答案】[提示：，…]如圖，在中，，，是的中點，過點的直線交邊于點，假設(shè)以、、為頂點的三角形和以、、為頂點的三角形相似，那么的長為〔〕A. B.或 C.3或 D.【答案】B考點四：相似三角形的判定?考點說明:熟練掌握相似三角形的判定方法，如圖，小正方形的邊長均為，那么以下圖形中的三角形(陰影局部)與相似的是()【答案】A在中，，是邊上的高，且，那么的度數(shù)為_______【答案或[注意分類討論，如圖有兩種可能]如圖，，假設(shè)再增加一個條件就能使結(jié)論成立，那么這個條件可以是_______________【答案】答案不唯一，如等：如圖，點是邊長為4的正方形內(nèi)一點，,于點，試在射線上找一點，使得以點為頂點的三角形與相似，作圖并指出相似比的值．【答案[提示：，．欲使以點為頂點的三角形與相似，只要使及的兩邊對應(yīng)成比例．]學(xué)案提升學(xué)案提升等腰直角中，、分別為直角邊、上的點，且，過、分別作的垂線，交斜邊于，．求證：．【答案】延長至，使那么，于是可證，于是，∵，∴∴，∴，∴，∴．假設(shè)為內(nèi)任一點，分別與相交于．求證：．【答案】證明：過做的平行線，交于，交于．過做的平行線，交于點．因為，所以，又因為，所以．進(jìn)而．，在中，、、為其三條高線，為此三角形內(nèi)一點，且，，，、