第三章傅里葉變換教材

第三章傅里葉變換傅里葉生平1768年生于法國(guó)1807年提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對(duì)發(fā)表1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”中傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)3.1引言--信號(hào)的正交函數(shù)分解一、正交函數(shù)（1）則稱f1(t)與f2(t)在(t1

，t2)上正交。2.復(fù)變函數(shù)：若有n個(gè)復(fù)變函數(shù)fi(t)（i=1，…，n）在區(qū)間(t1，t2)上滿足1.實(shí)變函數(shù)：若實(shí)函數(shù)f1(t)

和f2(t)在(t1

，t2)上滿足3.1信號(hào)的正交函數(shù)分解一、正交函數(shù)（2）3.完備正交函數(shù)集：若{f1(t)，…，

fn(t)}在區(qū)間(t1，t2)上為正交函數(shù)集，不再存在任意函數(shù)

(t)與其正交，則{f1(t)，…，

fn(t)}稱為完備正交函數(shù)集。1.

三角函數(shù)集:二、常用完備正交函數(shù)集(t0，t0+T)

2.

指數(shù)函數(shù)集:(t0，t0+T)

3.

抽樣函數(shù)集:4.Walsh函數(shù)集:(-

，

)

(0，1)

3.1信號(hào)的正交函數(shù)分解定理1若{f1(t)，…，

fn(t)}在區(qū)間(t1，t2)上為完備正交函數(shù)集，則在(t1，t2)上滿足Dirichlet條件的函數(shù)f(t)可以表示為以下的無(wú)窮級(jí)數(shù)：三、用完備正交函數(shù)集表示任意信號(hào)其中（傅立葉系數(shù)）定理2

若f(t)可用完備正交函數(shù)集{f1(t)，…，

fn(t)}表示，則（Parserval定理）物理意義：一個(gè)信號(hào)所含有的能量（功率）恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率)之和。3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析一、傅里葉級(jí)數(shù)分析的意義將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合從信號(hào)分析的角度，將信號(hào)表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑，而且單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)的分析在技術(shù)上是很成熟的。---電路分析上的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析。從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量通過(guò)系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。二、周期信號(hào)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的條件周期信號(hào)f

(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)

絕對(duì)可積，即滿足 (2)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)的不連續(xù)點(diǎn)；(3)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)（1）

1=2f1=2/T1,T1為f(t)的周期（直流/平均分量）（余弦分量幅度）（正弦分量幅度）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)（2）

1—基本角頻率（基頻）a0、an、bn—傅里葉系數(shù)cos(n1t)

、sin(n1t)—n次諧波cos

1t

、sin

1t

—基波a0—信號(hào)的直流/平均分量3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)（3）

純余弦形式傅里葉級(jí)數(shù)其中

c0稱為信號(hào)的直流/平均分量，c1cos(

1t+

1)為基波分量，cncos(n

1t+

n)（n>1）為n次諧波分量。

c10，cn0。

周期信號(hào)可分解為直流、基波和各次諧波的線性組合。

3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)（4）[例]

求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解：傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：基波直流諧波A/2-A/23.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析四、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)歐拉公式：代入得：令關(guān)于n的偶函數(shù)關(guān)于n的奇函數(shù)因此代入得：令因?yàn)椋核?.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析四、指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系（1）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系（2）[例]

試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。解:1）指數(shù)形式3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系（3）

2）三角形式可得，周期方波信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為若

=T1/2，則有由3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級(jí)數(shù)之間的關(guān)系（4）[例]

f(t)=3cos(

1t+4)，求Fn。解:根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得六、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（1）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析1）

f(t)為偶函數(shù)：f(t)=f(-t)11

f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，可能含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，而不含有正弦項(xiàng)。六、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（2）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2）

f(t)為奇函數(shù)：f(t)=

f(t)

f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只可能含有正弦項(xiàng)，而不會(huì)含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。11a0=0an=0六、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（３）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析３）f(t)為偶諧函數(shù)（偶半波對(duì)稱函數(shù)）：１１１

f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只含有直流分量和偶次諧波，而不含有奇次諧波。波形移動(dòng)

T1/2，與原波形重合六、函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（4）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析4）f(t)為奇諧函數(shù)（奇半波對(duì)稱函數(shù)）：

f(t)傅氏級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，只含有奇次諧波，而不含有直流分量和偶次諧波。111波形移動(dòng)

T1/2，與原波形橫軸對(duì)稱七、周期信號(hào)的頻譜（1）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析1.頻譜的概念（1）式（1）表明，周期信號(hào)f(t)可以分解為直流及不同頻率的余弦信號(hào)之和。式（2）表明，周期信號(hào)f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和。

不同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)c0、cn

及各次諧波的相位

n

(或Fn）不同，因此可以通過(guò)研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)和各次諧波的相位來(lái)研究信號(hào)的特性。七、周期信號(hào)的頻譜（2）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析1.頻譜的概念（2）

c0、cn及

n

（或Fn）是頻率(n

1)的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)幅度譜函數(shù)相位譜函數(shù)七、周期信號(hào)的頻譜（3）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2.頻譜的表示（1）

直接畫出信號(hào)各次諧波對(duì)應(yīng)的c0

、cn及

n（或Fn）線狀分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。幅度頻譜相位頻譜c0、cn

n幅度頻譜相位頻譜單邊譜雙邊譜七、周期信號(hào)的頻譜（4）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2.頻譜的表示（2）cnc0c1c2c3c4c5c6c7c8c9

13

15

17

19

1

13

15

17

19

1

1...3

1...-1-3

1n1-n1

n

-七、周期信號(hào)的頻譜（5）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2.頻譜的表示（3）

1...3

1...-1-3

1n1-n1

n

-當(dāng)Fn為實(shí)函數(shù)時(shí),經(jīng)常將幅度譜和相位譜合畫在一張圖上。七、周期信號(hào)的頻譜（6）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析3.兩種頻譜表示形式的關(guān)系與區(qū)別關(guān)系:實(shí)質(zhì)上是一樣的區(qū)別對(duì)于單邊譜的第n條譜線，cn、

n分別表示n次諧波的幅度和初相。cncos(n

1t+

n)對(duì)于雙邊譜，只有將n

1與-n

1對(duì)應(yīng)的譜線矢量相加，才表示n次諧波。七、周期信號(hào)的頻譜（7）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析[例]

已知連續(xù)周期信號(hào)的頻譜如圖，試寫出實(shí)數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)（

1=1rad/s）。解：由圖可知七、周期信號(hào)的頻譜（8）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析[例]

畫出信號(hào)f(t)的幅度譜和相位譜。

解

1)三角形式cn

13

15

17

1

13

15

1七、周期信號(hào)的頻譜（9）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析2)指數(shù)形式

12

1-1-2

1

12

1-10.15-0.15七、周期信號(hào)的頻譜（10）3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析4.

相位譜的作用幅頻不變，零相位幅頻為常數(shù)，相位不變八、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象(1)3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分析用有限次諧波分量來(lái)近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)將出現(xiàn)過(guò)沖，過(guò)沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%

。2.吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因時(shí)間信號(hào)存在跳變破壞了信號(hào)的收斂性，使得在間斷點(diǎn)傅里葉級(jí)