高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練四十六 9.7 利用向量求空間角和距離 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練四十六利用向量求空間角和距離(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos<m,n>=-,則l與α所成的角為 ()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選A.設(shè)線面角為θ,則sinθ=|cos<m,n>|=,θ=30°.2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于 ()A. B. C. D.【解析】選A.如圖,連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接C1O,過C作CH⊥C1O于點(diǎn)H.因?yàn)???CH⊥平面C1BD,所以∠HDC為CD與平面BDC1所成的角.設(shè)AA1=2AB=2,則OC==,C1O====.由等面積法,得C1O·CH=OC·CC1,即·CH=×2,所以CH=.所以sin∠HDC===.3.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的大小為 ()A.150° B.45° C.60° D.120°【解析】選C.因?yàn)椤?0,·=0,所以由=++,兩邊平方得,=+++2(·+·+·),所以=62+42+82+2×6×8cos<,>,所以cos<,>=-,所以<,>=120°,因?yàn)槎娼堑拇笮殇J角,所以該二面角的大小為60°.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,直線OP與平面A1BD所成的角為α,則sinα的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】選B.如圖,以D為原點(diǎn),以DA,DC,DD1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,則O,C(0,1,0),C1(0,1,1),設(shè)=μ=μ(0,0,1),所以=+=+(0,0,μ)=,容易得到平面A1BD的法向量為n=(-1,1,1),所以sinα====,因?yàn)棣獭蔥0,1],所以sinα∈.5.(2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為 ()A. B. C. D.【解析】選A.由于平面α與每條棱所在直線所成的角都相等,所以平面α與平面AB1D1平行或重合(如圖),而在與平面AB1D1平行的所有平面中,面積最大的為由各棱的中點(diǎn)構(gòu)成的截面EFGHMN,而平面EFGHMN的面積S=××××6=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小為60°,則AD的長為________.

【解析】如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),設(shè)AD=a,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2),設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m=(x,y,z).則由m·=0,m·=0,得到取z=-1,所以m=,又平面C1DC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),由cos60°=QUOTE,得=,即a=,所以AD=.答案:7.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=λ(0≤λ≤1),則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為________.

【解析】如圖所示,以射線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則G(1,λ,1),E,D1(0,0,1),F,=,=(0,1,0),=.過點(diǎn)G向平面D1EF作垂線,垂足為H,由于點(diǎn)H在平面D1EF內(nèi),故存在實(shí)數(shù)x,y,使=+x+y=,由于GH⊥EF,GH⊥ED1,所以解得故=,所以||=,即點(diǎn)G到平面D1EF的距離是.答案:8.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且A1F∥平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值的取值范圍是________.

【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系,令A(yù)B=1,則A(0,0,0),E,D1(0,1,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),F(1,t,s),平面D1AE的法向量為n=(x,y,z),則=(1,t,s-1),=,=(0,1,1),所以·n=0,·n=0,即令z=2,則所以n=(1,-2,2).又因?yàn)锳1F∥平面D1AE,所以·n=0,即1-2t+2(s-1)=0,即s-1=t-,所以=.由于n1=(1,0,0)是平面BCC1B1的一個(gè)法向量,且·n1=1,所以cos<,n1>=,記A1F與平面BCC1B1所成角為α,則sinα=,cosα=,所以tanα=,因?yàn)閟=t+≤1,所以t≤,故t∈,∈,所以tanα∈[2,2].答案:[2,2]三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為菱形,△PAD為正三角形,且E,F分別為AD,AB的中點(diǎn),PE⊥平面ABCD,BE⊥平面PAD. (1)求證:BC⊥平面PEB.(2)求EF與平面PDC所成角的正弦值.【解析】(1)因?yàn)镻E⊥平面ABCD,BE⊥平面PAD,所以PE⊥AD,BE⊥AD,又PE∩BE=E,PE?平面PEB,BE?平面PEB,所以AD⊥平面PEB,由四邊形ABCD為菱形,得AD∥BC,所以BC⊥平面PEB.(2)以E為原點(diǎn),EA,EB,EP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)菱形ABCD的邊長為2,則AE=ED=1,PA=2,PE=,BE==,則點(diǎn)A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),F,=(-1,,0),=(1,0,),設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z),則由n·=-x+y=0,n·=x+z=0,解得取z=1,得n=;又=,所以EF與平面PDC所成角的正弦值為QUOTE==.10.(2018·南寧模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,PM=2MD,AN=2NB,∠DAB=60°. (1)求證:直線AM∥平面PNC.(2)求二面角D-PC-N的余弦值.【解析】(1)在PC上取一點(diǎn)F,使PF=2FC,連接MF,NF,因?yàn)镻M=2MD,AN=2NB,所以MF∥DC,MF=DC,AN∥DC,AN=AB=DC.所以MF∥AN,MF=AN.所以四邊形MFNA為平行四邊形,即AM∥NF.又NF?平面PNC,所以直線AM∥平面PNC.(2)取AB中點(diǎn)E,底面四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60°,所以∠AED=90°.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以∠EDC=90°,即CD⊥DE.又PD⊥平面ABCD,所以CD⊥PD.又DE∩PD=D,所以直線CD⊥平面PDE.故DP,DE,DC相互垂直,以D為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則P,N,C,A,B,D,平面PDC的法向量為m=,設(shè)平面PNC的法向量為n=,由n·=0,n·=0,得n=,所以cos<m,n>=QUOTE=,所以二面角D-PC-N的余弦值為.(20分鐘40分)1.(5分)(2018·全國卷Ⅱ)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為 ()A. B. C. D.【解析】選C.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,),B1(1,1,),所以=(-1,0,),=(1,1,),設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為α,則cosα=|cos<,>|==.【一題多解】選C.如圖.連接A1D交AD1于點(diǎn)E.取A1B1中點(diǎn)F,連接EF,則EFB1D,連接D1F,在△D1FE中,∠D1EF為異面直線AD1與DB1所成的角.由已知EF=DB1==,D1E=AD1=1,D1F==,所以cos∠D1EF==.2.(5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直,體積為,底面是邊長為的正三角形,若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為 ()A. B. C. D.【解析】選B.因?yàn)槿庵牡酌婷娣e為S底=×=,所以=AA1,所以AA1=.因?yàn)镻為底面A1B1C1的中心,所以PA1=××=1,設(shè)PA與平面ABC所成角的大小為θ,所以tanθ==,所以θ=.3.(5分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為________.

【解析】如圖,過E作EE1⊥B1C1于E1,連接D1E1,過P作PQ⊥D1E1于Q,在同一個(gè)平面EE1D1內(nèi),EE1⊥E1D1,PQ⊥D1E1,所以PQ∥EE1,又因?yàn)镃C1∥EE1,所以CC1∥PQ,因?yàn)镃C1⊥平面A1B1C1D1,所以點(diǎn)P到CC1的距離就是QC1的長度,所以當(dāng)且僅當(dāng)C1Q⊥D1E1時(shí),所求的距離最小值為C1Q===.答案:4.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PA⊥底面ABCD,E,F分別為AB,PC的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAD.(2)若PA=2,試問在線段EF上是否存在點(diǎn)Q,使得二面角Q-AP-D的余弦值為?若存在,確定點(diǎn)Q的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)取PD中點(diǎn)M,連接MF,MA,在△PCD中,F為PC的中點(diǎn),所以MFDC,在正方形ABCD中,E為AB中點(diǎn),所以AEDC,所以AEMF,故四邊形EFMA為平行四邊形,所以EF∥AM,又因?yàn)镋F?平面PAD,AM?平面PAD,所以EF∥平面PAD.(2)結(jié)論:滿足條件的點(diǎn)Q存在,是EF的中點(diǎn).理由如下:如圖:以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,2),B(0,1,0),C(1,1,0),E,F,由題易知平面PAD的法向量為n=(0,1,0),假設(shè)存在Q滿足條件:設(shè)=λ,因?yàn)?,所以Q,=,λ∈[0,1],設(shè)平面PAQ的法向量為m=(x,y,z),由可得m=(1,-λ,0),所以|cos<m,n>|=QUOTE=,由已知:=,解得:λ=,所以滿足條件的點(diǎn)Q存在,是EF的中點(diǎn).5.(13分)(2018·濟(jì)南模擬)如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),AB=BE=2. (1)求證:EG∥平面ADF.(2)求二面角O-EF-C的正弦值.(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH=HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.【解析】依題意,OF⊥平面ABCD,如圖,以O(shè)為原點(diǎn),分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,依題意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0).(1)依題意,=(2,0,0),=(1,-1,2).設(shè)n1=(x,y,z)為平面ADF的法向量,則QUOTE即不妨設(shè)z=1,可得n1=(0,2,1),又=(0,1,-2),可得·n1=0,又因?yàn)橹本€EG?平面ADF,所以EG∥平面ADF.(2)因