2023-2024學年山西省岢嵐縣中學高一數(shù)學第二學期期末考試試題含解析

2023-2024學年山西省岢嵐縣中學高一數(shù)學第二學期期末考試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知圓錐的表面積為，且它的側面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為A． B． C． D．（）2．若圓與圓外切，則（）A．21 B．19 C．9 D．-113．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，則的形狀為（）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．鈍角三角形 D．直角邊不相等的直角三角形4．已知等差數(shù)列的公差d＞0，則下列四個命題：①數(shù)列是遞增數(shù)列；②數(shù)列是遞增數(shù)列；③數(shù)列是遞增數(shù)列；④數(shù)列是遞增數(shù)列；其中正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．45．一個圓柱的側面展開圖是一個正方形，這個圓柱全面積與側面積的比為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列（，）具有性質：對任意、（），與兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，對于命題：①若數(shù)列具有性質，則；②若數(shù)列，，（）具有性質，則；下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題7．在區(qū)間上隨機地取一個數(shù),則事件“”發(fā)生的概率為()A． B． C． D．8．若關于的方程，當時總有4個解，則可以是（）A． B． C． D．9．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則一定是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形10．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，從中任意取出一個，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，均為銳角，，，則______.12．已知，是夾角為的兩個單位向量，向量，，若，則實數(shù)的值為________.13．設為內一點，且滿足關系式，則________.14．等差數(shù)列{}前n項和為.已知+-=0，=38,則m=_______.15．設（）則數(shù)列的各項和為________16．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，a＝7，b＝8，．（1）求邊AB的長；（2）求△ABC的面積．18．某廠每年生產某種產品萬件，其成本包含固定成本和浮動成本兩部分.已知每年固定成本為20萬元，浮動成本，.若每萬件該產品銷售價格為40萬元，且每年該產品產銷平衡.（1）設年利潤為（萬元），試求與的關系式；（2）年產量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？并求出最大利潤.19．己知向量，，設函數(shù)，且的圖象過點和點.（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值及相應的的值；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.20．正四棱錐S－ABCD的底面邊長為2，側棱長為x.（1）求出其表面積S（x）和體積V（x）；（2）設，求出函數(shù)的定義域，并判斷其單調性（無需證明）.21．將邊長分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第個、第個、……、第個陰影部分圖形.設前個陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足，（1）求的表達式；（2）寫出，的值，并求數(shù)列的通項公式；（3）定義，記，且恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】解：2、C【解析】試題分析：因為,所以且圓的圓心為,半徑為,根據(jù)圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.考點：圓與圓之間的外切關系與判斷3、A【解析】

根據(jù)a，b，c依次成等差數(shù)列，，，依次成等比數(shù)列，利用等差、等比中項的性質可知，根據(jù)基本不等式求得a=c，判斷出a=b=c，推出結果．【詳解】由a，b，c依次成等差數(shù)列，有2b=a+c(1)由，，成等比數(shù)列,有(2)，由(1)(2)得，又根據(jù)，當a=c時等號成立，∴可得a=c，∴，綜上可得a=b=c，所以△ABC為等邊三角形.故選：A.【點睛】本題考查三角形的形狀判斷，結合等差、等比數(shù)列性質及基本不等式關系可得三邊關系，從而求解，考查綜合分析能力，屬于中等題.4、B【解析】

對于各個選項中的數(shù)列，計算第n+1項與第n項的差，看此差的符號，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結論．【詳解】設等差數(shù)列，d＞0∵對于①，n+1﹣n＝d＞0，∴數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．對于②，數(shù)列，得，，所以不一定是正實數(shù)，即數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，是假命題．對于③，數(shù)列，得，，不一定是正實數(shù)，故是假命題．對于④，數(shù)列，故數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．故選：B．【點睛】本題考查用定義判斷數(shù)列的單調性，考查學生的計算能力，正確運用遞增數(shù)列的定義是關鍵，屬于基礎題．5、A【解析】解：設圓柱底面積半徑為r，則高為2πr，全面積：側面積=[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2這個圓柱全面積與側面積的比為,故選A6、A【解析】

本題是一種重新定義問題，要我們理解題目中所給的條件，解決后面的問題，把后面的問題挨個驗證．【詳解】解：①若數(shù)列具有性質，取數(shù)列中最大項，則與兩數(shù)中至少有一個是該數(shù)列中的一項，而不是該數(shù)列中的項，是該數(shù)列中的項，又由，；故①正確；②數(shù)列，，具有性質，，與至少有一個是該數(shù)列中的一項，且，若是該數(shù)列中的一項，則，，易知不是該數(shù)列的項，．若是該數(shù)列中的一項，則或或，a、若同，b、若，則，與矛盾，c、，則，綜上．故②正確．故選：．【點睛】考查數(shù)列的綜合應用，此題能很好的考查學生的應用知識分析、解決問題的能力，側重于對能力的考查，屬中檔題．7、A【解析】由得，，所以，由幾何概型概率的計算公式得，，故選.考點：1.幾何概型；2.對數(shù)函數(shù)的性質.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，寫出與的解析式，再判斷對應方程在時解的個數(shù)．【詳解】對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時有2個解，當時有3個解，當時有4個解，不符合；對，，，；方程，當時有4個解，當時有3個解，當時有2個解，不符合；對，，，；方程，當時恒有4個解，符合題意．【點睛】本題考查了函數(shù)與方程的應用問題，考查數(shù)形結合思想的運用，對綜合能力的要求較高．9、D【解析】

利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出．【詳解】由余弦定理得，則，即，所以.∵∴是等邊三角形.故選D.【點睛】本題考查了余弦定理、等邊三角形的判定方法，考查了推理能力與計算能力，熟練掌握余弦定理是解答本題的關鍵．10、C【解析】

先求出基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，由此能求出在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率．【詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個大小相同的小正方體，∴基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個，則在27個小正方體中，任取一個其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質等基礎知識，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求出，，再由，并結合兩角和與差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意，可知，則，又，則，或者，因為為銳角，所以不成立，即成立，所以.故.故答案為：.【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式的應用，考查同角三角函數(shù)基本關系的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.12、【解析】

由題意得，且，，由=，解得即可.【詳解】已知，是夾角為的兩個單位向量，所以，得，若解得故答案為【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算性質，考查了計算能力，屬于基礎題．13、【解析】

由題意將已知中的向量都用為起點來表示，從而得到32，分別取AB、AC的中點為D、E，可得2，利用平面知識可得S△AOB與S△AOC及S△BOC與S△ABC的關系，可得所求.【詳解】∵，∴32，∴2，分別取AB、AC的中點為D、E，∴2，∴S△AOBS△ABFS△ABCS△ABC；S△AOCS△ACFS△ABCS△ABC；S△BOCS△ABC，∴故答案為：．【點睛】本題考查向量的加減法運算，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想，解答本題的關鍵是利用向量關系畫出助解圖形．14、10【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質，可得：+=2，又+-=0，則2=，解得=0（舍去）或=2.則，,所以m＝10.15、【解析】

根據(jù)無窮等比數(shù)列的各項和的計算方法，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列的通項公式為，且，所以數(shù)列的各項和為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的各項和的求解，其中解答中熟記無窮等比數(shù)列的各項和的計算方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、【解析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積為.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)AB的長為1．(2)6．【解析】

（1）利用余弦定理解方程，解方程求得的長.（2）根據(jù)的值，求得的值，由三角形面積公式，求得三角形的面積.【詳解】（1）∵a＝7，b＝8，．∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：64＝49+c2﹣2，可得：c2+2c﹣15＝0，∴解得：c＝1，或﹣5（舍去），可得：AB的長為1．（2）∵，B∈（0，π），∴sinB，又a＝7，c＝1，∴S△ABCacsinB6．【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查運算求解能力，屬于基礎題.18、（1）；（2）產量（萬件）時，該廠所獲利潤最大為100萬元．【解析】

（1）由銷售收入減去成本可得利潤；（2）分段求出的最大值，然后比較可得．【詳解】（1）由題意；即；（2）時，，時，，當時，在是遞增，在上遞減，時，綜上，產量（萬件）時，該廠所獲利潤最大為100萬元．【點睛】本題考查函數(shù)模型的應用，根據(jù)所給函數(shù)模型求出函數(shù)解析式，然后由分段函數(shù)性質分段求出最大值，比較后得出函數(shù)最大值．考查學生的應用能力．19、（1）最大值為2，此時；最小值為－1，此時.（2）【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標公式，列出函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像過定點，求解函數(shù)解析式，當時，解出的范圍，根據(jù)三角函數(shù)性質，可求最值；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移伸縮變換，寫出解析式，畫出在上的圖象，根據(jù)圖像即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】解：（1）由題意知.根據(jù)的圖象過點和，得到，解得，.當時，，，最大值為2，此時，最小值為－1，此時.（2）將函數(shù)的圖象向右平移一個單位得，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得令，，如圖當時，在有兩個不同的解∴，即.【點睛】本題考查（1）三角函數(shù)最值問題（2）三角函數(shù)的平移伸縮變換，考查計算能力，考查轉化與化歸思想，考查數(shù)形結合思想，屬于中等題型.20、（1），；（2）x>，是減函數(shù).【解析】

（1）畫出圖形，分別求出四棱錐的高，及側面的高的表達式，即可求出表面積與體積的表達式；（2）結合表達式，可求出的范圍，即定義域，然后判斷其為減函數(shù).【詳解】（1）過點作平面的垂線，垂足為，取的中點，連結，因為為正四棱錐，所以，，，，所以四棱錐的表面積為，體積.（2），解得，是減函數(shù).【點睛】本題考查了四棱錐的結構特征，考查了表面積與體積的計算，考查了學生的空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.21、（1）；（2），，；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題意，分別求出每一個陰影部分圖形的面積，即可得到前個陰影部分圖形的面積的平均值；（2）依據(jù)遞推式，結合分類討論思想，即