北京市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）-教案課件-人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊

通州區(qū)2019-2020學(xué)年第一學(xué)期高一年級期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.函數(shù)/（%）=log2%是（）

A.（0,+a）上的增函數(shù)B.（0,+。）上的減函數(shù)

C.R上的增函數(shù)D.R上的減函數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】

對數(shù)函數(shù)y=logflx（a〉0且aw1），定義域?yàn)椋?,+oo）,當(dāng)a>1時函數(shù)在（0,+oo）上為增函數(shù).

【詳解】>=1。82%的定義域?yàn)椋?，+8）,

又2>1,故y=log2X在（0，+°°）上為增函數(shù)，

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.

2.下列函數(shù)中，既是周期函數(shù)又是偶函數(shù)的是（）

A.y=log05xB.y=sinxC.y=cosxD.y=tan尤

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用函數(shù)性質(zhì)判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)A中y=logo_5X不是周期函數(shù)，故排除A；

選項(xiàng)B,D中的函數(shù)均為奇函數(shù)，故排除B,D;

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的周期性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

3.函數(shù)f（x）=lnx+3『4的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（2,4）

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)/(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間.

【詳解】解：函數(shù)/(%)=府+3%—4在其定義域上單調(diào)遞增，

f(2)=ln2+2x3—4=ln2+2>0,f(1)=3—4=—1<0,

.1.f(2)f(1)<0.

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)/(X)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2),

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的值及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，屬于基礎(chǔ)題.

4.在0。?360°范圍內(nèi)，與—80°角終邊相同的角是()

A.80°B.100°C,240°D.280°

【答案】D

【解析】

【分析】

與—80°角終邊相同的角的集合是:{a|a=h360。-80。，％"},再代左=1計算即可.

【詳解】與—80°角終邊相同的角的集合是:{。1，=匕360。-8(F,AeZ},

當(dāng)上=1時,。=280,

在0°?360°范圍內(nèi)，與-80°角終邊相同的角是280°,

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.若角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)打-3,4),則sin。等于()

c43

A.4B.-3C.-D.--

55

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用任意角的三角函數(shù)定義求解.

【詳解】角?的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(-3,4),

.-.|OP|=7(-3)2+42=5,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.將函數(shù)/Q)=sin2x的圖象向右平移機(jī)個單位長度得到g(x)圖象，則函數(shù)的解析式是()

A.g(x)=sin2x+—B.g(x)=sin2x+—

C.g(x)=sin12"D.g(%)=sin(2x一？

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意利用三角函數(shù)的圖象變換原則，即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意，將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向右平移￡個單位長度，

6

可得g(x)=sin2(x——)=sin(2x——).

63

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.

711

7."二一”是“sin6=—”的()

62

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

711

根據(jù)6=—和sin6=—之間能否推出的關(guān)系，得到答案.

62

711

【詳解】由。==可得sin，=T，

I7171

由sin6=—,得到8=—+2左"或6=——+2左乃，左eZ,不能得到。=—,

2666

JT]

所以“6=—，，是“sin6=—”的充分不必要條件，

62

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，屬于簡單題.

/、fsin^x,O<x<l,,、，、，、

8.已知函數(shù)〃x)=,,若a,b,?；ゲ幌嗟?，且〃a)=/3)=〃c),則a+A+c的取值

、log2019X,x>l.

范圍是()

A.(1,2019)B.(1,2020)C.(2,2020)D.[2,2020]

【答案】C

【解析】

【分析】

作出函數(shù)的圖象，根據(jù)〃。)=/優(yōu))="。),結(jié)合函數(shù)的圖象可得。+人=1/<。<2019,從而求出結(jié)論.

【詳解】畫出/(x)的圖像如下圖所示：

。1X

因?yàn)?(a)=/(b)=/(c),且不妨設(shè)a<6<c,

結(jié)合函數(shù)圖象可知0<a<l,0<6<l,l<c<2019,

且乃4+肪=%即a+〃=l,

:.a+b+c=l+c&(2,2020),

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想答題.

二、填空題

9.函數(shù)/(%)=sin2x的最小正周期為.

【答案】兀

【解析】

試題分析：/(X)=Asin(公r+0)的周期為7=同，7=三="

考點(diǎn)：三角函數(shù)周期

10.函數(shù)y=sinx+厲cosx的最小值是.

【答案】-2

【解析】

【分析】

運(yùn)用三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)解析式化簡即可得到答案.

【詳解】y=sinx+A/^cosx=2sin(x+—),

的最小值是一2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)輔助角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.三個數(shù)1.763,bgoJl，sinl按由小到大的順序排列是.

03

【答案】log05l.l<sml<1,7-

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

03

［詳解】1.7->1.7°=l,log05l.l<log051=0,sinle(0,1),

03

...三個數(shù)I,70.3,kg。$1.1,sin1按由小到大的順序排列為:log051.1<sinl<1.7,

故答案為：logo.51?1<sin1<L703.

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.

12.已知函數(shù)=logax(a>0,aw1)在［1,4］上的最大值與最小值的和是2,則。的值為.

【答案】2

【解析】

【分析】

在。>1和0<a<l兩種情況下，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別確定函數(shù)y=log。％的最大值和最小值,再依據(jù)

題意列式求解即可.

【詳解】①當(dāng)。>i時,y=log.%在(0,+°o)上為增函數(shù)，

所以在口上最大值為，最小值為；

y=logfl%，4］log04log/

②當(dāng)0<a<1,時,y=bg4％在(0,+oo)上為減函數(shù)，

所以在口上最大值為，最小值為

y=logfl%，4］log“1log”4.

故有即，解得

logal+log?4=2,log”4=2a=±2,

又a>0,所以a=2,

故答案為:2.

【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算，難度不大.解決此類問題時，注意對底數(shù)a進(jìn)行分

情況討論.

13.能說明“若/(九)是奇函數(shù)，則/(%)的圖象一定過原點(diǎn)”是假命題的函數(shù)是/(%)=.

【答案】-

x

【解析】

【分析】

找出一個不過原點(diǎn)的奇函數(shù)即可.

【詳解】依題意，所求函數(shù)只需滿足是奇函數(shù),同時不過原點(diǎn)即可，

顯然，函數(shù)/(x)=!滿足條件.

X

故答案為:一.

X

【點(diǎn)睛】本題考查命題及函數(shù)的奇偶性，熟悉常見函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知函數(shù)y=a+cos以，xe［—］|(其中，a,。為常數(shù)，且。>0)有且僅有3個零點(diǎn)，則。的

值為，。的取值范圍是.

【答案】(1).-1(2).［2,4)

【解析】

【分析】

函數(shù)y=a+cosox在［-萬，句上為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知％=0必為函數(shù)的一個零點(diǎn)，由此求得

a=-1,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，求得①的取值范圍.

【詳解】函數(shù)y=a+cosa猶在［-萬，萬］上為偶函數(shù)，且函數(shù)有且僅有3個零點(diǎn)，

故必有一個零點(diǎn)為x=0,

...々+cos0=0,

a——1;

所以函數(shù)〉=8$3￥-1,%€［-萬，萬|的零點(diǎn)個數(shù)，

等價于函數(shù)y=COS0X與直線y=1的圖象在［-萬㈤上交點(diǎn)的個數(shù)，

而函數(shù)y=cosox相當(dāng)于函數(shù)y=cosx縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大(或縮小)為原來的工(。>0)倍,

(O

當(dāng)。=1時，函數(shù)y=COSX與直線y=1在［-萬，萬］上僅有一個交點(diǎn)，則①>1;

當(dāng)。=2吐函數(shù)y=cos2x與直線y=1在［-萬，%］上恰有3個零點(diǎn)，如下圖所示，故CD..2；

當(dāng)。=4吐函數(shù)y=cos2x與直線y=1在［-萬，萬］上恰有5個零點(diǎn)，如下圖所示，故4；

綜上所述詢的取值范圍是［2,4).

故答案為：—1；［2,4).

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及邏輯推理能力,屬于中檔題.

三、解答題

15.已知函數(shù)/(%)=X2-2X-3.

(I)設(shè)集合4={刈〃力>0},5={%|/(#=0},。={%|/(“<0},分別指出2,3,4是4,3,。中哪個集

合的元素；

(II)若maeR,%,%，當(dāng)玉(元2時，都有求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(I)2tC,3GB,4eA；(ID{a\a>l］

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)題意，求出X2-2X-3>0的解集，即可得集合A、B、C,據(jù)此分析可得答案;

(II)根據(jù)題意可知函數(shù)/(X)在［fl+8)上單調(diào)遞增,再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.

【詳解】(I)函數(shù)/(X)=X2—2X—3,

若無2-2%-3>0,解得x>3或％<-1,

則A={尤|%>3或x<-1},3={x|x=-l或3},C={x［-l<x<3}；

所以21C,3eB.4cA；

(II)因?yàn)槎魏瘮?shù)/(X)=三—2x—3的圖象是開口朝上的拋物線，且對稱軸是x=l,

所以/(九)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在［1，+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閙aeR,%,%?氏+00),當(dāng)為<當(dāng)時渚陌/(%()</(x2),

所以函數(shù)/(%)在+8)上單調(diào)遞增，

所以［1,+8),

所以a21,即。的取值范圍是{a|a21}.

【點(diǎn)睛】本題考查集合，考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，涉及一元二次不等式的解法，難度不大.

16.已知函數(shù)/(X)=log。(l+x)+loga(l-x)(a>0,a^l),

(I)求函數(shù)/(九)的定義域；

(II)若/(0.5)“0.42,求/(-0.5)的值(精確至U0.01).

【答案】(I)(-U)；(II)0.42

【解析】

【分析】

(I)由函數(shù)/(X)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，求出解集即可；

(II)利用定義法判斷出f(x)為偶函數(shù)，進(jìn)而求出/(-0.5)的值.

【詳解】(I)glt/(x)=logfl(l+x)+logfl(l-x)(tz>0,a^l),

l+x>0

則有C，解得T<X<1，

1-%>0

即函數(shù)/(九)的定義域是(-M);

(II)因?yàn)?(x)的定義域是(-1,1)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，

且/(-X)=log。[1+(-切+log?？?(-尤)]=log.(1-x)+log。(1+x)=/(x)，

所以/(X)是偶函數(shù)，

所以/(-0.5)=/(0.5)?0.42.

【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的定義域和計算函數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題.

3

17.已知。是第二象限角，且sinq=§,

(I)求tana的值；

(II)求cos2a+cos(a+馬值.

2

38

【答案】(1);(II)-----

425

【解析】

【分析】

(I)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得tantz的值；

■7T

(II)由題意利用二倍角公式、誘導(dǎo)公式，求出cos2a+cos(a+])的值.

3

【詳解】(I)因?yàn)槲焓堑诙笙藿?，且sina=g,

I；~24

所以cos。=-Vl—sina

廣…sin。3

所以tana=------=——;

cos。4

(II)cos2a+cos(6Z+—)=1—2sin2a—sincc—\—————.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

7T7T

18.已知函數(shù)/(%)=2sin(s+。)(啰＞0,-5＜夕＜5)的部分圖象如圖所示.

,A

2r-yy\

Sir

/

—\。~~r

\I3

斗

(I)求0，0的值；

(II)求函數(shù)/(%)在[0,句上的單調(diào)區(qū)間;

(Ill)若對任意%e[°，%|都有1/(石)一/(々)1<根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

JT71

【答案】(I)CD=2,(p——(II)單調(diào)遞增區(qū)間為0,y7C,單調(diào)遞減區(qū)間為

6

(III)；

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)三角函數(shù)的部分圖象求出丁、。和9的值；

(II)由(I)寫出函數(shù)/(x)的解析式，再求函數(shù)在xe[O,句上的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間;

(III)由(II)求出函數(shù)/Xx)在[0,句的最大值和最小值，得出|/&)-/(%)|的最大值,從而求得加的取值范

圍.

【詳解】(I)設(shè)函數(shù)/(九)最小正周期為T,

由圖可知?一一三=今,所以7=凡

T2兀24

又T"時，力>①所以刃=亍=2;

又/1升2,所以sin[T+°J=l,

因?yàn)橐还ぃ枷Γ脊?所以工〈區(qū)+0＜2工,

22636

所以多+0=g，即0=—g；

326

(11)由(I)^,/(x)=2sinf2x-^j,

「1兀K11K

因?yàn)楫?dāng)％?0,句時,2無一

66,-r

所以當(dāng)2%-不6，即xe0,—時,/(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)Zx-'/q片，即時,/(%)單調(diào)遞減；

當(dāng)2x—工￡(-^-，=一，即7i時,〃x)單調(diào)遞增.

jr/、兀I'JT、兀

所以函數(shù)/（九）單調(diào)遞增區(qū)間為0,y和/，n，單調(diào)遞減區(qū)間為§，工;

（III）由（ID可知，函數(shù)/（%）在［0,71\的最大值為H=2，最小值為=-2,

所以對任意冷9方［0,兀］，都有l(wèi)/U）-/（x2）兇2-（-2）|=4,

jr57r

且當(dāng)石=一,%=——時,-/（%2）1取到最大值4,

36

又因?yàn)閷θ我?,X2w［°，〃］,都有17（%1）-/（々）1</〃成立，

所以機(jī)〉4,即m的取值范圍是{相帆>4}.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

19.下表為北京市居民用水階梯水價表（單位：元/立方米）.

其中

戶年用水量

階梯水價

（立方米）

自來水費(fèi)水資源費(fèi)污水處理費(fèi)

第一階梯0-180（含）5.002.07

第二階梯181-260（含）7.004.071.571.36

第三階梯260以上9.006.07

（I）試寫出水費(fèi)?。ㄔ┡c用水量為（立方米）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（II）若某戶居民年交水費(fèi)1040元，求其中自來水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi)各是多少？

5x,0<x<180

【答案】（I）y=<7（x—180）+900,180<x<260；（II）自來水費(fèi)為454（元），水資源費(fèi)為314（元）,

9（x—260）+1460,%〉260

污水處理費(fèi)272（元）

【解析】

【分析】

（I）根據(jù)北京市居民用水階梯水價表（單位:元/立方米）,直接求出水費(fèi)了（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)

關(guān)系式即可;

（II）因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x）在各區(qū)間段為單調(diào)遞增函數(shù)，因此可得180<x,260,再令1040=7（尤-180）+900,即可

解出x，從而求出對應(yīng)的自來水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi).

【詳解】（I）由北京市居民用水階梯水價表（單位:元/立方米）得到水費(fèi)V（元）與用水量必立方米）之間的函

數(shù)關(guān)系式為：

5x,0<x<180

y=j7（x-180）+900,180<x<260；

9（x-260）+1460,%>260

（II）由于函數(shù)y=/（x）在各區(qū)間段為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當(dāng)xe［0,180］時,yW"180）=900<1040,

當(dāng)xe（180,260］時,900<y</（260）=1460>1040,

所以180<xW260,

令1040=7（x-180）+900，解得尤=200,

即該用戶當(dāng)年用水量為200立方米，

自來水費(fèi)為2.07x180+4.07x20=454（元），水資源費(fèi)為1.57x200=314（元），污水處理費(fèi)

1.36x200=272（元）.

【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)表達(dá)式的求法及其實(shí)際應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識，難度不大.

20.如圖，半圓的直徑AB=2,。為圓心，C,。為半圓上的點(diǎn).

（I）請你為C點(diǎn)確定位置，使A45C的周長最大，并說明理由；

（II）已知=設(shè)=當(dāng)。為何值時，

（i）四邊形A5CD的周長最大，最大值是多少？

（ii）四邊形ABCD的面積最大，最大值是多少？

777T

【答案】（I）點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn)，理由見解析；（II）（i）夕二—時，最大值5（ii）夕=—時，最大

66

面積是個

【解析】

【分析】

(I)設(shè)=a,AC=＞，A3=C,法一:依題意有a2+b2=c2，再利用基本不等式求得a+b?岳，從而得出結(jié)

論;法二:由點(diǎn)C在半圓上,AB是直徑，利用三角函數(shù)求出a=c-cosa,b=c.sina,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)

求出結(jié)論；

(11)(i)利用三角函數(shù)值表示四邊形ABCD的周長P，再求P的最大值;(ii)利用三角函數(shù)值表示出四邊形

ABCD的面積s，再結(jié)合基本不等式求s的最大值.

【詳解】(I)點(diǎn)C在半圓中點(diǎn)位置時,AABC周長最大.理由如下：

法一:因?yàn)辄c(diǎn)。在半圓上，且A5是圓的直徑，

7T

所以NACB=—，即A45C是直角三角形，

2

設(shè)3C=a,AC=/?,AB=c,顯然a,b,c均為正數(shù)，則儲+/=°2,

因?yàn)閮?尸22次?,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，

所以2(4+/)2片+/+2劭=(。+與2,

所以a+6V8方了J=0c,

所以AA5C的周長為a+b+cK(后+l)c=2后+2,當(dāng)且僅當(dāng)a=＞時等號成立,

即AABC為等腰直角三角形時，周長取得最大值,此時點(diǎn)C是半圓的中點(diǎn).

法二:因?yàn)辄c(diǎn)C在半圓上，且AB是圓的直徑，

TR

所以NACB=—，即AA5C是直角三角形，

設(shè)BC=a,AC=b,AB-c,/ABC=a\A)<a<—

則〃MLCosaZuc.sine,

=2(coso+sino)+2=2^/2sin^6Z+^-j

a+b+c=c-coscr+c-sincr+c+2,

因?yàn)椤?/p>