高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)規(guī)范答題提升課-解析幾何綜合問題（導(dǎo)學(xué)案）

規(guī)范答題提升課——解析幾何綜合問題[典例](12分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2-y2a2-1=1(a>1)上,直線l交C于P(1)求l的斜率;(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面積.問題1:求解第(1)問的關(guān)鍵是什么?思路對幾何條件的翻譯和轉(zhuǎn)化,即把直線斜率之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化的難點(diǎn)是運(yùn)算和因式分解.問題2:求解第(2)問的關(guān)鍵是什么?思路借助圖形求出直線的斜率和點(diǎn)的橫坐標(biāo),體現(xiàn)面積轉(zhuǎn)化為長度,長度轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的處理思路.(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:x2a2-y所以4a2-1a2所以雙曲線C的方程為x22-y2=1,(基礎(chǔ)得分點(diǎn),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),易知直線l的斜率存在,設(shè)l:y=kx+m,由y=kx+mx22-y2=1,得(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0,所以x1+x2=-4mk2k2Δ=16m2k2-4(2m2+2)(2k2-1)>0?m2+1-2k2>0.由kAP+kAQ=0得y1-1x1即(x1-2)(kx2+m-1)+(x2-2)(kx1+m-1)=0,即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0,所以2k×2m2+22k2-1+(m-1-2k)-4mk2k2-1-4(m-1)=0,化簡得,8k2+4k-4+4m(k+1)=0,即(k+1)(2k當(dāng)m=1-2k時,直線l:y=kx+m=k(x-2)+1過點(diǎn)A(2,1),與題意不符,舍去,故k=-1. 6分(發(fā)展得分點(diǎn),求直線的斜率)(2)不妨設(shè)直線AP,AQ的傾斜角為α,βα<π2<β,基礎(chǔ)分發(fā)展分終極分≤2分[3,6]分≥7分約15%約35%約50%(1)得步驟分:對于解題過程中是得分點(diǎn)的,有則給分,無則沒分,對于得分點(diǎn)步驟一定要寫全.第(1)問中寫出代點(diǎn)求雙曲線的過程,直接給出答案得1分.第(1)問中設(shè)出直線方程,并將直線方程與雙曲線聯(lián)立,化簡后得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2及x1x2.第(2)問中分別說明P,Q在雙曲線的左支及右支的情形,缺少步驟,要扣掉1至2分.(2)得關(guān)鍵分:對于解題過程中的關(guān)鍵點(diǎn),有則給分,無則沒分,解題時一定要寫清得分的關(guān)鍵點(diǎn).第(1)問關(guān)鍵是:由kAP+kAQ=0,得到y(tǒng)1-1x續(xù)表因?yàn)閗AP+kAQ=0,所以α+β=π,由(1)知,x1x2=2m2+2>0,當(dāng)P,Q均在雙曲線左支時,∠PAQ=2α,所以tan2α=22,即2tan2α+tanα-2=0,解得tanα=22此時AP與雙曲線的漸近線平行,與雙曲線左支無交點(diǎn),舍去; 7分當(dāng)P,Q均在雙曲線右支時,因?yàn)閠an∠PAQ=22,所以tan(β-α)=22,即tan2α=-22,即2tan2α-tanα-2=0,解得tanα=2(負(fù)值舍去),于是,直線AP:y=2(x-2)+1,直線AQ:y=-2(x-2)+1, 8分聯(lián)立y=2(x-2)+1,x22因?yàn)榉匠逃幸粋€根為2,所以xP=10-423,y同理可得,xQ=10+423,yQ=-4所以PQ:x+y-53=0,|PQ|=163,點(diǎn)A到直線PQ的距離d=2+1-53故△PAQ的面積為12×163×223=(終極得分點(diǎn),求三角形的面積)第(2)中的關(guān)鍵是由kAP+kAQ=0,得到α+β=π.(3)得計(jì)算分:本題的運(yùn)算量很大,各環(huán)節(jié)的計(jì)算要細(xì)致并且保證正確才能得分,如果一個環(huán)節(jié)、步驟中出現(xiàn)運(yùn)算錯誤,會直接影響后續(xù)得分.第(1)問將點(diǎn)代入到所設(shè)的雙曲線的方程時,正確求出雙曲線可得分,雙曲線求錯不得分.第(2)問中正確求出直線AP和直線AQ的方程得1分,直線與雙曲線聯(lián)立,得出關(guān)于x的一元二次方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)得1分;第(2)問中正確求出PQ的直線方程,利用點(diǎn)到直線距離公式求出點(diǎn)A到直線PQ的距離得1分;第(2)問中利用面積公式求出△PAQ的面積得1分.解題思維技巧策略解析幾何試題知識點(diǎn)多,運(yùn)算量大,能力要求高,綜合性強(qiáng),在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn),是考生“未考先怕”的題型,不是怕解題