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文檔簡(jiǎn)介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷
注意事項(xiàng)
1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.
2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.
3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.
4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他
答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.
5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.集合A={-2,-1,1},3={4,6,8},M={x\x^a+b,b^B,x^B},則集合M的真子集的個(gè)數(shù)是
A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.7個(gè)
2.如圖,在四邊形ABC。中,AB=1,BC=3,ZABC=120°,ZACD=90°,ACDA=6Q°,則5。的長(zhǎng)度
為()
B.273
c.373D.迪
3
3.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題:“今有鱉臊(加々〃曲),下廣五尺,無(wú)袤;上袤四尺,無(wú)廣;高七尺.問(wèn)積
幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()
4
A.90"平方尺B.180不平方尺
C.360萬(wàn)平方尺D.135&U萬(wàn)平方尺
4.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3
B,且lua,mu/3,則下列說(shuō)法中正確的是()
A.若。///?,貝!J"nB.若貝(J/Lm
C.若則。,分D.若。_!_/?,則7〃J_a
6.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)
學(xué)水平,也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某
骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì)),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太
陽(yáng)光線)的夾角等于黃赤交角.
由歷法理論知,黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小,其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表:
黃赤交角23。4r23°57'24°13,24。28'24。"
正切值0.4390.4440.4500.4550.461
年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年
根據(jù)以上信息,通過(guò)計(jì)算黃赤交角,可估計(jì)該骨笛的大致年代是()
A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年
C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年
7.已知某口袋中有3個(gè)白球和。個(gè)黑球(aeN*),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是
白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是之若EJ=3,則。J=
)
13
A.-B.1C.-D.2
22
8.音樂(lè),是用聲音來(lái)展現(xiàn)美,給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受,熔鑄人們的美學(xué)趣味.著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì),他
證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述,它們是一些形如asin/zx的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和,其中頻率最低的一項(xiàng)是
基本音,其余的為泛音.由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱(chēng)為基本音的諧波.下
列函數(shù)中不能與函數(shù)y=0.06sinl8000(V構(gòu)成樂(lè)音的是()
A.y-0.02sin360000?B.y=0.03sin180000/C.y=0.02sin181800/
D.y=0.05sin540000?
9.已知點(diǎn)居為雙曲線C:1-匕=1(。〉0)的右焦點(diǎn),直線>=區(qū)與雙曲線交于A,3兩點(diǎn),若=—,則
a43
的面積為()
AF2B
A.242B.2gC.4A/2D.4若
10.集合A=>2,xe,3={耳公_2x—3>o},則AB=()
A.B.(3,”C.(2,+s)D.(2,3)
11.計(jì)算log?fsin:cos等于()
3322
A.B.-C.——D.-
2233
12.已知函數(shù)/(x)=x+a2,g(x)=lnx-4a-2r,若存在實(shí)數(shù)%,使/(Xo)-g(xo)=5成立,則正數(shù)。的取
值范圍為()
A.(0,1]B.(04]C.[L+oo)D.(0,ln2]
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.近年來(lái),新能源汽車(chē)技術(shù)不斷推陳出新,新產(chǎn)品不斷涌現(xiàn),在汽車(chē)市場(chǎng)上影響力不斷增大.動(dòng)力蓄電池技術(shù)作為新
能源汽車(chē)的核心技術(shù),它的不斷成熟也是推動(dòng)新能源汽車(chē)發(fā)展的主要?jiǎng)恿?假定現(xiàn)在市售的某款新能源汽車(chē)上,車(chē)載動(dòng)
力蓄電池充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2000次的概率為85%,充放電循環(huán)次數(shù)達(dá)到2500次的概率為35%.若某用戶(hù)的自用新
能源汽車(chē)已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電,那么他的車(chē)能夠充電2500次的概率為.
21,,_
14.已知%>0,V>0,且一+—=1,若x+2y>nr+2〃z恒成立,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.
%y
15.已知圓C:f+v+gx+ay—5=0經(jīng)過(guò)拋物線E:必=4丁的焦點(diǎn),則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長(zhǎng)是
16.若直線近-丫-左+2=。與直線x+6一2左一3=0交于點(diǎn)p,則O尸長(zhǎng)度的最大值為
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
11
x=—+—COStt,
42
17.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中,曲線C的參數(shù)方程是,是參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),工軸的正
V31.
y=-----1—sina
42
半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;
(2)在曲線C上取一點(diǎn)",直線繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?,交曲線C于點(diǎn)N,求|OM|?|ON|的最大值.
18.(12分)如圖,在四面體ZMBC中,AB±BC,DA=DC=DB.
(1)求證:平面ABC,平面AC。;
(2)若/C4D=30。,二面角C—A6—。為60,求異面直線AD與8C所成角的余弦值.
19.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí),高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保
護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理
科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再?gòu)倪@10人的興趣小組中抽出4
人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.
(1)設(shè)事件A為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有“,求事件A發(fā)
生的概率;
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
20.(12分)如圖,設(shè)A是由〃X”個(gè)實(shí)數(shù)組成的"行”列的數(shù)表,其中劭①六1,2,3,…,〃)表示位于第i行第,
列的實(shí)數(shù),且劭e{1,-1}.記5(",〃)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對(duì)于Ae(九,n),記方⑷為A的第i行各數(shù)之積,
nn
Cj⑷為A的第j列各數(shù)之積.令/(A)=ZMA)+(A)
i=lJ=1
anan???Clin
?21anam
????????????
???
Clnlan2Clnn
(I)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)AeS(4,4),使得/(A)=0;
(II)是否存在AeS(9,9),使得(4)=0?說(shuō)明理由;
(DI)給定正整數(shù)”,對(duì)于所有的AeS(〃,n),求44)的取值集合.
21.(12分)4月23日是“世界讀書(shū)日”,某中學(xué)開(kāi)展了一系列的讀書(shū)教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,
采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書(shū)小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書(shū)小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生
參加問(wèn)卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:
小組甲乙丙丁
人數(shù)12969
(1)從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來(lái)自同一個(gè)小組的概率;
(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用X表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和
數(shù)學(xué)期望.
、C[x=cos0
22.(10分)在直角坐標(biāo)系/中,已知直線/的直角坐標(biāo)方程為y=33x,曲線G的參數(shù)方程為,,八(。為
-31y=l+sin。
TT
參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為夕=4sin(e+§).
(1)求曲線G和直線/的極坐標(biāo)方程;
(2)已知直線/與曲線G、G相交于異于極點(diǎn)的點(diǎn)A,3,若A,8的極徑分別為8,p2,求,-夕21的值.
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.B
【解析】
由題意,結(jié)合集合A,3,求得集合",得到集合〃中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.
【詳解】
由題意,集合A={—2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,
則"={x|x=a+b^fceA,/?eB,xeB}=14,6},
所以集合M的真子集的個(gè)數(shù)為22-1=3個(gè),故選B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合再由真子集個(gè)數(shù)
的公式2〃-1作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.
2.D
【解析】
設(shè)NAC5=a,在AABC中,由余弦定理得4^=10-6cosl20。=13,從而求得CD,再由由正弦定理得
ABAC
——=--------,求得sin。,然后在ABCD中,用余弦定理求解.
sin。sin120
【詳解】
設(shè)NAC5=a,在AABC中,由余弦定理得AC?二3一6cosl20。=13,
則AC=Ji3,從而
由正弦定理得坐-=A。,即sina=q^,
sin<7sin120°2J13
-J2
從而cos/BCD=cos(90°+a)=-sina=——,
')2V13
1349
在AflCD中,由余弦定理得:BD~=9+—+2x3%
3T
則如半
故選:D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.
3.A
【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體,此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外
接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).
【詳解】
由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐P-ABC,。為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此
三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球,所以。為PC的中點(diǎn),設(shè)球半徑為R,則
R2=QP。=^(AB2+BC2+PA2)=^(42+52+72)-y,所以外接球的表面積S=4萬(wàn)普=4萬(wàn)義?=90萬(wàn),
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半
徑,屬于中檔題.
4.D
【解析】
解:根據(jù)幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,
/\?//
/.卜、y
/Sf.?,/
結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為:
1
V=V三棱柱+V半圓柱=」^x2x2xl+—(6+1.57:)cm.
一22
故答案為6+1.5九.
點(diǎn)睛:根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可.
5.C
【解析】
根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.
【詳解】
對(duì)于A,若。〃分,則/,根可能為平行或異面直線,4錯(cuò)誤;
對(duì)于3,若則/,機(jī)可能為平行、相交或異面直線,3錯(cuò)誤;
對(duì)于C,若I工0,且/ua,由面面垂直的判定定理可知。,,,C正確;
對(duì)于。,若。,尸,只有當(dāng)加垂直于名,的交線時(shí)才有機(jī),。,。錯(cuò)誤.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析,關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.
6.D
【解析】
先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤
交角,即可得到正確選項(xiàng).
【詳解】
解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為a,春秋分日光與垂直線夾角為£,
則e-尸即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,
將圖3近似畫(huà)出如下平面幾何圖形:
.16,016—9.4,,
貝nUtana=—=1.6,tanB=----------=0.66,
1010
,八、tan?-tanB1.6-0.66八
tan(a-/3)=----------------=----------------?0.457.
1+tana?tan(3l+1.6x0.66
0.455<0.457<0.461,
估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,運(yùn)用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學(xué)建模思想,以及
數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬中檔題.
7.B
【解析】
由題意4=2或4,則—3甘+(4—3)2]=1,故選B.
8.C
【解析】
由基本音的諧波的定義可得力=班(〃eN*),利用/=l=*可得用=加%("eN*),即可判斷選項(xiàng).
【詳解】
由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱(chēng)為基本音的諧波,
由/=工=/,可知若力=*(〃eN*),則必有助=n①,(”eN*),
T2"
故選:C
【點(diǎn)睛】
本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.
9.D
【解析】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳,連接A耳,8耳,由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形公耳3鳥(niǎo)是平行四邊形,
2
設(shè)|M=、|傷|=2,4c=+^-2t[r2cosy,求出帆的值,即得解.
【詳解】
設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為耳,連接A耳,8月,
由對(duì)稱(chēng)性可知四邊形A耳5工是平行四邊形,
7T
所以S,AFiF2=SAF2B,ZF1AF2=—.
設(shè)1"口,座$2,則4c,上+zfc嗚-勺
又|?-目=2。.故,馬=4/72=16,
所以sAF用=3八弓sing=46.
故選:D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查余弦定理解三角形和三角形面積的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解
掌握水平.
10.A
【解析】
計(jì)算6=(—1)_(3,轉(zhuǎn)),再計(jì)算交集得到答案.
【詳解】
B=-2x-3>oj=(-00,-l)o(3,+oo),A=2,xe,故AB=(3,-H?).
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.
11.A
【解析】
利用誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,求得所求表達(dá)式的值.
【詳解】
V21
\f271-23
原式=log2xcos2TI--=log——xcos=log-------X—=1嗚22=--
2l3223222
故選:A
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.
12.A
【解析】
根據(jù)實(shí)數(shù)及滿(mǎn)足的等量關(guān)系,代入后將方程變形。2。+4e2-與=10%+5-王0,構(gòu)造函數(shù)/z(%)=hx+5—%,并由
導(dǎo)函數(shù)求得〃(%)的最大值;由基本不等式可求得a.2%+4a?2』的最小值,結(jié)合存在性問(wèn)題的求法,即可求得正數(shù)。
的取值范圍.
【詳解】
函數(shù)/(%)=%+。,2工,g(x)=lnx—4a.2』,
由題意得了(Xo)_g(x())=A0+a-2%-lnx0+4?-2-^-5,
即a,2A()+4〃?2"=IILXQ+5—,
令/i(x)=lnx+5—x,
hix)=——1=-~,
xx
???/z(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(l,+8)上單調(diào)遞減,
???秋)吟=%⑴=4,而。.2%+4a.2,22a也為42%=4a-
當(dāng)且僅當(dāng)2%=4-2/,即當(dāng)面=1時(shí),等號(hào)成立,
?*.4?<4,
0<a<1.
故選:A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問(wèn)題的解法,屬于中檔題.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
7
13.—
17
【解析】
記“某用戶(hù)的自用新能源汽車(chē)已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車(chē)能夠充電2500次”為事件5,即求條件概率:
P(B\A),由條件概率公式即得解.
【詳解】
記“某用戶(hù)的自用新能源汽車(chē)已經(jīng)經(jīng)過(guò)了2000次充電”為事件A,“他的車(chē)能夠充電2500次”為事件比
即求條件概率:P⑻潸號(hào)
7
故答案為:—
【點(diǎn)睛】
本題考查了條件概率的應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.
14.(-4,2)
【解析】
試題分析:因?yàn)閤+2y=(x+2y)(Z+』)=4+公+224+2、也義二=8當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào),所以
xyxyyxy
m2+2m<8=>—4<m<2
考點(diǎn):基本不等式求最值
15.476
【解析】
求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),代入圓的方程,求出。的值,再求出準(zhǔn)線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式,求出弦心距,利
用勾股定理可以求出弦長(zhǎng)的一半,進(jìn)而求出弦長(zhǎng).
【詳解】
拋物線E:必=4'的準(zhǔn)線為y=-l,焦點(diǎn)為(0,1),把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中,得。=4,所以圓心的坐標(biāo)為
(-4,-2),半徑為5,則圓心到準(zhǔn)線的距離為1,
所以弦長(zhǎng)=2A/52-12=4A/6-
【點(diǎn)睛】
本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長(zhǎng)公式.
16.272+1
【解析】
根據(jù)題意可知,直線y-左+2=0與直線%+6—2左—3=0分另U過(guò)定點(diǎn),且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交
點(diǎn)P在以A5為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線段OP的最大值即可.
【詳解】
由題可知,直線/左+2=0可化為左(x_l)+2_y=0,
所以其過(guò)定點(diǎn)4(1,2),
直線%+份一2左一3=0可化為》一3+左(丁一2)=0,
所以其過(guò)定點(diǎn)5(3,2),且滿(mǎn)足左?1+(―1)?攵=0,
所以直線區(qū)一,一左+2=。與直線為+外一2左一3=0互相垂直,
其交點(diǎn)P在以A6為直徑的圓上,作圖如下:
結(jié)合圖形可知,線段0尸的最大值為+
因?yàn)镃為線段AB的中點(diǎn),
所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得C(2,2),
所以線段OP的最大值為2夜+1.
故答案為:2拒+1
【點(diǎn)睛】
本題考查過(guò)交點(diǎn)的直線系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定
義得到交點(diǎn)尸在以A6為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17.(1)p=sin(0+:j(2)最大值為"I
【解析】
(1)利用sin2o+cos2(z=l消去參數(shù)々,求得曲線C的普通方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.
(2)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo),求得|OM|?|ON|的表達(dá)式,并利用三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn),再結(jié)合三角函數(shù)最值的求
法,求得|OM|?|ON|的最大值.
【詳解】
11
x=—+—coscr,
4/消去a得曲線c的普通方程為x2+y2—Lx—@y=o.
(1)由<
V31.22-
y=——+—sma,
42
所以C的極坐標(biāo)方程為叱當(dāng)inO+;c°s。,
即p=sin[o+/J.
(2)不妨設(shè)Af(pi,6),N[?,"。],夕1〉°,夕2〉0,6e[0,2萬(wàn)),
則
IOM|?|ON|=pg=sin^0+-sin+^+y=sin^+^cos0=曰sin61+;cos61-cos,
=^-sin20+—cos20+—=7sin(2,+/1+:
4442I4
JT3
當(dāng)。=。時(shí),|OM|?|ON|取得最大值,最大值為一.
64
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)系下線段長(zhǎng)度的乘積的最值的求法,
考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)最值的求法,屬于中檔題.
18.(1)證明見(jiàn)解析
⑵立
6
【解析】
(1)取AC中點(diǎn)P,連接ED,F8,得DBLAC,/RLBC,可得石4=EB=PC,
可證DFA^ADFB,可得DFLFB,進(jìn)而D-,平面ABC,即可證明結(jié)論;
(2)設(shè)E,G,〃分別為邊A瓦的中點(diǎn),連DE,EF,GF,FH,HG,可得GN/MD,GH//BC,EF//BC,
可得NFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AO與所成的角,BC1AB,可得石A3,NDEF為二面角C—AB—D
的平面角,即NDEb=60,設(shè)AD=a,求解MGH,即可得出結(jié)論.
【詳解】
(1)證明:取AC中點(diǎn)色連接ED,EB,
由ZM=DC,則
ABLBC,則以=用=尸。,
JT
故DFA^DFB,NDFB=NDFA=一,
2
DF±AC,DF±FB,ACcFB=F
...OF,平面ABC,又D尸u平面AC。,
故平面ABC_L平面ACD
(2)解法一:設(shè)G,H分別為邊8,8。的中點(diǎn),
則/G/MD.GH/ABC,
ZFGH(或補(bǔ)角)是異面直線AQ與所成的角.
設(shè)E為邊的中點(diǎn),則ER/ABC,
由ABLBC,知所,AB.
又由(1)有。尸,平面A8C,,。尸,A3,
EFDF=F,AB,平面DEF,;.DE,AB.,
所以NDEF為二面角C—AB—D的平面角,.?./£>跳'=60,
設(shè)。4=。。=。3=4,則£)歹=4£>./010=0
2
在RtADEF中,£F=---=—a
236
從而GH=LBC=EF=?a
26
在HfVBD尸中,F(xiàn)H=-BD=-
22
又BG=LAD=@,
22
從而在.FGH中,因FG=FH,
%HA
cosZFGH=2——=—
FG6
因此,異面直線AD與BC所成角的余弦值為立
6
H
解法二:過(guò)點(diǎn)尸作械,AC交AB于點(diǎn)M,
由(1)易知尸。,尸。,刊0兩兩垂直,
以P為原點(diǎn),射線引%尸。,尸。分別為x軸,
y軸,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系歹-孫z.
不妨設(shè)4)=2,由Cr>=AD,NC4D=30°,
易知點(diǎn)A,C,。的坐標(biāo)分別為A(0,—g,0),C(0,G,0),£>(0,0,1)
則A£>=(O,A1)
顯然向量上=(0,0,1)是平面ABC的法向量
已知二面角C—AB—。為60。,
設(shè)凡0),則療+〃2=3,AB=(根,”+6,0)
設(shè)平面ABD的法向量為n=(%,y,z),
fAD-n=0[6>+z=0
則〈/r\
AB-n=Qrwc+(〃+13)y=0
令y=i,貝!!〃=-----,1,-A/3
m
由上式整理得9n2+2島—21=0,
解之得〃=-君(舍)或〃=迪
9
J4c7百),.°/±延地]
:.B士---,----,U
99199J
2
ADCB
cos<AD,CB>|=§N
AD^CB06
2x-----
3
因此,異面直線AO與8C所成角的余弦值為
6
【點(diǎn)睛】
本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系,證明平面與平面垂直,考查空間角,涉及到二面角、異面直線所成的角,做出空
間角對(duì)應(yīng)的平面角是解題的關(guān)鍵,或用空間向量法求角,意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.
4
19.(1)—;(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超
幾何分布求解即可
【詳解】
(1)因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人,該年級(jí)分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人,則抽取了理科男生4人,女生2人,
文科男生1人,女生3人.
所以小二△4
(2)X的可能取值為0,1,2,3,
C4-C°1
P(X=0)=
*~6,
P(X=1)=cc
4~2,
Hco
C7C3_3_
P(X=2)=
4-,
Hcoio
c;?c;1
P(X=3)=
4-,
Hco30
X的分布列為
X0123
]_j_31
P
62To30
EX=0x-+lx-+2x—+3x-
6210305
【點(diǎn)睛】
本題考查分層抽樣,考查超幾何分布及期望,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題
20.(I)答案見(jiàn)解析;(II)不存在,理由見(jiàn)解析;(皿){2(n-2k)\k=0,l,2,...,n}
【解析】
(I)可取第一行都為-1,其余的都取1,即滿(mǎn)足題意;
(II)用反證法證明:假設(shè)存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;
(III)通過(guò)分析正確得出/(A)的表達(dá)式,以及從Ao如何得到4,A2……,以此類(lèi)推可得到4.
【詳解】
(I)答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.
-1-1-1-1
1111
1111
1111
(II)不存在AeS(9,9),使得/(A)=0,證明如下:
假如存在AeS(9,9),使得/⑷=0.
因?yàn)槌緼)e{l,—1},Cj(A)e{—=l,2,3,...,9),
所以4(A),r2(A),4(A),q(A),c2(A),c1,(A)這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.
令A(yù)f=ZJ(A)-^(A)...^(A)-C1(A)-C2(A)...C9(A).
一方面,由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而"=(—1)9=—1①,
另一方面,彳(A)/(A)…弓(⑷表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為機(jī));
。1(4>。2(4)...。9(4)也表示機(jī),從而M=m2=1@,
①,②相矛盾,從而不存在AeS(9,9),使得/(A)=0.
cm)記這“2個(gè)實(shí)數(shù)之積為
一方面,從“行”的角度看,有刀=/A)尖(A)…G(A);
另一方面,從“列”的角度看,有p=q(A>C2(A)…c”(A);
從而有彳(A)?&(A)...rn(A)=q(A)-c2(A)...c?(A)③,
注意到虱A)e{1,-1},c/A)e{1,-1](1<Z<n,l<j<n),
下面考慮式A),1A),下A),q(A),C2(A),%(A)中-1的個(gè)數(shù),
由③知,上述In個(gè)實(shí)數(shù)中,-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為2kg<k<n),則1的個(gè)數(shù)為2n-2k,
所以/(A)=(-1)x2左+1x(2"-2左)=2(〃一2左),
對(duì)數(shù)表A)-aij=l(?,J=l,2,3,...,n),顯然/(4)=2〃.
將數(shù)表4中的勺由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A,顯然/(A)=2"-4,
將數(shù)表A中的。22由1變?yōu)?1,得到數(shù)表4,顯然/(&)=2〃—8,
依此類(lèi)推,將數(shù)表Ai中的。麻由1變?yōu)橐?,得到數(shù)表4,
即數(shù)表4滿(mǎn)足:0n=。22=-=%-=T("kW”),其余%?=1,
所以/(A)=4(A)=...=rk(A)=-1,q(A)=02(A)=...=q(A)=-1,
所以/(&)=2[(—l)x左+(〃一左)]=2〃-4左,
由化的任意性知,/(A)的取值集合為{2(〃—2幻|左=0,1,2,…,川.
【點(diǎn)睛】
本題為數(shù)列的創(chuàng)新應(yīng)用題,考查數(shù)學(xué)分析與思考能力及推理求解能力,解題關(guān)鍵是讀懂題意,根據(jù)引入的概念與
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